34 BAB VI. FUNGSI PEMBANGKIT A. Kompetensi dan indikator Kompetensi : Mahasiswa memahami Fungsi Pembangkit Indikator : 1. Mahasiswa dapat membuat Fungsi Pembangkit Biasa dan Fungsi Pembangkit Eksponensial dari sebuah barisan 2. Mahasiswa dapat menentukan barisan dari Fungsi Pembangkit Biasa dan Fungsi Pembangkit Eksponensial 3. Mahasiswa dapat menggunakan Fungsi Pembangkit untuk menyelesaikan masalah permutasi dan kombinasi B. Uraian Materi a. Pengantar Fungsi Pembangkit Fungsi pembangkit digunakan untuk menyatakan barisan secara efisien dengan cara meng-kode-kan unsur barisan sebagai koefisien variabel x dalam deret pangkat. Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: memecahkan berbagai masalah counting, memecahkan relasi rekursif, dan membuktikan identitas kombinatorik. Rumus-rumus yang digunakan: Teorema Binomial (x+y)n =C(n,0)xn+ C(n,1)xn-1y + C(n,2)xn-2y 2+…+C(n,n-1)xyn-1 + C(n,n)yn . Teorema Binomial Newton Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan u bilangan real. Maka, (1 ) . 0 k u k x k u x
35 Dimana untuk u bilangan real dan untuk u bilangan bulat negatif, atau u=-n (n bulat positif) berlaku : C(-n,k) =(-1)k C(n+k-1,k) Contoh 1. Ekspansikan (1+x)-n dan (1-x)-n , dengan n bilangan bulat positif. b. Fungsi Pembangkit Biasa Definisi. Fungsi pembangkit biasa untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga: Contoh 2. a. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah b. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3 adalah c. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k adalah Contoh 3: Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, 1, 1 Solusi. Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1 adalah: 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 Contoh 4. Fungsi pembangkit dari barisan 1, 1, 1, 1, … adalah 1 + x + x2 + x3 + … = 1/(1-x), jika |x| < 1 1 , jika 0. , jika 0, ! ( 1)...( 1) k k k u u u k k u dengan, ( 1) ( 1, ) (1 ) . 0 C n k k k n x k n x k k n k 0 (1 ) ( 1, ) Dengan mengganti x dgn x : k n k x C n k k x ( ) ... ... . 0 0 1 k k k k k G x a a x a x a x 0 5 k k x 0 ( 3) k k k x k k k x 0 3
36 Contoh 5. Fungsi pembangkit dari barisan 1, a, a2 , a3 , … adalah 1 + ax + a2x 2 + a3x 3 + … = 1/(1-ax), jika |ax| < 1 Teorema 1 Contoh 6. Misal f(x) = 1/(1-x)2 . Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) = akx k . Solusi. c. Fungsi pembangkit Eksponensial Definisi. Fungsi pembangkit Eksponensial untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga: Contoh 7. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah d. Aplikasi Fungsi Pembangkit untuk Masalah Permutasi dan Kombinasi Contoh 8 Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1, n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2 n1 5, 3 n2 6 dan 4 n3 7. Solusi. ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) dan Maka, Misal ( ) dan ( ) . 0 0 0 0 0 k k k j j k j k k k k k k k k k k f x g x a b x f x g x a b x f x a x g x b x 1 ( 1) . (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 0 0 0 2 k k k k k j x k x x x x . ! ... ! ... 1! ( ) 0 0 1 k k k k k k x a k x a x G x a a ! 5 0 k x k k
37 Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam ekspansi: (x2+x3+x4+x5 ) (x3+x4+x5+x6 ) (x4+x5+x6+x7 ). Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan x n1 pada faktor pertama dengan x n2 pd faktor kedua dan x n3 pada faktor ketiga sehingga memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17. Bila dihitung, maka didapat koefisien x17 adalah 3. Jadi, ada tepat 3 solusi. Contoh 9: Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue? Solusi. Misalkan cn: banyaknya cara dalam membagikan n kue. Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang berbentuk: (x2 + x3 + x4 ) dalam fungsi pembangkit barisan {cn}. Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah: (x2 + x3 + x4 ) 3 . Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8 , yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi. Contoh 10: Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, dengan memperhatikan dua kasus: a. urutan pemilihan diperhatikan atau b. tidak diperhatikan. Solusi Misalnya untuk membayar Rp. 600 maka ada 2 cara bila urutan tidak diperhatikan, yaitu (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100) atau (Rp. 100, Rp. 500) dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu
