อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 1
ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 6

แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะคณติ ศาสตร์
เรอื่ ง แคลคลู สั เบอ้ื งตน้

กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

เรอื่ ง อนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั ประกอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 2
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

จุดประสงค์

1. บอกความหมายของฟังก์ชนั ประกอบได้
2. บอกกฎลูกโซ่ในการหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ประกอบได้
3. หาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบได้
4. มีความคิดริเริ่มสร้างสรรคใ์ นการสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์และ

การนาเสนอ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 3
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

คำแนะนำกำรใช้งำนสำหรับครู

1. แบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดน้ีใชป้ ระกอบแผนการจดั การเรียนรู้
เร่ือง แคลคูลสั เบ้ืองตน้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

2. ใชแ้ บบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดน้ีเสริมนกั เรียนท่ีเรียนดีและช่วยนกั เรียน
ที่เรียนชา้ ใหเ้ รียนไดท้ นั เพอื่ น

3. ศึกษาแบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ต้งั แต่หนา้ แรกถึงหนา้ สุดทา้ ย รวมท้งั
เน้ือหาและ แบบฝึกใหเ้ ขา้ ใจก่อน

4. ศึกษาวา่ แบบฝึกใดท่ีครูตอ้ งเป็นผใู้ หค้ าแนะนาช่วยเหลือหรือใหค้ าปรึกษา
5. ช้ีแจงใหน้ กั เรียนอา่ นคาแนะนาในการใชง้ านแบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์
และปฏิบตั ิตามทุกข้นั ตอน ท้งั บตั รความรู้ บตั รตวั อยา่ ง แบบฝึก หรือแบบทดสอบ
ก่อนเรียนและหลงั เรียน

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 4
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

คำแนะนำกำรใช้งำนสำหรับนักเรียน

1. เอกสารน้ีเรียกวา่ แบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลสั เบ้ืองตน้
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

2. แบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์จะประกอบดว้ ย แบบทดสอบก่อนเรียน
บตั รความรู้ บตั รตวั อยา่ ง แบบฝึก แบบทดสอบหลงั เรียน และเฉลย นกั เรียนตอ้ งทา
ตามลาดบั ข้นั อยา่ ทาขา้ มตอน

3. ในแบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์จะมีแบบฝึกใหน้ กั เรียนคิดหาคาตอบ
พร้อมท้งั มีเฉลยแบบฝึก นกั เรียนตอ้ งไม่ดูเฉลยก่อนที่จะตอบคาถาม

4. นกั เรียนทกุ คนสามารถศึกษาแบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดน้ีไดต้ าม
ความสามารถของแตล่ ะคน ขอ้ สาคญั ขอใหน้ กั เรียนมีความซื่อสัตย์ ไม่ดูเฉลยคาตอบ
ก่อนศึกษาบตั รความรู้และแบบฝึก

5. นกั เรียนทุกคนตอ้ งลาดบั ข้นั ตอนในการศึกษาแบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์
เร่ือง แคลคูลสั เบ้ืองตน้ ดงั น้ี

5.1 อา่ นคาช้ีแจงการใชง้ านใหเ้ ขา้ ใจก่อนที่จะศึกษาเน้ือหา
5.2 ทาแบบทดสอบก่อนเรียนตามความเขา้ ใจ จานวน 10 ขอ้
หากนกั เรียนตอบผิดไมเ่ ป็ นไร
5.3 แบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ชุดน้ีมี 6 แบบฝึก ใหน้ กั เรียนศึกษา
ต้งั แต่แบบฝึกท่ี 1 ถึงแบบฝึกที่ 6 ตามลาดบั อยา่ ทาขา้ มแบบฝึก หา้ มดูเฉลยก่อน
5.4 เม่ือทาครบทกุ แบบฝึกแลว้ ใหน้ กั เรียนอ่านสรุปบตั รความรู้อีกคร้ัง
5.5 เม่ือทาบตั รแบบฝึกครบท้งั 6 แบบฝึกแลว้ ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบ
หลงั เรียน จานวน 10 ขอ้ เพื่อทดสอบความรู้ ความเขา้ ใจหลงั การเรียนรู้ของนกั เรียน

