เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์

สมการและอสมการ ในรูปค่าสัมบูรณ์ เล่มที่ 5 นางณัฐฌา พันพัธุ์สุธุ์วสุรรณ ครู วิทวิยฐานะ ครูชำ นาญการพิเพิศษ โรงเรียนมัธยมศึกษาเทศบาล ๓ "ยุติธรรมวิทยา" สังกัดสำ นักการศึกษาเทศบาลนครสกลนคร คู่มือนักเรียน ชุดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับ เทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่4

คู่มือนักเรียน ชุดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่องจำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มที่ 5 เรื่อง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) เรียบเรียงโดย นางณัฐฌา พันธุ์สุวรรณ ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมศึกษาเทศบาล ๓ “ยุติธรรมวิทยา” สำนักการศึกษาเทศบาลนครสกลนคร

ก คำนำ ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบ สืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มนี้ จัดขึ้นเพื่อให้ครูผู้สอนเกิดความเข้าใจ และสามารถนำชุดการเรียนรู้ที่สร้างขึ้นไปใช้อย่างมีประสิทธิภาพ และประสิทธิผล ผู้จัดทำได้วิเคราะห์หลักการ จุดมุ่งหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรู้ และสาระการ เรียนรู้ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตลอดจนศึกษาแนวคิดจิตวิทยาและทฤษฎีที่เกี่ยวข้องในการสร้างชุดการ เรียนรู้ให้มีความเหมาะสมสอดคล้องกับความรู้ ความสามารถ ความสนใจ และการนำไปใช้ให้เกิด ประโยชน์ ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ผู้จัดทำได้ใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด เพื่อเป็นการพัฒนานักเรียน ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 นี้ มีทั้งหมด 5 เล่มประกอบด้วย เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง เล่มที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว เล่มที่ 4 การไม่เท่ากันของจำนวนจริง เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้ รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 4 เอื้อประโยชน์ต่อครูหรือผู้สนใจในการนำไปพัฒนากระบวนการเรียนรู้ในกลุ่มสาระ คณิตศาสตร์ เพื่อนำไปสู่การพัฒนาคุณภาพนักเรียนตามเป้าหมายของหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ทุกประการ ณัฐฌา พันธุ์สุวรรณ

ข สารบัญ เนื้อหา หน้า คำนำ……………………………………………………………………………………………………... ก สารบัญ................................................................................................................ ข คำชี้แจง............................................................................................................... ค ขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้............................................................................ ง บทบาทของนักเรียน............................................................................................. จ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้......................................................................... ฉ การจัดชั้นเรียน.................................................................................................... ช โครงสร้างเนื้อหาของชุดการเรียนรู้………….......................................................... ซ จุดประสงค์การเรียนรู้........................................................................................... 1 บัตรคำสั่งเล่มที่ 5 ................................................................................................. 2 บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์………………….................................................... 3 บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์……………....................................................... 6 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์……………............................................... 8 บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์.................................................... 9 บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์.................................................. 11 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์.......................................... 13 บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์…………………………………………… 15 บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์……………………….………..……. 18 บัตรบัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์…………..…….………… 19 แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 5 เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่า สัมบูรณ์........... 21 บรรณานุกรม........................................................................................................ 23

ค คำชี้แจง ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอน แบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ประกอบด้วยชุดการเรียนรู้จำนวน 5 เล่ม ดังนี้ เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง เล่มที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว เล่มที่ 4 การไม่เท่ากันของจำนวนจริง เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ สื่อ / อุปกรณ์ประจำชุดการเรียนรู้มีดังนี้ บัตรคำสั่ง เล่มที่ 5 เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ บัตรบัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 5 เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ชุดการเรียนรู้เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์

ง ขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้ นักเรียนจะต้องศึกษาขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้ให้เข้าใจและปฏิบัติตามลำดับขั้นตอน การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนดังนี้ 1. นักเรียนเข้ากลุ่มตามที่แบ่งไว้แล้ว 2. นักเรียนรับเอกสารจากครูผู้สอนและศึกษาคำสั่ง 3. ครูอธิบายบทบาทของนักเรียนที่เรียนด้วยชุดการเรียนรู้ 4. ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนซักถามข้อสงสัยในการเรียนด้วยชุดการเรียนรู้ 5. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามรายละเอียดในเอกสารชุดการเรียนรู้ โดยเริ่มจากการศึกษา คำสั่งจากนั้นปฏิบัติตาม 6. ครูอำนวยความสะดวกและจัดกิจกรรมเสริมตามที่กำหนดในแผนการจัดการเรียนรู้ 7. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสาระความรู้ที่ได้

