การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

3. จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี
1) 4x2 – 12x + 5
(2x - 1)(2x - 5)
2) 3x2 - 19x - 14
(3x + 2)(x - 7)
3) 6x2 - 3x - 9
(2x -3)(3x + 3)
4) 7x2 - 37x + 10
(7x - 2)(x - 5)
5) 10x2 + 23x + 12
(5x + 4)(2x + 3)
6) 16x2 - 40x + 21
(4x - 3)(4x - 7)
7) 12x2 + 18x + 6
(4x + 2)(3x + 3)
8) 12x2 - 20x + 3
(6x - 1)(2x - 3)
9) 5x2 + 13x - 28
(5x - 7)(x + 4)

10) 11x2 - 69x + 18
(11x - 3)(x - 6)

11) 9x2 - 24x + 16
(3x - 4)(3x - 4)

12) 4x2 - 14x + 10
(2x - 5)(2x - 2)

13) 12x2 + 11x - 15
(4x - 3)(3x + 5)

14) 49x2 + 28x + 4
(7x + 2)(7x + 2)

15) 13x2 + 129x - 10
(13x - 1)(x + 10)

16) 8x2 + 28x - 36
(2x + 9)(4x - 4)

17) 16x2 - 34x - 15
(8x + 3)(2x - 5)

18) 4x2 + 20x + 16
(4x + 4)(x + 4)

19) 10x2 - 7x - 12
(2x - 3)(5x + 4)

20) 9x2 - 3x - 20
(3x + 4)(3x - 5)

21) 4x2 + 12x + 9
(2x + 3)(2x + 3)

22) 4x2 - 12x + 9
(2x - 3)(2x - 3)

23) 4x2 - 9
(2x - 3)(2x + 3)

24) 9x2 – 16
(3x + 4)(3x - 4)

25) 16x2 – 25
(4x - 5)(4x + 5)

4. จบั ค่พู หุนามที่กาหนดให้ โดยเขยี นอักษรหนา้ ข้อที่เป็นพหนุ ามเดียวกนั

ค 1) x2 + 10x + 25 ก (x + 13)(x - 6)

ช 2) x2 + 12x + 35 ข (3x + 1)(x - 7)

ญ 3) x2 + 23x + 22 ค (x + 5)(x + 5)

ถ 4) x2 - 4x + 4 ง (7x - 2)(x - 5)

ณ 5) x2 - 4x - 5 จ (x - 9)(x + 7)

บ 6) x2 - 4x + 3 ฉ (3x - 2)(2x + 1)

จ 7) x2 - 2x - 63 ช (x + 7)(x + 5)

ธ 8) 60 – 19x + x2 ฌ (7x - 1)(x + 1)

ก 9) x2 + 7x - 78 ญ (x + 22)(x + 1)

ป 10) -96 - 4x + x2 ฎ (x + 12)(x - 8)

ข 11) 3x2 - 20x - 7 ฏ (3x - 5)(2x + 1)

ฏ 12) 6x2 - 7x - 5 ฐ (4x - 7)(x + 2)

ผ 13) 8x2 + 14x + 3 ณ (x - 5)(x + 1)

ง 14) 7x2 - 37x + 10 ด (3x - 2)(2x + 3)

ฌ 15) 7x2 + 6x - 1 ต (2x + 12)(2x - 8)
น 16) 4x2 + 3x - 7 ถ (x - 2)(x - 2)
ฐ 17) 4x2 + x - 14 ท (4x + 3)(3x - 2)
ฉ 18) 6x2 - x - 2 ธ (x - 15)(x - 4)
ท 19) 12x2 + x - 6 น (4x + 7)(x - 1)
ด 20) 6x2 + 5x - 6 บ (x - 3)(x - 1)
ป (x -12)(x + 8)
ผ (4x + 1)(2x + 3)
ฝ (2x + 3)(4x - 3)

ใบงานที่ 3 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องทเี่ ปน็ กาลังสองสมบรู ณ์

ชื่อ-นามสกลุ ....................................................................................... ชั้น .................. เลขท่ี ..................

1. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปนี้

1) x2 + 6x + 9

วธิ ีทา x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3)x + 32
= (x + 3)(x + 3)

ตอบ (x + 3)(x + 3) , (x + 3)2

2) x2 + 10x + 25

วิธีทา x2 + 10x + 25= x2 + 2(5)x + 52
= (x + 5)(x + 5)

ตอบ (x + 5)(x + 5) , (x + 5)2

3) x2 - 22x + 121

วธิ ีทา x2 - 22x + 121= x2 – 2(11)x + 112
= (x - 11)(x - 11)

ตอบ (x - 11)(x - 11) , (x - 11)2

4) x2 - 8x + 16

วิธที า x2 - 8x + 16 = x2 – 2(4)x + 42
= (x - 4)(x - 4)

ตอบ (x - 4)(x - 4) , (x - 4)2

5) x2 + 18x + 81
วธิ ที า x2 + 18x + 81= x2 + 2(9)x + 92
= (x + 9)(x + 9)
ตอบ (x + 9)(x + 9) , (x + 9)2

6) x2 + 26x + 169
วธิ ที า x2 + 26x + 169 = x2 + 2(13)x + 132
= (x + 13)(x + 13)
ตอบ (x + 13)(x + 13) , (x + 13)2

7) x2 - 30x + 225
วธิ ีทา x2 - 30x + 225 = x2 – 2(15)x + 152
= (x – 15)(x – 15)
ตอบ (x – 15)(x – 15) , (x – 15)2

8) x2 - 42x + 441
วธิ ที า x2 - 42x + 441= x2 – 2(21)x + 212
= (x – 21)(x – 21)
ตอบ (x – 21)(x – 21) , (x – 21)2

9) x2 - 46x + 529
วธิ ที า x2 - 46x + 529 = x2 – 2(23)x + 232
= (x - 23)(x – 23)
ตอบ (x - 23)(x – 23) , (x – 23)2

10) x2 + 34x + 289
วิธีทา x2 + 34x + 289 = x2 + 2(17)x + (17)
= (x + 17)(x + 17)
ตอบ (x + 17)(x + 17) , (x + 17)2

2. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี

1) 9x2 + 6x + 1

วิธีทา 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3)x + 12
= (3x + 1)2

ตอบ (3x + 1)2

2) 4x2 - 4x + 1

วธิ ีทา 4x2 - 4x + 1 = (2x)2 – 2(2)x + 12
ตอบ (2x - 1)2 = (2x - 1)2

3) 25x2 + 20x + 4

วธิ ที า 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(10)x + 22
= (5x + 2)2

ตอบ (5x + 2)2

4) 4x2 + 12x + 9

วิธที า 4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2(6)x + 32
= (2x + 3)2

ตอบ (2x + 3)2

5) 49x2 + 42x + 9

วิธีทา 49x2 + 42x + 9 = (7x)2 + 2(21)x + 32
= (7x + 3)2

ตอบ (7x + 3)2

6) 9x2 - 30x + 25

วธิ ที า 9x2 - 30x + 25 = (3x)2 – 2(15)x + 52
= (3x – 5)2

ตอบ (3x – 5)2

7) 64 – 48x + 9x2

วธิ ที า 64 – 48x + 9x2 = 82 – 2(24)x + (3x)2
= (8 – 3x)2

ตอบ (8 – 3x)2

8) 25x2 - 60x + 36

วิธที า 25x2 - 60x + 36= (5x)2 – 2(30)x + 62
= (5x - 6)2

ตอบ (5x - 6)2

9) 9x2 + 24x + 16

วิธีทา 9x2 + 24x + 16 = (3x)2 + 2(12)x + 42
= (3x + 4)2

ตอบ (3x + 4)2

10) 2x2 + 40x + 200

วิธีทา 2x2 + 40x + 200= 2x2 + 2(20)x + 202
= 2(x + 20)2

ตอบ 2(x + 20)2

3. จงเติมจานวนเต็มบวกในช่องว่างที่ทาใหพ้ หนุ ามดีกรสี องทก่ี าหนดให้อย่ใู นรปู กาลังสองสมบูรณ์

ตวั อย่าง x2 + 10x + 25 = (x + 5 )2

16x2 - 48x + 36 = ( 4x - 6)2

1) x2 + 26x + 169 = (x + 13 )2

2) x2 - 14x + 49 = (x + 7 )2

3) x2 + 30x + 225 = (x + 15 )2

4) x2 - 28x + 196 = (x + 14 )2

5) x2 - 34x + 289 = (x + 17 )2

6) 9x2 + 102x + 289 = ( 3x + 17)2

7) 16x2 + 96x + 144 = ( 4x + 12)2

8) 4x2 - 52x + 169 = ( 2x + 13)2

9) 121x2 + 132x + 36 = ( 11x + 6)2

10) 49x2 - 112x + 64 = ( 7x + 8)2

4. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
1) (x + 1)2 + 12(x + 1) + 36