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 5
ชั้นมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

แบบทดสอบก่อนเรียน

จุดประสงค์ นกั เรียนสามารถหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ

คำชีแ้ จง 1. ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบท่ีถูกตอ้ งที่สุดเพียงขอ้ เดียวจากตวั เลือก ก , ข
ค หรือ ง แลว้ เขียนเคร่ืองหมาย  บนคาตอบที่ถูกเพยี งขอ้ เดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั ชนิดเลือกตอบ 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้
ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 10 คะแนน

3. ระยะเวลาท่ีใชใ้ นการทดสอบ 15 นาที

1. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = (3x + 7)4

ก. 4(3x + 7)3 ข. 12(3x + 7)3

ค. 4(3x + 7)5 ง. 12(3x + 7)5

2. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ( )y = 2x3 + 14 5

ก. ( )30 2x3 + 14 4 ข. ( )5 2x3 + 14 4

( )ค. 30x2 2x3 + 14 4 ง. ( )5x 2x3 + 14 4

3. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = 5x + 9

ก. 5 ข. 5
5x + 9
2 5x + 9

ค. − 5 ง. − 5

5x + 9 2 5x + 9

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 6
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

4. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ข. ( )4 3t 3 − 5t 3
ง. ( )4 3t 3 − 5t 4
ก. (4 3t 3 − ) (5t 3 9t 2 − 5)
ค. (4 3t 3 − )5t 4 (9t 2 − 5) ข. 6x

5. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั (3x 2 + 1)
ก. 3x
ง. 2
(3x 2 + 1)
(3x 2 + 1)
ค. x

2 (3x 2 + 1)

6. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ข. − 5x
ก. 5x
( )3
( )3
5x 2 + 1 2
5x 2 + 1 2
ง. − 5x
ค. 5x
( )1
( )1
5x 2 + 1 2
5x 2 + 1 2
ต้งั ใจทำนะครับ
7. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั
ข. 8x 2 + 1
ก. 8x 2 + 4x − 3
3x + 2
(3x + 2)2
ง. 12x 2 − 16x + 3
ค. 12x 2 + 16x − 3
(3x + 2)2
(3x + 2)2

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 7
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

8. กาหนดให้ ถา้ g เป็นฟังกช์ นั ซ่ึง ทกุ
แลว้ มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. 35 ข. 33
12 4

ค. 41 ง. 39
12 4

9. กาหนด f เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ และ
ถา้ แลว้ มีค่าเท่ากบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

ก. 1 ข. 3
22

ค. 8 ง. 24

10. กาหนดให้ ถา้ และ แลว้ คา่ ของ

เทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี ข. 120
ก. 100 ง. 140
ค. 160

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 8
ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 6

ใบควำมรู้

อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ

หมายถึง การสร้างสูตรสาหรับหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ประกอบซ่ึงสูตร
ในการหาอนุพนั ธน์ ้ีเรียกวา่ “กฎลูกโซ่” ( Chain rule)

กฎลกู โซ่ คือ กฎท่ีใชใ้ นการหาอนุพนั ธ์ของ “ฟังก์ชันคอมโพสิท” ในบางคร้ัง
การหาอนุพนั ธ์เม่ือมอง y เป็นฟังกช์ นั ในรูปของ x ตรงๆ จะทาใหห้ าอนุพนั ธไ์ ดย้ ากมาก
หรืออาจหาไมไ่ ดเ้ ลย ซ่ึงเราจาเป็นตอ้ งมอง y เป็นฟังกช์ นั คอมโพสิท เพอ่ื ทาให้
หาอนุพนั ธ์ของมนั ไดง้ า่ ยข้ึน

