เล่มที่ 3

ก

คานา

บทเรียนสาเร็จรูป รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค32102 เร่ือง สถิติ ข้อมูล
และการวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องตน้ สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เล่มน้ี ได้จัดทาข้ึนเพื่อใช้เป็น
สือ่ พัฒนาการจัดการเรียนรู้กลุม่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ระดบั ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5 หน่วยการเรียนรู้
สถติ ิ ข้อมลู และการวิเคราะหข์ ้อมูลเบื้องตน้ โดยใหน้ ักเรียนได้ศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง เพราะบทเรียน
สาเรจ็ รปู เป็นการสรปุ เนอื้ หา โดยใช้กระบวนการเรียนรจู้ ากง่ายไปหายาก นักเรียนสามารถค้นพบความรู้
ด้วยตนเองด้วยการได้ปฏิบัติจริง ทาให้เกิดความเข้าใจอย่างถ่องแท้ นอกจากนักเรียนมีความเข้าใจ
ในเนือ้ หา นกั เรียนยังมีความสุขกับการเรียน เกิดกระบวนการเรียนรู้อย่างมีประสิทธิภาพและสามารถ
นาไปใชใ้ ห้เกิดประโยชน์ในชวี ติ ประจาวันได้

บทเรียนสาเร็จรูป รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค32102 เร่ือง สถิติ ข้อมูล
และการวเิ คราะห์ขอ้ มูลเบ้อื งตน้ สาหรับนักเรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 ทจี่ ัดทาขึ้น มจี านวน 7 เล่ม
ดงั นี้

เลม่ ที่ 1 สถติ ิ
เลม่ ท่ี 2 ข้อมลู
เล่มท่ี 3 การแจกแจงความถ่ีของขอ้ มูล
เลม่ ที่ 4 การแจกแจงความถี่โดยใชก้ ราฟ
เล่มที่ 5 การวดั ตาแหนง่ ท่ีของขอ้ มลู
เล่มที่ 6 การวดั คา่ กลางของข้อมูล
เล่มที่ 7 การวัดการกระจายของข้อมูล
โดยหวังเป็นอย่างยิ่งว่าบทเรียนสาเร็จรูป รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน รหัสวิชา ค32102
เร่ือง สถิติ ข้อมูลและการวิเคราะห์ข้อมูลเบ้ืองต้น สาหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 จะเป็น
ประโยชน์ต่อการพัฒนาการเรียนรู้ของนักเรียนให้บรรลุจุดมุ่งหมายในการจัดการศึกษาและสามารถนา
ความรู้ไปใชใ้ ห้เกดิ ประโยชน์ต่อไป

ข

สารบญั

หนา้

คานา ...................................................................................................................................ก
สารบัญ ................................................................................................................................ข
คาชแ้ี จงสาหรับครู................................................................................................................ค
คาชีแ้ จงสาหรับนกั เรยี น ....................................................................................................... ง
จุดประสงค์การเรยี นรู้ ..........................................................................................................จ
แบบทดสอบกอ่ นเรียน .........................................................................................................1
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรยี น ................................................................................4
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน .................................................................................................5
กรอบที่ 1 – 7 การแจกแจงความถ่ีของข้อมูล ......................................................................6
กรอบท่ี 8 – 10 การสร้างตารางแจกแจงความถ่ี ................................................................13
กรอบที่ 11 การแจกแจงความถส่ี ะสม................................................................................18
กรอบท่ี 12 การแจกแจงความถ่สี ัมพัทธ์.............................................................................20
กรอบที่ 13 การแจกแจงความถส่ี ะสมสมั พัทธ์....................................................................23
กรอบสรปุ ..........................................................................................................................25
กรอบแบบฝึกหัดท่ี 1..........................................................................................................26
เฉลยแบบฝกึ หัดท่ี 1...........................................................................................................27
กรอบแบบฝึกหัดท่ี 2..........................................................................................................28
กรอบเฉลยแบบฝกึ หัดที่ 2..................................................................................................29
แบบทดสอบหลังเรยี น........................................................................................................30
กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรียน...............................................................................33
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน................................................................................................34
บรรณานกุ รม .....................................................................................................................35

ค

คาช้ีแจงสาหรับครู

เพื่อให้การจัดการเรียนการสอนโดยใช้บทเรยี นสาเรจ็ รูป รายวชิ าคณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน รหัสวชิ า
ค32102 เร่ือง สถติ ิ ข้อมลู และการวเิ คราะหข์ ้อมูลเบ้ืองต้น สาหรบั นักเรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5
เกิดกระบวนการเรียนรู้อย่างมีประสิทธภิ าพ ครูผสู้ อนควรปฏิบัติ ดังนี้

1. ดาเนนิ การจดั กิจกรรมการเรียนรู้ โดยใช้บทเรียนสาเรจ็ รปู รว่ มกับแผนการจดั การเรียนรู้
2. ศึกษาแผนจัดการเรียนรู้ ซึ่งประกอบด้วย มาตรฐานและตัวชี้วัด สาระสาคัญ
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ สาระการเรยี นรู้ กระบวนการจัดการเรยี นรู้ ส่ือและแหลง่ เรยี นรู้
การวัดผลและประเมนิ ผล
3. ศกึ ษาบทเรียนสาเร็จรูปต้ังแต่กรอบแรกจนถงึ กรอบสุดทา้ ย ทง้ั เนื้อหาและกจิ กรรม
แตล่ ะกจิ กรรม โดยครตู อ้ งเป็นผ้แู นะนา ชว่ ยเหลือหรอื ให้คาปรึกษานักเรียน
4. ช้ีแจงใหน้ กั เรยี นอา่ นคาชแ้ี จงการใช้บทเรยี นสาเร็จรปู อย่างละเอยี ดและปฏิบตั ิตามข้ันตอน
ทกุ กรอบต้งั แต่กรอบแรกจนกรอบสุดท้าย
5. ผลการปฏบิ ตั ิกิจกรรม สามารถนาไปประกอบพจิ ารณาผา่ นผลการเรยี นรู้ โดยครู
เปน็ ผปู้ ระเมิน
6. ใช้บทเรียนสาเรจ็ รปู เล่มนี้ เป็นการเสริมความรสู้ าหรับนกั เรียนที่เรยี นดีและช่วยเหลือนกั เรยี น
ทเ่ี รยี นช้าใหเ้ รียนไดท้ ันเพ่ือน

ง

พวกเราตอ้ งตง้ั ใจอา่ น และปฏิบตั ิ คาชีแ้ จงสาหรับนักเรียน
ตามคาช้ีแจงใหด้ นี ะครับเพ่ือน ๆ

1. บทเรียนสาเรจ็ รูป เลม่ ท่ี 3 การแจกแจงความถี่ของข้อมูล นักเรียนสามารถเรยี นรู้
ได้ดว้ ยตนเอง

2. นักเรยี นควรเข้าใจว่าบทเรียนสาเรจ็ รปู ไม่ใชแ่ บบทดสอบ แต่เปน็ บทเรียนท่มี ุ่งให้นักเรียน
ได้เรียนรดู้ ว้ ยตนเอง กอ่ นทีจ่ ะศึกษาเน้ือหานกั เรยี นต้องอ่านคาช้แี จงใหเ้ ขา้ ใจ

3. บทเรียนสาเรจ็ รปู น้ีมี 13 กรอบ ขอให้นักเรียนศึกษาบทเรียนไปเรื่อยๆ ทลี ะกรอบตามลาดับ
อย่าขา้ มกรอบ นกั เรียนสามารถศกึ ษาด้วยตนเอง ตามความสามารถ ในกรอบเนื้อหามีคาอธิบาย
มีกรอบคาถามเพื่อทดสอบความเข้าใจ และกรอบเฉลยเพื่อตรวจคาตอบ นอกจากนัน้ ยังมี
กรอบสรุป กรอบแบบฝกึ หัด และกรอบเฉลยแบบฝึกหดั สาหรบั ทบทวนความรทู้ ี่ไดเ้ รยี นมาแลว้

4. เมอื่ นักเรียนอา่ นคาชีแ้ จงสาหรบั นักเรยี นจบแลว้ นักเรยี นรบั กระดาษคาตอบการทดสอบ
กอ่ นเรียนและหลงั เรยี นจากครูผู้สอน

