เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง

คู่มื คู่ อ มื นัก นั เรีย รี น เล่มที่ 1 เรื่อ รื่ ง มารู้จั รู้ ก จั จำ นวนจริงริ ชุดการเรีย รี นรู้วิชวิาคณิตณิศาสตร์ปร์ระยุกต์ เรื่อ รื่ ง จำ นวนจริงริ โดยใช้รู ช้ ปแบบการสอน แบบสืบ สื เสาะหาความรู้ร่ รู้ ว ร่ มกับเทคนิคนิ การสอนแบบเพื่อ พื่ นคู่คิ คู่คิด สำ หรับรันักนัเรีย รี น ชั้นชั้มัธมัยมศึกษาปีที่ ปี ที่ 4 นางณัฐณัฌา พันพัธุ์สุธุ์ว สุ รรณ ครูวิทวิยฐานะ ครูชำ นาญการพิเพิศษ โรงเรียรีนมัธมัยมศึกษาเทศบาล ๓ “ยุติธรรมวิทวิยา” สำ นักการศึกษาเทศบาลนครสกลนคร

ชุดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่องจำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มที่ 1 เรื่อง มารู้จักจำนวนจริง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) เรียบเรียงโดย นางณัฐฌา พันธุ์สุวรรณ ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมศึกษาเทศบาล ๓ “ยุติธรรมวิทยา” สำนักการศึกษาเทศบาลนครสกลนคร

ก คำนำ ก ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบ สืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มนี้ จัดขึ้นเพื่อให้ครูผู้สอนเกิดความเข้าใจ และสามารถนำชุดการเรียนรู้ที่สร้างขึ้นไปใช้อย่างมีประสิทธิภาพ และประสิทธิผล ผู้จัดทำได้วิเคราะห์หลักการ จุดมุ่งหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรู้ และสาระการ เรียนรู้ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตลอดจนศึกษาแนวคิดจิตวิทยาและทฤษฎีที่เกี่ยวข้องในการสร้างชุดการ เรียนรู้ให้มีความเหมาะสมสอดคล้องกับความรู้ ความสามารถ ความสนใจ และการนำไปใช้ให้เกิด ประโยชน์ ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ผู้จัดทำได้ใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด เพื่อเป็นการพัฒนานักเรียน ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 นี้ มีทั้งหมด 5 เล่มประกอบด้วย เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง เล่มที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว เล่มที่ 4 การไม่เท่ากันของจำนวนจริง เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้ รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 4 เอื้อประโยชน์ต่อครูหรือผู้สนใจในการนำไปพัฒนากระบวนการเรียนรู้ในกลุ่มสาระ คณิตศาสตร์ เพื่อนำไปสู่การพัฒนาคุณภาพนักเรียนตามเป้าหมายของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ทุกประการ ณัฐฌา พันธุ์สุวรรณ

ข ข สารบัญ เนื้อหา หน้า คำนำ……………………………………………………………………………………………………... ก สารบัญ................................................................................................................ ข คำชี้แจง............................................................................................................... ค ขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้............................................................................ ง บทบาทของนักเรียน............................................................................................. จ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้......................................................................... ฉ การจัดชั้นเรียน.................................................................................................... ช โครงสร้างเนื้อหาของชุดการเรียนรู้………….......................................................... ซ จุดประสงค์การเรียนรู้........................................................................................... 1 บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง......................................................................... 2 บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง....................................................................... 10 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง.............................................................. 12 บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง......................................................... 13 บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง...................................................... 18 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง.............................................. 20 บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง……………………………………… 21 บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง……………………………………. 26 บัตรบัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง……………………… 27 แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 1 เรื่อง มารู้จักจำนวนจริง....................................... 29 บรรณานุกรม........................................................................................................ 31

ค ค คำชี้แจง ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบ สืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ประกอบด้วยชุดการเรียนรู้จำนวน 5 เล่ม ดังนี้ เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง เล่มที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว เล่มที่ 4 การไม่เท่ากันของจำนวนจริง เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ สื่อ / อุปกรณ์ประจำชุดการเรียนรู้มีดังนี้ บัตรคำสั่งเล่มที่ 1 เรื่อง มารู้จักจำนวนจริง บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง บัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 1 เรื่อง มารู้จักจำนวนจริง บรรณานุกรม ชุดการเรียนรู้เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง

ง ง ขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้ นักเรียนจะต้องศึกษาขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้ให้เข้าใจและปฏิบัติตามลำดับขั้นตอน การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนดังนี้ 1. นักเรียนเข้ากลุ่มตามที่แบ่งไว้แล้ว 2. นักเรียนรับเอกสารจากครูผู้สอนและศึกษาคำสั่ง 3. ครูอธิบายบทบาทของนักเรียนที่เรียนด้วยชุดการเรียนรู้ 4. ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนซักถามข้อสงสัยในการเรียนด้วยชุดการเรียนรู้ 5. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามรายละเอียดในเอกสารชุดการเรียนรู้ โดยเริ่มจากการศึกษา คำสั่งจากนั้นปฏิบัติตาม 6. ครูอำนวยความสะดวกและจัดกิจกรรมเสริมตามที่กำหนดในแผนการจัดการเรียนรู้ 7. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสาระความรู้ที่ได้

จจ บทบาทของนักเรียน นักเรียนทราบถึงบทบาทของตน ดังนี้ 1. หัวหน้ากลุ่มมีหน้าที่ดังนี้ 1.1 เป็นผู้นำในการปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม โดยทำหน้าที่อ่านบัตรกิจกรรมเพื่อให้ทุกคน ทำตามคำชี้แจงในการประกอบกิจกรรม ให้เป็นไปตามขั้นตอน 1.2 ควบคุมดูแลการทำงาน หรือประกอบกิจกรรมภายในกลุ่มให้เป็นระเบียบเรียบร้อย ไม่ส่งเสียงดังรบกวนกลุ่มอื่น 1.3 ตรวจเช็คการจัดเก็บอุปกรณ์ให้เรียบร้อยหลังเสร็จกิจกรรมการเรียนแล้ว 1.4 เป็นผู้ติดต่อกับครูเมื่อมีปัญหาภายในกลุ่ม 1.5 เป็นผู้อ่านบัตรเฉลยแต่ละกิจกรรมให้เพื่อนฟังเพื่อตรวจคำตอบ 2. เลขานุการกลุ่ม มีหน้าที่ดังนี้ 2.1 เป็นผู้แจกบัตรกิจกรรมและรวบรวมส่งครูเมื่อสมาชิกทุกคนทำเสร็จเรียบร้อยแล้ว 3. สมาชิกกลุ่มมีหน้าที่ดังนี้ 3.1 ปฏิบัติกิจกรรมด้วยความตั้งใจและให้ทันตามกำหนดโดยไม่ชวนเพื่อนคุยหรือเล่น 3.2 ศึกษาบัตรความรู้บัตรกิจกรรม และปรึกษาหารือกันภายในกลุ่ม 3.3 ร่วมอภิปรายและสรุปผลจาการปฏิบัติกิจกรรม 3.4 ช่วยเก็บวัสดุอุปกรณ์ สื่อการสอนต่างๆ ของกลุ่มตนเองใส่ซองให้เรียบร้อย นอกจาก บัตรกิจกรรมที่ต้องส่งครูตรวจ ให้รวบรวมส่งครู

