เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ชุดการเรียรีนรู้ วิชวิาคณิตศาสตร์ปร์ระยุกต์ เรื่อรื่ง จำ นวนจริงริ โดยใช้รู ช้ รู ปแบบการสอน แบบสืบสืเสาะหาความรู้ร่ รู้ ว ร่ มกับเทคนิค การสอนแบบเพื่อพื่นคู่คิ คู่คิด สำ หรับรันักเรียรีน ชั้นชั้มัธมัยมศึกษาปีที่ 4 สมการพหุน หุ ามตัวแปรเดียดีว คู่มื คู่ อ มื นางณัฐณัฌา พันพัธุ์สุธุ์วสุรรณ ครู วิทวิยฐานะ ครูชำรูชำนาญการพิเพิศษ โรงเรียรีนมัธมัยมศึกษาเทศบาล ๓ “ยุติธรรมวิทวิยา” สำ นักนัการศึกษาเทศบาลนครสกลนคร นั กเ รีย รี น เล่มที่ 3

คู่มือนักเรียน ชุดการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่องจำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มที่ 3 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) เรียบเรียงโดย นางณัฐฌา พันธุ์สุวรรณ ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการพิเศษ โรงเรียนมัธยมศึกษาเทศบาล ๓ “ยุติธรรมวิทยา” สำนักการศึกษาเทศบาลนครสกลนคร

ก คำนำ ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบ สืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่มนี้ จัดขึ้นเพื่อให้ครูผู้สอนเกิดความเข้าใจ และสามารถนำชุดการเรียนรู้ที่สร้างขึ้นไปใช้อย่างมีประสิทธิภาพ และประสิทธิผล ผู้จัดทำได้วิเคราะห์หลักการ จุดมุ่งหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรู้ และสาระการ เรียนรู้ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตลอดจนศึกษาแนวคิดจิตวิทยาและทฤษฎีที่เกี่ยวข้องในการสร้างชุดการ เรียนรู้ให้มีความเหมาะสมสอดคล้องกับความรู้ ความสามารถ ความสนใจ และการนำไปใช้ให้เกิด ประโยชน์ ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ผู้จัดทำได้ใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด เพื่อเป็นการพัฒนานักเรียน ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 นี้ มีทั้งหมด 5 เล่มประกอบด้วย เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง เล่มที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว เล่มที่ 4 การไม่เท่ากันของจำนวนจริง เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ผู้จัดทำ หวังเป็นอย่างยิ่งว่า ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้ รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 4 เอื้อประโยชน์ต่อครูหรือผู้สนใจในการนำไปพัฒนากระบวนการเรียนรู้ในกลุ่มสาระ คณิตศาสตร์ เพื่อนำไปสู่การพัฒนาคุณภาพนักเรียนตามเป้าหมายของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น พื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ทุกประการ ณัฐฌา พันธุ์สุวรรณ

ข สารบัญ เนื้อหา หน้า คำนำ……………………………………………………………………………………………………... ก สารบัญ................................................................................................................ ข คำชี้แจง............................................................................................................... ค ขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้............................................................................ ง บทบาทของนักเรียน............................................................................................. จ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้......................................................................... ฉ การจัดชั้นเรียน.................................................................................................... ช โครงสร้างเนื้อหาของชุดการเรียนรู้………….......................................................... ซ จุดประสงค์การเรียนรู้........................................................................................... 1 บัตรคำสั่งเล่มที่ 3 ................................................................................................. 2 บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ …….................................................... 3 บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ ....................................................... 5 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ ............................................... 7 บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ .......................................................... 8 บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ ........................................................ 11 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ ............................................... 13 บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ ……………………………………………… 14 บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ ……………………………………..……. 18 บัตรบัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ .………………….………… 19 บัตรความรู้ที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ………………………… 20 บัตรกิจกรรมที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ............................ 22 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรรกยะ………………. 24 บัตรความรู้ที่ 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว……………………………… 25 บัตรกิจกรรมที่ 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว…………………………… 29 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว…………………….. 31 แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 3 เรื่อง สมการตัวแปรเดียว..................................... 33 บรรณานุกรม........................................................................................................ 35

ค คำชี้แจง ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบ สืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ประกอบด้วยชุดการเรียนรู้จำนวน 5 เล่ม ดังนี้ เล่มที่ 1 มารู้จักจำนวนจริง เล่มที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว เล่มที่ 4 การไม่เท่ากันของจำนวนจริง เล่มที่ 5 สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ สื่อ / อุปกรณ์ประจำชุดการเรียนรู้มีดังนี้ บัตรคำสั่ง เล่มที่ 3 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ บัตรบัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ บัตรความรู้ที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ บัตรกิจกรรมที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ บัตรกิจกรรมเสริมที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรรกยะ แบบทดสอบหลังเรียน เล่มที่ 3 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว ชุดการเรียนรู้เล่มที่ 3 สมการพหุนามตัวแปรเดียว

ง ขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้ นักเรียนจะต้องศึกษาขั้นตอนในการใช้ชุดการเรียนรู้ให้เข้าใจและปฏิบัติตามลำดับขั้นตอน การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนดังนี้ 1. นักเรียนเข้ากลุ่มตามที่แบ่งไว้แล้ว 2. นักเรียนรับเอกสารจากครูผู้สอนและศึกษาคำสั่ง 3. ครูอธิบายบทบาทของนักเรียนที่เรียนด้วยชุดการเรียนรู้ 4. ครูเปิดโอกาสให้นักเรียนซักถามข้อสงสัยในการเรียนด้วยชุดการเรียนรู้ 5. นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามรายละเอียดในเอกสารชุดการเรียนรู้ โดยเริ่มจากการศึกษา คำสั่งจากนั้นปฏิบัติตาม 6. ครูอำนวยความสะดวกและจัดกิจกรรมเสริมตามที่กำหนดในแผนการจัดการเรียนรู้ 7. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปสาระความรู้ที่ได้

จ บทบาทของนักเรียน นักเรียนทราบถึงบทบาทของตน ดังนี้ 1. หัวหน้ากลุ่มมีหน้าที่ดังนี้ 1.1 เป็นผู้นำในการปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม โดยทำหน้าที่อ่านบัตรกิจกรรมเพื่อให้ทุกคน ทำตามคำชี้แจงในการประกอบกิจกรรม ให้เป็นไปตามขั้นตอน 1.2 ควบคุมดูแลการทำงาน หรือประกอบกิจกรรมภายในกลุ่มให้เป็นระเบียบเรียบร้อย ไม่ส่งเสียงดังรบกวนกลุ่มอื่น 1.3 ตรวจเช็คการจัดเก็บอุปกรณ์ให้เรียบร้อยหลังเสร็จกิจกรรมการเรียนแล้ว 1.4 เป็นผู้ติดต่อกับครูเมื่อมีปัญหาภายในกลุ่ม 1.5 เป็นผู้อ่านบัตรเฉลยแต่ละกิจกรรมให้เพื่อนฟังเพื่อตรวจคำตอบ 2. เลขานุการกลุ่ม มีหน้าที่ดังนี้ 2.1 เป็นผู้แจกบัตรกิจกรรมและรวบรวมส่งครูเมื่อสมาชิกทุกคนทำเสร็จเรียบร้อยแล้ว 3. สมาชิกกลุ่มมีหน้าที่ดังนี้ 3.1 ปฏิบัติกิจกรรมด้วยความตั้งใจและให้ทันตามกำหนดโดยไม่ชวนเพื่อนคุยหรือเล่น 3.2 ศึกษาบัตรความรู้บัตรกิจกรรม และปรึกษาหารือกันภายในกลุ่ม 3.3 ร่วมอภิปรายและสรุปผลจาการปฏิบัติกิจกรรม 3.4 ช่วยเก็บวัสดุอุปกรณ์ สื่อการสอนต่างๆ ของกลุ่มตนเองใส่ซองให้เรียบร้อย นอกจาก บัตรกิจกรรมที่ต้องส่งครูตรวจ ให้รวบรวมส่งครู