5. ใหน้ ักเรียนศึกษาเนื้อหาในบทเรยี นสาเรจ็ รูปและทาแบบฝึกหดั ในบทเรยี นดว้ ยความม่ันใจ
ถา้ ทาไมไ่ ด้หรือสงสัย นกั เรียนควรย้อนกลบั ไปศกึ ษาใหมจ่ นตอบคาถามได้

6. นักเรียนต้องมีความซื่อสัตย์ในตนเอง โดยนกั เรยี นต้องไมเ่ ปดิ ดคู าตอบในกรอบเฉลยก่อน
7. เมอ่ื นักเรยี นไดศ้ ึกษาและทราบผลความกา้ วหนา้ แล้วให้เกบ็ เอกสาร หรอื ส่ิงของต่าง ๆ
ท่ีนามาใชใ้ นการเรียนใหเ้ รียบรอ้ ย

หมายเหตุ

1. ต้ังใจอ่านบทเรยี นและทาความเขา้ ใจโดยละเอยี ดทกุ ข้ันตอน
2. ทาแบบทดสอบด้วยความซ่อื สตั ย์ ไม่เปิดดเู ฉลยก่อน
3. ข้อความใดน่าสนใจและมีความสาคญั ควรจดบันทกึ ลงในสมดุ นักเรียนโดยใชก้ ลวธิ ีการอา่ น
และเขยี นอย่างมีศักยภาพ ดังนน้ั นักเรียนต้องมปี ากกาสดี า นา้ เงนิ และสแี ดง
4. หากมีขอ้ สงสยั หรือไมเ่ ข้าใจให้ถามครูผสู้ อน

ก่อนทเี่ พื่อนๆ จะเริ่มศกึ ษาเนื้อหา
เพ่ือน ๆ ศึกษาจุดประสงค์การเรยี นรู้
กันก่อนดีกวา่ นะครบั

จ

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้

1. สามารถอธบิ ายการแจกแจงความถขี่ องข้อมลู ได้
2. สามารถสร้างตารางแจกแจงความถ่ีได้
3. สามารถแจกแจงความถส่ี ะสมของข้อมลู ที่กาหนดให้ได้
4. สามารถแจกแจงความถส่ี ัมพัทธ์ของขอ้ มลู ทก่ี าหนดใหไ้ ด้
5. สามารถแจกแจงความถี่สะสมสมั พัทธ์ของข้อมูลที่กาหนดให้ได้

ก่อนท่ีเพื่อนๆ จะเริม่ ทาความเขา้ ใจ
กบั เน้อื หา เรามาทาแบบทดสอบ
ก่อนเรียนกันก่อนนะคะ

1

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

คาชี้แจง นักเรียนทาเครื่องหมาย  ทับตัวอกั ษรหนา้ ข้อท่ีถูกต้องที่สดุ เพยี งข้อเดยี ว

1. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ ูกต้อง
ก. ชัน้ ทีเ่ ปน็ อนั ตรภาคชัน้ เปิดจะอยู่ตรงกลางของตารางการแจกแจงความถี่
ข. ในการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ แตล่ ะอันตรภาคชน้ั ตอ้ งมีความถีเ่ ท่าน้นั
ค. ในการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ ความกว้างของอันตรภาคชนั้ แตล่ ะ
อนั ตรภาคช้นั ไมจ่ าเป็นต้องเทา่ กนั
ง. ในการสรา้ งตารางแจกแจงความถซี่ ่ึงเป็นอันตรภาคช้นั เราสามารถกระทา
ได้เสมอไม่วา่ ข้อมูลมลี ักษณะอย่าง

2. อันตรภาคชัน้ หน่งึ มีขอบบนเป็น 15.5 ขอบล่างเป็น 10.5 ข้อมลู ชุดนน้ั มีพสิ ัย 48
ตารางแจกแจงความถี่มีก่ีอันตรภาคช้ัน
ก. 8 อนั ตรภาคชนั้
ข. 9 อนั ตรภาคชัน้
ค. 10 อนั ตรภาคชนั้
ง. 11 อันตรภาคช้ัน

3. อันตรภาคช้ันหน่ึงมีขอบลา่ งเป็น 0.375 มจี ุดก่ึงกลางช้ันเป็น 0.61 อนั ตรภาคช้ันนั้น
มคี วามกวา้ งเทา่ ไร
ก. 0.18
ข. 0.25
ค. 0.35
ง. 0.47

2

4. ข้อมลู ชุดหน่งึ มีพสิ ัยเป็น 50 นามาสร้างเปน็ ตารางแจกแจงความถีซ่ ง่ึ มี
8 อันตรภาคชนั้ อันตรภาคช้ันหนึง่ มขี อบบนเป็น 14.25 ขอบล่างของ
อนั ตรภาคชนั้ นั้นมีคา่ เทา่ ไร
ก. 7.25
ข. 10.25
ค. 15.25
ง. 21.25

5. อนั ตรภาคชั้นหน่งึ มี 11.5 เป็นขอบลา่ ง และ 16.5 เป็นจดุ ก่งึ กลางช้นั
ตารางแจกแจงความถ่ีมี 7 อันตรภาคชัน้ ถา้ ขอ้ มลู ทนี่ อ้ ยทส่ี ดุ เปน็ 12
ข้อมลู มีมากทสี่ ุดมีค่าเทา่ ไร
ก. 40
ข. 75
ค. 82
ง. 90

ใช้ตารางขา้ งล่างน้ีตอบคาถามข้อ 6 – 10

อนั ตรภาคชน้ั ความถ่ี จดุ กงึ่ กลางชัน้
a–b 6 54.5
c–d 12 64.5
e–f 14 74.5
g–h 8 84.5

6. ขอ้ ใดคืออันตรภาคชน้ั a – b
ก. 49 - 58
ข. 50 - 59
ค. 51 – 60
ง. 52 – 61

3

7. ความถี่สะสมของ อนั ตรภาคชนั้ c – d คือข้อใด
ก. 6
ข. 12
ค. 18
ง. 24

8. ขอบลา่ งและขอบบนของ อนั ตรภาคชน้ั e – f คอื ขอ้ ใด
ก. 77.5 – 67.5
ข. 78.5 – 68.5
ค. 69.5 – 79.5
ง. 80.5 – 70.5

9. ความถ่ีสมั พัทธ์ของ อันตรภาคชั้นช้นั c – d คอื ข้อใด
ก. 0.350
ข. 0.300
ค. 0.200
ง. 0.150

10. ความถสี่ ะสมสัมพัทธข์ องอนั ตรภาคช้ัน e – f คือข้อใด
ก. 0.150
ข. 0.450
ค. 0.800
ง. 1.000

4

กระดาษคาตอบแบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ชื่อ....................................................................................เลขท.่ี ................

ข้อ ก ข ค ง

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ตง้ั ใจทาดีๆนะครับ
เพ่ือน ๆ สสู้ ู.้ .

ไดค้ ะแนน.....................

5

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น

1. ก
2. ค
3. ง
4. ก
5. ค
6. ข
7. ค
8. ค
9. ข
10. ค

6

กรอบที่ 1

การแจกแจงความถ่ขี องขอ้ มูล

หลงั จากทีก่ าหนดตวั แปรทีต่ ้องการศึกษา และมกี ารเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลเกยี่ วกับ
ตัวแปรท่ีตอ้ งการศึกษาแล้ว ข้อมูลทีเ่ กบ็ ไดเ้ รยี กว่า ข้อมูลดิบ (Raw Data) เชน่ ตอ้ งการ
ศึกษาผลสมั ฤทธท์ิ างการเรยี นวชิ าสถิติ กจ็ ะมกี ารสรา้ งแบบทดสอบวชิ าสถติ ิขึ้นมา นาไปสอบ
กับกลุม่ นักเรียนที่ต้องการวัด แลว้ ตรวจคะแนน คะแนนท่ีได้เรยี กวา่ ข้อมลู ดิบ (Raw Data)
หรือคะแนนดิบ ซ่งึ ขอ้ มูลดบิ นี้ยงั ไม่มีความหมายอะไร วิธเี บอ้ื งต้นทจ่ี ะทาให้ข้อมลู ดิบน้นั มี
ความหมายคือ การแจกแจงความถ่ี ซ่งึ จะสามารถทาใหข้ ้อมลู นั้นสามารถเอาไปใช้ได้ง่ายขน้ึ
และสังเกตการณ์เปลีย่ นแปลงต่าง ๆ ได้ง่ายขน้ึ ด้วย