จ บทบาทของนักเรียน นักเรียนทราบถึงบทบาทของตน ดังนี้ 1. หัวหน้ากลุ่มมีหน้าที่ดังนี้ 1.1 เป็นผู้นำในการปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม โดยทำหน้าที่อ่านบัตรกิจกรรมเพื่อให้ทุกคน ทำตามคำชี้แจงในการประกอบกิจกรรม ให้เป็นไปตามขั้นตอน 1.2 ควบคุมดูแลการทำงาน หรือประกอบกิจกรรมภายในกลุ่มให้เป็นระเบียบเรียบร้อย ไม่ส่งเสียงดังรบกวนกลุ่มอื่น 1.3 ตรวจเช็คการจัดเก็บอุปกรณ์ให้เรียบร้อยหลังเสร็จกิจกรรมการเรียนแล้ว 1.4 เป็นผู้ติดต่อกับครูเมื่อมีปัญหาภายในกลุ่ม 1.5 เป็นผู้อ่านบัตรเฉลยแต่ละกิจกรรมให้เพื่อนฟังเพื่อตรวจคำตอบ 2. เลขานุการกลุ่ม มีหน้าที่ดังนี้ 2.1 เป็นผู้แจกบัตรกิจกรรมและรวบรวมส่งครูเมื่อสมาชิกทุกคนทำเสร็จเรียบร้อยแล้ว 3. สมาชิกกลุ่มมีหน้าที่ดังนี้ 3.1 ปฏิบัติกิจกรรมด้วยความตั้งใจและให้ทันตามกำหนดโดยไม่ชวนเพื่อนคุยหรือเล่น 3.2 ศึกษาบัตรความรู้บัตรกิจกรรม และปรึกษาหารือกันภายในกลุ่ม 3.3 ร่วมอภิปรายและสรุปผลจาการปฏิบัติกิจกรรม 3.4 ช่วยเก็บวัสดุอุปกรณ์ สื่อการสอนต่างๆ ของกลุ่มตนเองใส่ซองให้เรียบร้อย นอกจาก บัตรกิจกรรมที่ต้องส่งครูตรวจ ให้รวบรวมส่งครู

ฉ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 1. ประเมินผลก่อนเรียน (Pretest) โดยนำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน จำนวนจริง วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 40 ข้อที่สร้างขึ้น ให้ผู้เรียนทำแล้วบันทึกคะแนนเก็บไว้เปรียบเทียบกับคะแนนทดสอบหลังเรียน 2. ประเมินผลระหว่างเรียนชุดการเรียนรู้ในแต่ละเล่ม ประกอบด้วย ประเมินบัตรกิจกรรม บัตรกิจกรรมเสริม แบบทดสอบหลังเรียนของแต่ละเล่ม โดยการประเมินของเพื่อนที่อยู่ในกลุ่ม ประเมิน โดยครู แล้วบันทึกคะแนน 3. ประเมินผลหลังเรียน (Posttest) เมื่อเสร็จสิ้นการทดลองใช้ชุดการเรียนรู้ทั้ง 5 เล่ม ด้วย แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนชุดเดียวกับที่ทดสอบก่อนเรียน แล้วบันทึกคะแนนเพื่อเปรียบเทียบ กับคะแนนก่อนเรียน และวัดความพึงพอใจของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ที่มีต่อชุดการเรียนรู้ วิชา คณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิค การสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 20 ข้อ

ช การจัดชั้นเรียน ในการจัดชั้นเรียนขณะใช้ชุดการเรียนรู้ แบ่งนักเรียนคละความสามารถออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 - 5 คน จำนวน 7 กลุ่ม ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาส ตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ป้ายนิเทศ ป้ายนิเทศ โต๊ะครู