ฉ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 1. ประเมินผลก่อนเรียน (Pretest) โดยนำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน จำนวนจริง วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 40 ข้อที่สร้างขึ้น ให้ผู้เรียนทำแล้วบันทึกคะแนนเก็บไว้เปรียบเทียบกับคะแนนทดสอบหลังเรียน 2. ประเมินผลระหว่างเรียนชุดการเรียนรู้ในแต่ละเล่ม ประกอบด้วย ประเมินบัตรกิจกรรม บัตรกิจกรรมเสริม แบบทดสอบหลังเรียนของแต่ละเล่ม โดยการประเมินของเพื่อนที่อยู่ในกลุ่ม ประเมิน โดยครู แล้วบันทึกคะแนน 3. ประเมินผลหลังเรียน (Posttest) เมื่อเสร็จสิ้นการทดลองใช้ชุดการเรียนรู้ทั้ง 5 เล่ม ด้วย แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนชุดเดียวกับที่ทดสอบก่อนเรียน แล้วบันทึกคะแนนเพื่อเปรียบเทียบ กับคะแนนก่อนเรียน และวัดความพึงพอใจของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ที่มีต่อชุดการเรียนรู้ วิชา คณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิค การสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จำนวน 20 ข้อ

ช การจัดชั้นเรียน ในการจัดชั้นเรียนขณะใช้ชุดการเรียนรู้ แบ่งนักเรียนคละความสามารถออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 - 5 คน จำนวน 7 กลุ่ม ชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาส ตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ธยมศึกษาปีที่ 4 ป้ายนิเทศ ป้ายนิเทศ โต๊ะครู

ซ โครงสร้างเนื้อหาของชุดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ เรื่อง จำนวนจริง โดยใช้ รูปแบบการสอนแบบสืบเสาะหาความรู้ร่วมกับเทคนิคการสอนแบบเพื่อนคู่คิด สำหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ชุดการเรียนรู้ เนื้อหา วัน/เดือน/ปี จำนวนคาบ เล่มที่ 1 มารู้จำนวนจริง 1. ปฐมนิเทศ 2. จำนวนจริง 3. สมบัติของจำนวนจริง 4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนจริง 1 พฤศจิกายน 2562 6 พฤศจิกายน 2562 7 พฤศจิกายน 2562 8 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 2 การแยก ตัวประกอบของ พหุนาม 1. สมบัติการแจกแจง 2. กำลังสองสมบูรณ์ 3. ผลต่างของกำลังสอง 4. พหุนามดีกรีสูงกว่าสอง 13 พฤศจิกายน 2562 14 พฤศจิกายน 2562 15 พฤศจิกายน 2562 20 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 3 สมการพหุนาม ตัวแปรเดียว 1. ทฤษฎีบทเศษเหลือ 2. การหารสังเคราะห์ 3. ทฤษฎีบทตัวประกอบ จำนวนเต็ม 4. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวน ตรรกยะ 5. การแก้สมการพหุนามตัวแปร เดียว 21 พฤศจิกายน 2562 22 พฤศจิกายน 2562 27 พฤศจิกายน 2562 28 พฤศจิกายน 2562 29 พฤศจิกายน 2562 1 1 1 1 1 เล่มที่ 4 การไม่เท่ากัน ของจำนวนจริง 1. ช่วง 2. สมบัติการไม่เท่ากัน 3. การแก้อสมการเชิงเส้น 4. การแก้อสมการกำลังสอง 4 ธันวาคม 2562 6 ธันวาคม 2562 11 ธันวาคม 2562 12 ธันวาคม 2562 1 1 1 1 เล่มที่ 5 สมการและ อสมการในรูปค่า สัมบูรณ์ 1. ค่าสัมบูรณ์ 2. การแก้สมการค่าสัมบูรณ์ 3. การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ 13 ธันวาคม 2562 18 ธันวาคม 2562 19 ธันวาคม 2562 1 1 1 รวม 19

1 ด้านความรู้ (K) 1. อธิบายวิธีการหาเศษเหลือจากการหาร p x( ) ด้วย x c − 2. แสดงวิธีการหารเศษเหลือของพหุนามที่กำหนดให้ได้ 3. อธิบายและแสดงวิธีทำการหารสังเคราะห์ได้ 4. อธิบายขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนเต็มได้ 5. แสดงวิธีทำการแยกตัวประกอบและแก้สมการพหุนามที่กำหนดให้ได้ 6. อธิบายขั้นตอนการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบ จำนวนตรรกยะได้ 7. แสดงวิธีทำการแยกตัวประกอบและแก้สมการพหุนามที่กำหนดให้ได้ 8. ทำบัตรกิจกรรมได้ถูกต้องร้อยละ 75 ด้านทักษะกระบวนการ (P) 1. ทักษะการเชื่อมโยงความรู้เนื้อหาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ กับศาสตร์สาขาอื่น ๆ 2. ทักษะในการสื่อสาร การสื่อความหมายและ การนำเสนอ 3. ทักษะการให้เหตุผล ด้านคุณลักษณะ (A) 1. มีความรับผิดชอบต่องานที่มอบหมาย 2 มีความรอบคอบ 3. ทำงานร่วมกับผู้อื่นอย่างสร้างสรรค์ จุดประสงค์การเรียนรู้ เล่มที่ 3 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว

2 คำชี้แจง : ให้นักเรียนศึกษาและปฏิบัติตามหัวข้อต่อไปนี้ 1. แบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม ๆ ละ 4 – 5 คน 2. ตัวแทนแต่ละกลุ่มออกมารับชุดการเรียนรู้ เล่มที่ 3 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว จากครูผู้สอน 3. ศึกษาคู่มือและตรวจส่วนประกอบของชุดการเรียนรู้ก่อนทำกิจกรรม 4. ศึกษาบัตรความรู้ ร่วมกันอภิปรายภายในกลุ่ม และปฏิบัติตามบัตรกิจกรรมโดยระดมความคิด บันทึกผล ตัวแทนกลุ่มนำเสนอผลการปฏิบัติกิจกรรมหน้าชั้นเรียน 5. นักเรียนร่วมกันตรวจบัตรกิจกรรมว่าถูกต้องหรือไม่ ร่วมกันอภิปรายจนได้ข้อสรุปที่ถูกต้อง ถ้าไม่ถูกให้ศึกษาความรู้ในบัตรความรู้ใหม่ แล้วแก้ไขให้ถูกต้อง โดยนักเรียนจะต้องมีความซื่อสัตย์ต่อตนเอง 6. นำผลการปฏิบัติกิจกรรมของแต่ละกลุ่มออกนำเสนอหน้าชั้นแล้วอภิปรายผลร่วมกัน 7. เมื่อทำกิจกรรมเรียบร้อยแล้วให้ทุกคนช่วยกันเก็บอุปกรณ์และชุดการเรียนรู้เข้าที่ให้เรียบร้อย 8. นักเรียนมีข้อสงสัยหรือข้อซักถามในการทำกิจกรรมสามารถซักถาม ครูผู้สอนได้ตลอดเวลา 9. ทำแบบทดสอบหลังเรียน บัตรคำสั่ง เล่มที่ 3 เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว

