Calculus-1

คำนา

วชิ าแคลคูลสั 1 เป็นวชิ าพ้ืนฐานที่สำคญั อกี วิชาหนึ่งของนิสติ วศิ วกรรม ควรที่จะศกึ ษาให้
เข้าใจ และการทำแบบฝกึ หัดบ่อยๆจะช่วยใหเ้ ข้าใจวิชานไ้ี ด้มากยงิ่ ข้นึ ชมรมวชิ าการฯเหน็ ถึง
ความสำคัญนี้จึงได้จัดทำ e-book นีข้ น้ึ มาเพ่ือรวบรวมแบบฝึกหัดพรอ้ มเฉลยวิชาแคลคูลสั 1 ซ่ึง
เนือ้ หาประกอบดว้ ย ลิมิตและความต่อเนอ่ื งของฟังกช์ นั , อนุพนั ธ,์ การประยุกตข์ องอนพุ นั ธ์, ปริพนั ธ์,
เทคนิคการหาปริพันธ์ และการประยุกต์ปรพิ นั ธ์ ทัง้ ยังได้จดั ทำแนวข้อสอบทั้งการสอบกลางภาคและ
ปลายภาคไวอ้ ีกดว้ ย

ชมรมวชิ าการฯ หวังว่า e-book นจ้ี ะเป็นประโยชน์แก่น้องๆนสิ ติ คณะวศิ วกรรมศาสตร์
ชน้ั ปที ี่1 ไม่มากกน็ อ้ ย ขอให้น้องๆมีความสขุ ในการศึกษาในคณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวทิ ยาลัย
นเรศวรแหง่ น้ี และโชคดใี นทกุ การสอบ

ชมรมวชิ าการ สโมสรนิสิตคณะวิศวกรรมศาสตร์

สารบัญ หนา้
4
เรอ่ื ง 14
บทที่ 1 ลิมติ และความตอ่ เน่อื งของฟงั กช์ ัน 22
บทที่ 2 อนุพนั ธ์ 32
บทที่ 3 การประยกุ ต์ของอนุพันธ์ 43
แนวข้อสอบกลางภาค 50
บทท่ี 4 ปริพันธ์ 68
บทที่ 5 เทคนิคการหาปริพันธ์ 84
บทที่ 6 การประยกุ ต์ปรพิ ันธ์
แนวข้อสอบปลายภาค

บทที่ 1
ลมิ ิตและความต่อเนอื่ งของฟังกช์ นั

4

บทท่ี 1 ลมิ ิตและความตอ่ เน่อื งของฟงั กช์ ัน

I. จงหาลมิ ิตต่อไปนี้

1. lim ( ) = { 2 − 2 เม่ือ ≤1 1
2− 4 + 3 เม่ือ >
→1

2. lim 2−5 −6
2−1
→−1

3. lim √3+√ +1−2
→0

4. lim 8 −3+2 −2+ −1+1
→−2 +2

5. lim √ 2+4

→+∞ +4

6. lim √5 2−2

→−∞ +3

7. lim √3 4+5 +1
2−9
→−∞

8. lim √ 6 + 5 − 3

→+∞

9. lim √ 2−9

→3+ −3

10. lim 2−4 3
5 2+3 3
→0−

11. lim 3√ −2 + 43
2−8 −9
→−1+

12. lim 3√ 3 + 2 − 1

→−∞

13. lim 2
1−
→0

5

14. lim
→∞
1+
15. lim

→0+

16. lim
1−
→0+

II. จงหาคา่ a, b, c, k ตอ่ ไปน้ีเมอ่ื คา่ ตา่ งๆเป็นจำนวนจรงิ

1. จงหาค่า k ท่ที าใหฟ้ ังกช์ นั ทุกจดุ ใน ( ) {3 + 7 เม่ือ ≤4
− 1 เมอ่ื >4

+ 2 เม่ือ < −2

2. จงหาค่า k และ c ท่ที าใหฟ้ ังกช์ นั ทกุ จดุ ใน ( ) {3 + เม่ือ − 2 ≤ ≤ 1

3 − 2 เมอ่ื > 1

3. จงหา a และ b ถา้ f(x) ตอ่ เน่อื ง ( ) = {3 22+− 4 +− 1;; ≥<22

− 1 เม่ือ ≤ −3
4. ( ) = {4−9√− 22+7 เม่ือ | | < 3

2 − 1 เม่อื ≥ 3

6

เฉลย

I. จงหาลิมติ ตอ่ ไปนี้

1. lim ( ) = { 22− − 2 เม่ือ ≤1 1
4 + 3 เม่ือ >
→1

∴ ไมม่ ลี ิมติ เพราะ ลิมิตซา้ ย ≠ ลมิ ิตขวา

2. lim 2−5 −6
2−1
→−1 2−5 −6
2−1
lim = lim ( −6)( +1)
( −1)( +1)
→−1 →−1
= −7
−2
=7
2

3.lim √3+√ +1−2

→0

lim √3+√ +1−2 = lim √3+√ +1−2 (√3+√ +1+2)