ซ โครงสร้างเนื้อหาของชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้ รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ชุดการเรียนรู้ เนื้อหา วัน/เดือน/ปี จำนวนคาบ เล่มที่ 1 มารู้จำนวนจริง 1. ปฐมนิเทศ 2. จำนวนจริง 3. สมบัติของจำนวนจริง 4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง 1 พฤศจิกายน 2562 6 พฤศจิกายน 2562 7 พฤศจิกายน 2562 8 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 2 การแยก ตัวประกอบของ พหุนาม 1. สมบัติการแจกแจง 2. กำลังสองสมบูรณ์ 3. ผลต่างของกำลังสอง 4. พหุนามดีกรีสูงกว่าสอง 13 พฤศจิกายน 2562 14 พฤศจิกายน 2562 15 พฤศจิกายน 2562 20 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 3 สมการพหุนาม ตัวแปรเดียว 1. ทฤษฎีบทเศษเหลือ 2. การหารสังเคราะห์ 3. ทฤษฎีบทตัวประกอบ จำนวนเต็ม 4. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวน ตรรกยะ 5. การแก้สมการพหุนามตัวแปร เดียว 21 พฤศจิกายน 2562 22 พฤศจิกายน 2562 27 พฤศจิกายน 2562 28 พฤศจิกายน 2562 29 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 1 เล่มที่ 4 การไม่เท่ากัน ของจำนวนจริง 1. ช่วง 2. สมบัติการไม่เท่ากัน 3. การแก้อสมการเชิงเส้น 4. การแก้อสมการกำลังสอง 4 ธันวาคม 2562 6 ธันวาคม 2562 11 ธันวาคม 2562 12 ธันวาคม 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 5 สมการและ อสมการในรูปค่า สัมบูรณ์ 1. ค่าสัมบูรณ์ 2. การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ 3. การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ 13 ธันวาคม 2562 18 ธันวาคม 2562 19 ธันวาคม 2562 1 1 1 รวม 19

1 เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ด้านความรู้ (K) 1. อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ที่กำหนดให้ได้ 2. แสดงวิธีการหาคำตอบของจำนวนที่อยู่รูปค่าสัมบูรณ์ได้ 3. อธิบายวิธีการแก้สมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียวได้ถูกต้อง 4. อธิบายวิธีการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ที่กำหนดให้ได้ 5. ทำบัตรกิจกรรมได้ถูกต้องร้อยละ 75 ด้านทักษะกระบวนการ (P) 1. ทักษะการเชื่อมโยงความรู้เนื้อหาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ กับศาสตร์สาขาอื่น ๆ 2. ทักษะในการสื่อสาร การสื่อความหมายและ การนำเสนอ 3. ทักษะการให้เหตุผล ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์(A) 1. มีความรับผิดชอบต่องานที่มอบหมาย 2. มีความรอบคอบ 3. ทำงานร่วมกับผู้อื่นอย่างสร้างสรรค์ เล่มที่ 5 จุดประสงค์การเรียนรู้

2 คำชี้แจง : ให้นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามหัวข้อต่อไปนี้ 1. แบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม ๆ ละ 4 - 5 คน 2. ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมารับชุดการเรียนรู้ เรื่อง จำนวนจริง เล่มที่ 5 เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์จากครูผู้สอน 3. ศึกษาคู่มือและตรวจส่วนประกอบของชุดการเรียนรู้ก่อนทำกิจกรรม 4. ทำแบบทดสอบก่อนเรียน ศึกษาบัตรความรู้ ร่วมกันอภิปรายภายในกลุ่ม และปฏิบัติตาม บัตรกิจกรรมโดยระดมความคิด บันทึกผล ตัวแทนกลุ่มนำเสนอผลการปฏิบัติกิจกรรมหน้าชั้นเรียน 5. นักเรียนร่วมกันตรวจบัตรกิจกรรมว่าถูกต้องหรือไม่ ร่วมกันอภิปรายจนได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง ถ้าไม่ถูกให้ศึกษาความรู้ในบัตรความรู้ใหม่ แล้วแก้ไขให้ถูกต้อง โดยนักเรียนจะต้องมีความซื่อสัตย์ต่อตนเอง 6. นำผลการปฏิบัติกิจกรรมของแต่ละกลุ่มมาออกนำเสนอหน้าชั้นแล้วอภิปรายผลร่วมกัน 7. เมื่อทำกิจกรรมเรียบร้อยแล้วให้ทุกคนช่วยกันเก็บอุปกรณ์และชุดการเรียนรู้เข้าที่ให้เรียบร้อย 8. นักเรียนมีข้อสงสัยหรือข้อซักถามในการทำกิจกรรมสามารถซักถาม ครูผู้สอนได้ตลอดเวลา 9. ทำแบบทดสอบหลังเรียน บัตรคำสั่งเล่มที่ 5 เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์