ฉ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ ฉ 1. ประเมินผลก่อนเรียน (Pretest) โดยนำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน จำนวนจริง วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 40 ข้อที่สร้างขึ้น ให้ผู้เรียนทำแล้วบันทึกคะแนนเก็บไว้เปรียบเทียบกับคะแนนทดสอบหลังเรียน 2. ประเมินผลระหว่างเรียนชุดการเรียนรู้ในแต่ละเล่ม ประกอบด้วย ประเมินบัตรกิจกรรม บัตรกิจกรรมเสริม แบบทดสอบหลังเรียนของแต่ละเล่ม โดยการประเมินของเพื่อนที่อยู่ในกลุ่ม ประเมิน โดยครู แล้วบันทึกคะแนน 3. ประเมินผลหลังเรียน (Posttest) เมื่อเสร็จสิ้นการทดลองใช้ชุดการเรียนรู้ทั้ง 5 เล่ม ด้วย แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนชุดเดียวกับที่ทดสอบก่อนเรียน แล้วบันทึกคะแนนเพื่อเปรียบเทียบ กับคะแนนก่อนเรียน และวัดความพึงพอใจของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ที่มีต่อชุดการเรียนรู้ วิชา คณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิค การสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 20 ข้อ

ชช การจัดชั้นเรียน ในการจัดชั้นเรียนขณะใช้ชุดการเรียนรู้ แบ่งนักเรียนคละความสามารถออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 - 5 คน จำนวน 7 กลุ่ม ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาส ตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ป้ายนิเทศ ป้ายนิเทศ โต๊ะครู

ซซ โครงสร้างเนื้อหาของชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้ รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ชุดการเรียนรู้ เนื้อหา วัน/เดือน/ปี จำนวนคาบ เล่มที่ 1 มารู้จำนวนจริง 1. ปฐมนิเทศ 2. จำนวนจริง 3. สมบัติของจำนวนจริง 4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง 1 พฤศจิกายน 2562 6 พฤศจิกายน 2562 7 พฤศจิกายน 2562 8 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 2 การแยก ตัวประกอบของ พหุนาม 1. สมบัติการแจกแจง 2. กำลังสองสมบูรณ์ 3. ผลต่างของกำลังสอง 4. พหุนามดีกรีสูงกว่าสอง 13 พฤศจิกายน 2562 14 พฤศจิกายน 2562 15 พฤศจิกายน 2562 20 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 3 สมการพหุนาม ตัวแปรเดียว 1. ทฤษฎีบทเศษเหลือ 2. การหารสังเคราะห์ 3. ทฤษฎีบทตัวประกอบ จำนวนเต็ม 4. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวน ตรรกยะ 5. การแก้สมการพหุนามตัวแปร เดียว 21 พฤศจิกายน 2562 22 พฤศจิกายน 2562 27 พฤศจิกายน 2562 28 พฤศจิกายน 2562 29 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 1 เล่มที่ 4 การไม่เท่ากัน ของจำนวนจริง 1. ช่วง 2. สมบัติการไม่เท่ากัน 3. การแก้อสมการเชิงเส้น 4. การแก้อสมการกำลังสอง 4 ธันวาคม 2562 6 ธันวาคม 2562 11 ธันวาคม 2562 12 ธันวาคม 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 5 สมการและ อสมการในรูปค่า สัมบูรณ์ 1. ค่าสัมบูรณ์ 2. การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ 3. การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ 13 ธันวาคม 2562 18 ธันวาคม 2562 19 ธันวาคม 2562 1 1 1 รวม 19

1 1. ด้านความรู้ (K) 1.1 อธิบายความหมายของจำนวนจริง และจำแนกได้ว่าจำนวนจริงแต่ละ จำนวนที่กำหนดให้เป็นเซตของจำนวนใด 1.2 อธิบายสมบัติของจำนวนจริงได้ 1.3 นำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 1.4 อธิบายทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริงได้ 1.5 นำทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริงไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ 1.6 ทำบัตรกิจกรรมได้ถูกต้องร้อยละ 75 2. ด้านทักษะกระบวนการ (P) 2.1 ทักษะการเชื่อมโยงความรู้เนื้อหาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ กับศาสตร์ สาขาอื่น ๆ 2.2 ทักษะในการสื่อสาร การสื่อความหมายและ การนำเสนอ 2.3 ทักษะการให้เหตุผล 3. ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์(A) 3.1 มีความรับผิดชอบต่องานที่มอบหมาย 3.2 มีความรอบคอบ 3.3 ทำงานร่วมกับผู้อื่นอย่างสร้างสรรค์ เล่มที่ 1 เรื่อง มารู้จักจำนวนจริง จุดประสงค์การเรียนรู้

2 บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง มารู้จักจำนวนจริง 1. วิวัฒนาการของจำนวนและตัวเลข ยุคอียิปต์ อียิปต์โบราณเป็นอารยธรรมหนึ่งที่เก่าแก่ที่สุดในโลก และเป็นอารยธรรมแรกที่ส่งเสริม วิทยาศาสตร์ ชาวอียิปต์โบราณให้ความสำคัญอย่างมากกับการจดบันทึก และการสื่อสารจึงได้ประดิษฐ์ กระดาษปาปิรุส (papyrus) ขึ้น ที่มีอายุ 3,850 ปี กระดาษปาปิรุสทำมาจากต้นกกที่เติบโตอย่าง แพร่หลายในแถบลุ่มแม่น้ำไนล์ในพีระมิดได้แสดงให้เราเห็นว่า ชาวอียิปต์รู้จักเลขเศษส่วน รู้วิธีแบ่ง ขนมปังในอัตราส่วนต่าง ๆ รู้วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม รู้วิธีหาปริมาตรของทรงกระบอก เมื่อมีการกำหนด ความยาวเส้นผ่าศูนย์กลาง และส่วนสูงของทรงกระบอกมาให้ นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์อียิปต์ยังได้พบว่า อัตราส่วนระหว่างความยาวของเส้นรอบวง/เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ มีค่า 256/81 หรือ 3.16 ชาวอียิปต์โบราณสื่อความหมายด้วยอักษรภาพที่เรียกว่า ไฮโรกลิฟ (Hieroglyph) ซึ่งรวมไปถึงตัวเลขด้วย อักษรภาพแทนตัวเลขต่าง ๆ คนสมัยโบราณมีวิธีตอบคำถามที่ว่า "เท่าไร" ได้ ถึงแม้ว่าเขาจะยังไม่มีคำที่ใช้ เรียกจำนวน และยังไม่มีสัญลักษณ์ ที่เขียนแทนจำนวนเขาใช้วิธีขีดรอยบนกิ่งไม้ หรือใช้กิ่งไม้เล็ก ๆ แทน สิ่งที่จะต้องนับทีละสิ่งต่อมาเมื่อคนรู้จักบันทึกเรื่องราวเพื่อช่วยความจำ เขาจึงเขียนสัญลักษณ์ขึ้นสำหรับ แทนจำนวน ตัวเลขอียิปต์ ในสมัยโบราณ อียิปต์เป็นชาติที่เจริญรุ่งเรือง ทางด้านศิลปวิทยาการ ก่อนชาติอื่น ๆ ชาว อียิปต์รู้จักบันทึกจำนวน โดยใช้สัญลักษณ์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