→0 →0 √3+√ +1+2

= lim √3+√ +1−4

→0 (√3+√ +1+2)

= lim √ +1−1 (√ +1+1)
→0 (√3+√ +1+2) √ +1+1
+1−1
= lim
→0 (√3+√ +1+2)(√ +1+1)
=1
8

4. lim 8 −3+2 −2+ −1+1
→−2 +2
83+ 22+ 1 +1
lim 8 −3+2 −2+ −1+1 = lim +2 ( 3
→−2 +2
→−2 3)

= lim 8+2 + 2+ 3
3( +2)
→−2
3+8)+( 2+2 )
= lim ( 3( +2)

→−2
( +2)( 2−2 +4)+ ( +2)
= lim 3( +2)

→−2 ( +2)[( 2−2 +4)+ ]
3( +2)
= lim

→−2 2− +4
3
= lim

→−2

7

lim 8 −3+2 −2+ −1+1 − 10
→−2 +2 8
lim 8 −3+2 −2+ −1+1= − 5
→−2 +2 4

5. lim √ 2+4

→+∞ +4

lim √ 2+4 = lim √ 2(1+ 42)

→+∞ +4 →+∞ +4

= lim | |√1+ 42
(1+ 4 )
→+∞

= lim √1+ 42
(1+ 4 )
→+∞

=1

6. lim √5 2−2

→−∞ +3

lim √5 2−2 = lim √ 2(5− 22)

→−∞ +3 →−∞ +3

= lim | |√5− 22
(1+ 3 )
→−∞

= lim − √5− 22
(1+ 3 )
→−∞

= −√5

7. lim √3 4+5 +1
2−9
→−∞

lim √3 4+5 +1 = lim √ 4(3+ 53+ 14)
2−9 2(1− 92)
→−∞ →−∞

= lim | 2|√3+ 53+ 14
2(1− 92)
→−∞

= lim 2√3+ 53+ 14
2(1− 92)
→−∞

= √3

8

8. lim √ 6 + 5 − 3

→+∞

lim √ 6 + 5 − 3 = lim √ 6 (1 + 5 ) − 3
6
→+∞ →+∞

= lim | 3|√1 + 5 − 3
6
→+∞

= lim 3 √1 + 5 − 3
6
→+∞

= lim 3(√1 + 5 − 1)
6
→+∞

=0

9. lim √ 2−9

→3+ −3

lim √ 2−9 = lim −3 =0
√ 2−9
→3+ −3 →3+ 0
( ) > 0 ; → 3+

lim √ 2−9 = +∞

→3+ −3

10. lim 2−4 3
5 2+3 3
→0− 2−4 3 5 2+3 3
5 2+3 3 2−4 3
lim = lim = 0 = 0
2
→0− →0−
( ) > 0 ; → 0−

lim 2−4 3 = -∞
5 2+3 3
→0−

11. lim 3√ −2 + 43
2−8 −9
→−1+
3√ −2 + 34
lim 2−8 −9 = lim 2−8 −9 = 0 = 0
2
→−1+ →−1+ 3√ −2 + 4
3

( ) > 0 ; → −1+

lim 3√ −2 + 34 = -∞
2−8 −9
→−1+

9

12. lim 3√ 3 + 2 − 1

→−∞

lim 3√ 3 + 2 − 1 = lim 3√x3(1 + 2 − x13)
x2
→−∞ x→−∞

= lim 3√1 + 2 − 1
2 3
→−∞

= -∞

13. lim 2
1−
→0
lim 2 = lim 2 ∙ 1+ 5

→0 1− →0 1− 1+ 5
2(1+
= lim 1− 2 5 )

→0
= lim ∙ ∙ (1 + 5 ) ∙ 1
→0 ∙

=2

14. lim arcsec =

→∞

arcsec =

sec = ∞
1 =∞

cos

= 0
=

2

lim =

→−∞

arcsec =

sec = −∞
1 = −∞

cos

= 0
=

2

15. lim 1+
→0+
lim 1+ = lim = 0 = 0
→0+ →0+ 1+ 2
( ) > 0 ; → 0+

∴ lim 1 + = +∞

→0+

10

16. lim
1−
→0+ 1 − 0

lim 1 − = lim = 1=0

→0+ →0+
( ) > 0 ; → 0+

∴ lim = +∞

→0+ 1−

II. จงหาค่า a, b, c, k ต่อไปนเ้ี ม่ือค่าต่างๆเปน็ จำนวนจริง

1.จงหาคา่ k ทีท่ ำให้ฟงั กช์ ันทุกจดุ ใน ( ) {3 + 7 เม่ือ ≤4
− 1 เม่ือ >4
(4) = 19

lim ( ) = lim − 1 = 4k – 1
→4+ →4+

4 − 1 = 19

20
= 4
= 5

+ 2 เม่ือ < −2

2.จงหาค่า k และ c ทที่ ำให้ฟังก์ชนั ทกุ จุดใน ( ) {3 + เม่ือ − 2 ≤ ≤ 1

(−2) = −6 + 3 − 2 เม่ือ > 1

lim ( ) = lim + 2 = −2 + 2
→−2− →−2−

−6 + = −2 + 2

= 8 − 2 (1)