วิธที า = (x + 1)2 + 12(x + 1) + 36
= (x + 1)2 + 2(x + 1)6 + 62
= {(x + 1) + 6}2
= (x + 1 + 6)2
= (x + 7)2

ตอบ (x + 7)2

2) (x - 1)2 - 28(x - 1) + 196

วธิ ที า = (x - 1)2 - 28(x - 1) + 196
= (x - 1)2 - 2(x - 1)14 + 142
= {(x - 1) – 14}2
= (x - 1 – 14)2
= (x - 15)2

ตอบ (x - 15)2

3) (2x + 2)2 + (2x + 2)40 + 400

วธิ ีทา = (2x + 2)2 + (2x + 2)40 + 400
= (2x + 2)2 + 2(2x + 2)20 + 202
= {(2x + 2) + 20}2
= (2x + 2 + 20)2
= (2x + 22)2

ตอบ (2x + 22)2

4) (3x - 5)2 + (3x - 5)32 + 256

วิธที า = (3x - 5)2 + (3x - 5)32 + 256
= (3x - 5)2 + 2(3x - 5)16 + 162
= {(3x - 5) + 16}2
= (3x - 5 + 16)2
= (3x + 11)2

ตอบ (3x + 11)2

5) (5x - 7)2 - 26(5x - 7) + 169

วธิ ที า = (5x - 7)2 - 26(5x - 7) + 169
= (5x - 7)2 - 2(5x - 7)13 + 132
= {(5x - 7) – 13}2
= (5x - 7 – 13)2
= (5x - 20)2

ตอบ (5x - 20)2

6) (4x - 5)2 - 38(4x - 5) + 361

วิธที า = (4x - 5)2 - 38(4x - 5) + 361
= (4x - 5)2 - 2(4x - 5) + 192
= {(4x - 5) – 19}2
= (4x - 5 – 19)2
= (4x - 24)2

ตอบ (4x - 24)2

7) 9(x - 1)2 - 36(x - 1) + 36

วธิ ีทา = 9(x - 1)2 - 36(x - 1) + 36
= {3(x - 1)}2 - 2(x - 1)18 + 62
= {3(x - 1) – 6}2
= {(3x - 3) – 6}2
= {3x - 3 – 6}2
= (3x – 9)2

ตอบ (3x – 9)2

8) 36(x + 6)2 + 144(x - 1) + 81

วิธีทา = 36(x + 6)2 + 144(x - 1) + 81
= {6(x + 6)}2 + 2(x - 1) + 92
= {6(x + 6)}2 + 2(x - 1)54 + 92
= {6(x + 6) + 9}2
= (6x + 36 + 9)2
= (6x + 45)2

ตอบ (6x + 45)2

9) 64x2 + 16(x - 3) + (x - 3)2

วธิ ที า = 64x2 + 16(x - 3) + (x - 3)2
= (8x)2 + 2(x - 3)8 + (x - 3)2
= {8x + (x - 3)}2
= (8x + x – 3)2
= (9x – 3)2

ตอบ (9x – 3)2

10) (2x - 7)2 - 24(2x + 7) + 144x2

วธิ ีทา = (2x - 7)2 - 24(2x + 7) + 144x2
= (2x - 7)2 - 2(2x + 7)12 + (12x)2
= {(2x - 7) - 12x}2
= (2x - 7 - 12x)2
= (2x - 7 - 12x)2
= (10x – 7)2

ตอบ (10x – 7)2

5. ให้นักเรียนเตมิ ข้อความลงในช่องวา่ งใหส้ มบรู ณเ์ พื่อใหอ้ ยู่ในรปู กาลังสองสมบูรณ์

1) x2 + 10x + 25 2) x2 - 16x + 64y2

3) x2 + 18x + 8 4) 4x2 + 8x + 4

5) 36x2 - 60x + 25 6) x2 + 2xy + y2

7) x2 + 4xy + 4y2 8) 4x2 + 20x + 25

9) 4x2 + 4x + 1 10) 81x2 + 18xy + y2

11) 16x2 + 8x + 1 12) 25x2 + 30x + 9

13) (x - y)2 - 4(x – y) + 4 14) 4(x + 1)2 - 12(x + 1) + 9

15) x2 + 6x + 9

ใบงานที่ 4 เร่ือง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องทีเ่ ป็นผลตา่ งของกาลังสอง

ชอ่ื -นามสกุล ....................................................................................... ชั้น .................. เลขท่ี ..................