3 ยุคบาบิโลน (Babylon) ชาวบาบิโลน (ประเทศอิรักในปัจจุบัน) และชาวอียิปต์รู้จักเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวน รู้จัก เลข เศษส่วน รู้จักใช้ลูกคิดบวก ลบ คูณ หารตัวเลข ความรู้เกี่ยวกับจำนวนได้นำมาใช้ในการติดต่อค้าขาย การเก็บภาษี การรู้จักทำปฏิทิน และการรู้จักใช้มาตรฐานเกี่ยวกับเวลา เช่น 1 ปีมี 365 วัน 1 วันมี 24 ชั่วโมง 1 ชั่วโมงมี 60 นาที 1 นาทีมี 60 วินาที ความรู้ทางเรขาคณิต เช่น การวัดระยะทาง การวัดมุม นำมาใช้ในการก่อสร้างและการรังวัดที่ดิน เขาสนใจคณิตศาสตร์ในด้านนำไปใช้ให้เป็นประโยชน์ได้เท่านั้น จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดของอารยธรรมมนุษย์ในยุคบาบิโลน ซึ่งอยู่ในช่วงเวลาประมาณ ห้าพันปีที่แล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมที่เก่าแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้ำยูเฟรติส ได้ใช้ตัวเลขการนับด้วยฐาน หกสิบ และแบ่งหน่วยเวลาเป็นมาตรา 60 ดังที่เราใช้กันมาในเรื่องเวลา และใช้แบ่งวงกลมเป็นองศา ฟิลิปดา เป็นต้น ข้อสังเกต ตัวเลขบาบิโลน เป็นตัวเลขในระบบฐานหกสิบ เมื่อนำสัญลักษณ์ตัวเดิมไปวางไว้ในตำแหน่งหรือ หลักที่ต่างกัน จะได้ค่าต่างกัน เนื่องจากชาวบ้านบาบิโลนยังไม่รู้จักใช้สัญลักษณ์ศูนย์ จึงมีข้อยุ่งยากของ การใช้ตัวเลขในระบบนี้ คือถ้าจำนวนในหลักใดขาดหายไป จะทำให้เกิดความสับสนในการอ่านและ การเขียน ชาวบาบิโลนบันทึกเรื่องราวลงบนแผ่นดินเหนียวสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวนจึงมีรูปร่าง ดังนี้ l แทน จำนวนหนึ่ง < แทน จำนวนสิบ ตัวเลขบาบิโลน เมื่อประมาณ ๓,๐๐๐ ปีก่อนคริสต์ศักราช ประเทศบาบิโลนเนียตั้งอยู่ทางตะวันออกของ ทะเลเมดิเตอร์เรเนียน ปัจจุบัน เป็นที่ตั้งของประเทศซีเรีย และ เลบานอน ในกลางศตวรรษที่ ๑๙ นัก โบราณคดีได้ขุดพบแผ่นอิฐมากกว่าห้าหมื่นแผ่น ใกล้ๆ กับเมืองนิปเปอร์ (Nippur) และ ได้นำแผ่นอิฐ เหล่านี้ไปเก็บไว้ในพิพิธภัณฑ์ใหญ่ๆ ที่กรุงปารีส ประเทศฝรั่งเศส ที่กรุงลอนดอน ประเทศอังกฤษ และ กรุงเบอร์ลิน ประเทศเยอรมนี รวมทั้งสถานที่แสดงวัตถุโบราณที่เยล โคลัมเบีย และ ที่มหาวิทยาลัย เพนซิลวาเนียในสหรัฐอเมริกา จากแผ่นอิฐ ทำให้ทราบเรื่องราวของชาวบาบิโลน ชาวบาบิโลนถือตำแหน่งของสัญลักษณ์เป็นสำคัญ ถ้าสลับที่สัญลักษณ์ จะทำให้ได้จำนวนที่มี ค่าต่างกัน ดังเช่น <|| ไม่เท่ากับ |<| จำนวนแรกแทนสิบสอง จำนวนหลังแทนเจ็ดสิบเอ็ด ตัวเลขกรีก ในสมัยต้น ๆ ชาวกรีกใช้สัญลักษณ์แทนจำนวนดังนี้

4 ในสมัยต่อมา กรีกเปลี่ยนมาใช้ตัวอักษร ซึ่งมียี่สิบเอ็ดตัว แทนจำนวนโดยใช้อักษรเก้าตัวแรก แทนหนึ่งถึงเก้า เก้าตัวถัดไป แทนสิบถึงเก้าสิบ และ เก้าตัวสุดท้ายแทนหนึ่งร้อยถึงเก้าร้อย ดังนี้ ตัวเลขโรมัน ในสมัยต้นๆ ชาวโรมันใช้สัญลักษณ์เขียนแทนจำนวน ดังนี้ ตัวเลขโรมันที่ใช้ในปัจจุบัน แทนจำนวน เลขอารบิก เลขโรมัน เลขอารบิก เลขโรมัน เลขอารบิก เลขโรมัน 1 I 20 XX 400 CD 2 II 30 XXX 500 D 3 III 40 XL 600 DC 4 IV 50 L 700 DCC 5 V 60 LX 800 DCCC 6 VI 70 LXX 900 CM 7 VII 80 LXXX 1,000 M 8 VIII 90 XC 4,000 ___ IV 9 IX 100 C 5,000 V 10 X 200 CC 10,000 X