38 (Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100) (Rp. 100, Rp. 500), atau (Rp. 500, Rp. 100) b. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan. Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan berkali-kali, maka faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100 adalah 1 + x + x2 + x3 + …, faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500 adalah 1 + x5 + x10 + …, faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000 adalah 1 + x10 + x20 + … Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr/100 . a. Jika urutan pemilihan diperhatikan. Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n pecahan untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien xr/100 dalam (x + x5 + x10) n Karena kita dapat menggunakan berapa pun jumlah pecahan, maka banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr/100 dalam 1 + (x + x5 + x10) + (x + x5 + x10) 2 + … Contoh 11: Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda berbeda jika kita harus memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenisnya. Solusi. Misalkan ar: banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis benda bila dari setiap jenis terpilih sedikitnya satu objek. Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenis, maka setiap jenis memberikan faktor (x + x2 + x3 + …) Maka fungsi pembangkit G(x) dari barisan {ar} adalah G(x) = (x+x2 + x3 + …)n = xn (1+x+x2 + x3 + …)n = xn / (1-x)n . Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas: 2 5 2 5 1 1 1 ( ) 1 x x x x x x
39 Jadi, ada C(r-1,r-n) cara memilih. Fungsi Pembangkit dan Pembuktian Identitas Contoh 12: Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan: Solusi. C(2n,n) adalah koefisien xn dlm ekspansi (1+x)2n . Akan tetapi, (1+x)2n = [(1+x)n ] 2 . = [C(n,0)+C(n,1)x+ … + C(n,n)xn ] 2 . Koefisien dari xn dlm ekspansi ini: C(n,0)C(n,n) + C(n,1)C(n,n-1) + … + C(n,n)C(n,0). Ini sama dgn C(n,k)2 , krn C(n,n-k) = C(n,k). Karena C(2n,n) dan C(n,k)2 menyatakan koefisien xn dlm (1+x)2n maka haruslah C. Latihan 1. Tentukan fungsi pembangkit biasa dan Fungsi pembangkit eksponensial dari bentuk: a. 1/(1+x)8 b. 1/(1-4x)3 c. x 3 /(1+4x)2 r n r t n t r n r r r r n r r n r n n n n C r r n x C n r r x C t t n x x x C n r r x r n x x x x x G x ( 1, ) . ( 1, ) ( 1, ) ( ) ( 1) ( 1, )( 1) .(1 ) (1 ) ( ) 0 0 0 ( , ) (2 , ), bila n bulat. 0 2 C n k C n n n k ( , ) (2 , ). 0 2 C n k C n n n k
40 2. Diketahu fungsi pembangkit x x P x 1 5 1 3 ( ) . Tentukan barisan (an) dari fungsi pembangkit tersebut. 3. Seorang manager dari suatu perusahaan merencanakan menambah fasilitas kendaraan baru yang berjenis sedan, bus dan truk. Manager tersebut akan membeli 100 kendaraan yang terdiri dari paling sedikit 1 sedan , paling banyak 10 bus dan sekurang-kurangnya 2 tetapi tidak lebih dari 15 truk. Tentukan banyaknya cara yang dapat dilakukan. 5. Tentukan banyaknya cara memilih 10 huruf dari huruf-huruf pembentuk kata CANTIK sedemikian hingga memuat tepat satu C dan paling banyak 4A 6. Tentukan banyaknya solusi bulat positif persamaan x1+x2+x3+x4=100 dengan syarat x1≥2; 5≤x2≤50; x3≤45; dan x4≥0. 7. Tentukan banyaknya barisan binair dengan r angka yang memuat angka 0 dan 1 sebanyak bilangan ganjil 8. Tentukan banyaknya barisan binair dengan r angka yang memuat angka 0 dan 1 sebanyak bilangan ganjil 9. Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan 25 donat yang identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat. 10. Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara untuk menukar uang $100 dengan menggunakan: a) $10, $20 dan $50 pecahan b) $5, $10, $20 dan $50 c) $5, $10, $20 dan $50 bila setiap pecahan digunakan sedikitnya sekali. d) $5, $10 dan $20 bila setiap pecahan digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih dari 4 kali. D. Lembar kegiatan: Mahasiswa mengerjakan soal-soal latihan Alat dan Bahan Langkah kegiatan; 1. Kelas dibagi dalam 5 kelompok
41 2. Tiap kelompok mengerjakan 2 soal latihan untuk tugas rumah 3. Pada pertemuan mahasiswa mengumpulkan dan menyajikan hasil pekerjaannya Hasil: Laporan hasil kerja tiap kelompok E. Rangkuman Fungsi pembangkit biasa untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga: Fungsi pembangkit Eksponensial untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga: F. Tes Formatif 1. Diketahu fungsi pembangkit 2 (1 ) 5 1 3 ( ) x x P x . Tentukan barisan (an) dari fungsi pembangkit tersebut. 2. Tentukan fungsi pembangkit biasa dan Fungsi pembangkit eksponensial dari bentuk: a. 1/(1+x)5 b. 1/(1-4x)4 3. Terdapat 50 koin yang sama yang akan ditempatkan ke dalam 5 kotak yang berbeda yang berbeda sedemikian hingga tiga kotak yang pertama masingmasing mendapat paling sedikit 10 koin. Tentukan fungsi pembangkit dari masalah tersebut. 4. Hitunglah banyaknya cara membentuk barisan ternair dengan panjang 10, jika angka 0 muncul sedikitnya satu kali, angka 1 muncul sebanyak bilangan ganjil dan angka 2 muncul sebanyak bilangan genap. 5. Tentukan banyaknya cara mengambil k huruf dari huruf-huruf dalam kata IBU de ngan syarat setiap huruf vokal dan konsonan terambil paling sedikit 1 dan paling banyak 9. ( ) ... ... . 0 0 1 k k k k k G x a a x a x a x . ! ... ! ... 1! ( ) 0 0 1 k k k k k k x a k x a x G x a a
42 DAFTAR PUSTAKA 1) Budayasa, I Ketut. 1997. Matematika Diskrit. Surabaya: University Press IKIP Surabaya 2) Rosen, K.H. 2003. Discrete Mathematics and Its Applications, 5th Edition. New York : McGraw-Hill. 3) Siang, Jong Jek. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Andi Offset 4) Sutarno,Hery dkk. 2003. Matematika Diskrit. Diktat kuliah yang disusun untuk IMSTEP. UPI Bandung