3 บัตรความรู้ที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ Remainder Theorem เรามารู้จักสมการพหุนามตัวแปรเดียวกันดีกว่านะคะ สมการพหุนามตัวแปรเดียว หมายถึง สมการที่อยู่ในรูป + −1 −1+. . . +1 + เมื่อ , −1 , . . . , 1 , 0 เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็น ค่าคงตัว x ตัวแปร และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ 1. 2 2 a ab b + + 2 = ( )( ) a b a b + + = 2 ( ) a b + 2. 2 2 a ab b − + 2 = ( )( ) a b a b − − = 2 ( ) a b − 3. 2 2 a b − = ( )( ) a b a b − + 4. 3 3 a b − = 2 2 ( )( ) a b a ab b − + + 5. 3 3 a b + = 2 2 ( )( ) a b a ab b + − + 6. 3 ( ) a b + = 3 2 2 3 a a b ab b − + + 3 3 7. 3 ( ) a b − = 3 2 2 3 a a b ab b − + − 3 3 ทฤษฎีบทเศษเหลือ กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนจริง โดยที่ 0 n a และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าหาร () ด้วย − เมื่อ เป็นจำนวนจริงแล้ว เศษเหลือ จากการหาร () ด้วย − เท่ากับ () ทบทวนการแยกตัวประกอบของพหุนาม

4 ตัวอย่างการนำทฤษฎีบทเศษเหลือไปใช้ หัวใจน้อย ๆ ช่วยคิด อย่าลืมว่าทฤษฎีบทเศษเหลือมี 3 ส่วนที่น่าสนใจคือ 1. ตัวตั้ง คือ พหุนาม p x( ) ต้องเรียงลำดับ 2. ตัวหาร คือ − ( ** ระวังต้องทำให้อยู่ในรูปแบบที่เป็นลบ) 3. เศษ คือ () ตัวอย่างที่ 1 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3 2 2 5 4 x x x − + − ด้วย x −1 วิธีทำ ให้ p x( ) = 3 2 2 5 4 x x x − + − และ = 1 จะได้เศษเหลือ คือ p(1) = 3 2 2(1) 1 5(1) 4 − + − = 2 1 5 4 − + − = 2 ตอบ เศษเหลือ คือ 2 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเศษเหลือเมื่อหาร 3 2 2 6 1 x x x − + − หารด้วย x +1 วิธีทำ ให้ p x( ) = 3 2 2 6 1 x x x − + − และ = −1 จะได้เศษเหลือ คือ p( 1) − ) = 3 2 2( 1) ( 1) 6( 1) 1 − − − + − − = − − − − 2 1 6 1 = −10 ตอบ เศษเหลือ คือ −10 ตัวอย่างที่ 3 จงหาเศษจากการหาร 3 x x − − 2554 ด้วย x −1 โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ วิธีทำ ให้ p x( ) = 3 x x − − 2554 และ = 1 จะได้เศษเหลือ คือ p(1) = 3 (1) 1 2554 − − = −2554 ตอบ เศษเหลือ คือ −2554 ตัวอย่างที่ 4 กำหนดพหุนาม p x( ) = 3 2 x x kx + − − 6 3 จงหาจำนวนจริง k ที่ทำให้ p x( ) หารด้วย x +3 ลงตัว วิธีทำ x +3 หาร p x( ) ลงตัวก็ต่อเมื่อ เศษเหลือจากการหารเท่ากับ 0 ดังนั้น p( 3) 0 − = ดังนั้นจะได้ (−3) 3 + 6(−3) 2 − (−3) − 3 = 0 −27 + 54 + 3 − 3 = 0 3 + 24 = 0 k = − 24 6 = −4

5 บัตรกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ Remainder Theorem ตอบ k = −4 ให้นักเรียนแสดงวิธีทำเพื่อหาคำตอบในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่มและ นำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ 1. กำหนดพหุนาม p x( ) = 3 2 3 5 4 4 x x x − − + จงตรวจสอบว่าพหุนาม x +1 หาร p x( ) ลงตัวหรือไม่ (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................. .......... ......................................................................................................................... .............................................. 2. จงหาจำนวนจริง k ที่ทำให้ x k + หาร 2 x x − − 5 2 แล้วเหลือเศษ -8 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... กลุ่ม........................... คำชี้แจง

6 3. กำหนดพหุนาม p x( ) = 3 2 x x x − − −15 จงหาเศษเหลือที่ได้จากการหาร p x( ) ด้วยพหุนาม x −3 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................. ......................................... ....................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................. ......... ......................................................................................................................................... .............................. 4. ให้นักเรียนหาเศษเหลือจากการหาร p x( ) ด้วย x c −ที่กำหนดให้ต่อไปนี้ โดยระบายสีเดียวกัน ระหว่าง p x( ) และ ( )r ข้อละ 1 คะแนน p x( ) เศษเหลือ ( )r 4.1 p x( ) = 3 2 x x x − + + 5 10 ; c = 2 -16 4.2 p x( ) = 3 2 3 2 7 x x x − + + ; c =−2 -144 4.3 p x( ) = 3 2 5 11 14 10 x x x − − − ; c = 3 10 4.4 p x( ) = 3 2 2 6 6 18 x x x − + − ; c =−3 -25 4.5 p x( ) = 3 2 3 5 3 5 x x x + − + ; c =1 0 ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………..

7 บัตรกิจกรรมเสริมที่ 1 เรื่อง ทฤษฎีบทเศษเหลือ ให้นักเรียนหาเศษเหลือจากการหารพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ ***** เกณฑ์การประเมิน ตอบถูกข้อละ 1 คะแนน ตอบผิดข้อละ 0 คะแนน 4. จงหาเศษจากการหาร 3 2 ( 2 2) x x x + − − ด้วย x −2 ตอบ .................................................. ชื่อ...................................................................................ชั้น.......................เลขที่.............................. 1. จงหาเศษจากการหาร 2 (3 7) x x + − ด้วย x −1 ตอบ............................................................. 2. จงหาเศษจากการหาร 3 ( 2 3) x x + + ด้วย x +1 ตอบ............................................................. 3. จงหาเศษจากการหาร 3 2 ( 2 2) x x x + − − ด้วย x −1 ตอบ ...................................................... 5. จงหาเศษจากการหาร 3 2 ( 2 2) x x x + + + ด้วย x + 2 ตอบ..................................................... 6. จงหาเศษจากการหาร 4 2 ( 2 3 5) x x x + + − ด้วย x +1 ตอบ..................................................... 7. จงหาเศษจากการหาร 2 (2 3 12) x x + − ด้วย x −1 ตอบ......................................................... 8. จงหาเศษจากการหาร 3 (2 4 5) x x − + ด้วย x +3 ตอบ........................................................... 9. จงหาเศษจากการหาร 3 2 ( 4 5 6) x x x − − + ด้วย x −2 ตอบ................................................. 10. จงหาเศษจากการหาร 3 2 ( 4 5 6) x x x − − + ด้วย x + 2 ตอบ................................................. คำชี้แจง