5 มุมเรียนรู้เพิ่มเติม ตัวเลขอารบิก สัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวน เรียกว่า ตัวเลข ตัวเลขที่ใช้ในปัจจุบันทั่วโลก เป็นตัวเลข ฮินดูอารบิกได้แก่ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 ตัวเลขฮินดูอารบิกนี้ชาวฮินดูเป็นผู้คิด ชาวอาหรับเป็นผู้นำไป เผยแพร่ คนไทยมีตัวเลขไทย ในสมัยพ่อขุนรามคำแหงมหาราช และ ได้ดัดแปลงเพิ่มเติมจนถึง ปัจจุบัน ปรากฏตามหลักฐานดังนี้ ที่มา : https://www.youtube.com/watch?v=yg-sRkXbs4M 2. จำนวนจริง (Real Numbers) ในปัจจุบันมีจำนวนเพียง 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวน อตรรกยะ ผลรวมหรือผลผนวกของเซตทั้งสองนี้เรียกว่า เซตของจำนวนจริง เขียนแทนด้วย R เซตของจำนวนจริง ประกอบด้วย 2.1 จำนวนตรรกยะ (Relation Numbers) จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูป a b โดยที่ a b, เป็นจำนวนเต็ม และ b 0 และเรียก a b ว่า เศษส่วน (Fraction) เรียก a ว่า ตัวเศษ (Numerator) และเรียก b ว่า ตัวส่วน (Denominator) นั่นคือจำนวนตรรกยะ จะประกอบด้วยจำนวนเต็ม และเศษส่วน เช่น -7, 3 5 , 20 เป็นต้น เซตของจำนวนตรรกยะ จะมีสมบัติภายใต้การบวก และการคูณ เช่นเดียวกับเซตของ จำนวนเต็ม กล่าวคือ เซตของจำนวนตรรกยะ มีสมบัติปิด สมบัติการสลับที่ สมบัติการจัดหมู่ สมบัติ การแจกแจง สมบัติการมีเอกลักษณ์ สมบัติการมีตัวผกผัน

6 เนื่องจากจำนวนตรรกยะอาจเป็นทั้งจำนวนเต็ม และเศษส่วน ดังนั้นจำนวนตรรกยะอาจ เขียนได้ในรูปของทศนิยม และอาจอยู่ในรูปทศนิยมรู้จบ หรือทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำกันเป็นชุดก็ได้ เช่น 3 5 = 0.6 (ทศนิยมรู้จบ), 4 3 = 1.333... (ทศนิยมไม่รู้จบ) NOTE จำนวนต่อไปนี้เป็น จำนวนตรรกยะ 1. จำนวนเต็ม ได้แก่ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ,... 2. จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ เช่น 1 3 , 5 6 , 3 5 3. จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 1.14, ̇ 3. 0̇5̇ 2.2 จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers) จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วนได้ เช่น a b โดยที่ a b, เป็นจำนวนเต็ม และ b 0 รวมถึงทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ รากที่ถอดได้ไม่ลงตัว หรือเป็น จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำแนกได้ดังนี้ 2.2.1 จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น 1.1707168…, 0.4455235… 2.2.2 จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์และไม่สามารถหาค่าให้เป็นจำนวนตรรกยะได้ เช่น 2 1.41421... = 6 2.71828... = 2.2.3 จำนวน e = 2.71828... = 3.14159...

7 2.3 จำนวนเต็ม (Integer Numbers) จำนวนเต็ม คือ จำนวนที่ไม่มีเศษส่วนและทศนิยมรวมอยู่ในจำนวนนั้น จำนวนเต็ม ประกอบด้วย สัญลักษณ์ I I I 0 + − = แทนเซตของจำนวนเต็ม I 1, 2,3,... + = แทนเซตของจำนวนเต็มบวก I 1, 2, 3,... − = − − − แทนเซตของจำนวนเต็มลบ N I + = ( N เป็นจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติ) 2.4 จำนวนเต็มบวก และศูนย์ (Whole Numbers) ให้ W แทนเซตของจำนวนเต็มบวก และศูนย์ ดังนั้น W = { 0, 1, 2, 3, …} สำหรับสมบัติการบวกและการคูณ จะเป็นเช่นเดียวกับจำนวนนับ แต่มีจำนวนศูนย์ โดยมีสมบัติดังนี้ ให้ a W จะได้ว่า 1. a + 0 = 0 + a = a 2. a – 0 = a 3. 0 a = 0 4. 0 a ไม่สามารถหาคำตอบได้ซึ่งนั่น ให้นิยามไม่ได้เพราะโดยธรรมชาติไม่มีการหาร จำนวนใด ๆ ด้วยศูนย์ ซึ่งเป็นจำนวน จำนวนหนึ่ง 5. ให้ 0 0 = r จะได้ r . 0 = 0 ดังนั้น r จะเป็นจำนวนใด ๆ ก็ได้ทั้งนั้น หมายความว่า 0 0 มีค่าไม่แน่นอน ผลหารในกรณีนี้ ไม่เป็นที่ยอมรับในทางคณิตศาสตร์ จึงไม่มีการหาร 0 ด้วย 0 และ W ก็มีสมบัติเช่นเดียวกับเซตจำนวนนับ 2.5จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติ หรือ จำนวนเต็มบวก (Counting or Natural or Positive Integers) จำนวนนับ เรียกอีกอย่างว่า จำนวนธรรมชาติ หรือจำนวนเต็มบวก มนุษย์นำจำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติไปใช้ในชีวิตประจำวันมากที่สุด ในการแลกเปลี่ยน ซื้อขาย หรือการนับ และมนุษย์ จะเริ่มนับจาก 1, 2, 3, 4, 5, … ไปเรื่อย ๆ เสมอไม่นิยมนับ -1, -2, -3, -4 นอกจากนำมาใช้ในบางกรณี เท่านั้น ดังนั้น เราจึงละไว้ในฐานที่เข้าใจว่า จำนวนนับ คือ จำนวนธรรมชาติ และจำนวนเต็มบวก ให้ N แทนเซตของจำนวนนับ สมาชิกของ N คือ 1, 2, 3, 4, … นั่นคือ N = {1, 2, 3, 4, …}

8 แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของระบบจำนวนจริง จากโครงสร้างของระบบจำนวนจริงได้ข้อสรุปดังนี้ 1. Q Q R =' 2. Q Q =' 3. I 1, 2, 3,... − = − − − 4. I 1, 2,3,... + = 5. I I I 0 + − = 6. N I + = ( N เป็นจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติ) 7. ถ้า W แทนเซตของจำนวนทั้งหมด (whole number) W I 0 0,1, 2,3,... + = = จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) จำนวนจริง (Real Number) จำนวนตรรกยะ (Rational number) จำนวนเต็ม (Integer Number) ทศนิยมซ้ำ เศษส่วน (Faction ) จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มบวก ศูนย์ ทศนิยมไม่รู้จบ จำนวนที่เขียนในรูป ของกรณฑ์