3 คณู (1)

3 = 24 – 6 (3)

(1) = 3 +

lim ( ) = lim 3 − 2 = 3 – 2
→1+ →1+

3 + = 3 – 2

−3k = 3c – 3 (2)

(3) – (2)

0 = 27 – 9

9 = 27
1

= 3

แทน c ใน (2)

11

-3k = 3(13) – 3
-3k = -2

k=2

3

∴k=2,c=1

33

3. จงหา a และ b ถา้ f(x) ตอ่ เน่ือง f(x) = {3 22+− 4 +− 1;; ≥<22
( ) − (2)
’(2−) = lim
− 2
→2−
= lim (3x2−4x−1)−(4+2a+b)
x→2− x−2

f ต่อเน่อื งท่ี x = 2

lim ( ) = (2)

→2−

lim 3 2 − 4 − 1 = 4 + 2 +

→2−

12 − 8 − 1 = 4 + 2 +

3 = 4 + 2 +
แทน 4 + 2 + = 3 ใน ′(2−)

′(2−) = lim 3 2 − 4 − 1 − 3

→2− − 2

= lim (3 +2)( −2)

→2− ( −2)
′(2+) = lim ( 2+ + )−(4+2 + )
→2+ −2
= lim 2+ + −4−2 −
→2+ −2
= lim 2+ −2 −4
→2+ −2

= lim ( −2)( +2)+ ( −2)
→2+ −2

= lim + 2 +

→2+
′(2−) = 8

′(2+) = 4 + a

′(2−) = ′(2+)

8 =4+a

a=4
แทน a = 4 ใน 4 + 2 + = 3

4 + 2 + = 3
4 + 2(4) + = 3

12

= 9

− 1 เม่ือ ≤ −3

4. ( ) = {4−9√− 22+7 เม่ือ | | < 3

2 − 1 เม่ือ ≥ 3
(3) = 9 − 1

lim ( ) = lim 9 − 2

→3− →3− 4 − √ 2 + 7

(9 − 2)(4 + √ 2 + 7)
= lim

→3− (4 − √ 2 + 7)(4 + √ 2 + 7)

= lim (9 − 2)(4 + √ 2 + 7)

→3− 16 − 2 + 7

= lim (9 − 2)(4 + √ 2 + 7)

→3− 9 − 2

=8

(3) = lim ( )

→3−

9 − 1 = 8

= 1

(−3) = − 1

= −3 – 1

lim ( ) = lim 9 − 2

→−3+ →−3+ 4 − √ 2 + 7

= lim (9 − 2)(4 + √ 2 + 7)

→−3+ 9 − 2

=8

(−3) = lim ( )

→−3+

−3 − 1 = 8

−3 = 9

= −3

∴ = 1 , = −3

13

บทท่ี 2
อนพุ นั ธ์

14

บทที่ 2 อนุพนั ธ์

I. จงหา โดยการใชส้ ตู ร



1. ( ) = 2

2. ( ) = √
3. ( ) = 3 −

II. จงหา โดยใช้สตู ร



1. กำหนดให้ = ( 4 + 2)5 + 5( 4+2)จงหาค่าของ



2. [√ −2 ] = [1 − 2√ ]

√

3. กำหนดให้ = ( 4 2 − 1)(7 3 + )จงหา /

4. จงหา ′( )ถา้ = 3+2 2−1

+5

5. จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ( ) = 2 ทจ่ี ดุ (1,1)

6. ถา้ ( ) = ( ( )) โดยท่ี (−2) = 8, ′(−2) = 4, ′(5) = 3,
(5) = −2 และ ′(5) = 6 จงหา ′(5)

7. จงหา [√ 2 + 1]



8. จงหาคา่ [3√ ]



9. จงหาคา่ ของ [ln( 2 − − 2)]



15

10. ถ้า = cos( 3) จงหา /

11. จงหาค่า [sin(3 2 + 4)]



12. จงหาอนุพันธท์ ุกอันดับของฟังกช์ นั ( ) = 8 4 + 5 3 − 2 + 7

III.จงใชอ้ นุพันธโ์ ดยปรยิ ายหา

1. ถ้า 5 2 + sin = 2



16

เฉลย

I. จงหา โดยการใช้สตู ร



1. ( ) = 2

′( ) = lim ( + ℎ) − ( )