3 บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ x 0 x x = − ให้นักเรียนศึกษาบทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ บทนิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ ค่าสัมบูรณ์ของ a จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a อ่านว่า ค่าสัมบูรณ์ของเอ ซึ่งนิยามดังนี้ 0 a a a = − หรือ a a a = − a เท่ากับระยะห่างระหว่าง a กับ 0 จากบทนิยามของค่าสัมบูรณ์ สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้ ทฤษฎีบท 1 เมื่อ x และ y เป็นจำนวนจริง 1. 2. 3. xy x y = 4. = , y 0 y x y x 5. x y y x −=− 6. 2 2 x x = 7. x + y x + y 7.1 ถ้า x กับ y มีเครื่องหมายเหมือนกันหรือบางตัวเป็นศูนย์ ( 0) xy แล้ว x y x y + = + 7.2 ถ้า x กับ y มีเครื่องหมายต่างกัน ( 0) xy แล้ว x y x y + + 8. x y x y − + 8.1 ถ้า x กับ y มีเครื่องหมายต่างกันหรือบางตัวเป็นศูนย์ ( 0) xy แล้ว x y x y − = + 8.2 ถ้า x กับ y มีเครื่องหมายเหมือนกัน ( 0) xy แล้ว x y x y − + เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ เมื่อ

4 ทฤษฎีบท 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า x a = แล้ว x a = และ x a = − ทฤษฎีบท 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก 1. x a ความหมายตรงกับ − a x a 2. x a ความหมายตรงกับ − a x a 3. x a ความหมายตรงกับ x a − หรือ x a 4. x a ความหมายตรงกับ x a − หรือ x a นอกจากนี้แล้วยังมีความจริงที่สำคัญมาก ๆ เกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ นักเรียนต้องจดจำให้ขึ้นใจ นั่น คือ ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า 1. 2 2 x y ก็ต่อเมื่อ x y 2. 2 2 x y ก็ต่อเมื่อ x y 3. ถ้า x y = แล้ว x y = หรือ x y = − 4. 2 2 2 x x x = = 5. 3 3 3 x x x = เมื่อ x R 6. 3 3 3 x x x = = เมื่อ x R+ 7. x = x 2 ลุยตัวอย่างเลยค่ะ

5 ตัวอย่างโจทย์ค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของ 1. − + − − 8 7 1 2. − − − − 8 7 1 วิธีทำ 1. − + − − 8 7 1 = 8 + 7 - 1 = 14 2. − − − − 8 7 1 = 8 - 7 - 1 = 0 . ตัวอย่างที่2 กำหนดให้ x = − 3 และ y = 7 จงหาค่าของ 1.1 4x 1.2 4x y − 1.3 4xy 1.4 y 4x หลักการทำคือ ถอดค่าสัมบูรณ์ก่อน ก็จะได้ x , y ที่ไม่ติดสัญลักษณ์ นั่นคือ x = − 3 = 3 , y = 7 = 7 วิธีทำ 1.1) 4x = 4 − 3 = 4(3) = 12 ข้อที่เหลือนักเรียนลองทำดูนะคะ 1.2) ……………………………………………………………………………………………………….......... ……………………………………………………………………………………………………………….. .……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………… 1.3) ……………………………………………………………………………………………………….......... ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………… 1.4) ………………………………………………………………………………………………………............ ……………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………… หัวใจน้อย ๆ ช่วยคิด

6 บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ กลุ่ม........................... ให้นักเรียนตอบคำถามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่มและ นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ 1. จงแสดงค่าของ x บนเส้นจำนวนเมื่อกำหนดให้ (ข้อละ 2 คะแนน) 1.1 x = 8 1.2 x < 8 1.3 x > 8 1.4 x 8 1.5 x 8 วิธีทำ 1.1 x = 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.2 x < 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.3 x > 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.4 x 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1.5 x 8 …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… คำชี้แจง

7 2. กำหนดให้ x = −4 และ y = 10 จงหาค่าของ (ข้อละ 5 คะแนน) 2.1 6y x − วิธีทำ ............................................................................................................................. ................ .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ .......................................................................................................................... ............................................. 2.2 2x y วิธีทำ ............................................................................................................................. ................ .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ .......................................................................................................................... ............................................. 2.3 3x y y + วิธีทำ ............................................................................................................................. ................ ....................................................................................................................................................... ................ .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5…………………………………………………………….. ง่ายมาก ๆ เลยค่ะ