ความหมายของการแจกแจงความถ่ี คือ การนาข้อมลู ที่รวบรวมมาไดม้ าจดั ใหม่
ให้เปน็ ระเบียบ เปน็ หมวดหมู่เรยี งจากมากไปน้อยหรอื เรียงจากน้อยไปมากเพ่ือแสดง
ใหท้ ราบวา่ ขอ้ มูลแต่ละค่าหรือข้อมลู แตล่ ะกลมุ่ เกิดขน้ึ ซ้า ๆ กนั กค่ี รงั้ ซึ่งเป็นการย่อข้อมลู
เพ่อื ใหแ้ ปลความหมายได้มากข้นึ โดยตอ้ งสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีข้ึน

คาถามกรอบที่ 1 (1 คะแนน)
การแจกแจงความถ่ี หมายถึง

7

เฉลยกรอบที่ 1 กรอบท่ี 2

การนาข้อมูลท่รี วบรวมมาได้มาจัดใหม่ให้เปน็ ระเบียบ
เป็นหมวดหมูเ่ รยี งจากมากไปน้อยหรือเรียงจากนอ้ ยไปมากเพอ่ื แสดง
ใหท้ ราบว่าข้อมูลแตล่ ะคา่ หรือข้อมลู แตล่ ะกลุ่มเกิดข้นึ ซ้า ๆ ก่คี รงั้

การแจกแจงความถขี่ องขอ้ มลู

ตัวอย่างที่ 1 ขอ้ มลู ต่อไปนเ้ี ปน็ คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ ของนกั เรียน 50 คน

70 51 80 63 84 64 85 53 62 74
42 62 73 76 52 51 64 88 65 78
77 48 81 42 65 77 54 65 56 68
64 58 61 74 43 44 66 55 59 78
60 47 63 48 68 73 50 69 54 89

ถา้ นาคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตรม์ ากาหนดเป็นช่วง ๆ แล้วนับจานวนนกั เรยี น
ท่ีสอบได้ในแต่ละชว่ งซงึ่ เรียกวา่ ความถ่ี จะได้ตารางที่เรียกวา่ ตารางแจกแจงความถ่ี ดงั น้ี

ตารางแจกแจงความถ่ี

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ความถ่ี

41 – 50 8

51 – 60 11

61 – 70 16

71 – 80 10

81 - 90 5

จากตารางแจกแจงความถ่ีขา้ งตน้ แสดงว่า
มีนกั เรยี นทส่ี อบไดว้ ิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 41 ถงึ 50 จานวน 8 คน
มนี กั เรยี นที่สอบได้วชิ าคณิตศาสตร์ ต้งั แต่ 51 ถงึ 60 จานวน 11 คน
มนี กั เรียนทส่ี อบได้วิชาคณติ ศาสตร์ ตัง้ แต่ 61 ถงึ 70 จานวน 16 คน
มนี กั เรียนที่สอบได้วิชาคณติ ศาสตร์ ต้งั แต่ 71 ถงึ 80 จานวน 10 คน
มีนักเรยี นทส่ี อบได้วชิ าคณติ ศาสตร์ ต้งั แต่ 81 ถงึ 90 จานวน 5 คน
คาถามกมรีนอักบเรทียี่ น2ท(สี่ 1อคบะไดแว้นิชนา)คณิตศาสตร์ ตั้งแต่ 81 ถงึ 90 จานวน 5 คน

เม่ือนาข้อมูลทีร่ วบรวมได้มากาหนดเปน็ ช่วง ๆ ในแตล่ ะชว่ งเรียกว่า
และจะได้ตารางท่เี รยี กวา่

8

เฉลยกรอบที่ 2 กรอบที่ 3
ความถ่ี , ตารางแจกแจงความถ่ี

การแจกแจงความถ่ขี องข้อมลู

ตารางแจกแจงความถ่ี มีสว่ นประกอบต่างๆ ดังน้ี
1. อนั ตรภาคช้นั (Class Interval) หมายถงึ ช่วงคะแนนท่แี บง่ ออกเป็นช่วง ๆ
ในแตล่ ะช่วงคือ ค่าท่ีเปน็ ไปได้ของขอ้ มลู จากตารางแจกแจงความถ่ีข้างต้น แสดงวา่

ชว่ งคะแนน 41 - 50 คอื อนั ตรภาคชนั้ ที่ 1
ชว่ งคะแนน 51 - 60 คือ อันตรภาคช้ันที่ 2
ชว่ งคะแนน 61 - 70 คอื อนั ตรภาคชน้ั ที่ 3
ช่วงคะแนน 71 - 80 คอื อนั ตรภาคช้นั ท่ี 4
ช่วงคะแนน 81 - 90 คอื อนั ตรภาคช้นั ท่ี 5

2. ขอบบน ขอบล่าง (Upper - Lower Boundary)

ขอบบนของอนั ตรภาคชั้นใด หมายถงึ คา่ กึ่งกลางระหว่างค่าทเี่ ปน็ ไปได้สูงสดุ

ของอนั ตรภาคช้ันนนั้ กบั ค่าท่ีเปน็ ไปได้ตา่ สดุ ของอันตรภาคช้นั ตดิ กันถัดไป
50  51
เช่น ขอบบนของอันตรภาคชั้น 41 - 50 คอื 2 = 50.5

ขอบบนของอนั ตรภาคชน้ั 51 - 60 คอื 60  61 = 60.5 เป็นตน้
2
ขอบลา่ งของอนั ตรภาคชนั้ ใด หมายถงึ คา่ กงึ่ กลางระหวา่ งค่าท่ีเป็นไปได้ต่าสดุ

ของอนั ตรภาคชน้ั นนั้ กับคา่ ท่ีเปน็ ไปไดส้ ูงสุดของอันตรภาคชั้นที่อยู่ตดิ กนั ก่อนหน้านน้ั
50 51
เชน่ ขอบลา่ งของอันตรภาคช้ัน 51 - 60 คอื  = 50.5
2
60  61
ขอบล่างของอันตรภาคชนั้ 61 - 70 คือ 2 = 60.5 เปน็ ต้น

คาถามกรอบที่ 3 (3 คะแนน)
1. อนั ตรภาคชน้ั หมายถงึ

2. ขอบบนของอนั ตรภาคชนั้ ใด หมายถึง

3. ขอบลา่ งของอันจรภาคชน้ั ใด หมายถงึ

9 กรอบท่ี 4

เฉลยกรอบท่ี 3
1. ชว่ งคะแนนทีแ่ บง่ ออกเปน็ ชว่ ง ๆ ในแต่ละช่วงคือ ค่าที่

เปน็ ไปได้ของข้อมูล
2. ค่าก่งึ กลางระหว่างค่าทเี่ ป็นไปได้สูงสดุ ของอันตรภาคช้ันนัน้

กับคา่ ทเ่ี ป็นไปไดต้ ่าสดุ ของอันตรภาคชั้นตดิ กนั ถัดไป
3. ค่ากงึ่ กลางระหว่างค่าที่เป็นไปไดต้ ่าสดุ ของอนั ตรภาคช้ันน้นั

กบั คา่ ทเี่ ปน็ ไปได้สงู สุดของอันตรภาคช้นั ท่ีอยูต่ ดิ กนั ก่อนหน้านน้ั

ขอ้ สังเกต การแจกแจงความถี่ของขอ้ มลู

1) ขอบบนของแต่ละอนั ตรภาคช้นั เทา่ กบั ขอบลา่ งของอันตรภาคชั้นทส่ี ูงกว่า 1 ชน้ั

2) การหาขอบลา่ งของแต่ละอันตรภาคช้ัน ทาไดโ้ ดย

ลบค่าตา่ สดุ ของชนั้ ดว้ ย 0.5 เม่ืออันตรภาคชน้ั เปน็ จานวนเตม็

ลบค่าตา่ สุดของชนั้ ด้วย 0.05 เมื่ออันตรภาคชั้นเป็นทศนิยม 1 ตาแหน่ง

ลบคา่ ตา่ สดุ ของชัน้ ด้วย 0.005 เม่อื อันตรภาคชั้นเปน็ ทศนิยม 2 ตาแหนง่ เป็นต้น

3) ในทานองเดียวกัน การหาขอบบนของแต่ละอันตรภาคชั้น ทาได้โดย

บวกคา่ ต่าสุดของชัน้ ด้วย 0.5 เมอ่ื อนั ตรภาคช้นั เปน็ จานวนเต็ม

บวกคา่ ตา่ สุดของช้นั ด้วย 0.05 เมอ่ื อันตรภาคชั้นเปน็ ทศนิยม 1 ตาแหน่ง

บวกค่าต่าสุดของชัน้ ดว้ ย 0.005 เมื่ออันตรภาคช้นั เป็นทศนยิ ม 2 ตาแหน่ง เป็นตน้

จากตารางแจกแจงความถ่ีข้างตน้ สามารถนามาแสดงขอบบน ขอบล่างไดด้ ังน้ี

อันตรภาคช้ัน ขอบบน ขอบล่าง

41 – 50 50.5 40.5

51 – 60 60.5 50.5

61 – 70 70.5 60.5

71 – 80 80.5 70.5

81 – 90 90.5 80.5

คาถามกรอบท่ี 4 (1 คะแนน)