9 ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างเพิ่มเติมของจำนวนจริง ข้อที่ ชนิดของจำนวน ตัวอย่าง สัญลักษณ์ 1 เซตของจำนวนนับ หรือ เซตของ จำนวนเต็มบวก 1, 2,3,... N I, + 2 เซตของจำนวนเต็มลบ − − − 1, 2, 3,... I − 3 เซตของจำนวนที่อยู่ในรูปเศษส่วน ของจำนวนเต็ม เมื่อตัวส่วนไม่เป็น ศูนย์ หรือ , , , 0 p x x p q I q q = 2 1 2 4 , , , ,... 3 6 7 5 − - 4 เซตของจำนวนที่เขียนในรูป ทศนิยมซ้ำ 0.6, 0.453, 0.2,... • • • • - 5 เซตของจำนวนตรรกยะ 1 1, 2, 3, , 0.2 2 • − Q 6 เซตของจำนวนอตรรกยะ 2, 3, 7, ,... ' Q

10 บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง คำชี้แจง กลุ่ม........................... ให้นักเรียนตอบคำถามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่มและ นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ (ตอบถูกข้อละ 1 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน) จงพิจารณาจำนวนที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นจำนวนชนิดใด -7 , 5 , 2 2 , 3 27 ,0.3555…,0.020220222…, 7 22 ,0 , - 36 , 3 21 1. เขียนเครื่องหมาย √ ลงในตารางเพื่อแสดงการเป็นจำนวนชนิดต่างๆ ดังนี้ จำนวน จำนวนนับ จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนจริง -7 5 2 2 3 27 0.355... 0.020220222... 7 22 0 - 36 3 21 2. ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด 2.1 0.343443444... เป็นจำนวนตรรกยะ ……………………………………………………………………… 2.2 0.112112112... เป็นจำนวนอตรรกยะ……………………………………………………………………… 2.3 ถ้า 2 a เป็นจำนวนคู่แล้ว a ต้องเป็นจำนวนคู่…………………………………………………………… 2.4 ถ้า 2 a เป็นจำนวนคี่แล้ว a ต้องเป็นจำนวนคี่…………………………………………………………… 2.5 ตัวเลขสมัยอียิปต์ใช้อักษรภาพในการสื่อความหมาย.............................................................

11 3. ให้นักเรียนเขียนสรุปโครงสร้างของระบบจำนวนจริง พร้อมทั้งยกตัวอย่าง ( 5 คะแนน) ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ..................................................................................................................................................................... ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………..

12 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง จำนวนจริง คำชี้แจง ให้นักเรียนเขียนคำว่า “จริง” หน้าข้อความที่ถูกและเขียนคำว่า “เท็จ” หน้าข้อความที่ผิด ตอบถูกข้อละ 1 คะแนน ตอบผิด 0 คะแนน (ใช้เวลาประมาณ 10 นาที) ตัวอย่าง เท็จ 16 Q 1. 22 7 R 6. I R 2. 2 3 Q 7. I N + = 3. − 12 N 8. R Q Q = 4. N I 9. Q Q R = 5. I I N I + − = 10. I Q กำหนดให้ R แทนเซตของจำนวนจริง Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ Q แทนจำนวนอตรรกยะ I แทนเซตของจำนวนเต็ม I + แทนเซตของจำนวนเต็มบวก I − แทนเซตของจำนวนเต็มลบ N แทนเซตของจำนวนนับ ชื่อ...................................................................................ชั้น.......................เลขที่..............................

13 บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง นักเรียนลองศึกษาและร่วมกันอภิปรายสมบัติของจำนวนจริงต่อไปนี้ สมบัติของจำนวนจริง 1. สมบัติของการเท่ากันในระบบจำนวนจริง คุณสมบัติเหล่านี้เป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ กำหนดให้ abc , , เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. สมบัติการสะท้อน (Reflexive Property) a a = 2. สมบัติการสมมาตร (Symmetric Property) a b b a = = 3. สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) a b b c a c = = → = 4. สมบัติการบวกและคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน a b a c b c = → + = + a b ac bc = → = 5. สมบัติการแทนค่า (Substitution Property) ถ้า a b = แล้ว จะสามารถแทน a ด้วย b ในข้อความที่เกี่ยวข้องกับ b ได้ สมบัติการเท่ากัน ตัวอย่าง 1. การสะท้อน 3 = 3 2. การสมมาตร ถ้า 5 = 1 + 4 แล้ว 1 + 4 = 5 3. การถ่ายทอด ถ้า 2 2 = 4 และ 4 = 1 + 3 แล้ 2 2 = 1 + 3 4. การบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า 2 x 5 = 10 แล้ว (2 x 5) + 1 = 10 + 1 5. การคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า 8 4 = 2 แล้ว ( 8 4 )(3) = (2)(3) ตัวอย่างที่ 1

14 2. สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ 2.1 เอกลักษณ์(Identity) คือจำนวนที่ไปดำเนินการกับจำนวนจริง a ใดก็ตามแล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวน a เหมือนเดิม เอกลักษณ์การบวกในระบบจำนวนจริง มีสมบัติว่า เมื่อบวกกับจำนวนใด ๆ แล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้น ดังนั้นเอกลักษณ์การบวก คือ 0 เช่น 5 + 0 = 5 24 + 0 = 24 เอกลักษณ์การคูณในระบบจำนวนจริง คือ จำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งมีสมบัติว่า เมื่อคูณกับจำนวนจริงใดก็ตาม ผลคูณจะเท่ากับจำนวนจริงจำนวนนั้น ดังนั้นเอกลักษณ์การคูณใน ระบบจำนวนจริง คือ 1 เช่น 5 x 1 = 5 24 x 1 = 24 2.2 อินเวอร์ส (Inverse) ของ a คือจำนวนจริงที่นำไปดำเนินการกับจำนวนจริง a แล้ว ได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ อินเวอร์สการบวกในระบบจำนวนจริง หมายถึง จำนวนจริงจำนวนหนึ่งซึ่งบวกกับ จำนวนจริงจำนวนนั้น จะมีผลลัพธ์ เท่ากับ เอกลักษณ์การบวก เช่น 5 + ............ = 0 อินเวอร์สการบวกของ 5 คือ -5 -7 + ............ = 0 อินเวอร์สการบวกของ -7 คือ 7 1 4 + ........... = 0 อินเวอร์สการบวกของ 1 4 คือ ................ 0 + ........... = 0 อินเวอร์สการบวกของ 0 คือ ............... เพราะฉะนั้น อินเวอร์สการบวกของ a คือ – a อินเวอร์สการคูณในระบบจำนวนจริง a 0 หมายถึง จำนวนจริงที่คูณกับ a แล้วได้ ผลลัพธ์เท่ากับ 1 (เอกลักษณ์การคูณ) เช่น 5 x ...........= 1 อินเวอร์สการคูณของ 5 คือ 1 5 -36 x ......... = 1 อินเวอร์สการคูณของ -36 คือ 1 36 − 1 4 x ...........= 1 อินเวอร์สการคูณของ 1 4 คือ ................ 0 x ........... = 1 อินเวอร์สการคูณของ 0 คือ .................... อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a 0 คือ a 1 หรือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 1 a −