กฎลูกโซ่ (chain rule)
ถา้ y = (gof)(x) = g(f(x)) แลว้
g(f(x)) f(x) = (f(x)) (x)

สามารถเขียนในอีกรูปแบบโดยการปรับสูตรดงั น้ี จากฎลูกโซ่ไวใ้ หแ้ มน่ ยา
ถา้ ให้ u = f(x) แลว้ y = (gof) (x) = g(f(x)) = g(u) ไดเ้ อาไปใชแ้ กโ้ จทยแ์ น่นอน

จาก g(f(x)) f(x)

จะได้ g(u) u
จากถา้ u = f (x) แลว้ y = g(u)
ดงั น้นั

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 9
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

กฎลกู โซ่ (chain rule) ท่ปี รับสูตรใหม่เพือ่ ใหด้ ูง่ายข้ึน
ถา้ u = f(x) และ y = g(u) แลว้

ส่ิงท่ีต้องสังเกตเหน็
1. กฎลูกโซ่ ( chain rule )

g(f(x)) อยขู่ า้ งนอก f(x) อยขู่ า้ งใน

ถา้ y = (gof) (x) = g (f (x) ) f(x)
แลว้ g(f(x))

ดิฟขา้ งบนก่อน ดิฟขา้ งใน

2.กฎลูกโซ่ ( chain rule ) ท่ีปรับสูตรใหมเ่ พื่อใหด้ ูง่ายข้ึน

y หรือ g(u) อยขู่ า้ งนอก u อยขู่ า้ งใน

ถา้ u = f(X) และ y = g (u) แลว้

ดิฟขา้ งนอกก่อน ดิฟขา้ งใน

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 10
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

เทคนิคกำรใช้กฎลกู โซ่ ( chain rule )
วธิ ีตรง
หลกั กำร

1. มอง y เป็นฟังกช์ นั คอมโพสิท y = g(f(x))
2. สมมติให้ u = f(x) คือมอง u เป็นฟังกช์ นั ของ x จะได้ y = g(u)
หมายเหตุ เราอาจมอง y ใหเ้ ป็นฟังกช์ นั คอมโพสิทท่ีซอ้ นกนั หลายๆฟังกช์ นั

พบว่ำ เป็ นจริงดว้ ยวา่ dy = dy • du • ds • • • d
dx du ds d dx

เทคนคิ ท่ีทำให้ดงู ่ำยขนึ้
1. ดิฟขา้ งนอกก่อน แลว้ ดิฟขา้ งในต่อไปเร่ือยๆ จนกระทงั่ เทียบกบั x

2. นาเอาผลดิฟแต่ละส่วนท่ีไดจ้ ากขอ้ 1 ท้งั หมดมาคูณกนั กจ็ ะได้ dy
dx

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 11
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

ตวั อย่ำง 1 กาหนดให้ y = แลว้ จงหา dy
dx

วธิ ีตรง สมมติให้ u= ..........(1)
จากโจทยจ์ ะได้ y= ……….(2)

จากกฎลกู โซ่ ……….(3)

นา (1) และ (2) แทนใน (3) จะได้

= (6x-2)
ดงั น้นั = 5

เทคนคิ ทท่ี ำให้ดงู ่ำยขนึ้ =5
1. ดิฟข้ำงนอก

2. ดฟิ ข้ำงใน = 6x-2

3. นำเอำผลดฟิ แต่ละส่วนทไี่ ด้ท้งั หมดมำคูณกนั

ดงั น้นั = 5 (6x-2)

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 12
ชั้นมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

ตัวอย่ำง 2 กาหนดให้ y = แลว้ จาหา dy
dx

วธิ ีตรง สมมติให้ u = = …………….(1)
…………….(2)
จากโจทย์ y =
จากกฎลูกโซ่ =

นา (1) และ (2) แทนใน (3) จะได้ =

=[ ] ( )

=[ ] ( )
=[ ] ( )