ℎ→0 ℎ
( 2 + 2 ℎ + ℎ2) − 2
= lim
ℎ
ℎ→0
ℎ(2 + ℎ)
= lim
ℎ
ℎ→0

= lim(2 + ℎ) = 2
ℎ→0

2. ( ) = √

′( ) = lim ( + ℎ) − ( )
ℎ
ℎ→0

= lim √ + ℎ − √

ℎ→0 ℎ

= lim (√ + ℎ − √ )(√ + ℎ + √ )
ℎ→0 ℎ(√ + ℎ + √ )
11
= lim =
ℎ→0 √ + ℎ + √ 2√

3. ( ) = 3 −

( + ℎ) = ( + ℎ)3 − ( + ℎ)
= 3 + 3 2ℎ + 3 ℎ2 + ℎ3 − − ℎ

( + ℎ) − ( ) = 3 + 3 2ℎ + 3 ℎ2 + ℎ3 − − ℎ − ( 3 − )
= 3 + 3 2ℎ + 3 ℎ2 + ℎ3 − − ℎ − 3 +
= 3 2ℎ + 3 ℎ2 + ℎ3 − ℎ
= (3 2 + 3 ℎ + ℎ2 − 1)ℎ

จะได้

′( ) = lim ( +ℎ)− ( )
ℎ→0 ℎ

= lim (3 2+3 ℎ+ℎ2−1)ℎ
ℎ→0 ℎ
= lim(3 2 + 3 ℎ + ℎ2 − 1)
ℎ→0
= 3 2 − 1

เพราะฉะน้นั [ 3 − ] = 3 2 − 1


17

II. จงหา โดยใชส้ ูตร



1. กำหนดให้ = ( 4 + 2)5 + 5( 4+2)จงหาค่าของ



= [( 4 + 2)5] + [5 4+2]


= 5( 4 + 2)4 [ 4 + 2] + 5 4+2 ln 5 ( 4 + 2)



= 5( 4 + 2)4(4 3) + 5 4+2 ln 5 (4 3)

= 20 3(( 4 + 2)4 + 5 4+1 ln 5)

2. [√ −2 ] = [1 − 2√ ]

√
= [1] − [2√ ]
11
= 0−2( ) = −
2√ √

3. กำหนดให้ = ( 4 2 − 1)(7 3 + )จงหา /

[(4 2 − 1)(7 3 + )]


= (4 2 − 1) [7 3 + ] + (7 3 + ) [4 2 − 1]

= (4 2 − 1)(21 2 + 1) + (7 3 + )(8 )

= 84 4 + 4 2 − 21 2 − 1 + 56 4 + 8 2

= 140 4 − 9 2 − 1

[(4 2 − 1)(7 3 + )] = [28 5 + 4 3 − 7 3 − ]

= [28 5 − 3 3 − ]

= 140 4 − 9 2 − 1

18

4. จงหา ′( )ถ้า = 3+2 2−1

+5

3 + 2 2 − 1
[ + 5 ]

= ( + 5) [ 3 + 2 2 − 1] − ( 3 + 2 2 − 1) [ + 5]
( + 5)2

( + 5)(3 2 + 4 ) − ( 3 + 2 2 − 1)(1)
= ( − 5)2

(3 3 + 19 2 + 20 ) − ( 3 + 2 2 − 1)
= ( + 5)2

2 3 + 17 2 + 20 + 1
= ( + 5)2

5. จงหาสมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ ( ) = 2 ทจี่ ุด (1,1)

แทนค่า 0 = 1 ในสมการ จะได้

= lim 2−1
−1
→1

= lim( + 1)
→1

=2

ดังนั้นสมการของเสน้ สมั ผัสคือ − 1 = 2( − 1)

6. ถ้า ( ) = ( ( )) โดยที่ (−2) = 8, ′(−2) = 4, ′(5) = 3,

(5) = −2 และ ′(5) = 6 จงหา ′(5)
โดยกฎลกู โซจ่ ะได้ ′(5) = ′( (5)) ∙ ′(5) = ′(−2)(6) = (4)(6) = 24

7. จงหา [√ 2 + 1]


[√ 2 + 1] = [( 2 + 1)1⁄2]

= 1 ( 2 + 1)−1⁄2 [ 2 + 1]
2
1
= 2√ 2+1 (2 )

=
√ 2+1

19

8. จงหาค่า [3√ ]


[3√ ] = 3√ ln 3 [√ ]

= 3√ ln 3 1

2√

= 3√ ln 3

2√

9. จงหาคา่ ของ [ln( 2 − − 2)]



[ln( 2 − − 2)] = 2 1 − 2 [ 2 − − 2]
−

= 1 (2 − 1)
2− −2

= 2 −1
2− −2

10. ถา้ = cos( 3) จงหา /

= (−sin( 3)) [ 3]


= − sin( 3)(3 2)

= −3 2 sin( 3)

11. จงหาคา่ [sin(3 2 + 4)]


[sin(3 2 + 4)] = cos(3 2 + 4) [3 2 + 4]

= cos(3 2 + 4)(6 ) = 6 cos(3 2 + 4)

12. จงหาอนุพนั ธท์ กุ อันดับของฟงั ก์ชัน ( ) = 8 4 + 5 3 − 2 + 7

′( ) = 32 3 + 15 2 − 2
′′( ) = 96 2 + 30 − 2
′′′( ) = 192 + 30
(4)( ) = 192

20

(5)( ) = 0
( )( ) = 0 เมื่อ ≥ 5

III.จงใช้อนุพนั ธโ์ ดยปริยายหา

13. ถ้า 5 2 + sin = 2


[5 2 + sin ] = [ 2]

