MEDIA MENGAJAR UNTUK SMA/MA KELAS XI MATEMATIKA TINGKAT LANJUT
Fungsi dan Pemodelannya BAB 6 Sumber gambar: Shutterstock.com
6.1 Jenis-jenis Fungsi Khusus Jenis-jenis fungsi yang perlu dipelajari: 1. Fungsi polinom 2. Fungsi rasional 3. Fungsi irasional 4. Fungsi nilai mutlak 5. Fungsi tangga 6. Fungsi ganjil dan genap 7. Fungsi piecewise
Fungsi polinom berderajat n adalah suatu fungsi yang berbentuk: = + −1 −1 + −2 −2 + ⋯ + + 0 dengan 0, 1,…, konstanta dan ≠ 0. Penulisan fungsi polinom diawali dengan koefisien berderajat tertinggi. Fungsi linear dan fungsi kuadrat termasuk fungsi polinom. Fungsi Polinom (i) Fungsi polinom berderajat 3 (ii) Fungsi polinom beredrajat 4
Fungsi rasional merupakan fungsi dengan bentuk umum: = ℎ Dengan g(x) dan h(x) adalah fungsi polinom dan h(x) ≠ 0 Sebagai contoh = 2−1 +1 , ≠ −1 dan = −4 2+3+2 merupakan fungsi rasional. Fungsi Rasional
Asimtot atau pembatas kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga. Asimtot juga dapat diartikan dengan sebuah garis lurus yang sangat dekat dengan kurva lengkung di titik jauh tak terhingga. Terdapat tiga jenis asimtot, yaitu sebagai berikut. 1. Asimtot datar adalah garis tersebut sejajar dengan sumbu X. 2. Asimtot tegak adalah garis tersebut sejajar dengan sumbu Y. 3. Asimtot miring adalah garis tersebut tidak sejajar dengan sumbu X dan dengan sumbu Y.
Grafik fungsi rasional diperlihatkan pada gambar di bawah: Pada gambar (i) garis x = 2 disebut asimtot tegak dan y = –1 disebut asimtot datar. Sementara itu, pada gambar (ii) garis x = –2 dan x = 2 disebut asimtot tegak, sedangkan y = 0 disebut asimtot datar. y = −1 x = 2 (i) −1 x = −2 x = 2 (ii)
Fungsi Akar atau Fungsi Irasional Bentuk fungsi irasional adalah f(x) = g(x) di mana g(x) > 0. Gambar di samping merupakan beberapa contoh grafik fungsi irasional. Cara menentukan domain dan range fungsi irasional adalah sebagai berikut. (i) Bentuk f(x) = g(x) Daerah asal (domain) = = ȁ ≥ 0, ∈ (i) Bentuk f(x) = () () Daerah asal (domain) = = ቚ () () ≥ 0, h(x) ≠ 0, ∈ . y= y= − 2 −
Tentukan daerah asal dari fungsi = 3 2+−6 . Jawab: = 3 2+−6 Jelas penyebut tidak boleh sama dengan nol dan harus positif sehingga: 2 + − 6 + 3 − 2 > 0 = −3 atau = 2 Jadi, daerah asal fungsi adalah = ȁ < −3 atau > 2, ∈ . Contoh 2 + − + −3
Fungsi Nilai Mutlak Fungsi modulus adalah fungsi M yang memuat bentuk nilai mutlak dan dinyatakan dengan rumus: M(x) = atau = ቊ , jika ≥ 0 −, jika < 0 Grafik fungsi M diperlihatkan pada gambar di samping. −
Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap A. Fungsi ganjil Suatu fungsi y = f(x) adalah fungsi ganjil jika f(−)= −f(x), ∈ . Fungsi ganjil simetri terhadap titik O (titik pangkal). Kurva fungsi ganjil jika f(−)= −f(x), ∈ − − y = f(x)
Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap B. Fungsi genap Suatu fungsi y = f(x) adalah fungsi genap jika f(−)= f(x), ∈ . Fungsi genap simetri terhadap titik Y. Kurva fungsi genap f(−) = f(x) − y = −f(x)
Fungsi Piecewise Fungsi piecewise adalah fungsi yang didefinisikan oleh beberapa subfungsi, dengan asumsi setiap subfungsi berlaku pada interval tertentu domain fungsi utama. = ቊ 2 − 1, untuk ≥ 2 + 4, untuk < 2 Tampak bahwa f(x) = 2x − 1 jika x ≥ 2 dan f(x) = x + 4 jika sebaliknya. Jadi, nilai x yang dipilih akan menentukan rumus fungsi mana yang akan digunakan. Jika kita pilih x = 4, maka haruslah f(4) = 2(4) – 1 = 7 karena 4 ≥ 2.