1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปน้ี
1) x2 – 4
วธิ ที า = x2 – 4
= x2 – 22
= (x – 2)(x + 2)
ตอบ (x – 2)(x + 2)

2) x2 – 16
วิธที า = x2 – 16
= x2 – 42
= (x – 4)(x + 4)
ตอบ (x – 4)(x + 4)

3) x2 – 49
วธิ ที า = x2 – 49
= x2 – 72
= (x – 7)(x + 7)
ตอบ (x – 7)(x + 7)

4) x2 – 121
วธิ ีทา = x2 – 121
= x2 – 112
= (x – 11)(x + 11)
ตอบ (x – 11)(x + 11)

5) 196 - x2
วธิ ีทา = 196 - x2
= 142 – x2
= (14 – x)(14 + x)
ตอบ (14 – x)(14 + x)

6) 1 - x2
วธิ ที า = 1 - x2
= 12 - x2
= (1 - x)(1 + x)
ตอบ (1 - x)(1 + x)

7) x2 – 289
วธิ ที า = x2 – 289
= x2 – 172
= (x – 17)(x + 17)
ตอบ (x – 17)(x + 17)

8) x2 – 484
วธิ ีทา = x2 – 484
= x2 – 222
= (x – 22)(x + 22)
ตอบ (x – 22)(x + 22)

9) x2 – 900
วิธีทา = x2 - 900
= x2 - 302
= (x - 30)(x + 30)
ตอบ (x - 30)(x + 30)

10) 576 - x2
วิธที า = 576 - x2
= 242 - x2
= (24 - x)(24 + x)
ตอบ (24 - x)(24 + x)

2. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1) 9x2 – 25

วธิ ที า = 9x2 – 25
= (3x)2 – 52
= (3x – 5)(3x + 5)

ตอบ (3x – 5)(3x + 5)

2) 36x2 – 16

วิธที า = 36x2 – 16
= (6x)2 – 42
= (6x – 4)(6x + 4)

ตอบ (6x – 4)(6x + 4)

3) 64x2 – 100

วิธีทา = 64x2 – 100
= (6x)2 – 102
= (6x – 10)(6x + 10)

ตอบ (6x – 10)(6x + 10)

4) 25x2 – 225

วธิ ีทา = 25x2 – 225
= (5x)2 – 152
= (5x – 15)(5x + 15)

ตอบ (5x – 15)(5x + 15)

5) 144 - 4x2
วิธที า = 144 - 4x2
= 122 – (2x)2
= (12 – 2x)(12 + 2x)
ตอบ (12 – 2x)(12 + 2x)

6) 324 - 9x2
วธิ ีทา = 324 - 9x2
= 182 – (3x)2
= (18 – 3x)(18 + 3x)
ตอบ (18 – 3x)(18 + 3x)

7) 81x2 - 25
วธิ ีทา = 81x2 - 25
= (9x)2 – 52
= (9x – 5)(9x + 5)
ตอบ (9x – 5)(9x + 5)

8) 529 - 49x2
วธิ ที า = 529 - 49x2
= 232 – (7x)2
= (23 – 7x)(23 + 7x)
ตอบ (23 – 7x)(23 + 7x)

9) 400x2 – 625

วธิ ีทา = 400x2 – 625
= (20x)2 – 252
= (20x – 25)(20x + 25)

ตอบ (20x – 25)(20x + 25)

10) 441x2 – 361

วธิ ที า = 441x2 – 361
= (21x)2 – 192
= (21x – 19)(21x + 19)

ตอบ (21x – 19)(21x + 19)

3. จงแยกตวั ประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี

1) (x - 3)2 - 1

วธิ ที า = (x - 3)2 - 1
= (x - 3)2 – 12
= {(x - 3) – 1}{(x - 3) + 1}
= (x - 3 – 1)(x - 3 + 1)
= (x - 4)(x - 2)

ตอบ (x - 4)(x - 2)

2) 9 - (x + 4)2

วธิ ีทา = 9 - (x + 4)2
= 32 - (x + 4)2
= {3 - (x + 4)}{3 + (x + 4)}
= (3 - x + 4)(3 + x + 4)
= (1 - x)(7 + x)

ตอบ (1 - x)(7 + x)