ให้เตมิ ขอบบนและขอบล่างของแต่ละอนั ตรภาคช้นั

อันตรภาคช้ัน ขอบบน ขอบลา่ ง

13 – 15

16 – 18

19 - 21

10

เฉลยกรอบท่ี 4 กรอบท่ี 5
อนั ตรภาคชน้ั
13 – 15 ขอบบน ขอบลา่ ง
12.5 15.5
16 – 18 15.5 18.5
18.5 21.5
19 - 21

การแจกแจงความถ่ขี องข้อมลู

ตัวอย่างที่ 2 ตารางแจกแจงความถ่ีท่ีอนั ตรภาคชน้ั เปน็ ทศนิยม

อันตรภาคชัน้ ความถี่

10.5 – 11.7 7

11.8 – 13.0 13

13.1 – 14.3 8

14.4 – 15.6 12

จากตารางแจกแจงความถ่ีขา้ งต้น สามารถนามาแสดงขอบขน ขอบลา่ ง ได้ดงั น้ี

อันตรภาคชนั้ ขอบบน ขอบลา่ ง
10.5 - 11.7 11.7 + 0.05 = 11.75 10.5 - 0.05 = 10.45
11.8 - 13.0 13.0 + 0.05 = 13.05 11.8 - 0.05 = 11.75
13.1 - 14.3 14.3 + 0.05 = 14.35 13.1 - 0.05 = 13.05
14.4 - 15.6 15.6 + 0.05 = 15.65 14.4 - 0.05 = 14.35

ขอ้ สงั เกต ขอบล่างของแต่ละอนั ตรภาคชน้ั เท่ากบั ขอบบนของอันตรภาคชั้นที่อยู่ติดกันเป็น
ชว่ งคะแนนน้อยกว่า

3. ความกว้างของอันตรภาคชนั้ (Class Interval) คอื ผลตา่ งของขอบบนและ
ขอบลา่ งของอันตรภาคช้นั นั้น นยิ มเขยี นแทนดว้ ย I เช่น

อันตรภาคชัน้ 41 - 50 มคี วามกว้าง = 40.5 - 50.5 = 10
อันตรภาคชน้ั 51 - 60 มคี วามกว้าง = 50.5 - 60.5 = 10 เปน็ ตน้

คาถามกรอบท่ี 5 (1 คะแนน)

ใหเ้ ตมิ ขอบบนและขอบล่างของแตล่ ะอนั ตรภาคชัน้

อนั ตรภาคชน้ั ขอบบน ขอบลา่ ง

13.8 – 16.6

16.7 – 19.5

19.6 – 22.4

11

เฉลยกรอบที่ 5 ขอบบน ขอบลา่ ง กรอบที่ 6
อนั ตรภาคช้นั 16.65 13.75
13.8 – 16.6 19.55 16.65
16.7 – 19.5 22.45 19.55
19.6 – 22.4

ข้อสังเกต
1) ความกว้างของอนั ตรภาคชั้นแต่ละชั้นไมจ่ าเป็นตอ้ งเท่ากันทกุ ชั้น แตถ่ า้ ความกว้างเท่ากนั

ทกุ ช้นั จะทาใหส้ ะดวกในการวิเคราะห์
2) ในกรณีทีมีข้อมูลบางข้อมูลมคี ่านอ้ ยกวา่ ข้อมลู อ่ืนๆ หรือมคี ่ามากกวา่ ข้อมูลอนื่ ๆ มาก

หรอื มีทั้งคา่ น้อยกว่าและมากกวา่ ข้อมูลอืน่ ๆ มาก ๆ จะใชอ้ ันตรภาคช้นั ท่ีเรียกวา่
อนั ตรภาคช้นั เปิด (Open ended class interval) วิธหี าความกวา้ งของอันตรภาคชนั้
ขา้ งต้นใช้ได้ โดยไมจ่ ากดั ว่าความกว้างของอันตรภาคช้ันจะเทา่ กนั หรอื ไม่

ตัวอย่างท่ี 3 อันตรภาคชนั้ ความถ่ี

ตารางแจกแจงความถท่ี มี่ ี 31 - 40 8
ความกวา้ งของอันตรภาคชั้น 41 - 60 6
ท่ีไมเ่ ทา่ กัน 61 - 90 9
91 - 100 10

ตวั อยา่ งที่ 4 อนั ตรภาคชนั้ ความถี่

ตารางแจกจงความถี่ท่ี นอ้ ยกวา่ 30 40
ความกวา้ งของอันตรภาคช้นั เปิด 30 - 39 18
40 - 49 22
มากกวา่ 49 15

คาถามกรอบท่ี 6 (1 คะแนน)

จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีท่ีมคี วามกว้างของอนั ตรภาคชน้ั เปดิ

40 45 46 46 50 51 49 52 42 41 50 55 51 58 43 48 53 55 58 62

64 61 50 48 48 56 58 64 63 68 59 65 61 67 66 64 53 54 40 59

อนั ตรภาคชัน้ ความถี่

นอ้ ยกว่า 45

มากกวา่ 64

12

เฉลยกรอบที่ 6 ความถ่ี กรอบที่ 7
อนั ตรภาคชน้ั 5
น้อยกว่า 45 16
45 – 54 15
55 – 64 4
มากกว่า 64

4. จดุ กงึ่ กลาง (Mid point)

จุดกึง่ กลางของอนั ตรภาคชั้นใด คอื คา่ เฉล่ยี ของชว่ งคะแนนในอันตรภาคช้ัน

นัน้ ๆ จุดกึง่ กลางของอันตรภาคชั้นใด = (ขอบบน + ขอบล่าง) / 2 (ของอันตรภาคชัน้ นน้ั ๆ)

เชน่ 50.5  40.5 41  50
2 2
จุดกึ่งกลางของอนั ตรภาคชัน้ 41 – 50 = = 45.5 หรือ = 45.5

จดุ กง่ึ กลางของอันตรภาคชัน้ 51 – 60 = 60.5  50.5 = 55.5 หรือ 51  60 = 55.5 เปน็ ต้น
2 2
5. ความถ่ี (Frequency)

ความถ่ขี องอนั ตรภาคชน้ั ใด หมายถึง จานวนขอ้ มลู (ค่าจากการสงั เกต)

ที่ปรากฏอยู่ในช่วงคะแนนหรืออันตรภาคชน้ั นี้

คาถามกรอบท่ี 7 (2 คะแนน)
1. แสดงวิธีหาจุดก่ึงกลางของอนั ภาคช้ัน 53 - 58

2. แสดงวิธีหาจดุ กงึ่ กลางของอันภาคช้นั 99 - 110

13

เฉลยกรอบท่ี 7 กรอบท่ี 8

1. จดุ ก่งึ กลางของอันตรภาคชั้น 53 – 58
58.5  52.5 58  53
= 2 = 55.5 หรือ 2 = 55.5

2. จดุ ก่ึงกลางของอนั ตรภาคช้ัน 99 – 110
110.5  98.5 110  99
= 2 = 104.5 หรอื 2 = 104.5

การสรา้ งตารางแจกแจงความถี่

กรณีท่ี 1 เมอ่ื โจทย์กาหนดข้อมูลมาให้ มขี น้ั ตอนในการสรา้ งดงั น้ี

1. พจิ ารณาจานวนอันตรภาคช้ันตามทตี่ อ้ งการ ซ่งึ โดยทัว่ ๆ ไปจะนิยมสร้างตัง้ แต่

7 ถงึ 15 อันตรภาคช้นั หรือไมค่ วรต่ากว่า 5 อนั ตรภาคช้ัน และไม่นยิ มใหบ้ างอันตรภาคชนั้