15 2.3 สมบัติของศูนย์ กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ 1. a = 0 0 2. 0 = 0 ; a 0 3. 0 = 0 ; n R+ 4. a a a + = ; a = 0 เท่านั้น 5. a a + = 0 = 0 + a 6. 0 a ไม่นิยาม 7. 0 0 ไม่นิยาม 8. 0 0 ไม่นิยาม 9. อินเวอร์สการบวกของ 0 คือ 0 10. อินเวอร์สการคูณของ 0 คือ ไม่มี 2.4 สมบัติการบวกและการคูณจำนวนจริง 2.4.1 สมบัติปิด (Closure Property) a b R a b R , → + a b R a b R , → 2.4.2 สมบัติการสลับที่ (Commutative Property) a b b a + = + ab ba = 2.4.3 สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Property) a b c a b c a b c + + = + + = + + ( ) ( ) a bc ab c ( ) ( ) = 2.4.4 สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) a b c ab ac ( ) + = + ( ) a b c ac bc + = + 2.4.5 สมบัติสำหรับเซตของจำนวนจริงบวก ( ) R + เพิ่มเติมได้แก่สมบัติปิดของ การบวก สมบัติปิดของการคูณ และสมบัติที่ว่า “ถ้าจำนวนจริง a 0 แล้ว a R+ หรือ a R+ − เสมอ”

16 สมบัติของจำนวนจริง สำหรับการบวก สำหรับการคูณ 1. ปิด เพราะว่า 3 R และ 2R ดังนั้น (3 + 2) R เพราะว่า 3 R และ 2R ดังนั้น(3 x 2) R 2. การสลับที่ 4 + 5 = 5 + 4 4 x 5 = 5 x 4 3. การเปลี่ยนหมู่ 4 + (3 + 2) = (4 + 3) +2 2 x (4 x 6) = (2 x 4) x 6 4. การมีเอกลักษณ์ 0 + 5 = 5 = 5 + 0 1 x 5 = 5 = 5 x 1 5. การมีอินเวอร์ส (-3)+ 3 = 3 + (-3) 1 1 3 1 3 3 3 = = จำนวน อินเวอร์สการบวก อินเวอร์สการคูณ 9 -9 1 9 2 3 − 2 3 3 2 − 5 - 5 1 5 2.1 หรือ 21 10 -(2.1) 1 2.1 หรือ 10 21 ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างอินเวอร์สของจำนวนจริง

17 ตารางแสดงสมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนต่าง ๆ สมบัติ ปิด การมีเอกลักษณ์ การมีอินเวอร์ส การตัดออก จำนวน + x + x + x + x จำนวนนับ (N) √ √ - √ (1) - - - - จำนวนเต็ม ( I ) √ √ √ (0) √ (1) √ (-a) - √ - จำนวนตรรกยะ (Q) √ √ √ (0) √ (1) √ (-a) - √ - จำนวนอตรรกยะ (Q’ ) - - - - - - - - จำนวนจริง (R) √ √ √ (0) √ (1) √ (-a) - √ - จำนวนจริงยกเว้น 0 √ √ - √ (1) - √ ( 1 a ) - √ พร้อมทำกิจกรรมแล้วค่ะ.. ง่ายมากๆ

18 บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง คำชี้แจง กลุ่ม........................... ให้นักเรียนตอบคำถามต่อไปนี้โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่ม และนำเสนอผลงาน หน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ 1. จงหาอินเวอร์สการบวกและอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a ที่กำหนดให้ในตารางต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน) a อินเวอร์สการบวกของ a อินเวอร์สการคูณของ a 7 -10 2 − 2 + 3 - 2 3 3 1 + 2 5 1 2 4 + − 0 2. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงตามสมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวกข้อใด (ข้อละ 1 คะแนน) 1. (7 + 2)x = 9x ตอบ........................................................................... 2. 1 + (5 + 3) = 1 + (3 + 5) ตอบ........................................................................... 3. 4 + (6 + 2) = (4 + 6) + 2 ตอบ........................................................................... 4. มีจำนวนจริงที่คูณกับ 7 แล้วได้ 1 ตอบ............................................................................ 5. 2 x ( a + b ) = 2 a + 2 b ตอบ............................................................................ 6. 2 + 0 = 2 ตอบ............................................................................ 7. (1 + 2) + 3 = 1 + (2+ 3) ตอบ............................................................................ 8. 4 x 1 = 4 = 1 x 4 ตอบ............................................................................ 9. 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 ตอบ........................................................................... 10. ถ้า 3 2 = 9 และ 9 = x แล้ว 3 2 = x ตอบ............................................................................

19 3. ให้นักเรียนตอบคำถามแต่ละข้อต่อไปนี้ (ข้อละ 1 คะแนน) 1. จำนวนตรรกยะคือ.................................................................................................................... 2. 10 13 เปลี่ยนเป็นรูปทศนิยมได้................................................................................................... 3. • • 0.34 2 เปลี่ยนเป็นรูปเศษส่วนได้............................................................................................ 4. จำนวนเต็มศูนย์เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่.............................................................................. 5. 11 − 4 เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ.................................................................................... 6. 7 22 เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ.................................................................................. 7. 2 3 5 4 + เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ................................................................................ 8. จำนวนอตรรกยะคือ.............................................................................................................. ..... 9. 3.154155156… เป็นจำนวนชนิดใด ........................................................................................... 10. จำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนชนิดใด................................................................................... ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………..