8 ทบทวนขั้นตอนวิธีการหาร ถ้า p x( ) และ a x( ) เป็นพหุนาม โดยที่ a x( ) 0 จะมีพหุนาม q x( ) และ r x( ) ซึ่ง () = () ⋅ () + โดยที่ ( )r จะเท่ากับ 0 หรือมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ a x( ) จะได้ว่า พหุนาม p x( ) เรียกว่า ตัวตั้ง a x( ) เรียกว่า ตัวหาร q x( ) เรียกว่า ผลหาร ( )r เรียกว่า เศษของการหาร ในกรณีที่ ( )r = 0 จะเรียกว่าการหารลงตัว ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลหารและเศษของการหาร 3 2 4 2 4 x x x − + − ด้วย x + 2 โดยวิธีการหารยาว วิธีทำ x + 2 2 3 2 4 10 21 4 2 4 x x x x x − + − + − 3 2 4 8 x x + 2 − + 10x x 2 − − 10 20 x x 21 4 x − 21 42 x + −46 ดังนั้น 3 2 4 2 4 x x x − + − หารด้วย x + 2 ได้ผลหาร คือ 2 4 10 21 x x − + เศษเหลือ คือ -46 ตอบ ผลหาร คือ 2 4 10 21 x x − + เศษเหลือ คือ -46 บัตรความรู้ที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ Synthetic Division คิดออกแล้วค่ะ

9 + การหารสังเคราะห์ ขั้นตอนการหารสังเคราะห์ จงหาผลหาร 2 3 − 5 2 − 4 + 3 ด้วย − 3 ขั้นที่ 1 นำสัมประสิทธิ์ทุกตัวของพหุนามตัวตั้ง มาเขียนเรียงลำดับตามเลขชี้กำลังของตัวแปรจาก มากไปน้อย หากมีพจน์บางพจน์ขาดหายไปให้เขียนสัมประสิทธิ์เป็น 0 และเขียน k ที่ได้จากตัวหาร x k −ไว้ข้างหน้าสุดของแถวนี้โดยมีเครื่องหมาย คั่น เรียกแถวนี้ว่าแถวที่ 1 เช่น จะได้ 3 2 -5 -4 3 ขั้นที่ 2 ดึงจำนวนที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์แรกของตัวตั้งในแถวที่ 1 ลงมาให้อยู่ในแถวที่ 3 ในตำแหน่งที่ตรงกัน แล้วคูณกับ k นำผลคูณไปเขียนในตำแหน่งถัดไปของแถวที่ 2 เช่น 3 2 -5 -4 3 6 2 ขั้นที่ 3 หาผลบวกของจำนวนในแถวที่ 1 และ 2 เขียนผลบวกในแถวที่ 3 ในตำแหน่งที่ตรงกันแล้ว หาผลคูณของ k กับผลบวกที่ได้ เขียนผลคูณในแถวที่ 2 ตำแหน่งถัดไป เช่น 3 2 -5 -4 3 6 3 2 1 ขั้นที่ 4 ใช้วิธีการเช่นเดียวกับขั้นที่ 3 ไปเรื่อย ๆ จนครบทุกจำนวน เช่น 3 2 -5 -4 3 6 3 -3 2 1 -1 0 เศษ จะได้ว่า (1) จำนวนสุดท้ายในแถวที่ 3 จะเท่ากับเศษเหลือของการหาร ดังนั้น ถ้าจำนวนสุดท้าย ในแถวที่ 3 เป็น 0 แสดงว่า หารลงตัว ถ้าจำนวนสุดท้ายในแถวที่ 3 ไม่เท่ากับศูนย์ แสดงว่า หารไม่ลงตัว (2) จำนวนทุกจำนวนในแถวที่ 3 ยกเว้นจำนวนสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์ของ พหุนามที่เป็นผลหารซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของตัวตั้งอยู่ 1 ดังนั้นจะได้ผลหาร คือ 2x 2 + x − 1 เศษเหลือ คือ 0 แสดงว่าเป็นการหารลงตัว +

10 + ตัวอย่างที่ 2 จงหาร 5 4 2 x x x x + − + − 2 4 3 4 ด้วย x +3 โดยวิธีหารสังเคราะห์ โปรดสังเกตโจทย์ข้อนี้ไม่มี 3 x ดังนั้น นักเรียนต้องเพิ่มเข้าไปด้วย วิธีทำ เรียงพหุนามใหม่ 5 + 2 4 + 0 − 4 2 + 3 − 4 และ c =−3 จะได้ -3 1 2 0 -4 3 -4 -3 3 -9 39 -126 1 -1 3 -13 42 -130 เศษ ดังนั้น ผลหารคือ 4 3 2 x x x x − + − + 3 13 42 และเศษเหลือคือ -130 ตอบ ผลหารคือ 4 3 2 x x x x − + − + 3 13 42 และเศษเหลือคือ -130 **** ข้อสังเกต กำลังตัวตั้งเท่ากับ 5 และกำลังของผลหาร(หรือ ผลลัพธ์) ลดลงเหลือเป็น 4 ที่มา: https://www.youtube.com/watch?v=iXGFQa4QC4w พวกเราเข้าใจแล้วค่ะ...ครับ และเราสามารถศึกษาเพิ่มเติมจาก คิวอาร์โค้ดได้ค่ะ หัวใจน้อย ๆ ช่วยคิด

11 กลุ่ม........................... ให้นักเรียนแสดงวิธีหาคำตอบ โดยฝึกกับเพื่อนในกลุ่ม และนำเสนอผลงาน หน้าชั้นเรียน ตรวจเฉลยคำตอบ 1. ให้หาผลหารและเศษจากการหาร 3 2 7 6 x x − + ด้วย x +1 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. ........................................ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... 2. กำหนด p x( ) = 3 2 x x x + − − 4 7 10 ; c =1 จงหา q x( ) และ ( )r (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. ........................................ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... . บัตรกิจกรรมที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ คำชี้แจง

12 3. จงหาผลของการหาร 4 3 2 x x x x − + + − 3 4 6 ด้วย x −2 ( 5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………..

13 ให้นักเรียนแสดงการหารสังเคราะห์ของพหุนามต่อไปนี้อย่างละเอียด (ข้อละ 5 คะแนน) 1. จงหาผลหารและเศษจากการหาร 3 2 ( 2 2) x x x + − − ด้วย x −1 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................ ............................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................... .................... ............................................................................................................... ........................................................ ............................................................................................................................. .......................................... .............................................................................................................................................................. ......... .......................................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. .......................................... 2. จงหาผลหารและเศษจากการหาร 3 (2 4 5) x x − + ด้วย x +3 (5 คะแนน) วิธีทำ ............................................................................................................................. ........................................ ............................................................................................................. .......................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................................................ ........... ........................................................................................................................ ............................................... ............................................................................................................................. .......................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ............................................................................................................................. ......................................... ...................................................................................................................................................................... บัตรกิจกรรมเสริมที่ 2 เรื่อง การหารสังเคราะห์ คำชี้แจง ชื่อ..................................................................................ชั้น.......................เลขที่..............................