8 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง ค่าสัมบูรณ์ ให้นักเรียนนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์มาใช้แสดงวิธีหาคำตอบ 1. จงหาค่าของ (ข้อละ 5 คะแนน) 1.1 |−12 + 8| + |5| − (2)|−3| วิธีทำ ............................................................................................................................. ................ .................................................................................................................. ..................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................... ........ .......................................................................................................................... ........................................... 1.2 (−|6| 2 |−1|) − |12| วิธีทำ ............................................................................................................................. ................ ................................................................................................................................................................... .... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... 2. จงเติมคำตอบให้ถูกต้อง เมื่อ x y R , (ข้อละ 1 คะแนน) 2.1 − x = …………………………………………………………………………………….....………………… 2.2 xy = …………………………………………………………………………………………..……………… 2.3 y x = …………………………………………………………………………………………………………… 2.4 x − y = ………………………………………………………………………………………………..……….... 2.5 x 2 = …………………………………………………………………………………………………………… คำชี้แจง ชื่อ...................................................................................ชั้น.......................เลขที่..............................

9 บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ รูปแบบของค่าสัมบูรณ์ในการแก้สมการ ถ้า p x( ) = a โดยที่ a 0 แล้ว p x a ( ) = หรือ p x a ( ) = − วิธีการแก้สมการค่าสัมบูรณ์ 1. โดยใช้ทฤษฎีบท 2. โดยยกกำลังสองทั้งสมการ โจทย์การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่ 1. จงหาเซตคำตอบของสมการค่าสัมบูรณ์ x x − = + 1 2 4 วิธีทำ วิธีที่ 1 โดยใช้ทฤษฎีบท จากทฤษฎีบท 2 x a = แล้ว x a = และ x a = − จาก x x − = + 1 2 4 จะได้ x x − = + 1 2 4 หรือ x x − = − + 1 (2 4) 2x - x = -1-4 หรือ x x + = − + 2 4 1 x = -5 หรือ 3x = -3 x = -1 x = − − 5, 1 วิธีที่ 2 โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง x x − = + 1 2 4 2 2 x x − = + 1 (2 4) 2 2 ( 1) (2 4) x x − = + (จัดรูปกำลังสองสมบูรณ์) 2 2 x x x x − + = + + 2 1 4 16 16 (จัดสมการพหุนามดีกรีสอง) 2 3 18 15 0 x x + + = (แยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสอง) (3 3)( 5) 0 x x + + = x =−5 หรือ x =−1

10 ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย -5 จะได้ − − = − + 5 1 2( 5) 4 6 = -6 เป็นเท็จ แทน x ด้วย -1 จะได้ − − = − + 1 1 2( 1) 4 2 = 2 เป็นจริง ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ x x − = + 1 2 4 คือ −1 ตอบ −1 **** หมายเหตุ ในการแก้สมการในรูปค่าสัมบูรณ์ควรตรวจสอบคำตอบทุกครั้ง เพราะค่าที่ได้จากการแก้สมการอาจไม่ใช่คำตอบของสมการทั้งหมด ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 4 2 4 x x + = + วิธีทำ วิธีที่ 1 โดยใช้ทฤษฎีบท จากทฤษฎีบท 2 x a = แล้ว x a = และ x a = − จาก 2 4 2 4 x x + = + จะได้ 2 4 2 4 x x + = + หรือ 2 4 (2 4) x x + = − + x R หรือ 2 4 2 4 x x + = − − 4x = -8 x = -2 ตรวจคำตอบ แทน x ด้วย -2 จะได้ 2( 2) 4 2( 2) 4 − + = − + 0 = 0 เป็นจริง ดังนั้น คำตอบของสมการ 2 4 2 4 x x + = + คือ x −2 ตอบ x −2 ไม่ยากเลยใช่ไหมคะเพื่อนๆ

11 บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ กลุ่ม........................... ให้นักเรียนแก้สมการค่าสัมบูรณ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่มและ นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ 1 . จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x − 3 = x + 4 (ใช้ทั้งสองวิธี 10 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. ....................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................. คำชี้แจง

12 3. จงแก้สมการค่าสัมบูรณ์ x − 6 = 10 (เลือกวิธีที่ถนัด 5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................. ..................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………..