ดังน้นั =

เทคนิคทท่ี ำให้ดงู ่ำยขนึ้

1.ดิฟข้ำงนอก ==

2.ดฟิ ข้ำงนอก =

3.นำเอำผลดฟิ แต่ละส่วนทไี่ ด้ท้งั หมดมำคูณกนั

จะได้ = ()
ดงั น้นั =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 13
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

ตัวอย่ำง 3 กาหนดให้ y = แลว้ จาหา dy
dx

วิธีตรง จากโจทยจ์ ะได้ y = =

สมมติให้ u = 7x-6 ……….(1)
จะได้ y = ………..(2)
จากกฎลูกโซ่ ………...(3)

นา (1) และ (2) แทนใน (3) จะได้
= [ ] (7)

ดังน้นั

เทคนิคท่ีทำให้ดงู ่ำยขึน้

1.ดิฟข้ำงนอก = (- )

2.ดิฟข้ำงใน =7

3.นำเอำผลดิฟแต่ละส่วนทไี่ ด้ท้งั หมดมำคูณกนั

จะได้ = (- ) (7)

ดงั น้นั =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 14
ชั้นมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

ตัวอย่ำง 4 กาหนดให้ y = แลว้ จงหา dy
dx

วิธีตรง สมมุติให้ u= ………(1)
y=
จากโจทยจ์ ะได้ …..…..(2)
จากกฎลูกโซ่ ……...(3)

นา (1) และ (2) แทนใน (3) จะได้ =
=
ดังน้นั
=
=

เทคนคิ ทที่ ำให้ดงู ่ำยขึน้

1.ดิฟข้ำงนอก =

2.ดิฟข้ำงใน )=

3.นำเอำผลดิฟแต่ละส่วนทไ่ี ด้ท้ังหมดมำคูณกนั
ดังน้นั =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 15
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

ตวั อย่ำง 5 กาหนดให้ y = แลว้ จาหา dy
dx

วธิ ีทำ สมมุติให้ u= ………(1)
จากโจทยจ์ ะได้ y= = ……….(2)
……….(3)
จากกฎลกู โซ่

นา (1) และ (2) แทนใน (3) จะได้ =

=
=( )

ดงั น้นั =

เทคนคิ ทท่ี ำให้ดงู ่ำยขึน้

1.ดิฟข้ำงนอก =

2.ดฟิ ข้ำงใน =

3.นำเอำผลดิฟแต่ละส่วนที่ได้ท้ังหมดมำคูณกนั

จะได้ =
ดงั น้นั =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 16
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

ตวั อย่ำง 6 กาหนดให้ y = แลว้ จงหา dy
dx

วิธีตรง จากโจทยจ์ ะได้ y =

สมมตุ ิให้ u= และ s = 9-x …………(1)

จะได้ y = และ u = …………(2)
จากกฎลูกโซ่ …………(3)

นา (1)และ (2) แทนใน (3) จะได้ =

= [ ][ ](-1)

ดงั น้ัน =

เทคนิคทท่ี ำให้ดูง่ำยขนึ้ =
1.ดิฟข้ำงนอก

2.ดฟิ ข้ำงในคร้ังท่ี 1 =1

3.ดฟิ ข้ำงในคร้ังท่ี 2 = -1

4.นำเอำผลดิฟแต่ละส่วนท่ีได้ท้ังหมดมำคูณกนั

จะได้ = (-1)

ดงั น้นั =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 17
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

ตัวอย่ำง 7 กาหนดให้ y = แลว้ จงหา dy
dx
วิธีทำ จากโจทยจ์ ะได้ y =
สมมติให้ u =
จะได้ y =
จากกฎลูกโซ่

จะได้

สมมุตใิ ห้ s=
จะได้

สมมติให้ r = x – 4
จะได้

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 18
ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 6