มคี วามถี่เป็น 0 พสิ ยั
จานวนชนั้
ความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั =

พิสัย คอื ผลตา่ งระหวา่ งข้อมูลท่ีมีค่าสงู สดุ กับข้อมูลทม่ี ีคา่ ต่าสุด (เศษปัดเปน็ จานวนเตม็ )

2. หาชว่ งคะแนนของแต่ละอันตรภาคชน้ั โดยให้ขอ้ มลู ค่าต่าสุดเป็นคา่ ต่าสุดของ
อันตรภาคชน้ั ช้ันแรก แลว้ หาความถ่ี

3. หาจานวนคะแนนแล้วบนั ทกึ เปน็ รอยขีด (ควรทาในกระดาษบันทึกคะแนน)
แลว้ นับรอยขดี ในแต่ละอนั ตรภาคชน้ั เปน็ ความถี่ในอันตรภาคช้ันนน้ั ๆ

คาถามกรอบที่ 8 (2 คะแนน)
1. การสรา้ งจานวนอตั ราภาคชั้น โดยทว่ั ๆ ไป จะนิยมสรา้ งอย่างไร

2. วธิ หี าความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั คือ

14

เฉลยกรอบที่ 8 กรอบท่ี 9

1. สร้างตั้งแต่ 7 ถงึ 15 อนั ตรภาคชนั้ หรอื ไมค่ วรตา่ กวา่
5 อนั ตรภาคชัน้ และไมน่ ิยมใหบ้ างอนั ตรภาคมีความถ่เี ปน็ 0

2. ความกวา้ งของอันตรภาคชนั้ = พสิ ยั
จานวนชนั้

กรณที ี่ 2 เมือ่ โจทยก์ าหนดข้อมูลและจุดกง่ึ กลางมาให้ มขี น้ั ตอนการสร้างดังน้ี

1. หาความกว้างของอันตรภาคชั้น (ได้จากผลต่างของจดุ กึ่งกลางช้นั ติดกนั )

2. หาขอบบน ขอบล่าง ของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน
1
จาก ขอบบน = จุดก่งึ กลาง + 2 ของความกว้างของอันตรภาคช้นั

ขอบล่าง = จุดก่งึ กลาง - 1 ของความกว้างของอนั ตรภาคชัน้
2
3. หาคา่ สูงสดุ และคา่ ต่าสุดในแตล่ ะอันตรภาคชน้ั

จาก คา่ สูงสุด = ขอบบน - 0.5 (เมอื่ ข้อมูลเป็นจานวนเตม็ )

คา่ ตา่ สดุ = ขอบลา่ ง + 0.5 (เม่อื ข้อมลู เป็นจานวนเต็ม)

4. หารอยขดี และนับรอยขีดในแต่ละอันตรภาคช้ัน เป็นความถข่ี องอันตรภาคช้นั

นน้ั ๆ

หมายเหตุ ถ้าตารางแจกแจงความถมี่ ีอันตรภาคช้ันเปน็ ทศนิยมการกาหนดอันตรภาคชั้น
อาจกาหนดให้อยู่ในรปู ชว่ งได้

คาถามกรอบท่ี 9 (2 คะแนน)
1. สตู รในการหาขอบบนของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ัน คอื

2. สตู รในการหาคา่ ตา่ สุดในแตล่ ะอันตรภาคช้นั คือ

15

เฉลยกรอบที่ 9 กรอบที่ 10

1. ขอบบน = จุดกึ่งกลาง + 1 ของความกวา้ งของอนั ตรภาคชั้น
2
2. ค่าตา่ สุด = ขอบล่าง + 0.5 (เมอื่ ข้อมูลเปน็ จานวนเตม็ )

ตัวอย่างท่ี 5
กาหนดข้อมูลต่อไปนี้ เปน็ คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ ซ่ึงมคี ะแนนเตม็

50 คะแนนของนักเรยี น 40 คน

39 37 19 35 45 33 30 49 28 37
40 39 34 42 18 22 32 28 39 24
26 34 15 40 46 41 32 26 44 31
32 38 39 33 33 34 42 29 33 31

จงสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนทงั้ หมด เมื่อกาหนดให้
ก. ใหม้ ี 7 อนั ตรภาคชั้น
ข. ใหม้ จี ดุ ก่งึ กลางของอนั ตรภาคชั้นเปน็ 17.5 , 23.5 , 29.5 , ...

วธิ ีทา ก. ความกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคชัน้ = (49  15) 5
7
บนั ทกึ คะแนนเป็นรอยขีดในกระดาษบนั ทกึ คะแนน ดังน้ี

กระดาษบันทึกคะแนน รอยขีด
คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์

15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49

16

จากกระดาษบนั ทกึ คะแนนนามาสร้างตารางแจกแจงความถ่ี ไดด้ ังนี้

ตารางแจกแจงความถี่

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ความถี่

15 – 19 3

20 – 24 2

25 – 29 5

30 – 34 13

35 – 39 8

40 – 44 6

45 – 49 3

วิธที า ข. จดุ กึง่ กลางคือ 17.5, 23.5, 29.5, ...

ความกว้างของแตล่ ะอันตรภาคชั้น = 23.5 - 17.5 = 6
6
ขอบบนของอันตรภาคชั้นแรก คอื 17.5 + 2 = 20.5

คา่ สงู สุด 20.5 - 0.5 = 20 6
2
ขอบล่างของอนั ตรภาคช้นั แรก คือ 17.5 - = 14.5

ค่าตา่ สดุ 14.5 + 0.5 = 15

บนั ทึกคะแนนเปน็ รอยขดี ในกระดาษบนั ทึกคะแนน ดงั น้ี

กระดาษบนั ทึกคะแนน

คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ รอยขดี

15 – 20 ///

21 – 26 ////

27 – 32 //// ////

33 – 38 //// //// /

39 – 44 //// ////

45 – 50 ///

17

จากกระดาษบนั ทกึ คะแนนนามาสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ี ได้ดังน้ี

ตารางแจกแจงความถี่

คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร์ ความถ่ี

15 – 20 3

21 – 26 4

27 – 32 9

33 – 38 11

39 – 44 10

45 – 50 3

คาถามกรอบที่ 10 (2 คะแนน)

1. ข้อมลู ชดุ หนึ่งมีค่าตา่ สดุ 20 และค่าสงู สดุ 80 ถ้าต้องการสรา้ งตาราง
แจกแจงความถ่ีให้มจี านวนอันตรภาคชน้ั เท่ากบั 6 ช้ัน จะต้องกาหนดความกว้าง
อันตรภาคช้ันเทา่ ใด (แสดงวิธีการหาคาตอบ)

2. ใหแ้ สดงขั้นตอนในการสร้างตารางแจกแจงความถ่ี เมื่อกาหนดให้
จุดก่ึงกลางของอันตราภาคช้ันเป็น 22.5 , 34.5 , 46.5 , ....

18

เฉลยกรอบท่ี 10 กรอบท่ี 11

1. ความกว้างของแตล่ ะอันตรภาคชน้ั = (80 - 20) = 10
6
2. ความกว้างของแต่ละอนั ตรภาคชนั้ = 34.5 - 22.5 = 12
12
ขอบบนของอันตรภาคชัน้ แรก คอื = 22.5 + 2 = 28.5

คา่ สูงสดุ 28.5 – 0.5 = 28 12
2
ขอบล่างของอันตรภาคช้นั แรก คอื = 22.5 - = 16.5

ค่าต่าสุด 16.5 + 0.5 = 17

การแจกแจงความถีส่ ะสม

ความถส่ี ะสม (Cumulative Frequency) ของคา่ ท่เี ป็นไปไดค้ า่ ใด หรือของ
อันตรภาคชนั้ ใด คือ ผลรวมของความถข่ี องคา่ นนั้ หรือของอันตรภาคช้ันน้นั กับความถี่
ของคา่ หรือของอันตรภาคช้นั ท่มี ีชว่ งคะแนนตา่ กว่าทั้งหมด หรือสูงกว่าท้ังหมดอยา่ งใด
อย่างหนึ่ง (นยิ มใช้ความถี่สะสมแบบต่ากวา่ )

ตวั อยา่ งที่ 6 จงสร้างตารางแจกแจงความถส่ี ะสม จากตารางแจกแจงความถ่ีตอ่ ไปน้ี

อันตรภาคชัน้ 10 - 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 - 34
ความถ่ี 2 3 10 4 1