14 ในหัวข้อนี้ เราจะแยกตัวประกอบพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบกันนะคะ ทฤษฎีบทตัวประกอบ กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนจริง โดยที่ 0 n a และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า จะมีจำนวนจริง c ซึ่งทำให้ x c − เป็นตัวประกอบของ p x( ) ก็ต่อเมื่อ p c( ) = 0 ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนเต็ม กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนเต็ม ถ้า x c − เมื่อ c เป็นจำนวนเต็ม เป็นตัวประกอบของ p x( ) แล้ว c หาร 0 a ลงตัว จากทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนเต็มแสดงว่า สำหรับพหุนาม p x( ) ถ้า x c −เป็น ตัวประกอบแล้วจะได้ว่า p c( ) = 0 และในทางกลับกัน ถ้า p c( ) = 0 แล้ว x c −จะเป็น ตัวประกอบของ p x( ) บัตรความรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ Factor theorem

15 ตัวอย่างการนำไปใช้ ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 3 2 x x x + − − 2 5 6 วิธีทำ แยกตัวประกอบพหุนาม p x( ) = 3 2 x x x + − − 2 5 6 จำนวนเต็มที่หาร -6 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 6 พิจารณาเลือกจำนวนเต็มที่หาร 6 ลงตัว และได้ x = -1 โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้พหุนาม x +1 เป็นตัวประกอบหนึ่งของพหุนามที่กำหนด ใช้การหารสังเคราะห์ ดังนี้ - 1 1 2 -5 -6 -1 -1 6 1 1 -6 0 ดังนั้น x +1 เป็นตัวประกอบของ p x( ) และ p x( ) = 2 ( 1)( 6) x x x + + − แยกตัวประกอบ ( 2 + − 6) โดยใช้สมบัติการแจกแจง ได้ ( 2 + − 6) = ( − 2)( + 3) ดังนั้น การแยกตัวประกอบของ 3 2 x x x + − − 2 5 6 = ( 1)( 2)( 3) x x x + − + ตอบ ตัวประกอบของ 3 2 x x x + − − 2 5 6 คือ ( 1)( 2)( 3) x x x + − + ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มกรณีที่สัมประสิทธิ์ นำเป็น 1 ซึ่งหมายถึงสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่มีกำลังสูงสุดเป็น 1 จากตัวอย่าง เมื่อพิจารณา ( 1)( 2)( 3) x x x + − + ซึ่งเป็นตัวประกอบของ 3 2 x x x + − − 2 5 6 ถ้าให้เซตของจำนวนเต็มเป็น เอกภพสัมพัทธ์จะเห็นว่า -1, 2 และ -3 เป็นตัวประกอบของ -6 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองมีประโยชน์อย่างมากในการหาคำตอบ ของสมการตัวแปรเดียวดีกรีสูงกว่าสอง เพราะในการหาคำตอบของสมการ ถ้าจัดสมการให้จำนวน ทางขวามือของเครื่องหมายเท่ากับเป็นศูนย์ และทางซ้ายมืออยู่ในรูปสมการคูณกันของพหุนามดีกรีต่ำ กว่าสามแล้ว จะสามารถหาคำตอบของสมการได้โดยการหาค่าของตัวแปรที่ทำให้พหุนามแต่ละ พหุนามที่คูณกันมี ค่าเป็นศูนย์ดังตัวอย่างต่อไปนี้ +

16 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4 3 2 x x x x − − − − 2 4 24 = 0 วิธีทำ ให้ p x( ) = 4 3 2 x x x x − − − − 2 4 24 1. จำนวนเต็มที่หาร -24 ลงตัว : ค่า c 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 2. พิจารณา p x( ) ที่ทำให้ p c( ) = 0 ได้ p( 2) 0 − = แสดงว่า ( ( 2)) ( 2) x x − − = + เป็นตัวประกอบของ 4 3 2 x x x x − − − − 2 4 24 ลองแทนค่า 4 3 2 p(1) 1 1 2(1) 4(1) 24 = − − − − = −30 (หารไม่ลงตัว) 4 3 2 p( 1) ( 1) ( 1) 2( 1) 4( 1) 24 − = − − − − − − − − = −20 (หารไม่ลงตัว) 4 3 2 p(2) (2) (2) 2(2) 4(2) 24 = − − − − = −32 (หารไม่ลงตัว) 4 3 2 p( 2) ( 2) ( 2) 2( 2) 4( 2) 24 − = − − − − − − − − = 0 (หารลงตัว) 3. หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ 4 3 2 x x x x − − − − 2 4 24 = q x x ( )( 2) + จะได้ 3 2 q x x x x ( ) 3 4 12 = − + − -2 1 -1 -2 -4 -24 -2 6 -8 24 1 -3 4 -12 0 ดำเนินการแยกตัวประกอบ (ต่อ) 3 2 x x x − + − 3 4 12 4. จำนวนเต็มที่หาร -12 ลงตัว : ค่า c 1, 2, 3, 4, 6, 12, 5. พิจารณา p c( ) ที่ทำให้ p c( ) = 0 ได้ p c( ) = 0 แสดงว่า ( 3) x − เป็นตัวประกอบของ 3 2 x x x − + − 3 4 12 3 2 p(1) 1 3(1) 4(1) 12 = − + − = -10 (หารไม่ลงตัว) 3 2 p( 1) ( 1) 3( 1) 4( 1) 12 − = − − − + − − = -20 (หารไม่ลงตัว) 3 2 p(2) (2) 3(2) 4(2) 12 = − + − = -8 (หารไม่ลงตัว) 3 2 p( 2) ( 2) 3( 2) 4( 2) 12 − = − − − + − − = -40 (หารไม่ลงตัว) 3 2 p(3) (3) 3(3) 4(3) 12 = − + − = 0 (หารลงตัว) 6. หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ 3 2 x x x − + − 3 4 12 = q x x ( )( 3) − จะได้ 2 q x x ( ) 4 = + 3 1 -3 4 -12 3 0 12 1 0 4 0 + +

17 จากขั้นตอนการหารดังกล่าว สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้ 4 3 2 x x x x − − − − 2 4 24 = 3 2 ( 3 4 12)( 2) x x x x − + − + = 2 ( 4)( 3)( 2) x x x + − + ตอบ ตัวประกอบของ 4 3 2 x x x x − − − − 2 4 24 คือ 2 ( 4)( 3)( 2) x x x + − + ในกรณีทั่วไป ถ้า x c −เป็นตัวประกอบของ o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... โดยที่ c และสัมประสิทธิ์ของพหุนามนี้เป็นจำนวนเต็มแล้ว c จะเป็นตัวประกอบของ 0 a ดังนั้นในการหา จำนวนเต็ม c ดังกล่าวจึงพิจารณาจากตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มของ 0 a ดังนั้นเราสามารถสรุป การแยกตัวประกอบของพหุนาม ได้ดังนี้ 1. หาตัวประกอบ c ของ 0 a ที่ทำให้ p c( ) = 0 2. นำ x c −ไปหาร p x( ) ผลหารจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ p x( ) อยู่ 1 3. ถ้าผลหารในข้อ 2 ยังมีดีกรีสูงกว่าสองและสามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีกก็ แยกตัวประกอบของผลหารนั้นตามขั้นตอนในข้อ 1และข้อ 2 แต่ถ้าผลหารดีกรีสองจะใช้ วิธีแยกตัวประกอบที่เคยเรียนมา