5 [ 2] + [sin ] = 2


5(2 ) + cos = 2

(10 + cos ) = 2

= 2

10 +cos

21

บทท่ี 3
การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์

22

บทท่ี 3 การประยุกต์ของอนพุ ันธ์

จงแสดงวิธีคดิ ข้อต่อไปน้ี
1. บันไดยาว 25 ฟตุ วางเอยี งพิงอยู่กับกำแพงที่ทำมมุ 90◦ กับพนื้ ดิน ถ้าปลายล่างของบันไดถูกทำให้เคล่ือนที่
ออกจากกำแพงด้วยอัตราเร็ว 3 ฟตุ /วนิ าที ปลายบนของบันไดจะเคลื่อนท่ีลงดว้ ย ความเร็วเทา่ ไร ขณะที่ปลายล่าง
ของบนั ไดอยหู่ า่ งจากกำแพง 15 ฟตุ

2. เมอื่ เททรายลงบนพน้ื ทรายจะกองเป็นรูปกรวยกลมมสี ่วนสูงเป็น 2 เท่าของรศั มีฐาน ถ้าเททรายในอตั รา 10
ลบ.ฟตุ ตอ่ นาที จงหาอัตราการเพิ่มส่วนสูงของกองทราย ขณะท่ีกองทรายสูง 8 ฟตุ

3. ถนนสองสายตดั กันเป็นมมุ ฉาก รถเก๋งคันหน่ึงแล่นเข้าหาจุดตดั ของถนนด้วยความเรว็ 30 เมตร/นาที ในขณะท่ี
รถเก๋งคันน้ีอยู่ห่างจากจุดตดั 120 เมตร ไดม้ รี ถมอเตอร์ไซด์ว่ิงบนถนนท่ีตดั กบั ถนนที่รถเก๋งวิ่งอยู่ ผา่ นจุดตัดด้วย
ความเร็ว 40เมตร/นาที จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของระยะห่างระหว่างรถท้ังสองคัน เมอ่ื รถมอเตอรไ์ ซด์ว่ิง
ผ่านจดุ ตัดของถนนไปได้ 2 นาที

4. จงหาชว่ งท่ีทำใหฟ้ ังก์ชนั ( ) = 4 − 2 3 เปน็ ฟังกช์ ันเพ่ิม หรือเป็นฟังก์ชันลด

5. กำหนด ( ) = 1 3 − 2 − 3 + 4 จงหาคา่ สดุ ขดี สมั พทั ธข์ อง g และหาชว่ งที่ g เป็นฟงั กช์ ันเพิ่ม
3

หรอื ลด

6. โรงงานแห่งหน่ึงใช้ตน้ ทุนในการผลิตสินค้า จำนวน x ช้ินต่อวันคือ 2 + 35 + 25 บาท และราคาต่อช้ินที่
4

ขายได้คอื 50 − บาท โรงงานแหง่ นี้ควรผลติ สนิ คา้ กี่ชิ้นต่อวนั จึงจะทำให้ได้กำไรรวมสงู สดุ
2

7. สรา้ งกลอ่ งส่ีเหลี่ยมจากแผ่นโลหะรปู ส่ีเหล่ียมจตั ุรัสทมี่ ีพ้ืนท่ี 100 ตารางน้ิว โดยตดั มุมทั้งส่ีด้านของแผ่นโลหะ
เปน็ รปู ส่ีเหล่ียมจตั รุ ัสออกเท่าๆกนั แลว้ พับขนึ้ ตามรอยดังรูป จงหาวา่ สี่เหล่ียมจตั ุรัสทต่ี ัดออกมขี นาดเท่าไร จงึ จะ
ทำใหก้ ล่องมีปริมาตรมากสุดและปริมาตรมากสุดเทา่ กับเท่าไร

23

8. ตอ้ งการนำลวดหนามที่มีความยาว 1, 000 เมตร มาลอ้ มพ้ืนท่ีใหเ้ ป็นรูปส่ีเหลี่ยมผนื ผ้า มีดา้ นหนึ่งอย่ตู ิดกับ
แมน่ ำ้ ซ่งึ ไมต่ ้องลอ้ ม จงหาความกว้างและความยาวของบรเิ วณท่ีลอ้ มแล้วได้พ้ืนทม่ี ากทส่ี ุด และพ้ืนทมี่ คี า่ เป็นเทา่ ใด

9. ให้ ( ) = 1 3 − 2 − 3 + 4 จงหาจดุ เปลี่ยนเว้า และช่วงทีฟ่ งั ก์ชนั มีเวน้ บน หรอื เวา้ ลา่ ง
3

