3. Penerapan IGD pada koordinat kartesius dalam luas daerah -

PENERAPAN IGD PADA SISTEM
KOORDINAT KARTESIUS
DALAM LUAS DAERAH

 f (x, y)dA

D

f (x, y)  1   dAmenyatakanluas daerah D

D

Luas daerah persegi panjang

 Diberikan daerah B  (x, y) 2  x  3,1  y  2 , hitung luas daerah B !

y Luas   dA  Luas   dydx

2 BB
B
32
1
Luas    dydx
0 1 23x
21

3

  y12dx

2

3

  (2 1)dx

2

 x32

 3 2

1

Jadi, luas daerah B adalah 1 satuan luas

Contoh Soal halaman 27

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis
lurus x=y+2 dan parabola x=y2

y

Grafik fungsi x=y+2 dan x=y2

3 x=y+2

2
(4,2)

1

-2 -1 0 12 34 x
-1 (1,-1) x=y2

-2

a). Dengan Integral tunggal
Kita cari dulu titik perpotongan antara garis x=y+2 dan parabola x=y2

x  x  y  2  y2 L  21 y  2  y2 dy
 y2  y  2  0
 ( y  2)( y 1)  0  1 y2  2y  1 y3  2
 y  2 atau y  -1  2 3  
1
y  2  x  4 titik potong (4,2)
y  1  x  1titik potong (1,1)   2  4  8    1  2  1 
3   2 3

41
2

Jadi, luas daerahnya adalah 4,5 satuan luas.

b). Dengan Integral Ganda 2, Partisi terhadap sumbu x

y

3 x=y+2 Daerah integrasi D dapat ditulis :
D  D1  D2 di mana :
2 34
x=y2  D1  (x, y) 0  x  1, x  y  x
1  D2  (x, y)1  x  4, x  2  y  x

L2 x
L1

-2 -1 0 1 2
-1

-2

Grafik fungsi x=y+2 dan x=y2

L  L1  L2

L   dA  dA  L   dydx   dydx

D1 D2 D1 D2

1x 4x

L    dydx    dydx
1 x2
0 x

14

     x  x dx   x  x  2 dx

01

 4 3 1  2 3  1 x2  4
   2 2x
 3 x2 0  3 x2
1

 4   16  2  8   2  1  2 
3 3   3 2

41
2

Jadi, luas daerahnya adalah 4,5 satuan luas.

c). Dengan Integral Ganda 2, Partisi terhadap sumbu y

y Daerah integrasinya adalah :

 D1  (x, y) 1  y  2, y2  x  y  2

3 x=y+2

2

1

-2 -1 0 1 234 x
-1 x=y2

-2

Grafik fungsi x=y+2 dan x=y2

L   dA  L   dxdy

DD

2 y2

   dxdy
1 y 2

2
  
x y  2 d y
y
2

-1

 2

  y  2  y2 dy

-1

 1 y2  2y  1 y 3  2
 2 3  1

 2  4  8   1  2  1 
3 2 3

41
2

Jadi, luas daerahnya adalah 4,5 satuan luas.

Soal latihan:

1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y=x1/2+ 2 ; garis
x=1 dan x=4

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x2 ;
y=2-x2 dan y=0 dengan partisi terhadap sumbu y

3. Hitung luas daerah yang dibatasi f(x)=-x2+5x-4 dan garis
g(x)=x-4

4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi
x2+y2=4 dan di atas garis y=1

Kunci jawaban: 3. 32/3 satuan luas
1. 32/3 satuan luas 4. 2,457 satuan luas
2. 8/3 satuan luas

1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y=x1/2+ 2 ; garis x=1 dan x=4

di atas sumbu x

Partisi pada sumbu x Proyeksidaerah D pada sb.x adalah1,4

x=1  x=4 D  (x, y)1  x  4,0  y  x  2
y
4 y=x1/2+ 2
(4,4)

3 (1,3)
2

1

-2 -1 0 1 234 x
-1

-2

L   dA  L   dydx
DD

4 x 2
L    dydx

10

 4 y0 x  2dx

1

 4

  x  2 dx
1

3 4
2 
  x2  2x
 3

 1

 16  8  2  2
33

 32 satuan luas
3

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y=x2 ;
y=2-x2 dan y=0 dengan partisi terhadap sumbu y

y y=x2 Daerah integrasi partisi terhadapsb. y
23
3  D1  (x, y) 0  y  1, y  x  y
 D2  (x, y)1  y  2, 2  y  x  2  y
2
4x
L2

1

L1

-3 -2 -1 0 1
-1

-2 y=2-x2

L  L1  L2

L   dA  dA  L   dxdy   dxdy

D1 D2 D1 D2

1y 2 2 y

L    dxdy    dxdy

0 y 1  2 y

12

  ( y  y)dy   ( 2  y  2  y)dy

01

11

  (2 y)dy   (2 2  y)d(2  y)