วิธที า อนั ตรภาคชน้ั 10 – 14 ความถี่ คือ 2 ความถส่ี ะสม คอื 2
อนั ตรภาคชน้ั 15 – 19 ความถ่ี คอื 3 ความถส่ี ะสม คอื 3 + 2 = 5
อันตรภาคช้ัน 20 – 24 ความถ่ี คอื 10 ความถ่สี ะสม คือ 10 + 5 = 15
อนั ตรภาคช้ัน 25 – 29 ความถี่ คือ 4 ความถี่สะสม คือ 4 + 15 = 19
อันตรภาคชนั้ 30 – 34 ความถ่ี คือ 1 ความถสี่ ะสม คือ 1 + 19 = 20

19

เขียนตารางแจกแจงความถีส่ ะสมได้ดังนี้

อันตรภาคชัน้ ความถี่ ความถส่ี ะสม
10 – 14 2 2
15 – 19 3 5
20 – 24 10 15
25 – 29 4 19
30 – 34 1 20

หลักในการหาความถสี่ ะสมแบบนี้ คือ บวกความถีจ่ ากอนั ตรภาคชน้ั ทค่ี ะแนน
มคี า่ น้อยไปสชู่ ้นั ที่มีค่ามาก และความถีส่ ะสมของอนั ตรภาคช้นั ชดุ ทา้ ยจะเท่ากบั จานวน
ขอ้ มลู ท้ังหมดเสมอ

ความหมายของความถ่สี ะสมจากตารางแจกแจงความถ่ีในตวั อยา่ งขา้ งต้น
อาจกลา่ วได้ดังน้ี

ข้อมลู ที่มคี ่าน้อยกวา่ 10 มี 0 จานวน
ขอ้ มูลท่ีมคี ่าน้อยกวา่ 15 มี 2 จานวน
ข้อมูลท่ีมีค่าน้อยกว่า 20 มี 5 จานวน
ขอ้ มูลที่มีค่าน้อยกวา่ 25 มี 15 จานวน
ขอ้ มลู ท่ีมคี ่าน้อยกวา่ 30 มี 19 จานวน
ขอ้ มูลที่มคี า่ น้อยกว่า 35 มี 20 จานวน
วตั ถปุ ระสงคส์ าคญั ในการสร้างตารางแจกแจงความถ่เี พื่อเปรยี บเทยี บความถ่ี
ของค่า จากการสังเกตท้ังหมดทีต่ กอยู่ในแตล่ ะค่าท่เี ป็นไปได้ หรือในแตล่ ะอนั ตรภาคชัน้

คาถามกรอบท่ี 11 (2 คะแนน)

จงสรา้ งตารางแจกแจงความถี่สะสม จากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้ พร้อมแสดงวธิ ี
หาความถสี่ ะสมของแต่ละอนั ตรภาคชั้น

อันตรภาคชั้น 55 - 64 65 – 74 75 – 84 85 – 94 95 - 104
ความถ่ี 8 12 21 15 9

20

เฉลยกรอบท่ี 11 กรอบที่ 12

อันตรภาคชั้น ความถ่ี ความถี่สะสม

55 – 64 8 8

65 – 74 12 8 + 12 = 20

75 – 84 21 20 + 21 = 41

85 – 94 15 41 + 15 = 56

95 - 104 9 56 + 9 = 65

การแจกแจงความถส่ี ัมพัทธ์

ความถ่สี ัมพทั ธ์ (relative frequency) ของค่าที่เป็นไปได้คา่ ใดหรอื ของอนั ตรภาค
ชน้ั ใด คือ อัตราส่วนระหว่างความถี่ของคา่ น้ันของอนั ตรภาคชน้ั นนั้ กับผลรวมของความถี่
ทัง้ หมด ความถี่สมั พัทธอ์ าจแสดงในรูปเศษสว่ นหรือทศนิยมหรือร้อยละก็ได้

ความถ่ีสัมพัทธใ์ นแต่ละอันตรภาคชัน้ = ความถ่ีของอันตรภาคชัน้ นัน้ /จานวนข้อมลู ทั้งหมด

ตัวอย่างท่ี 7 จากตารางแจกแจงความถี่ที่กาหนดให้ หาค่าความถี่สัมพัทธ์ไดด้ ังนี้

อันตรภาคชนั้ ความถี่ ความถี่สัมพทั ธ์ ร้อยละความถี่สัมพัทธ์

10 – 14 2 2 = 0.10 0.10 × 100 = 10
20
3
15 – 19 3 20 = 0.15 0.15 × 100 = 15

20 – 24 10 10 = 0.50 0.50 × 100 = 50
20
4
25 – 29 4 20 = 0.20 0.20 × 100 = 20

30 – 34 1 1 = 0.05 0.25 × 100 = 5
20

รวม 20 1.00 100

21

ความหมายจากตาราง

ความถี่สัมพัทธ์ของอันตรภาคชน้ั ใด เป็นการบอกให้ทราบว่าอนั ตรภาคชน้ั นนั้ มี
จานวนมากนอ้ ยเพียงใด เมอื่ เทียบกบั ผลรวมของความถ่ีทั้งหมด แต่เพื่อความเข้าใจไดง้ ่าย ๆ
จึงนิยมเขียนเป็นร้อยละ เรียกวา่ “ร้อยละ ของความถ่ีสมั พทั ธ์” เชน่ อันตรภาคชน้ั 10 - 14
มีรอ้ ยละของความถีส่ ัมพัทธเ์ ท่ากบั 10 แสดงว่า อันตรภาคชั้น 10 - 14 มีจานวนคดิ เป็น
รอ้ ยละ 10 ของจานวนข้อมลู ทง้ั หมด อนั ตรภาคชั้น 20 - 24 เป็นอนั ตรภาคชั้นที่มีขอ้ มลู อยู่
ในชว่ งน้มี ากท่ีสุด คิดเปน็ รอ้ ยละ 50 ส่วนอันตรภาคชนั้ 30 - 34 เป็นอนั ตรภาคชน้ั ทีม่ ีข้อมลู
อยใู่ นช่วงนนี้ อ้ ยทีส่ ุด คดิ เปน็ ร้อยละ 5

หมายเหตุ
เน่ืองจากความถสี่ ัมพัทธ์เป็นความถี่ทไี่ ดจ้ ากการเปรียบเทยี บความถี่ของแตล่ ะค่า
หรือแต่ละอนั ตรภาคชนั้ กับผลรวมของความถ่ที ั้งหมด ดังนน้ั ผลรวมของความถสี่ มั พัทธข์ อง
ทุก ๆ ค่าท่ีเป็นไปได้หรือของทุกอนั ตรภาคชั้นจะต้องมีคา่ เทา่ กับ 1 และผลรวมของร้อยละ
ของความถีส่ มั พัทธ์เทา่ กับ 100 เสมอ

คาถามกรอบท่ี 12 (2 คะแนน)
จากตารางแจกแจงความถท่ี ่ีกาหนดให้ หาคา่ ความถสี่ ัมพัทธ์ และคา่ ร้อยละความถี่สัมพัทธ์

อนั ตรภาคช้ัน ความถ่ี ความถ่ีสัมพทั ธ์ รอ้ ยละความถสี่ ัมพัทธ์

30 - 39 7

40 – 49 3

50 – 59 8

60 – 69 5

70 – 79 2

รวม 25

22

เฉลยกรอบท่ี 12

อันตรภาคชน้ั ความถ่ี ความถี่สัมพัทธ์ ร้อยละความถี่สัมพัทธ์
0.28 × 100 = 28
30 - 39 7 7 = 0.28 0.12 × 100 = 12
25 0.32 × 100 = 32
0.20 × 100 = 20
40 – 49 3 3 = 0.12 0.08 × 100 = 8
25
100
50 – 59 8 8 = 0.32
25

60 – 69 5 5 = 0.20
25

70 – 79 2 2 = 0.08
25

รวม 25 1

23 กรอบที่ 13
การแจกแจงความถีส่ ะสมสมั พัทธ์

ความถีส่ ะสมสัมพัทธ์ (relative cumulative frequency) ของคา่ ทเี่ ป็นไปได้
ค่าใดหรือของอนั ตรภาคชั้นใด คือ อตั ราส่วนระหว่างความถ่ีของคา่ นน้ั หรือของอันตรภาคชั้น
นนั้ กบั ผลรวมของความถี่ทง้ั หมด ซึ่งอาจแสดงในรปู เศษส่วน ทศนิยม หรือร้อยละ