10. จงเขยี นกราฟของ ( ) = 1 3 − 2 − 3 + 4
3

11. จงเขียนกราฟของ ( ) = 4 − 2 2

12. จงหาลิมติ lim 4− 3+ 2−1
3− 2+ −1
→1

13. จงหาลิมติ l→im ⁄2 ln(sin )
( −2 )2

14. จงหาลิมิต lim(1 + )1⁄
→0

15. จงหาลิมิต lim (√ 2 + − )
→+∞

24

เฉลย
1. บนั ไดยาว 25 ฟตุ วางเอียงพิงอยู่กบั กำแพงท่ีทำมุม 90◦ กบั พนื้ ดนิ ถ้าปลายลา่ งของบันไดถูกทำใหเ้ คลื่อนที่
ออกจากกำแพงดว้ ยอตั ราเร็ว 3 ฟุต/วินาที ปลายบนของบันไดจะเคลื่อนท่ีลงดว้ ยความเรว็ เท่าไร ขณะท่ีปลายลา่ ง
ของบันไดอยู่หา่ งจากกำแพง 15 ฟุต

ให้ y เป็นระยะทางจากพื้นดินไปยงั ปลายบนของบันได

x เป็นระยะทางจากตึกไปยงั ปลายล่างของบันได

จากคณุ สมบัตขิ องสามเหลี่ยมมุมฉากจะได้

2 + 2 = 252

ตอ้ งการหา เม่ือ = 3และ = 15

2 + 2 = 0

=


= 15 , 2 = 252 − 152

2 = 400

= 20

= − 15 (3) = − 9
20 4
9
∴ ปลายบนของบันไดจะเคลื่อนท่ีลงดว้ ยความเรว็ เท่าไร 4 ฟตุ /วินาที

2. เมอื่ เททรายลงบนพนื้ ทรายจะกองเป็นรปู กรวยกลมมสี ว่ นสูงเป็น 2 เท่าของรัศมีฐาน ถา้ เททรายในอัตรา 10

ลบ.ฟุตตอ่ นาที จงหาอัตราการเพ่ิมส่วนสูงของกองทราย ขณะท่ีกองทรายสงู 8 ฟุต

ปรมิ าตรกรวยกลม = 1 2ℎ

3

จากโจทย์ ℎ = 2

= 1 (ℎ2)2 ℎ

3
= 1 ℎ3
12

25

= 1 ℎ2 ℎ
4
โจทย์กำหนดให้ ℎ = 8 และ = 10

4( ⁄ )
ℎ = ℎ2 = 4(10) = 5
(8)2 8

3. ถนนสองสายตดั กันเป็นมมุ ฉาก รถเกง๋ คนั หน่ึงแลน่ เขา้ หาจดุ ตัดของถนนดว้ ยความเร็ว 30 เมตร/นาที ในขณะที่
รถเก๋งคันนี้อยหู่ ่างจากจดุ ตดั 120 เมตร ไดม้ รี ถมอเตอรไ์ ซด์ว่ิงบนถนนท่ีตดั กบั ถนนท่ีรถเกง๋ ว่ิงอยู่ ผ่านจุดตัดด้วย
ความเรว็ 40เมตร/นาที จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงของระยะห่างระหว่างรถทั้งสองคัน เมอ่ื รถมอเตอร์ไซด์วิ่ง
ผ่านจุดตดั ของถนนไปได้ 2 นาที

ทเ่ี วลา t ใดๆ
ให้ x แทนระยะหา่ งระหวา่ งรถเกง๋ กับจดุ ตดั
y แทนระยะห่างระหว่างจุดตดั กบั มอเตอรไ์ ซด์ และให้ z แทนระยะห่างระหวา่ งรถทั้งสองคนั
จากคณุ สมบตั ิของสามเหลี่ยมมมุ ฉากจะได้ 2 = 2 + 2

= +



เมือ่ = 2 จำได้ = 60 และ = 80 ดังน้นั = 100
เมอื่ รถมอเตอรไ์ ซด์วิ่งผา่ นจุดตัดของถนนไปได้ 2 นาที อตั ราการเปลี่ยนแปลงของระยะห่างระหว่างรถท้ังสองคันคือ
14 เมตร/นาที

4. จงหาชว่ งท่ีทำให้ฟงั ก์ชัน ( ) = 4 − 2 3 เป็นฟงั ก์ชนั เพิ่ม หรอื เปน็ ฟังก์ชนั ลด

′( ) = 4 3 − 6 2 = 2 2(2 − 3)

′( ) = 0 ก็ตอ่ เมอ่ื = 0, 3
2

26

∴ เป็นฟงั ก์ชันลดบนชว่ ง(−∞, 3] และฟังกช์ ันเพม่ิ บนช่วง [32 , +∞)
2

5. กำหนด ( ) = 1 3 − 2 − 3 + 4 จงหาคา่ สุดขดี สัมพทั ธข์ อง g และหาชว่ งท่ี g เปน็ ฟังกช์ นั เพิ่ม
3

หรือลด

′( ) = 2 − 2 − 3 = ( + 1)( − 3)