13 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ ให้นักเรียนตอบคำถาม แสดงวิธีเพื่อหาคำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 3 2 5 3 x x + − = ( 5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................... ................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ................................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... .............................................................................................................. ......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................. .......... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... . คำชี้แจง

14 2. จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 2 x x x x − + = − + 7 10 7 10 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ................................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... .............................................................................................................. ......................................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................. .......... ......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................. ..................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .................................. ชื่อ...................................................................................ชั้น.......................เลขที่..............................

15 บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ บทนิยาม กำหนดให้ a R ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย | a | โดยที่ ...... 0 0........ 0 ...... 0 a a a a a a = = − ทฤษฎีบท เมื่อ x , a R+ และ b 0 1. x มีความหมายว่า - x 2. x มีความหมายว่า - x 3. x มีความหมายว่า x - หรือ x 4. x มีความหมายว่า x - หรือ x 5. | x - | b มีความหมายว่า - b x + b การพิจารณาอสมการในรูป x และ x เมื่อ เป็นจำนวนจริงบวก โดยอาศัยบทนิยามของค่าสัมบูรณ์และใช้เส้นจำนวนเป็นเครื่องช่วย จะได้ x หมายถึง จุดที่แทน x อยู่ห่างจากจุดที่แทน 0 น้อยกว่า หน่วย นั้นคือ x มีความหมายตรงกับอสมการ - x และ x ซึ่งเขียนรวมเป็น - x x หมายถึง จุดที่แทน x อยู่ห่างจากจุดที่แทน 0 น้อยกว่าหรือเท่ากับ หน่วย นั้นคือ x มีความหมายตรงกับอสมการ - a x และ x ซึ่งเขียนรวมเป็น - x ตัวอย่างเขียนแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี้ จาก x 2 จุดที่แทน x แสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี้ ซึ่งมีความหมายเหมือน -2 x 2 ### เตือนความจำ สัญลักษณ์ <, > แทนจุดโปร่ง และ , แทนจุดทึบ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

16 การพิจารณาอสมการในรูป x > และ x เมื่อ เป็นจำนวนจริงบวก โดยอาศัยบทนิยามของค่าสัมบูรณ์และใช้เส้นจำนวนเป็นเครื่องช่วย จะได้ x > หมายถึง จุดที่แทน x อยู่ห่างจากจุดที่แทน 0 มากกว่า หน่วย นั้นคือ x > มีความหมายตรงกับอสมการ x < - และ x > x หมายถึง จุดที่แทน x อยู่ห่างจากจุดที่แทน 0 มากกว่าหรือเท่ากับ หน่วย นั้นคือ x มีความหมายตรงกับอสมการ - x และ x ซึ่งเขียนรวมเป็น ตัวอย่างเขียนแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี้ จาก x > 2 จุดที่แทน x แสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี้ ซึ่งความหมายเหมือน x < -2 หรือ x > 2 ตัวอย่างการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่าง 1. จงหาเซตคำตอบของอสมการค่าสัมบูรณ์ 2 5 7 x − วิธีทำ จาก 2 5 7 x − จะได้ − − 7 2 5 7 x ( 7) 5 2 5 5 7 5 − + − + + x -2 < 2x < 12 -1 < x < 6 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ (-1, 6) เขียนกราฟแสดงคำตอบได้ ตอบ x x − 1 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 6

17 ตัวอย่าง 2 จงหาเซตคำตอบของอสมการ 3 4 4 x x + + วิธีทำ จาก 3 4 4 x x + + − + + + (4 ) 3 4 4 x x x แยกคิดเป็น 2 กรณี − + + (4 ) 3 4 x x และ 3 4 4 x x ++ − − + 4 3 4 x x 3 4 4 x x −− 4 8 2 2 x x x − − − 2 0 0 x x x − − 2, , 0 ) ( จะได้ x − 2, 0 ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการ คือ −2, 0 หรือ x x − 2 0 ตอบ −2, 0 หรือ x x − 2 0 3. จงหาเซตคำตอบของสมการ 2 1 2 1 x x + − วิธีทำ จากโจทย์ 2 1 2 1 x x + − 2 2 2 1 2 1 x x + − 2 2 (2 1) (2 1) x x + − 2 2 4 4 1 4 4 1 x x x x + + − + 8 0 x x 0 ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการคือ (−,0) ตอบ (−,0) หรือ x x 0 หัวใจน้อย ๆ ช่วยคิด และ คือ ไม่ยากเลยใช่ไหมคะเพื่อน ๆ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