20 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง สมบัติของจำนวนจริง คำชี้แจง ให้นักเรียนใส่เครื่องหมาย √ หน้าข้อความที่ถูก ใส่เครื่องหมาย × หน้าข้อความที่ผิด (ข้อละ 1 คะแนน) ตัวอย่าง √ ในระบบจำนวนเต็มมีสมบัติปิดของการบวก 1. เซตของจำนวนอตรรกยะมีสมบัติปิดของการบวก 2. ในระบบของจำนวนเต็มมีสมบัติปิดของการหาร 3. เซตของจำนวนอตรรกยะมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ 4. เซตของจำนวนเต็มลบมีสมบัติปิดของการลบ 5. เซตของจำนวนตรรกยะมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ 6. เซตของจำนวนตรรกยะมีสมบัติปิดของการหาร 7. เซตของจำนวนตรรกยะมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ 8. ถ้า a b =1 แล้ว b คือ อินเวอร์สการคูณของ a 9. 0 เป็นอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง 10. 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณของจำนวนจริง ชื่อ..............................................................................ชั้น..........................เลขที่....... ............ ง่ายมาก ครับ คุณครู

21 บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง ในบัตรความรู้นี้จะเป็นการนำเสนอทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริงมาใช้ มาเริ่มกันเลยนะคะ ให้ , และ เป็นจำนวนจริง 1. ถ้า + = + แล้ว = 2. ถ้า + = + แล้ว = พิสูจน์ (1) + = + (กำหนดให้) + (−) + = + (−) + (สมบัติการบวกด้วยจำนวนเดียวกัน) + [(−) + ] = + [(−) + ] (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก) + 0 = +0 (สมบัติการมีอินเวอร์ส การบวก) = (สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก) (2) + = + ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ให้ , และ เป็นจำนวนจริง 1. ถ้า = และ ≠ 0 แล้ว = 2. ถ้า = และ ≠ 0 แล้ว = พิสูจน์ (1) = (กำหนดให้) ∙ ∙ −1 = ∙ ∙ −1 (สมบัติการคูณด้วยจำนวนเดียวกัน) ∙ [ ∙ −1 ] = ∙ [ ∙ −1 ] (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ) ∙ 1 = ∙ 1 (สมบัติการมีอินเวอร์ส การคูณ) = (สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก) ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสำหรับการบวก นักเรียนช่วยกัน พิสูจน์ข้อ 2 ด้วยนะคะ ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสำหรับการคูณ

22 การพิสูจน์ใน ข้อ 2 ก็พิสูจน์ทำนองเดียวกันนักเรียนลองฝึกพิสูจน์นะคะ พิสูจน์ 0 + 0 = 0 (สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก) (0 + 0) = ∙ 0 (สมบัติการคูณด้วยจำนวนเดียวกัน) 0 + 0 = 0 (สมบัติการแจกแจงทางซ้าย) 0 + 0 = 0 +0 (สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก) 0 = 0 (สมบัติการตัดออกการบวก) พิสูจน์ เนื่องจาก −(−) เป็นตัวผกผันสำหรับการบวกของ − จะได้ −(−) + (−) = 0 (สมบัติการมีตัวผกผันสำหรับการบวก) และ 0 = + (−) (สมบัติการมีตัวผกผันสำหรับการบวก) จะได้ −(−) + (−) = + (−) (สมบัติการถ่ายทอด) ดังนั้น −(−) = พิสูจน์ กรณีที่ 1 ถ้า = 0 จะได้ = 0 หรือ = 0 เป็นจริง กรณีที่ 2 ถ้า ≠ 0 จะมี −1 ∈ จาก = 0 จะได้ −1 () = −1 ∙ 0 (สมบัติการคูณด้วยจำนวนเดียวกัน) ( −1 ) = −1 ∙ 0 (สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ) ( −1) = 0 (ทฤษฎีบทที่ 3) 1 = 0 (สมบัติการมีตัวผกผันสำหรับการคูณ) = 0 (สมบัติการมีเอกลักษณ์สำหรับการคูณ) จะได้ = 0 หรือ = 0 เป็นจริง จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 จะได้ว่า = 0 ก็ต่อเมื่อ = 0 หรือ = 0 ทฤษฎีบทที่ 3 สำหรับจำนวนจริง ทุกตัว ∙ = และ ∙ = ทฤษฎีบทที่ 4 สำหรับจำนวนจริง ทุกตัว (−) = − ทฤษฎีบทที่ 5 สำหรับจำนวนจริง และ ทุกตัว จะได้ว่า = ก็ต่อเมื่อ = หรือ =

23 พิสูจน์ 1) เนื่องจาก (−) + = (− + ) (สมบัติการแจกแจงทางซ้าย) = (0) (สมบัติการมีตัวผกผันสำหรับการบวก) = 0 (ทฤษฎีบทที่ 3 ) นั่นคือ (−) = − 2) เนื่องจาก (−) = (−) (สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ) = − (จากข้อ 1) = − (สมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ) นั่นคือ (−) = − 3) เนื่องจาก (−)(−) = −{(−)} (จากข้อ 1) = −{−()} (จากข้อ 2) = นั่นคือ (−)(−) = พิสูจน์ 1) ( − ) = ( + (−)) (นิยามการลบ) = + (−) (สมบัติการแจกแจงทางซ้าย) = − (ทฤษฎีบทที่ 6) 2) ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ทฤษฎีบทที่ 6 สำหรับจำนวนจริง และ ทุกตัว จะได้ว่า 1. (−) = − 2. (−) = − 3. (−)(−) = ทฤษฎีบทที่ 7 ให้, และ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า 1. ( − ) = − 2. ( − ) = −

24 พิสูจน์ ให้ −1 = 0 ดังนั้น ∙ −1 = ∙ 0 = 0 แต่ ∙ −1 = 1 เกิดการขัดแย้ง ดังนั้น −1 ≠ 0 พิสูจน์ 1) ( ) = −1 (นิยามการหาร) = ( −1 ) −1 (นิยามการหาร) = ( −1 ∙ −1 ) (สมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการคูณ) = () -1 ทฤษฎีบทที่ 8 ให้ เป็นจำนวนจริง ถ้า ≠ จะได้ว่า − ≠ ทฤษฎีบทที่ 9 ให้ , , และ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า 1. ( ) = เมื่อ ≠ และ ≠ 2. = เมื่อ ≠ และ ≠ 3. + = + เมื่อ ≠ และ ≠ 4. ( ) ( ) = เมื่อ ≠ และ ≠ 5. ( ) = เมื่อ ≠ และ ≠ 6. ( ) ( ) = เมื่อ ≠ , ≠ และ ≠ -1

25 มุมเรียนรู้เพิ่มเติม = ดังนั้น ( ) = ข้อ 2 – 6 ให้นักเรียนช่วยกันพิสูจน์นะคะ ที่มา : https://www.youtube.com/watch?v=9RflJwn7yWU ตัวอย่างการนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริงไปใช้ในการหาคำตอบ ลองมาศึกษากันเลยนะคะ ตัวอย่างที่ 3 จงบอกสมบัติของจำนวนจริงที่ทำให้สมการหรือข้อความต่อไปนี้เป็นจริง 1. (−3) + 0 = −3 ตอบ สมบัติการมีเอกลักษณ์สำหรับการบวก 2. ∙ 1 = ตอบ สมบัติการมีเอกลักษณ์สำหรับการคูณ 3. − 1 6 + 1 6 = 0 ตอบ ……………………………………………………. 4. (3 + ) = 3 + ตอบ ……………………………………………………. 5. (4 × 2 3 ) × 5 = 4 × ( 2 3 × 5) ตอบ …………………………………………………….