18 กลุ่ม........................... บัตรกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ ให้นักเรียนแสดงวิธีแยกตัวประกอบของพหุนามที่กำหนดให้และนำเสนอผลงาน หน้าชั้นเรียน จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ (ข้อละ 10 คะแนน) 1. 3 2 x x x + − − 4 9 36 วิธีทำ จำนวนเต็มที่หาร -36 ลงตัว : ค่า c พิจารณา p c( ) ที่ทำให้ p c( ) 0 = หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) สรุปตอบ ชื่อกลุ่ม...........................................สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5…………………………………………………………….. คำชี้แจง

19 ให้นักเรียนแสดงวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามที่กำหนด (10 คะแนน) 1. 4 3 2 x x x x − − + + 2 13 14 24 = 0 วิธีทำ จำนวนเต็มที่หาร 24 ลงตัว : ค่า c พิจารณา p c( ) ที่ทำให้ p c( ) 0 = หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) แยกตัวประกอบ q x( ) ที่หาได้ จำนวนเต็มที่หาร...................ลงตัว : ค่า c พิจารณา p c( ) ที่ทำให้ p c( ) 0 = หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) สรุปตอบ บัตรกิจกรรมเสริมที่ 3 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบ คำชี้แจง

20 ทฤษฎีบทตัวประกอบ กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนจริง โดยที่ 0 n a และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า จะมีจำนวนจริง c ซึ่งทำให้ x c − เป็นตัวประกอบของ p x( ) ก็ต่อเมื่อ p c( ) = 0 ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนเต็ม ถ้า k x m −เป็นตัวประกอบของ p x( ) โดยที่ k m, เป็นจำนวนเต็ม m 0 และ ห.ร.ม.ของ k m, เท่ากับ 1 แล้ว k จะหาร 0 a ลงตัว และ m หาร n a ลงตัว ตัวอย่างการนำทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะไปใช้ ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ 3 2 p x x x x ( ) 18 2 26 6 = + − + และ k x m −เป็นตัวประกอบของ p x( ) จงหา 1) m 2) k 3) k x m − วิธีทำ (1) m คือตัวประกอบของ n a ซึ่ง n a คือ 18 m คือ 1, 2, 3, 6, 9, 18 (2) k คือตัวประกอบของ 0 a ซึ่ง 0 a คือ 6 K คือ 1, 2, 3, 6 (3) หา k m ที่ ห.ร.ม. ของ k และ m เป็น 1 ได้ดังนี้ 1 3 1 2 1 1 2 1 1, 2, 3, 6, , , , , , , , 2 2 3 3 6 9 9 18 ( ) 0 k p m = เมื่อ k m = 1 บัตรความรู้ที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ

21 ค่า k m อื่นๆ ไม่ทำให้ ( ) 0 k p m = ดังนั้น k x m − = − 1 ตัวอย่าที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 3 2 12 16 5 3 x x x + − − วิธีทำ ให้ p x( ) = 3 2 12 16 5 3 x x x + − − หา m ที่เป็นตัวประกอบของ 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 หา k ที่เป็นตัวประกอบของ -3 1, 3 สร้าง k m 1 3 1 1 3 1 1 1, 3, , , , , , , 2 2 3 4 4 6 12 หา ( ) 0 k p m = ได้ 1 2 c = นั่นคือ 1 2 x − เป็นตัวประกอบของ 3 2 12 16 5 3 x x x + − − 3 2 1 1 1 1 12 16 5 3 2 2 2 2 p = + − − 12 16 5 3 8 4 2 = + − − = 0 หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ 3 2 1 12 16 5 3 ( )( ) 2 x x x q x x + − − = − จะได้ 2 q x x x ( ) 12 22 6 = + + 1 2 12 16 -5 -3 6 11 3 12 22 6 0 สรุปคำตอบ 3 2 12 16 5 3 x x x + − − = 2 1 (12 22 6)( ) 2 x x x + + − = 2 1 2(6 11 3)( ) 2 x x x + + − = 2 (6 11 3)(2 1) x x x + + − = (3 1)(2 3)(2 1) x x x + + − ศึกษาเพิ่มเติม ที่มา: https://www.youtube.com/watch?v=27Ksfmo1dIg +

22 กลุ่ม........................... ให้นักเรียนแสดงวิธีการแยกตัวประกอบโดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบไปใช้ (10 คะแนน) 1. 4 3 2 2 13 28 23 6 x x x x − + − + วิธีทำ หา m ที่เป็นตัวประกอบของ.......... หา k ที่เป็นตัวประกอบของ.......... สร้าง k m หา ( ) 0 k p m = ได้ หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) แยกตัวประกอบ q x( ) ที่หาได้ หา m ที่เป็นตัวประกอบของ.......... หา k ที่เป็นตัวประกอบของ.......... คำชี้แจง บัตรกิจกรรมที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรรกยะ

23 สร้าง k m หา ( ) 0 k p m = ได้ หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) สรุปตอบ ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5……………………………………………………………..

24 สำหรับพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้โดยใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ กำหนด p x( ) และ k x m −เป็นตัวประกอบของ p x( ) จงหา 1) m 2) k 3) k x m − วิธีทำ 1. กำหนด 3 2 p x x x x ( ) 2 1 = + + − ............................................................................................................................. ......................... ......................................................................................................... ............................................. ............................................................................................................................. ......................... …………………………………………………………………………………………………………………………………….. ................................................................................................................................. ........................ .......................................................................................................... ............................................... ............................................................................................................................. ......................... …………………………………………………………………………………………………………………………………….. ............................................................................................................................... ...................... ........................................................................................................... ........................................... 2. กำหนด 3 2 p x x x x ( ) 6 11 6 = − − + ............................................................................................................................. ......................... …………………………………………………………………………………………………………………………………….. ...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ......................... ............................................................................................................................... ....................... …………………………………………………………………………………………………………………………………….. ...................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ......................... .................................................................................................................................. .................... …………………………………………………………………………………………………………………………………….. บัตรกิจกรรมเสริมที่ 4 เรื่อง ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรรกยะ คำชี้แจง ชื่อ..................................................................................ชั้น.......................เลขที่..............................