ตัวอย่ำง 8 กาหนดให้ f(x) = แลว้ จงหา

วธิ ีทำ จากโจทย์ f(x) =

=

=

จะได้ =
แสดงวา่ f(x) =

=

= +-

= 2+0–2
ดงั น้นั = 2 -

หมำยเหตุ
ในการใชก้ ฎลกู โซ่ จะเห็นวา่ ผลสุดทา้ ยจะตอ้ งแทนตวั แปรอ่ืนใหอ้ ยใู่ นรูปตวั แปร

ที่เราหาอนุพนั ธ์เทียบกบั ตวั แปรน้นั ๆ แสดงวา่ เราสามารถเขียนฟังกช์ นั ที่กาหนดใหใ้ ห้
อยใู่ นรูปตวั แปรท่ีเราตอ้ งการหาอนุพนั ธเ์ ทียบกบั ตวั แปรน้นั ได้ แต่บางคร้ังหากการ
เปล่ียนตวั แปรไปสู่ตวั ตวั ที่ตอ้ งการหาอนุพนั ธ์ที่เทียบกบั ตวั แปรน้นั ค่อนขา้ งจะยงุ่ ยากก็
ไมจ่ าเป็นตอ้ งเปลี่ยนก็ได้ เช่นในขอ้ 6 เป็นตน้

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 19
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

แบบฝึ กทักษะท่ี 1

คาช้ีแจง จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี (คะแนนเตม็ 10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)
1. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = (5t +12)7
วิธีทำ

ตอบ
2. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั y = 2 + 3−10

 t

วธิ ีทำ

ตอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 20
ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 6

3. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 5

y = (x3 − 2x +1) 3

วธิ ีทำ

ตอบ

4. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = (6x 3 + 1 − 3x)6
5x 2

วิธีทำ

ตอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 21
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

5. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั y = 3 x4 − 2x + 5
วธิ ีทำ

ตอบ

การทาโจทย์
คณิตศาสตร์ทุกวนั กจ็ ะ
ช่วยใหเ้ ก่งคณิตศาสตร์ได้

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 22
ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 6

แบบฝึ กทักษะท่ี 2

คำชีแ้ จง จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี (คะแนนเตม็ 10 คะแนน ขอ้ ละ 2.5คะแนน)
1) กาหนดให้ g(x) = 3x2 +1 แลว้ จงหาอนุพนั ธ์ของ g(x) ท่ี x = 1

วิธีทำ

ตอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 23
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

2) กาหนดให้ f (x) = 2x + 4 แลว้ จงหาอนุพนั ธข์ อง f (0)
วิธีทำ

ตอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 24
ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

3) กาหนดให้ 1 แลว้ จงหาอนุพนั ธ์ของ f (1)

f (x) = [(2x +1)(3x + 2)]2

วธิ ีทำ

ตอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 25
ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

4) กาหนดให้ 4 แลว้ จงหาอนุพนั ธ์ของ f (1)

f (x) = [(x 4 −1)(2x + 3)]5

วธิ ีทำ

ตอบ

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 26
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

แบบทดสอบหลงั เรียน

นกั เรียนสามารถหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ประกอบ

คำชี้แจง 1. ใหน้ กั เรียนเลือกคาตอบที่ถูกตอ้ งท่ีสุดเพยี งขอ้ เดียวจากตวั เลือก ก , ข
ค หรือ ง แลว้ เขียนเคร่ืองหมาย  บนคาตอบที่ถูกเพียงขอ้ เดียว

2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนยั ชนิดเลือกตอบ 4 ตวั เลือก จานวน 10 ขอ้
ขอ้ ละ 1 คะแนน รวมคะแนนเตม็ 10 คะแนน

3. ระยะเวลาท่ีใชใ้ นการทดสอบ 15 นาที

1. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั y = (3x + 7)4

ก. 4(3x + 7)3 ข. 12(3x + 7)3

ค. 4(3x + 7)5 ง. 12(3x + 7)5

2. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ( )y = 2x3 + 14 5

ก. ( )5 2x3 +14 4 ข. ( )30 2x3 +14 4

ค. ( )5x 2x3 +14 4 ( )ง. 30x2 2x3 +14 4

3. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = 5x + 9

ก. 5 ข. 5

5x + 9 2 5x + 9

ค. − 5 ง. − 5

5x + 9 2 5x + 9

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 27
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

4. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ข. ( )4 3t 3 − 5t 3
ง. ( )4 3t 3 − 5t 4
ก. (4 3t 3 − ) (5t 3 9t 2 − 5)
ค. (4 3t 3 − )5t 4 (9t 2 − 5)

5. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ข. 6x
ก. 3x
(3x 2 + 1)
(3x 2 + 1)
ง. 2
ค. x
(3x 2 + 1)
2 (3x 2 + 1)

6. จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ข. 5x

ก. − 5x ( )3

( )3 5x2 +1 2

5x2 +1 2 ง. − 5x

ค. 5x ( )1

( )1 5x2 +1 2

5x2 +1 2

7. จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ข. 12x 2 + 16x − 3

ก. 8x 2 + 4x − 3 (3x + 2)2

(3x + 2)2 ง. 12x 2 − 16x + 3

ค. 8x 2 + 1 (3x + 2)2

3x + 2

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 28
ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 6 ทุก

8. กาหนดให้ ถา้ g เป็นฟังกช์ นั ซ่ึง
แลว้ มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. 35 ข. 33
12 4

ค. 41 ง. 39

12 4

9. กาหนด f เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ และ

ถา้ แลว้ มีค่าเทา่ กบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

ก. 1 ข. 3
22

ค. 8 ง. 24

10. กาหนดให้ ถา้ และ แลว้ คา่ ของ

เท่ากบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี ข. 120
ก. 160 ง. 140
ค. 100

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 29
ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 6

ภำคผนวก

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 30
ชั้นมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 1

คำชี้แจง จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี (คะแนนเตม็ 10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1) y = (5t +12)7 u = 5t + 12
วธิ ีทำ ให้

ดงั น้นั y = f(t) = (5t +12)7 = u7
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

dy = dy  du
du dt
dt d (u7 )  d (5t +12)
du dt
=
= (7u 6 )(5)

ดงั น้นั f (t) = 35(5t +12)6

2) y =  2 + 3 −10 u= 2+ 3
 t t

วิธีทำ ให้ f(t) = =2 + 3 −10

ดงั น้นั y =  t u-10
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

dy = dy  du
du dt
dt
d (u −10 )  d  2 + 3 
= du dt  t 

= (−10u −11 )(− 1 )
x2

= −10 2 + 3 −11 − 1 
 t  t2 

= 10  2 + 3  −11
t2  t 

ดังน้นั f (t) = 10  3  −11
t2  t 
2 +

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 31
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

3. 5
y = (x3 − 2x +1) 3

วิธีทำ ให้ u = x3 − 2x +1

ดงั น้นั y = f(x) = =5 5
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ (x3 − 2x +1) 3
u3

dy = dy  du
du dx
dx

=d 5 d (x3 − 2x +1)

(u 3 ) 
du dt

= (5 u 2 )(3x 2 − 2)
3

3

=5 (x3 − 2x 2 (3x 2 − 2)
3
+1) 3

ดังน้นั f (x) = 5 (x3 − 2x + 1) 2 (3x 2 − 2)
3

3

4. y = (6x 3 + 1 − 3x)6
5x 2

วธิ ีทำ ให้ u = 6x3 + 5x 2 − 3x

ดงั น้นั y = f(x) = 1 = 1
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ (6x3 + 5x 2 − 3x)6 u6

dy = dy  du
du dx
dx
d ( 1 )  d (6x 3 + 5x 2 − 3x)
= du u6 dt

= (−6u −7 )(18x 2 +10x − 3)

=( − 6 )(18x 2 + 10x − 3)
u
7

= (−6)(18x 2 +10x − 3)