จุดวิกฤตของ g คือ = −1 , 3

∴ มีคา่ สูงสดุ สมั พทั ธ์ที่ = −1 มคี า่ ต่ำสดุ สมั พัทธ์ท่ี = 3
เป็นฟังกช์ นั ลดบนชว่ ง[−1,3]และฟงั ก์ชนั เพมิ่ บนช่วง (−∞, −1) ∪ [3, +∞)

6. โรงงานแห่งหนึ่งใชต้ น้ ทุนในการผลติ สนิ ค้า จำนวน x ช้ินตอ่ วนั คือ 2 + 35 + 25 บาท และราคาต่อช้ินท่ี
4

ขายได้คือ 50 − บาท โรงงานแห่งน้ีควรผลิตสนิ ค้า กี่ชิน้ ต่อวันจงึ จะทำให้ได้กำไรรวมสูงสุด
2
เมอ่ื มีสินค้า x ชน้ิ จะขายไดเ้ งินท้ังหมด (50 − )
2
ให้ y เป็นกำไรจากการขายสนิ ค้าในหน่ึงวนั
= ( ) = (50 − ) − ( 2 + 35 + 25)
24
( ) = − 3 2 + 15 − 25
4
( ) = − 3 + 15
2

เพราะฉะนั้น x = 10 เป็นจุดวิกฤตของ y และเคร่ืองหมายของ f′(x) เมื่อเทียบกับจุดวิกฤต x = 10 คือ

ดังน้ัน f มคี ่าสงู สดุ สัมพัทธ์ท่ี x = 10
เพราะฉะนั้นโรงงานแหง่ นี้ตอ้ งผลติ สินคา้ จำนวน 10 ชิ้นตอ่ วัน จึงจะทำให้ได้กำไรสงู สดุ

27

7. สรา้ งกลอ่ งส่ีเหลี่ยมจากแผน่ โลหะรปู ส่ีเหล่ียมจัตุรสั ทมี่ ีพื้นท่ี 100 ตารางนิ้ว โดยตดั มมุ ท้ังสี่ดา้ นของแผ่นโลหะ
เปน็ รูปส่ีเหลี่ยมจัตุรสั ออกเท่าๆกนั แลว้ พบั ขน้ึ ตามรอยดังรูป จงหาว่าส่ีเหล่ียมจตั รุ สั ทตี่ ดั ออกมีขนาดเทา่ ไร จงึ จะ
ทำใหก้ ล่องมีปรมิ าตรมากสดุ และปริมาตรมากสุดเทา่ กบั เท่าไร

ให้ x แทนความยาวของดา้ นที่ตัดออก และให้ V แทนปริมาตรของกล่อง ดังน้ัน

= (10 − 2 )2 = 100 − 40 2 + 4 3

= 12 2 − 80 + 100



= 4(3 2 − 20 + 25)

= 4(3 − 5)( − 5)

ดงั นนั้ = 5 , 5 เปน็ จดุ วิกฤต
3
2
เนือ่ งจาก 2 = 24 − 80

จะไดว้ ่า | 2 = −40 และ | 2 = 40
2 =5⁄3 2 =5

ดังน้ัน มีคา่ ตำ่ ทสี่ ุดสัมพทั ธ์ = 5 และมคี ่าสงู ที่สดุ สัมพัทธ์ = 5
3
ฉะนน้ั จะมปี ริมาตรมากที่สุดเม่อื = 5
3
(230)2 (53) =
= (10 − 2 5)2 5 = 2000 ลบ. นวิ้
27
33

8. ตอ้ งการนำลวดหนามท่ีมีความยาว 1, 000 เมตร มาล้อมพื้นที่ให้เป็นรปู ส่ีเหล่ียมผนื ผ้า มดี ้านหน่ึงอยู่ติดกบั
แมน่ ำ้ ซ่งึ ไม่ต้องล้อม จงหาความกว้างและความยาวของบริเวณท่ีล้อมแล้วได้พื้นทม่ี ากทส่ี ุด และพื้นทมี่ คี า่ เปน็ เท่าใด

ให้ x แทนความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของส่ีเหล่ียมผืนผา้
y เปน็ ความยาวของด้านที่ติดกบั ด้านที่มคี วามยาว x

สมมตใิ ห้ด้านตรงข้ามด้านที่มีความยาว y เป็นดา้ นที่ติดแม่นำ้ ฉะน้ันจะได้
2 + = 1000 และ =

เมอ่ื A เป็นพื้นทีข่ องส่ีเหล่ยี มผนื ผ้า
จัด เป็นฟังกช์ นั ของ ได้ = 1000 − 2 แลว้ นำไปแทนค่าใน = ได้

( ) = (1000 − 2 )
′( ) = 1000 − 4
จดุ วกิ ฤตของ A คือ = 250 เนอ่ื งจาก "( ) = −4 ฉะน้ัน "(250) = −4 < 0

28

เพราะฉะนน้ั A มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธท์ ี่ = 250

(250) = 250(1000 − 2(250)) = 125000

ดงั้ นั้นส่เี หลย่ี มผนื ผา้ มีความกว้าง = 250 มีความยาว = 500 และมีพ้นื ท่ี125000 2