18 บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ กลุ่ม........................... ให้นักเรียนแก้อสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่ม และ นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ 1. จงแก้อสมการ 6 − 4x < 8 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ตอบ............................................................................................................................. ................. 2. จงแก้อสมการ 2x +1 3x + 2 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................... ................................ ................................................................................................... .................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .................................................................................................................................................. ..................... .............................................................................................................. ......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ตอบ ............................................................................................................................. .............. ชื่อกลุ่ม...........................................สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5…………………………………………………………….. คำชี้แจง

19 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ ให้นักเรียนแสดงวิธีทำเพื่อแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์(ข้อละ 5 คะแนน) 1. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 2 4 3 x x + + วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ....................................................................................................................................................... ................ .............................................................................................................................................................. ......... 2. จงหาเซตคำตอบของอสมการ x x − + 4 1 วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................ ........... ........................................................................................................................ ............................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... .............. คำชี้แจง

20 3. จงหาเซตคำตอบของอสมการ 3 6 6 x x − + (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................... ................................. .................................................................................................. ..................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................. ...................... ............................................................................................................. .......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................ ........... ........................................................................................................................ ............................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ...................................................................................................................................................................... . ....................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................. .......................................... ตอบ ............................................................................................................................. .............. ชื่อ..................................................................................ชั้น.......................เลขที่.............................. เก่งมากเลยค่ะ

21 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ 1. จงทำเครื่องหมายกากบาท ( ) × ทับตัวอักษรหน้าคำตอบที่ถูกต้อง 2. ใช้เวลาในการทำข้อสอบ 15 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน 1. ข้อใดไม่ถูกต้องเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์ 1. x + y = x + y 2. x = − x 3. xy = x y 4. y x y x = , ≠ 0 2. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง 1. อสมการ x < b ความหมายเดียวกับ − b x b 2. อสมการ x b ความหมายเดียวกับ − b x b 3. อสมการ x > b ความหมายเดียวกับ x b 4. อสมการ x b ความหมายเดียวกับ “ ≤ − หรือ ≥ ” 3. เซตคำตอบของสมการ 3 1 − = x คือข้อใด 1. 2, 2− 2. 2, 4 3. 2,3,4,−4 4. 2,−2,4,−4 4. ข้อใดคือเซตคำตอบของสมการ x + 5 = 8 1. {3,−13} 2. {xx −13 หรือ x 3} 3. {x −13 x 3} 4. R – {3, –13} 5. เซตคำตอบของอสมการ 2 1 11 x − คือข้อใด 1. (-5, 6) 2. [-5, 6] 3. (-5, 6] 4. [-5, 6) คำชี้แจง

22 6. ข้อความต่อไปนี้ข้อใดเป็นเท็จ เมื่อ a b, เป็นจำนวนจริง 1. b b 1 1 = , ≠ 0 2. a 0 3. 2 2 a a = 4. | + | ≤ || + || 7. เซตคำตอบของสมการ 3x + 5 = 14 คือข้อใด 1. 3 2. − 3 19 3, 3. − 3 4. 3 19 3, 8. ค่าของ x ข้อใดที่ทำให้ 2 1 5 x − เป็นจริง 1. x > 3 2. x < -2 3. -2 < x < 3 4. x < -2 หรือ x > 3 9. เซตคำตอบของอสมการ | + 1| ≤ 7 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้ 1. (-10, 4) 2. (-5, 8) 3. (3, 8) 4. (-10, -3) 10. เซตคำตอบของอสมการ 2 1 4 x x + นี้คือข้อใด 1. 2. (2, 3) 3. (-1, 2) 4. (−∞, − 1 3 )

23 กมล เอกไทยเจริญ. (2544). คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4-6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. ________. (2552). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคิดลัด คู่มือสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม. 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. ธนวัฒน์ (สันติ ) สนทราพรพล. (2551). แบบฝึกหัดและเทคนิคคิดโจทย์เร็ว คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : ธรรมบัณฑิต. เลิศ สิทธิโกศล. (2554). คณิตศาสตร์ ม. 4-6 เล่ม 1 (เพิ่มเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2562). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. สุคนธ์ สินธพานนท์. (2551). นวัตกรรมการเรียนการสอนเพื่อพัฒนาคุณภาพของเยาวชน. พิมพ์ ครั้งที่ 3. กรุงเทพฯ. ศุภกิจ เฉลิมวิสุตม์กุล. (2550). เทคนิคคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : แม็ค. บรรณานุกรม