ความถ่สี ะสมสัมพัทธใ์ นแต่ละอนั ตรภาคช้นั =
ความถสี่ ะสมของอันตรภาคชั้นน้ัน/จานวนขอ้ มลู ทัง้ หมด

จากตารางแจกแจงความถท่ี ่ีกาหนดให้ จะได้ตารางแสดงความถ่สี ะสม
ตัวอยา่ งท่ี 8 สมั พทั ธ์ ดังน้ี

อันตรภาคช้นั ความถี่ ความถ่ี ความถส่ี ะสม ร้อยละความถ่ี
สะสม สัมพัทธ์ สะสมสมั พัทธ์

10 – 14 2 2 2 = 0.10 0.10 × 100 = 10
20
5
15 – 19 3 5 20 = 0.25 0.25 × 100 = 25

20 – 24 10 15 15 = 0.75 0.75 × 100 = 75
20
19
25 – 29 4 19 20 = 0.95 0.95 × 100 = 95

30 – 34 1 20 20 = 1.00 1.00 × 100 = 100
20

คาถามกรอบที่ 13 (1 คะแนน)

จากตารางแจกแจงความถที่ ่ีกาหนดให้ หาคา่ ความถี่สะสมสัมพทั ธ์

อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถสี่ ะสม ความถี่สะสมสัมพัทธ์

30 - 39 7
40 – 49 3
50 – 59 8
60 – 69 5
70 – 79 2

24

เฉลยกรอบท่ี 13

อันตรภาคช้ัน ความถี่ ความถีส่ ะสม ความถส่ี ะสมสัมพัทธ์
7
30 - 39 7 10 7 = 0.28
18 25
23
40 – 49 3 25 10 = 0.40
25

50 – 59 8 18 = 0.72
25

60 – 69 5 23 = 0.92
25

70 – 79 2 25 = 1.00
25

25

กรอบสรุป

การแจกแจงความถี่ คอื การนาขอ้ มลู ทร่ี วบรวมมาได้มาจัดใหม่ใหเ้ ป็นระเบียบ

เปน็ หมวดหมเู่ รยี งจากมากไปนอ้ ยหรือเรียงจากน้อยไปมากเพอื่ แสดงใหท้ ราบวา่ ขอ้ มลู

แตล่ ะคา่ หรือข้อมลู แตล่ ะกล่มุ เกิดข้นึ ซา้ ๆ กันก่ีครง้ั

ตารางแจกแจงความถ่ี มีส่วนประกอบตา่ งๆ ดังน้ี

1. อันตรภาคชน้ั หมายถงึ ช่วงคะแนนท่ีแบง่ ออกเป็นช่วง ๆ ในแตล่ ะช่วงคือ

คา่ ท่เี ปน็ ไปได้ของข้อมูล

2. ขอบบน ขอบล่าง

ขอบบนของอนั ตรภาคชัน้ ใด หมายถงึ คา่ ก่ึงกลางระหวา่ งคา่ ท่เี ปน็ ไปได้สูงสุด

ของอนั ตรภาคชนั้ นั้น กบั ค่าที่เปน็ ไปได้ต่าสุดของอนั ตรภาคชัน้ ตดิ กนั ถดั ไป
1
ขอบบน = จุดกง่ึ กลาง + 2 ของความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้

ขอบลา่ งของอันตรภาคช้ันใด หมายถึง ค่ากง่ึ กลางระหว่างคา่ ท่ีเป็นไปได้ต่าสุด

ของอันตรภาคช้ันนัน้ กับคา่ ท่ีเปน็ ไปไดส้ ูงสุดของอันตรภาคช้นั ท่อี ยตู่ ดิ กันกอ่ นหน้านนั้
1
ขอบล่าง = จดุ กง่ึ กลาง - 2 ของความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้

3. ความกวา้ งของอนั ตรภาคชัน้ คอื ผลตา่ งของขอบบนและขอบล่างของ

อันตรภาคชนั้ น้ัน พสิ ยั
จานวนชนั้
ความกวา้ งของอันตรภาคช้นั =

4. จดุ กง่ึ กลางของอนั ตรภาคชน้ั ใด คือ คา่ เฉล่ียของชว่ งคะแนนในอนั ตรภาคชนั้

นน้ั ๆ

จดุ ก่งึ กลางของอนั ตรภาคชนั้ ใด = (ขอบบน + ขอบลา่ ง) / 2 (ของอันตรภาคช้นั นัน้ ๆ)

5. ความถ่ีของอนั ตรภาคช้ันใด หมายถึง จานวนขอ้ มูล (คา่ จากการสังเกต) ท่ี

ปรากฏอย่ใู นช่วงคะแนนหรอื อนั ตรภาคชั้นน้ี

หลักในการหาความถสี่ ะสม คอื บวกความถี่จากอนั ตรภาคชัน้ ท่ีคะแนนมีค่าน้อย

ไปสชู่ น้ั ท่ีมคี า่ มาก และความถสี่ ะสมของอนั ตรภาคชัน้ ชุดท้ายจะเท่ากบั จานวนข้อมูลท้งั หมด

เสมอ

ผลรวมของความถีส่ ัมพัทธ์ของทุก ๆ คา่ ทีเ่ ป็นไปไดห้ รือของทุกอันตรภาคช้ัน

จะต้องมคี า่ เทา่ กบั 1 และผลรวมของร้อยละของความถ่ีสมั พัทธ์เท่ากบั 100 เสมอ

26

กรอบแบบฝกึ หัดท่ี 1

คาชแ้ี จง ให้นกั เรียนเติมคาตอบในช่องวา่ งต่อไปน้ีให้ถูกต้อง (10 คะแนน)

ตอ่ ไปน้ีเปน็ สว่ นสงู ของนักเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5 ของโรงเรยี นแห่งหนึ่ง
จานวน 30 คน (หน่วยเป็นเซนตเิ มตร)

175 171 175 160 163 169 172 170 167 169
169 176 171 166 178 158 158 174 169 170
164 168 164 172 165 173 170 161 167 179

จงสร้างตารางแจกแจงความถี่โดยให้อันตรภาคช้ันแรกเปน็ 158 - 162

วิธที า 1) หาคะแนนสงู สดุ และคะแนนต่าสดุ ของขอ้ มูล จะได้
คะแนนสงู สดุ =
คะแนนต่าสดุ =

2) หา พิสัย =
=

3) โจทยก์ าหนดให้อนั ตรภาคชั้นแรกเป็น 158 – 162

นน่ั คอื กาหนดขนาดของอันตรภาคช้นั มาให้ =

∴ หาจานวนอนั ตรภาคชน้ั

จานวนชั้นหรอื จานวนอันตรภาคชั้น =

=

จานวนอันตรภาคชั้น =

4) จะไดต้ ารางแจกแจงความถี่ ดังนี้

อันตรภาคช้นั รอยขดี ความถ่ี ความถสี่ ะสม
158 – 162
163 – 167
168 – 172
173 – 177
178 – 182

27

กรอบเฉลยแบบฝกึ หัดที่ 1

วธิ ที า 1) หาคะแนนสงู สดุ และคะแนนตา่ สุดของขอ้ มลู จะได้
คะแนนสงู สดุ = 179 คะแนน
คะแนนต่าสุด = 158 คะแนน

2) หา พสิ ยั = คะแนนสงู สุด – คะแนนต่าสดุ
= 179 – 158 = 21

3) โจทยก์ าหนดให้อันตรภาคชั้นแรกเป็น 158 – 162

นั่นคอื กาหนดขนาดของอันตรภาคช้นั มาให้ = 162.5 – 157.5 = 5

∴ หาจานวนอนั ตรภาคชน้ั พสิ ยั
ความกวา้ งของอนั ตรภาค ชนั้
จานวนชัน้ หรือจานวนอนั ตรภาคชน้ั =

= 21 = 4.2
5
จานวนอนั ตรภาคชัน้ =5

4) จะได้ตารางแจกแจงความถ่ี ดังนี้

อันตรภาคช้ัน รอยขีด ความถ่ี ความถี่สะสม
158 – 162 //// 4 4
163 – 167 //// // 7 11
168 – 172 //// //// // 12 23
173 – 177 //// 5 28
178 – 182 2 30
//