6.2 Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma Pada bilangan berpangkat, dikatakan bahwa: jika a > 0, maka setiap bilangan x real, dapat menentukan bilangan real yang tunggal. Fungsi eksponensial f dengan bilangan pokok a (a konstan) adalah fungsi yang didefinisikan dengan rumus: f(x) = , dengan a > 0, dan a ≠ 1.
Grafik Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial yang sederhana adalah f(x) = atau y = . Jika kurva fungsi y = digambar pada diagram Cartesius, maka: i. kurvanya akan monoton turun jika 0 < a < 1, ii. kurvanya monoton naik jika a > 1, iii. memotong sumbu Y di titik (0, 1), dan iv. sumbu X sebagai asimtot.
Contoh A. Fungsi f(x) = , untuk a > 1 Lukislah grafik fungsi f(x) = 2 . Jawab: x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … f(x) … 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 … Grafik fungsi f(x) = 2 disajikan seperti pada gambar di samping. • Jika → + ∞, maka → + ∞ dan • Jika → − ∞, maka → 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 − 3 − 2 −1 O 1 2 3 5,7
Contoh B. Fungsi f(x) = , untuk 0 < a < 1 Lukislah grafik fungsi g(x) = 12 . Jawab: x … −3 −2 −1 0 1 2 3 … g(x) … 8 4 2 1 18 14 12 … Grafik fungsi g(x) = 12 disajikan seperti pada gambar di samping. • Jika → − ∞, maka → + ∞ dan • Jika → + ∞, maka y→ 0. 123456781 − 3 − 2 −1 O 1 2 3 5,7 2,8
Berdasarkan kedua grafik pada kedua gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa: f(x) = g(–x) g(x) = 1 2 adalah pencerminan terhadap sumbu Y dari grafik f(x) = 2 atau kedua grafik tersebut simetris terhadap sumbu Y.
Grafik Fungsi Logaritma Jika x > 0, a > 0, dan a ≠ 1, maka didefinisikan = a log x jika x = . Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a dinyatakan sebagai f(x) = a log x.
Pemodelan Berbagai Fenomena yang Berkaitan dengan Fungsi Eksponen dan Logaritma Populasi ayam di suatu peternakan adalah 100 ekor. Setiap bulan populasi naik 20%. Tentukan banyak populasi ayam dalam jangka waktu setahun. Jawab: Jika dimisalkan jumlah populasi semula 0, persentase kenaikan populasi setiap bulan adalah p%, dan jumlah populasi dalam n waktu , maka: Setelah 1 bulan: 1 = 0 + 0 × % = 0 (1 + %) = 0 (1 + %) 1 . Contoh
Setelah 2 bulan: 2 = 2 + 1 × % = 0 (1 + %) = 0 1 + % 1 + % = 0 (1 + %) 2 Analog 3 = 0(1 + %) 3 Setelah n bulan = 0 (1 + %) Jadi, setelah 1 tahun (12 bulan) jumlah populasi ayam adalah 12 = 100 (1 + 20%) 12 = 100 (1 + 0,2) 12 = 100 × (1,2) 12 Grafik populasi 12 = 100 × (1,2) 12 ditunjukkan pada gambar di samping. n 1 12 100 120 891,6 12 = 100(1,2) 12