(6x3 + 5x 2 − 3x)7

ดังน้นั f (x) = (−6)(18x 2 +10x − 3)

(6x3 + 5x 2 − 3x)7

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 32
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

5) y = 3 x4 − 2x + 5

วิธีทำ ให้ u = x4 – 2x + 5

ดงั น้นั y = f(x) = 3 x4 − 2x + 5 = y=3 u
โดยกฎลูกโซ่ จะได้

dy = dy  du
du dx
dx d (u5 )  d (3x 2 − 2x + 5)
du dx
= (5u 4 )(6x − 2)

= 5(3x 2 − 2x + 5)4 (6x − 2)
=

ดงั น้นั f (x) = 5(3x 2 − 2x + 5)4 (6x − 2)

การทาโจทย์
คณิตศาสตร์ทุกวนั ก็จะ
ช่วยใหเ้ ก่งคณิตศาสตร์ได้

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 33
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 2

คำชี้แจง จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั ต่อไปน้ี (คะแนนเตม็ 10 คะแนน ขอ้ ละ 2.5คะแนน)

1) กาหนดให้ g(x) = 3x2 +1 แลว้ จงหาอนุพนั ธ์ของ g(x) ที่ x = 1

วธิ ีทำ ให้ u = 3x2 +1

ดงั น้นั y = g(x) = 3x2 +1 = u

โดยกฎลูกโซ่ จะได้

g(x) = dg  du
= du dx
=
= d ( u )  d (3x 2 +1)
du dx
g(x) =
g(1) = ( 1 u −1 )(6x)
2
g(1) =
2
3
2 1
(6x)

2 3x 2 +1

3x

3x 2 +1

3(1)

3(1)2 +1

3

2

ดังน้นั g(1) =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 34
ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 6

2) กาหนดให้ f (x) = 2x + 4 แลว้ จงหาอนุพนั ธข์ อง f (0)

วธิ ีทำ ให้ u = 2x + 4

ดงั น้นั y = f(x) = 2x + 4 = u

โดยกฎลูกโซ่ จะได้

f(x) = dy  du
= du dx
=
= d ( u )  d (2x + 4)
du dx
g(x) =
g(1) = ( 1 u −1 )(2)
2

2

1 (2)
2 2x + 4

1

2x + 4

1

2(0) + 4

g(1) = 1

g(1) = 4
1
1 2
2
ดังน้นั g(1) =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 35
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

3) กาหนดให้ 1 แลว้ จงหาอนุพนั ธข์ อง f (1)
วิธีทำ ให้
f (x) = [(2x +1)(3x + 2)]2

u = (2x +1)(3x + 2)

= 6x2 + 7x + 2

ดงั น้นั y = f(x) = 6x2 + 7x + 2 =1
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ u2

f(x) = dy  du
= du dx
=
= d 1 d (6x 2 + 7x + 2)

g(x) = (u 2 ) 
g(1) = du dx
g(1) =
( 1 u −1 )(6x + 7)
13 2
26
2

1 (6x + 7)
2 2x + 4

6x + 7

2 2x + 4
6(1) + 7

2 2(1) + 4

13

26

ดังน้นั g(1) =

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ นั ธ์ของฟังก์ชันประกอบ 36
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

4) กาหนดให้ 4 แลว้ จงหาอนุพนั ธข์ อง f (1)
วิธีทำ ให้
f (x) = [(x 4 −1)(2x + 3)]5

u = (x 4 −1)(2x + 3)

= 2x5 + 3x 4 − 2x − 3

ดงั น้นั y = f(x) = =2x5 + 3x 4 − 2x − 3 4
โดยกฎลูกโซ่ จะได้
u5

f(x) = dy  du
= du dx
=
= d 4 d (2x5 + 3x 4 − 2x − 3)