26 บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง คำชี้แจง ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………. ให้นักเรียนระบายสีเขียวบนประโยคหรือข้อความที่เป็นสมบัติของจำนวนจริง และระบายสีแดงบนประโยคหรือข้อความที่เป็นทฤษฎีบท (ข้อละ 1 คะแนน) = + ∈ = 2 3 = 10 15 1 3 4 = 1 12 + 0 = + = + 1 + 3 = 3 + 1 ( − ) = − ถ้า = แล้ว = = = 1 (−) = − −1 + 15 ∈ ∈ ∙ 1 = 1 = 0 ก็ต่อเมื่อ = 0 หรือ = 0 ∙ = 2 3 = 2 3 () = () สรุป สมบัติของจำนวนจริง ได้แก่ ................................................................................................... .......... ............................................................................................................................. ..................................... .................................................................................................................................................................. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง ได้แก่ ............................................................................................ ............. .................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................. .....................................

27 คำชี้แจง บัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง ให้นักเรียนตอบคำถามต่อไปนี้ จากทฤษฎีบทที่กำหนดให้ จงเติมคำตอบลงในช่องว่าง 1. จากทฤษฎีบทที่ 6 จงแสดงวิธีหาคำตอบ ข้อละ 1 คะแนน 1. 5(−7) = 2. (−5)7 = 3. (−5)(−7) = 2. ให้นักเรียนใช้ทฤษฎีบทที่ 7 แสดงวิธีหาคำตอบ ( ข้อละ 2 คะแนน) 1. 10(5 − 2) = ……………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… 2. (10 − 5)2 = ……………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… 3. ให้นักเรียนใช้ทฤษฎีบทที่ 9 แสดงวิธีหาคำตอบ (ข้อละ 2 คะแนน) 3.1 ( 3 4 ) 12 = ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3.2 4 5 + 3 4 = ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

28 ทบทวนอีกครั้งแล้ว เตรียมตัวทำแบบทดสอบ นะคะ 3.3 ( 3 5 ) ( 4 7 ) = ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3.4 ( 3 5 ) ( 4 7 ) = ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………..

29 แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง × 1. จงทำเครื่องหมายกากบาท( ) ทับตัวอักษรหน้าคำตอบที่ถูกต้อง 2. ใช้เวลาในการทำข้อสอบ 15 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน 1. จำนวนที่มนุษย์คิดขึ้นมาใช้จำนวนแรกคือจำนวนใด 1. จำนวนจริง 2. จำนวนเต็ม 3. จำนวนนับ 4. จำนวนตรรกยะ 2. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเท็จ 1. ตัวเลขบาบิโลน ใช้ลิ่มเป็นสัญลักษณ์ของตัวเลข 2. ปัจจุบันตัวเลขที่ยกเลิกไปแล้วคือ ตัวเลขโรมัน 3. พื้นฐานของคอมพิวเตอร์ระบบดิจิตอล คือ ลูกคิด 4. ชาวอียิปต์โบราณสื่อความหมายด้วยอักษรภาพที่เรียกว่า ไฮโรกริฟ 3. เซตของจำนวนใดไม่มีสมบัติปิดสำหรับการคูณ 1. เซตของจำนวนเต็มคี่ 2. เซตของจำนวนเต็มคู่ 3. เซตของจำนวนจริง 4. เซตของจำนวนเต็ม 4. ข้อใดเป็นเท็จ 1. อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a เมื่อ a 0 เขียนแทนด้วย −1 a 2. อินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง a เขียนแทนด้วย - a 3. ถ้า e เป็นเอกลักษณ์การคูณแล้ว ea a ae = = 4. a b c a b a c ( ) ( )( ) + = + + 5. จำนวนที่เติมในช่องว่าง ข้อใดมีคำตอบเป็นจำนวนลบ 1. -3 x = 1 2. 3 1 x = 1 3. 2 x = 1 4. 5 x = 1 คำชี้แจง แจง

30 6. ข้อใดเป็นจริงตามสมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b, และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ 1. ถ้า ac bc = แล้ว bc ac = 2. ถ้า a b = แล้ว a c b c + = + 3. ถ้า a c b c + = + แล้ว a b = 4. ถ้า a b = และ b c = แล้ว a c = 7. ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง 1. จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ 2. เซตของจำนวนเต็มมีสมบัติการสลับที่สำหรับการลบ 3. เซตของจำนวนเต็มมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่สำหรับการบวก 4. เซตของจำนวนนับยูเนียนกับเซตของจำนวนเต็มลบไม่เท่ากับเซตของจำนวนเต็ม 8. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงตามสมบัติของจำนวนจริง 1. 7 + ( 2 5 ) = ( 7 + 2 ) 5 2. 3 – ( 4 - 8 ) = ( 3 - 4 ) – 8 3. 4 - 6 = 6 - 4 4. 2 ( a + b ) = 2a + 2b 9. ข้อใดเป็นจำนวนตรรกยะทุกจำนวน 1. √2, √9, √16 2. −7, 3 5 , 3. 3 5 , √9, 8.77 … 4. √3, −√9, √−9 10. ข้อใดต่อไปนี้กล่าวไม่ถูกต้อง 1. จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 15 คือ 16 2. มีจำนวนเต็มบางจำนวนที่น้อยกว่าศูนย์ 3. จำนวนเต็มที่มากที่สุด คือ 100 100 4. จำนวนตรรกยะเป็นสับเซตของจำนวนจริง

31 กมล เอกไทยเจริญ. (2544). คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4-6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. ________. (2552). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคิดลัด คู่มือสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม. 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. ธนวัฒน์ (สันติ ) สนทราพรพล. (2551). แบบฝึกหัดและเทคนิคคิดโจทย์เร็ว คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : ธรรมบัณฑิต. เลิศ สิทธิโกศล. (2554). คณิตศาสตร์ ม. 4-6 เล่ม 1 (เพิ่มเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2562). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. สุคนธ์ สินธพานนท์. (2551). นวัตกรรมการเรียนการสอนเพื่อพัฒนาคุณภาพของเยาวชน. พิมพ์ ครั้งที่ 3. กรุงเทพฯ. ศุภกิจ เฉลิมวิสุตม์กุล. (2550). เทคนิคคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : แม็ค. บรรณานุกรม