25 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว การแก้สมการ หรือการหาคำตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียว หมายถึง การหาคำตอบของ สมการที่เขียนในรูป o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... = 0 เมื่อ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นค่าคงตัว และ 0 n a สามารถหาคำตอบของสมการได้ โดยใช้การแยกตัวประกอบและอาศัยทฤษฎีบทที่ว่า “เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ” ทฤษฎีบทตัวประกอบ กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนจริง โดยที่ 0 n a และ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า จะมีจำนวนจริง c ซึ่งทำให้ x c − เป็นตัวประกอบของ p x( ) ก็ต่อเมื่อ p c( ) = 0 ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ กำหนดพหุนาม p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ 1 1 0 , ,..., , n n a a a a − เป็นจำนวนเต็ม ถ้า k x m −เป็นตัวประกอบของ p x( ) โดยที่ k m, เป็นจำนวนเต็ม m 0 และ ห.ร.ม.ของ k m, เท่ากับ 1 แล้ว k จะหาร 0 a ลงตัว และ m หาร n a ลงตัว บัตรความรู้ที่ 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว

26 ตัวอย่างการแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวไปใช้ ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของพุหนาม 3x3 + 2x 2 − 12x − 8 = 0 วิธีทำ จาก 3x3 + 2x 2 − 12x − 8 = 0 จะได้ (3x3 + 2x 2 ) − (12x + 8) = 0 2 (3x + 2) − 4(3x + 2) = 0 ( 2 − 4)(3x + 2) = 0 ( − 2)( + 2)(3 + 2) = 0 จะได้ − 2 = 0 หรือ + 2 = 0 หรือ 3 + 2 = 0 = 2 = −2 = −2 3 ∴ เซตคำตอบของพหุนามนี้คือ {−2, −2 3 , 2} ตอบ {−2, −2 3 , 2} ครูแนะนำว่า วิธีการแก้สมการพหุนามข้างต้น ใช้ได้ในกรณีสามารถจัดพจน์ของพุหนาม แล้วอาศัยสมบัติของจำนวนจริงเพื่อแยกตัวประกอบ นอกจากวิธีนี้แล้วสามารถอาศัยทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ช่วยในการแยกตัวประกอบ ซึ่งจะได้กล่าวในลำดับถัดไป ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ 3 − 6 2 − + 30 = 0 วิธีทำ () = 3 − 6 2 − + 30 จากทฤษฎีบทตัวประกอบ จะได้ ตัวประกอบของ 30 คือ ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±30 พิจารณา (3) = 3 3 − 6(3) 2 − 3 + 30 = 27 − 54 − 3 + 30 = 0 จะได้ − 3 เป็นตัวประกอบของ 3 − 6 2 − + 30 นำ − 3 ไปหาร 3 − 6 2 − + 30 โดยใช้การหารสังเคราะห์ ได้ผลหาร คือ 2 − 3 − 10 จาก 3 − 6 2 − + 30 = ( − 3)( 2 − 3 − 10) = ( − 3)( + 2)( − 5) ดังนั้น − 3 = 0 หรือ + 2 = 0 หรือ − 5 = 0 = 3 หรือ = −2 หรือ = 5 ∴ เซตคำตอบของพหุนามนี้คือ {−2,3,5} ตอบ {−2,3,5}

27 ตัวอย่าที่ 3 จงหาเซตคำตอบของ 3 2 12 16 5 3 x x x + − − = 0 วิธีทำ ให้ p x( ) = 3 2 12 16 5 3 x x x + − − หา m ที่เป็นตัวประกอบของ 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 หา k ที่เป็นตัวประกอบของ -3 1, 3 สร้าง k m 1 3 1 1 3 1 1 1, 3, , , , , , , 2 2 3 4 4 6 12 หา ( ) 0 k p m = ได้ 1 2 c = นั่นคือ 1 2 x − เป็นตัวประกอบของ 3 2 12 16 5 3 x x x + − − 3 2 1 1 1 1 12 16 5 3 2 2 2 2 p = + − − 12 16 5 3 8 4 2 = + − − = 0 หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ 3 2 1 12 16 5 3 ( )( ) 2 x x x q x x + − − = − จะได้ 2 q x x x ( ) 12 22 6 = + + 1 2 12 16 -5 -3 6 11 3 12 22 6 0 สรุปคำตอบ 3 2 12 16 5 3 x x x + − − = 2 1 (12 22 6)( ) 2 x x x + + − = 2 1 2(6 11 3)( ) 2 x x x + + − = 2 (6 11 3)(2 1) x x x + + − = (3 1)(2 3)(2 1) x x x + + − จะได้ 3x + 1 = 0 2x + 3 = 0 2x - 1 = 0 = −1 3 = −3 2 = 1 2 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการพหุนามนี้ คือ { −1 3 , −1 3 , 1 2 } ตอบ { −1 3 , −1 3 , 1 2 } +

28 ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของ 2 3 − 5 2 − 2 + 5 = 0 วิธีทำ ให้ () = 2 3 − 5 2 − 2 + 5 เนื่องจากจำนวนที่หาร 5 ลงตัว คือ ±1, ±5 และ จำนวนที่หาร 2 ลงตัว คือ ±1, ±2 จะได้ − คือ ±1, ± 1 2 , ± 5 2 , ±5 จาก () = 2 3 − 5 2 − 2 + 5 พิจารณา ( − 1) จะได้ 1 2 -5 -2 5 2 -3 -5 2 -3 -5 0 จะได้ − 1 เป็นตัวประกอบของ 2 3 − 5 2 − 2 + 5 = 0 ได้ผลหาร 2 2 − 3 − 5 และ 2 3 − 5 2 − 2 + 5 = ( − 1) (2 2 − 3 − 5) = ( − 1) (2 − 5)( + 1) นั่นคือ ตัวประกอบของ 2 3 − 5 2 − 2 + 5 = ( − 1)(2 − 5)( + 1) หรือ − 1 = 0 หรือ + 1 = 0 หรือ 2 − 5 = 0 = 1 = 1 = 5 2 ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ {−1,1, 5 2 } ตอบ {−1,1, 5 2 } นักเรียนสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมได้ตลอดเวลา +

29 ให้นักเรียนแสดงวิธีการแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว ดังต่อไปนี้ (10 คะแนน) 1. จงหาเซตคำตอบของ 3 − 2 − 14 + 24 = 0 วิธีทำ ให้ () = …………………………………………………………………………………………………………. จำนวนที่หาร 24 ลงตัว คือ....................................................................................... พิจารณา.................. จะได้ ……. …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………. จะได้ …………………เป็นตัวประกอบของ…………………………………………………………….. ผลหารคือ……………………………………………………………………………………………………….. และ 3 − 2 − 14 + 24 = …….……………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………… ดังนั้น…………………………………….. หรือ………………………………….หรือ…………………………………. …………………………………….. หรือ…………………………………..หรือ………………………………… ∴ เซตคำตอบของสมการ คือ………………………………………………………………………… ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 2. จงหาเซตคำตอบของ 3 − 2 2 + 7 − 6 = 0 วิธีทำ ให้ () = …………………………………………………………………………………………………………. จำนวนที่หาร -6 ลงตัว คือ....................................................................................... พิจารณา.................. จะได้ ……. …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………. จะได้ …………………เป็นตัวประกอบของ…………………………………………………………….. ผลหารคือ……………………………………………………………………………………………………….. และ 3 − 2 2 + 7 − 6 = …….……………………………………………………………………….. = ……………………………………………………………………………… ดังนั้น…………………………………….. หรือ………………………………….หรือ…………………………………. …………………………………….. หรือ…………………………………..หรือ………………………………… ∴ เซตคำตอบของสมการ คือ………………………………………………………………………… ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. คำชี้แจง บัตรกิจกรรมที่ 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว กลุ่ม...........................