3) (x + 5)2 - 25

วิธีทา = (x + 5)2 - 25
= (x + 5)2 – 52
= {(x + 5) – 5}{(x + 5) + 5}
= (x + 5 – 5)(x + 5 + 5)
= x(x + 10)

ตอบ x(x + 10)

4) (x - 2)2 - 49

วิธีทา = (x - 2)2 - 49
= (x - 2)2 - 72
= {(x - 2) – 7}{(x - 2) + 7}
= (x - 2 – 7)(x - 2 + 7)
= (x - 9)(x +5)

ตอบ (x - 9)(x +5)

5) 81 - (x + 6)2

วธิ ีทา = 81 - (x + 6)2
= 92 - (x + 6)2
= {9 - (x + 6)} {9 + (x + 6)}
= (9 - x - 6)(9 + x + 6)
= (3 - x)(15 + x)

ตอบ (3 - x)(15 + x)

6) x2 - (3x - 1)2

วธิ ีทา = x2 - (3x - 1)2
= {x - (3x - 1)} {x + (3x - 1)}
= (x - 3x + 1)(x + 3x - 1)
= (-2x + 1)(4x - 1)

ตอบ (-2x + 1)(4x - 1)

7) 9x2 - (x + 3)2

วธิ ที า = 9x2 - (x + 3)2
= (3x)2 - (x + 3)2
= {3x - (x + 3)}{3x + (x + 3)}
= (3x - x - 3)(3x + x + 3)
= (2x - 3)(4x + 3)

ตอบ (2x - 3)(4x + 3)

8) (x - 4)2 - 81
วิธีทา = (x - 4)2 - 81
= (x - 4)2 - 92
= {(x - 4) – 9}{(x - 4) + 9}
= (x - 4 – 9)(x - 4 + 9)
= (x - 13)(x + 5)
ตอบ (x - 13)(x + 5)

9) (x + 3)2 - (x + 2)2
วธิ ีทา = (x + 3)2 - (x + 2)2
= {(x + 3) - (x + 2)} {(x + 3) + (x + 2)}
= (x + 3 - x - 2)(x + 3 + x + 2)
= (2x + 5)
ตอบ (2x + 5)

10) (x - 5)2 - (x - 7)2
วิธีทา = (x - 5)2 - (x - 7)2
= {(x - 5) - (x - 7)} {(x - 5) + (x - 7)}
= (x - 5 - x + 7)(x - 5 + x - 7)
= 2(2x - 12)
ตอบ 2(2x - 12)

11) (2x + 3)2 - (x - 1) 2
วธิ ีทา = (2x + 3)2 - (x - 1) 2
= {(2x + 3) - (x - 1)} {(2x + 3) + (x - 1)}
= (2x + 3 - x + 1)(2x + 3 + x - 1)
= (x + 4)(3x + 2)
ตอบ (x + 4)(3x + 2)

12) (3x - 3)2 - (5x - 7)2
วธิ ที า = (3x - 3)2 - (5x - 7)2
= {(3x - 3) - (5x - 7)} {(3x - 3) + (5x - 7)}
= (3x - 3 - 5x + 7)(3x - 3 + 5x - 7)
= (- 2x + 4)(8x - 10)
ตอบ (- 2x + 4)(8x - 10)

13) (5x + 3)2 - 144x2

วธิ ที า = (5x + 3)2 - 144x2
= (5x + 3)2 – (12x)2
= {(5x + 3) – 12x}{(5x + 3) + 12x}
= (5x + 3 – 12x)(5x + 3 + 12x)
= (-7x + 3)(17x + 3)

ตอบ (-7x + 3)(17x + 3)

14) 4(x - 8)2 - 100x2

วธิ ีทา = 4(x - 8)2 - 100x2
= {2(x - 8)}2 – (10x)2
= {2(x - 8) – 10x}{2(x - 8) + 10x}
= {(2x - 16) – 10x}{2x - 16) + 10x}
= {2x - 16 – 10x}{2x - 16 + 10x}
= (-8x – 16)(12x – 16)

ตอบ (-8x – 16)(12x – 16)

15) 25x2 - (4x + 1)2
วธิ ีทา = 25x2 - (4x + 1)2
= (5x)2 - (4x + 1)2
= {5x - (4x + 1)} {5x + (4x + 1)}
= (5x - 4x - 1)(5x + 4x + 1)
= (x - 1)(9x + 1)
ตอบ (x - 1)(9x + 1)