(u 5 ) 
du dx

(4 u −1 + 12x 3 − 2)
5
5 )(10x 4

4 (2x5 + 3x 4 − 2x − 3) −1 (10x 4 + 12x 3 − 2)
5

5

f '(x) = 4(10x 4 +12x3 − 2)
55 2x5 + 3x 4 − 2x − 3

f '(1) = 4(10(1)4 +12(1)3 − 2)
55 2(1)5 + 3(1)4 − 2(1) − 3

g(1) = 4(20)

55 0

ดังน้นั g(1) หาค่าไมไ่ ด้ เนื่องจากตวั ส่วนมีค่าเป็น 0

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 37
ชั้นมธั ยมศึกษาปี ที่ 6

แบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน

ก่อนเรียน หลังเรียน

1. ข 1. ข
2. ค 2. ง
3. ข 3. ข
4. ก 4. ค
5. ก 5. ก
6. ข 6. ก
7. ค 7. ข
8. ค 8. ค
9. ข 9. ข
10. ค 10. ก

แบบฝึ กเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 38
ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 6

บรรณำนุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกุล และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2544). แบบฝึ กหัดและประเมินผลกำรเรียนรู้
คณิตศำสตร์เพม่ิ เตมิ ป.6 เล่ม 2 ช่วงช้ันท่ี 4. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพเ์ ดอะบุคส์ จากดั .

กรมวิชาการ กระทรวงศึกษาธิการ. (2545). กำรวิจัยเพ่ือพัฒนำกำรเรียนรู้ตำมหลกั สูตรกำรศึกษำ
ข้นั พืน้ ฐำน. กรุงเทพฯ : คุรุสภาลาดพร้าว.

กองวชิ าการ สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้นื ฐาน กระทรวงศึกษาธิการ. (2539).
กำรวดั และประเมินผลในช้ันเรียน กล่มุ ทกั ษะ-คณิตศำสตร์. กรุงเทพมหานคร :
โรงพมิ พค์ ุรุสภาลาดพร้าว.

จกั รรินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. (2543). สุดยอดคำนวณเทคนิคลดั คณติ ศำสตร์ ม.6 ค015. กรุงเทพฯ :
สานกั พมิ พพ์ ฒั นาศึกษา.

นิเทศและพฒั นามาตรฐานการศึกษา. (2545). แนวทำงกำรวัดและประเมินผลในช้ันเรียนกล่มุ สำระ
กำรเรียนรู้คณิตศำสตร์ ตำมหลกั สูตรกำรศึกษำข้ันพืน้ ฐำน พ.ศ. 2544. กรุงเทพฯ :
องคก์ ารรับส่งสินคา้ และพสั ดุภณั ฑ์ (ร.ส.พ.).

ปฏิรูปการศึกษา สานกั งาน(องคก์ รมหาชน). (2545). พระรำชบญั ญัตกิ ำรศึกษำแห่งชำติ พ.ศ.2542
แก้ไขเพม่ิ เติม (ฉบบั ท2่ี ) พ.ศ. 2545. กรุงเทพฯ : โรงพิมพพ์ ริกหวานกราฟฟิ กจากดั .

วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา. (2548). กำรจดั กำรเรียนรู้ของครูนักปฏริ ูป. กรุงเทพมหานคร :
องคก์ ารรับส่งสินคา้ แลพสั ดุภณั ฑ(์ ร.ส.พ.).

ลาดวน ยอดยงิ่ . (2546). แคลคูลสั 1-1. เชียงใหม่ : บริษทั ดวงกมลสมยั .
ศิริชยั อิสระโชติ. (2544). กำรพฒั นำรูปแบบกำรเรียนเพ่ือกำรเรียนรู้. ภูเกต็ :

สถาบนั ราชภฏั ภูเกต็ , 2549.
สืบค้นข้อมูลออนไลน์. สืบคน้ เม่ือวนั ท่ี 16 เมษายน 2552.สืบคน้ จาก

http://www.chanpradit.ac.th/~prasart/kung256251/conclude.htm;
http://www.bs.ac.th/2548/e_bs/g2/chintana1/ex1.html.