30 3. จงหาเซตคำตอบของ 2 3 − 5 3 − 2 + 5 = 0 2 3 − 5 3 − 2 + 5 = 0 วิธีทำ หา m ที่เป็นตัวประกอบของ...2....... …………………………………………………………………………… หา k ที่เป็นตัวประกอบของ....5...... …………………………………………………………………………… สร้าง k m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… หา ( ) 0 k p m = ได้ …………………………….. แสดงว่า …………………… เป็นตัวประกอบ ของ……………………………………………………… ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………….. หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ 2 3 − 5 3 − 2 + 5 = …………………………………………………………….. ………………………………………………… และ 2 3 − 5 3 − 2 + 5 = ………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………….. นั่นคือตัวประกอบของพหุนาม 2 3 − 5 3 − 2 + 5 = …………………………………………………………………………………….. จะได้ ……………………………..หรือ……………………………………..หรือ………………………………………. ……………………………..หรือ………………………………………หรือ………………………………………. ดังนั้น เซตคำตอบของสมการพหุนาม 2 3 − 5 3 − 2 + 5 คือ……………………………………………. ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………. ชื่อกลุ่ม........................................... สมาชิก 1…………………………………………………………….. 2…………………………………………………………….. 3……………………………………………………………. 4…………………………………………………………….. 5…………………………………………………………….. +

31 ให้นักเรียนแสดงวิธีการแก้สมการพหุนามต่อไปนี้ 3 4 − 8 3 + 2 − 8 − 4 = 0 วิธีทำ หา m ที่เป็นตัวประกอบของ...3....... …………………………………………………………………………… หา k ที่เป็นตัวประกอบของ....-4...... …………………………………………………………………………… สร้าง k m …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… หา ( ) 0 k p m = ได้ ………………………….. แสดงว่า ……………….. เป็นตัวประกอบของ 3 4 − 8 3 + 2 − 8 − 4 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………….. หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ 3 4 − 8 3 + 2 − 8 − 4 = ()(… … … … ) ……………………………………………….. แยกตัวประกอบ q x( ) ที่หาได้ ………………………………………………………………. หา m ที่เป็นตัวประกอบของ.......... …………………………………………………………….. หา k ที่เป็นตัวประกอบของ.......... …………………………………………………………… สร้าง k m ………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………. บัตรกิจกรรมเสริมที่ 5 เรื่อง การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว คำชี้แจง +

32 หา ( ) 0 k p m = ได้ ……………………….. ดังนั้น x −1 เป็นตัวประกอบของ …………………………………………………… หารสังเคราะห์เพื่อหา q x( ) ที่ทำให้ …………………………………. = ()(… … … … … . ) จได้ q x( ) = ………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………. ………………………………………………………… และ 3 4 − 8 3 + 2 − 8 − 4 = …………………………………………………………………….. = …………………………………………………………………….. นั่นคือตัวประกอบของพหุนาม 3 4 − 8 3 + 2 − 8 − 4 = …………………………………………………………………….. จะได้ ……………………หรือ……………………… หรือ…………………………หรือ……………………………. ……………………หรือ…………………………หรือ…………………………หรือ…………………..………. ดังนั้น เซตคำตอบของสมการพหุนาม 3 4 − 8 3 + 2 − 8 − 4 คือ………………………………… ตอบ…………………………………………………………………………………………………………………………………………. ชื่อ..................................................................................ชั้น.......................เลขที่.............................. +

33 แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง สมการพหุนามตัวแปรเดียว × 1. จงทำเครื่องหมายกากบาท ( ) ทับตัวอักษรหน้าคำตอบที่ถูกต้อง 2. ใช้เวลาในการทำข้อสอบ 15 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน 1. ถ้าหาร 4 2 p x x x x ( ) 2 3 1 = + − + ด้วย x + 2 แล้วเศษเหลือจะเท่ากับเท่าไร 1. 33 2. 32 3. 31 4. 30 2. กำหนดให้ 3 2 p x x x x ( ) 2 5 6 = − − + หารด้วย x −1 มีผลหารเท่าไร 1. 2 − − 6 2. 2 − + 6 3. 2 + − 6 4. − 2 − − 6 3. กำหนด p x( ) = o n n n an x + a x + + a x + a − − 1 1 1 ... ข้อใดไม่ถูกต้อง 1. x c −เป็นตัวประกอบของ p x( ) ก็ต่อเมื่อ p c( ) = 0 2. เศษเหลือจากการหาร p x( ) ด้วย x c −เท่ากับ p c( ) 3. จากพหุนาม p x( ) จะได้ว่า n a 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม 4. เศษเหลือจากการหาร p x( ) ด้วย x c −เท่ากับ 0 เป็นการหารลงตัว 4. จงหาค่า k เมื่อ x k −หาร 3 x −3 แล้วเหลือเศษ 5 1. -1 2. 1 3. -2 4. 2 5. กำหนดพหุนาม 3 2 p x x x x ( ) 3 10 9 2 = − + − จงตรวจสอบว่า พหุนาม x +1 และ x −2 เป็นตัวประกอบของ p x( ) หรือไม่ 1. x +1 เป็น x −2 ไม่เป็น 2. x +1 เป็น x −2 เป็น 3. x +1 ไม่เป็น x −2 เป็น 4. x +1 ไม่เป็น x −2 ไม่เป็น คำชี้แจง

34 6. ข้อใดคือเซตคำตอบของสมการ 3 − 2 2 − 5 + 6 = 0 1. {−1, −2,3} 2. {−2,1,3} 3. {−1, −2, −3} 4. {−3, −2,1} 7. กำหนด 3 2 p x x x x ( ) 2 3 4 = + + + จงหาพหุนาม q x( ) และจำนวนจริง r ที่ทำให้ p x x c q x r ( ) ( ) ( ) = − + เมื่อ c เท่ากับ -1 1. 3 q x x x r ( ) 2, 2 = + + = 2. 2 q x x x r ( ) 2, 2 = + + = − 3. 2 q x x x r ( ) 2, 2 = + + = 4. 3 q x x x r ( ) 2, 2 = + + = − 8. 2 3 − 2 + 3 − 18 หารด้วย x −2 ได้ผลลัพธ์เท่ากับเท่าไหร่ 1. 2 2 + 3 + 9 2. 2 + 3 + 9 3. 2 2 + + 9 4. −2 2 − 3 − 9 9. ข้อใดเป็นผลบวกของคำตอบของสมการ 3 − 7 + 6 = 0 1. -3 2. -1 3. 0 4. 1 10. ข้อใดคือเซตคำตอบของสมการ 2 − 4 − 21 = 0 1. {−7, −3} 2. {−3, −7} 3. {−7,3} 4. {7,3}

35 กมล เอกไทยเจริญ. (2544). คณิตศาสตร์ ม. 4 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2553). คู่มือประกอบการเรียนรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4-6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. ________. (2552). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคิดลัด คู่มือสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม. 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : พ.ศ.พัฒนา. ธนวัฒน์ (สันติ ) สนทราพรพล. (2551). แบบฝึกหัดและเทคนิคคิดโจทย์เร็ว คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : ธรรมบัณฑิต. เลิศ สิทธิโกศล. (2554). คณิตศาสตร์ ม. 4-6 เล่ม 1 (เพิ่มเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2562). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. สุคนธ์ สินธพานนท์. (2551). นวัตกรรมการเรียนการสอนเพื่อพัฒนาคุณภาพของเยาวชน. พิมพ์ ครั้งที่ 3. กรุงเทพฯ. ศุภกิจ เฉลิมวิสุตม์กุล. (2550). เทคนิคคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : แม็ค. บรรณานุกรม