00

 4 3 1  4 (2  3 2
   
 3 y2 0  3 y)2 1

 4  0  4 
3  3

 8 satuan luas
3

3. Hitung luas daerah yang dibatasi f(x)=-x2+5x-4 dan garis g(x)=x-4

Titik perpotongan grafik f (x)  g(x)  x  4  x2  5x  4
y x2  4x  0
x(x  4)  0
3
2 x  0 atau x  4
1 (0,4) atau(4,0)

g(x)=x-4

-2 -1 0 234 x
-1
f(x)=-x2+5x-4
-2

-3
-4

Proyeksidaerah D terhadapsumbu x

 D  (x, y) 0  x  4, x - 4  y  -x2  5x  4

L   dA  L   dydx

DD

4 x2 5x4

L    dydx
0 x4

4 y dxx2 5x4
  x4

0

4

  (x2  4x)dx

0

  1 x3  2x2  4
3  0

  64  32
3

 32 satuan luas
3

4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x2+y2=4
dan di atas garis y=1

Partisi terhadap sumbu x Absis potong kurva:

y y  y  4 x2 1
4  x2 1
3
2 x 3

y=1 Daerah integrasi :
1
 D  (x, y)  3  x  3,1  y  4  x2

-3 -2  3 -1 0 1 32 3 4
-1 x

-2 x2+y2=4

L   dA  L   dydx

DD

3 4x2

L    dydx

3 1

 3

  4  x2 1dx

3

33

  4  x2 dx   dx

3 3

33

 2  4  x2 dx  2  dx

00

 2  sin 1  x    x 0 3  2 3
2  2   2

  sin 1  3    3   2 3
22 2 2



 2,457 satuan luas

Soal tugas awal:

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y2=4x dan garis
y=2x-4 dipartisi terhadap sumbu x dan sumbu y dengan
menggunakan IGD! Tentukan daerah integrasi dan grafiknya.

2. Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh hiperbol xy=2, garis
y=1 dan garis y=x+1 dengan partisi terhadap sumbu x dan sumbu
y setelah terlebih dahulu menggambarkan daerahnya.

3. Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x)=sin
x dan g(x)=1/2 pada 0≤x≤2π menggunakan IGD dengan
menggambarkan grafiknya terlebih dahulu.

Kunci jawaban:

1. 9 satuan luas

2. 2ln2-1/2 satuan luas

3. 2 3  1 satuan luas

3

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y2=4x dan garis y=2x-4
dipartisi terhadap sumbu x dan sumbu y dengan menggunakan IGD!
Tentukan daerah integrasi dan grafiknya.

Partisi terhadap sumbu x

y
y2=4x

4 (4,4) Daerah integrasinya :

3 P  P1  P2 dengan

2  P1  (x, y) 0  x  1,2 x  y  2 x
 P2  (x, y)1  x  4,2x  4  y  2 x
1 P2

P1

-2 -1 0 1 234 x
-1

-2 (1,-2)

-3

y=2x+4 -4

L  L1  L2  L   dA   dA

P1 P2

12 x 42 x

L    dydx    dydx
1 2x4
0 2 x

14

   (4 x)dx   2 x  2x  4 dx

01

 8 3 1  4 3  x2  4
 3   4x
x2 0  3 x2
1

 8   32 16 16   4 1 4
3 3  3 

 9 satuan luas

Partisi terhadap sumbu y

y y2=4x
4
3 (4,4)
2
1 Daerah integrasinya :

-2 -1 0 D   y2  x  y  4 ,2  y  
-1 (x, y) 4 2 4
-2 
-3 

y=2x+4 -4 P x

1 234

(1,-2)

L   dA  L   dxdy

PP

y4

42

   dxdy
2 y2
4

 42 y  4  y2 dy
2 4

1 4 y2dy

2y 8
4 2

 1  y2  8 y  1 y3 4
4  3  2

 1 16  32  64    4 16  8 
4 3  3

 1  60  72 
4 3 

 9 satuan luas

2. Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh hiperbol xy=2, garis y=1 dan
garis y=x+1 dengan partisi terhadap sumbu x dan sumbu y setelah
terlebih dahulu menggambarkan daerahnya.

Partisi terhadap sumbu x

Daerah integrasinya :

y xy=2 y=x+1 D  D1  D2 dengan

D1  (x, y) 0  x  1, y  1  y  y  x 1

3 D2   y)1  x  2, y 1 y  y  2
2 ( x, 
1 L1 L2  x 

y=1

-2 -1 0 1 234 x
-1
-2

L  L1  L2  L   dA   dA

D1 D2

1 x1 2 y  2
x

L    dydx    dydx
0 1 1 y1

  1 (x 11)dx  2  2 1dx

0 1x 

  1 x 2 1  2 ln x  x2
 2  0 1

 1  2 ln 2  2 1
2

 2 ln 2  1
2

Jadi, luas daerahnya adalah 2ln2-1/2 satuan luas.

3. Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x)=sin x
dan g(x)=1/2 pada 0 ≤ x≤ 2π menggunakan IGD dengan
menggambarkan grafiknya terlebih dahulu.

y g(x)  f (x)  1  sin x

2
x   ,5 

66

f(x)=sin x

1 g(x)=1/2

L2

D  D1  D2  D3

0 π L3 2π x  1 ,0  
(x, 2 6 
D1   y) sin x  y   x  

-1  (x, 1   x,    5 
 2 6 6 
D2 y) y sin x 

D3   y) sin x  y  1,5   x  2 
(x, 26 
 

Partisi terhadap sumbu x

L  L1  L2  L3

L   dA  dA  dA  L   dydx   dydx   dydx
D1 D2 D3 D1 D2 D3

1 5 6 sin x 2 1
62 2

   dydx    dydx    dydx
1 5 6 sin x
0 sin x 62

 x dx  5 6 sin 1 dx  2  1 x dx

6 1
   0  2 sin x   sin
  2  5 6  2 
6

1   6  1 x 5 6  1 x 2
 2  2   2 5
 x  cos x  cos x   x  cos

0 6 6

   3 1 3  5  3    2 1 5  3
12 2 2 12 2 12 2 12 2

 2 3  1  satuan luas

3

Soal tugas akhir kelompok 3

1. Given G  (x, y) 1  x  2 , x2  y  x  Find the area of G! (answer by
English please!3) 3 


2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y=1 dan kurva

y  x2 , 0  x  1 dengan partisi terhadap sumbu x dan juga

sumbu y!

 3. Diberikan sebuah daerah D  (x, y) 1  x  1,x2  y  x2
Hitunglah luas daerah D!

Kunci jawaban: satuan luas

1. 12 6  6 3  7

81

2
2. satuan luas

3

4
3. 3 Satuan luas

1. EGnivgelinshGple(axs, ye)!13)  x  2 , x2  y  x  Find the area of G! (answer by
3 


y y=x2
1 y=x1/2

4/9 G

1/9 x

1/3 2/3 1

Define the area of G :

LG dA, G   x, y) 1  x 2 , x2  y  
( 3 3 x
G 


LG  dA, G   y) 1  x  2 , x2  y  
( x, x
G 3 3


2 x 2
3 3
    LG 
dydx  LG  x  x2 dx

1 x2 1
3 3

2 3  2 3

  x2  1 x 3
 3
3 1

3

 2  2 3 1  2  3   2  3 1  1 3 
  3 3 3     3  3  
 3  2    3 1  2  
    3 

  2 5  1  8    2 3  1  1 
3 3 27  3 27
 2 3  1  2
  3

  4 2  8  2 1  1
 9 3 81  3 81
  9

   49 1 6  8  29 1 3 1
3 3

81

 12 6  6 3  7 unit of area
81

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh garis y=1 dan kurva

y  x2 , 0  x  1 dengan partisi terhadap sumbu x dan juga

sumbu y!

Partisi terhadap sumbu x L   dA  L   dydx

y y=x2 DD
1 y=1
11
D
   dydx
0 x2

 1 1  x 2 dx

x 
1
0 0

Daerah Integrasi :   x  1 x3 1
 3  0
 D  (x, y) 0  x  1, x2  y  1
 2 satuan luas
3

Partisi terhadap sumbu y L   dA  L   dxdy

y y=x2 DD
1 y=1
1y
D
   dxdy

00

x 1
1
  ydy

0

0

 2 y 3 1
 2 
 0
Daerah Integrasi : 3

 D  (x, y) 0  y  1,0  x  y  2 satuan luas
3

 3. Diberikan sebuah daerah D  (x, y) 1  x  1,x2  y  x2

Hitunglah luas daerah D!

y  L   dA, D  (x, y) 1  x  1,x2  y  x2
y=x2
D
3
2 1 x2
1
L    dydx
1  x2

 1

 x2  (x2 ) dx
1

-2 -1 0 12 1
-1 x
 2 2x2dx
-2
0

  4 x3 1
 3  0

y=-x2  4 satuan luas
3

Daftar Pustaka

Chotim, Moch. 2004. Kalkulus 2. Semarang: UNNES. Hlm
45-47.

Leithoid, Louis. 1991. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik.
Jakarta: Erlangga. Hlm 441, contoh 3.

Martono, Koko. 1991. Kalkulus Integral Lipat Dua.
Bandung: ITB.

Widder, David. 1974. Advanced Calculus second Edition.
New Delhi: Prentice-hall of India Private limited.