28

กรอบแบบฝึกหัดที่ 2

คาชแี้ จง ให้นกั เรียนเติมคาตอบในชอ่ งวา่ งต่อไปน้ใี ห้ถูกต้อง (10 คะแนน)

1. การแจกแจงความถ่ีสมั พัทธ์

อันตรภาคชัน้ ความถี่ ความถสี่ ัมพทั ธ์ ร้อยละของความถ่ี
สมั พัทธ์
30 – 39 2
40 – 49 0
50 – 59 6
60 – 69 6
70 – 79 10
80 – 89 13
90 - 99 8
45
รวม

2. การแจกแจงความถี่สะสมสัมพัทธ์

อนั ตรภาคชนั้ ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่ รอ้ ยละของ
สะสมสมั พัทธ์ ความถ่ีสะสม

สัมพทั ธ์

30 – 39 2
40 – 49 0
50 – 59 6
60 – 69 6
70 – 79 10
80 – 89 13
90 - 99 8

29

กรอบเฉลยแบบฝึกหัดที่ 2

1. การแจกแจงความถีส่ มั พทั ธ์

อนั ตรภาคชนั้ ความถ่ี ความถ่สี ัมพทั ธ์ รอ้ ยละของความถ่ี
สมั พทั ธ์
30 – 39 2 0.044 4.444
40 – 49 0 0.000 0.000
50 – 59 6 0.133 13.333
60 – 69 6 0.133 13.333
70 – 79 10 0.222 22.222
80 – 89 13 0.289 28.889
90 - 99 8 0.178 17.778
45 1.000 100.000
รวม

2. การแจกแจงความถี่สะสมสมั พทั ธ์

อนั ตรภาคชั้น ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่ รอ้ ยละของ
สะสมสมั พัทธ์ ความถ่ีสะสม
30 – 39 2 2
40 – 49 0 2 0.044 สมั พัทธ์
50 – 59 6 8 0.044 4.444
60 – 69 6 14 0.178
70 – 79 10 24 0.311 4.444
80 – 89 13 37 0.533
90 - 99 8 45 0.822 17.778
1.000
31.111

53.333

82.222

100.000

30

แบบทดสอบหลงั เรียน

คาช้ีแจง นกั เรียนทาเครื่องหมาย  ทับตัวอกั ษรหน้าข้อทถี่ ูกต้องทส่ี ุดเพียงข้อเดยี ว

ใช้ตารางขา้ งลา่ งน้ีตอบคาถามขอ้ 1 – 5

อันตรภาคชนั้ ความถี่ จดุ กงึ่ กลางชั้น
a–b 6 54.5
c–d 12 64.5
e–f 14 74.5
g–h 8 84.5

1. ขอบลา่ งและขอบบนของ อนั ตรภาคชัน้ e – f คอื ข้อใด
ก. 77.5 – 67.5
ข. 78.5 – 68.5
ค. 69.5 – 79.5
ง. 80.5 – 70.5

2. ความถีส่ ะสมสัมพัทธ์ของ อนั ตรภาคช้ัน e – f คือข้อใด
ก. 0.150
ข. 0.450
ค. 0.800
ง. 1.000

31

3. ความถ่สี ะสมของ อันตรภาคชั้น c – d คือข้อใด
ก. 6
ข. 12
ค. 18
ง. 24

4. ความถ่ีสมั พทั ธ์ของ อนั ตรภาคช้ัน c – d คือข้อใด
ก. 0.350
ข. 0.300
ค. 0.200
ง. 0.150

5. อันตรภาคชนั้ a – b คอื ข้อใด
ก. 49 – 58
ข. 50 – 59
ค. 51 – 60
ง. 52 – 61

6. อนั ตรภาคชนั้ หนง่ึ มขี อบล่างเป็น 0.375 มจี ดุ กงึ่ กลางช้นั เป็น 0.61 อนั ตรภาคช้นั น้นั
มคี วามกวา้ งเทา่ ไร
ก. 0.18
ข. 0.25
ค. 0.35
ง. 0.47

7. อันตรภาคช้นั หนง่ึ มี 11.5 เป็นขอบลา่ ง และ 16.5 เปน็ จดุ กง่ึ กลางชั้น
ตารางแจกแจงความถ่มี ี 7 อันตรภาคชั้น ถ้าข้อมลู ท่นี ้อยท่ีสุดเป็น 12
ขอ้ มูลมีมากท่ีสดุ มคี ่าเท่าไร
ก. 40
ข. 75
ค. 82
ง. 90

32

8. ข้อใดต่อไปน้ีไมถ่ ูกตอ้ ง
ก. ชั้นท่เี ป็นอันตรภาคช้นั เปิดจะอยูต่ รงกลางของตารางการแจกแจงความถี่
ข. ในการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ แต่ละอนั ตรภาคช้นั ต้องมีความถ่ีเทา่ นั้น
ค. ในการสร้างตารางแจกแจงความถี่ ความกว้างของอันตรภาคชนั้ แต่ละ
อันตรภาคชน้ั ไม่จาเป็นต้องเทา่ กนั
ง. ในการสร้างตารางแจกแจงความถ่ซี ึ่งเปน็ อันตรภาคชน้ั เราสามารถกระทา
ไดเ้ สมอไม่ว่าข้อมูลมีลักษณะอยา่ ง

9. ขอ้ มลู ชดุ หนึง่ มีพสิ ยั เป็น 50 นามาสรา้ งเปน็ ตารางแจกแจงความถ่ี
ซง่ึ มี 8 อันตรภาคชนั้ อนั ตรภาคช้นั หนง่ึ มขี อบบนเป็น 14.25
ขอบลา่ งของอันตรภาคชน้ั น้นั มคี า่ เทา่ ไร
ก. 7.25
ข. 10.25
ค. 15.25
ง. 21.25

10. อนั ตรภาคชน้ั หนง่ึ มขี อบบนเป็น 15.5 ขอบล่างเป็น 10.5 ข้อมลู ชดุ นั้นมพี ิสยั 48
ตารางแจกแจงความถมี่ กี ี่อนั ตรภาคช้ัน
ก. 8 อนั ตรภาคช้ัน
ข. 9 อนั ตรภาคช้ัน
ค. 10 อนั ตรภาคช้นั
ง. 11 อันตรภาคชน้ั

33

กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงั เรยี น

ช่อื ....................................................................................เลขท.่ี ................

ข้อ ก ข ค ง

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ได้คะแนน.....................

34

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

1. ค
2. ค
3. ค
4. ข
5. ข
6. ง
7. ค
8. ก
9. ก
10. ค

35

บรรณานกุ รม

กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2551). หลักสตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน พทุ ธศักราช 2551.
กรุงเทพฯ : ชมุ นมุ สหกรณ์การเกษตรแหง่ ประเทศไทย, 2551.
. (2552). ตัวชี้วดั และสาระแกนกลางกลุ่มสาระเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตร
การศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พช์ มุ นมุ สหกรณก์ ารเกษตร
แห่งประเทศไทย จากดั .

กลม เอกไทยเจรญิ และคณะ. (ม.ป.ป.). คู่มือคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน ม.5 เล่ม 2.
กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิง่ .

คณิต มงคลพิทักษ์สขุ . (2554). MATH E-BPPL Release 2.5. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์
Science Center.

จกั รินทร์ วรรณโพธ์กิ ลาง. (2552). คมั ภรี ์ คณติ ศาสตร์ Entrance ม.4-5-6 สอบตรง
สอบโควตา Admission PAT 1. พมิ พค์ รั้งท่ี 1. กรงุ เทพฯ : พ.ศ.พฒั นา.

ฝา่ ยวิชาการ พบี ีซี. (2553). ยอดคณิตศาสตร์ ม.ปลาย เรือ่ ง สถิต.ิ กรุงเทพฯ : พีบีซ.ี
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2552). หนงั สือเรยี นรายวิชาพื้นฐาน

คณิตศาสตร์ เล่ม 3 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.
สมจติ ร ชิวปรีชา. (2547). หนังสือเรยี นสาระการเรียนรู้พนื้ ฐานคณิตศาสตร์
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5. กรงุ เทพฯ : สถาบนั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว.).
สขุ าดา กรี ะนนั ท์ และคณะ. (2547). สถิติกบั ชวี ิตประจาวัน. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พแ์ ห่ง
จุฬาลงกรณ์.มหาวิทยาลยั .