9. ให้ ( ) = 1 3 − 2 − 3 + 4 จงหาจดุ เปลี่ยนเว้า และชว่ งท่ีฟงั กช์ นั มีเวน้ บน หรอื เวา้ ล่าง
3
′( ) = 2 − 2 − 3
"( ) = 2 − 2

"( ) = 0 กต็ ่อเม่ือ = 1
ฉะนน้ั = 1 เป็นจดุ เปล่ียนเวา้ และ มีเวา้ บนในช่วง(1, +∞)และ มเี ว้าล่างในช่วง(−∞, 1)

10. จงเขียนกราฟของ ( ) = 1 3 − 2 − 3 + 4
3
′( ) = 2 − 2 − 3 = ( − 3)( + 1)

มีค่าสูงสุดสมั พัทธ์ที่ = −1 และมีค่าต่ำสดุ สมั พัทธ์ท่ี = 3
เปน็ ฟงั ก์ชนั เพ่มิ บนชว่ ง(−∞, −1) ∪ [3, ∞) และ เปน็ ฟังก์ชนั ลดบนช่วง[−1,3]

11. จงเขียนกราฟของ ( ) = 4 − 2 2

′( ) = 4 3 − 4 = 4 ( 2 − 1)

มีคา่ สูงสดุ สมั พัทธ์ท่ี = 0และมีคา่ ตำ่ สดุ สัมพทั ธท์ ี่ = ±1

29

ค่าสูงสุดสมั พัทธค์ ือ (0) = 0 และมีค่าต่ำสดุ สมั พทั ธ์คอื (1) = (−1) = −1

เปน็ ฟังก์ชันเพ่ิมบนชว่ ง[−1,0] ∪ [1, +∞) และ เปน็ ฟังก์ชนั ลดบนช่วง(−∞, −1] ∪[0,1]

"( ) = 12 2 − 4 , "( ) = 0 ก็ตอ่ เม่ือ = ± 1
√3

12. จงหาลมิ ติ lim 4− 3+ 2−1
3− 2+ −1
→1
( 4− 3+ 2−1)
lim 4− 3+ 2−1 = lim ( 3− 2+ −1)
3− 2+ −1
→1 →1

= lim 4 3−3 2+2
3 2−2 +1
→1
3
= 2

13. จงหาลมิ ิต l→im ⁄2 ln(sin )
( −2 )2

ln(sin ) cos
( −2 )2
= = l→im ⁄2 l→im ⁄ l→2im ( ⁄ 2−−s2i 4n () ( −c−o22s) ) sin

ใชโ้ ลปิตาล = l→im ⁄2 − sin sin )
−4(( −2 ) cos +(−2)

= −1
−4(0−2)

= −1
8

30

14. จงหาลมิ ติ lim(1 + )1⁄
→0
ให้ = (1 + )1⁄

ln = 1 ln(1 + ) = ln(1+ )

lim ln = lim ln(1+ )
→0 →0
= lim 1/(1+ )
→0 1

=1

∴ lim(1 + )1⁄ = 1 = 1

→0

15. จงหาลมิ ิต lim (√ 2 + − )
→+∞

lim (√ 2 + − ) = lim (√ 2 + − ) (√√ 22++ ++ )

→+∞ →+∞
= lim 2+ − 2

→+∞ √ 2+ +
1
= lim
2 +1 +1
→+∞ 2√ 2+

พิจารณา lim 2 +1 lim 2+1⁄

→+∞ 2√ 2+ →+∞ 2√1+1⁄

lim 2 +1 =

→+∞ 2√ 2+

= 2+0

2√1+0

=1

∴ lim (√ 2 + − ) = 1
2
→+∞

31

แนวขอ้ สอบกลางภาค

32

แนวข้อสอบกลางภาค

1. จงหาค่าลิมิต

1.1 lim √5 −1−3 (5 คะแนน)
2−4 (5 คะแนน)
→2 (5 คะแนน)
1.2 lim 2 sin 1 (5 คะแนน)
→0 (5 คะแนน)

1.3 lim | 2−9| (7 คะแนน)
→3− −3 (5 คะแนน)
−2 (7 คะแนน)
1.4 lim 2+ −6
(3 คะแนน)
→3− (4 คะแนน)
(4 คะแนน)
1.5 lim √4 2+7 (4 คะแนน)
(5 คะแนน)
→−∞ 3−5 (5 คะแนน)

x 3−27 ถา้ ≠ 3 33
ถา้ = 3
2. กำหนดให้ ( )= { 2−9
9

2

จงพิจารณาวา่ เปน็ ฟังกช์ ันต่อเนือ่ งท่ี = 3 หรือไม่ เพราะเหตุใด

3. กำหนด ( ) = 7 จงหาคา่ ของ ′( ) โดยใชน้ ิยาม

2−3

4. จงหาสมการเสน้ สมั ผสั เส้นโค้ง = + 3 ทีจ่ ดุ (1, 4)


5. จงหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั ต่อไปน้ี

5.1 ( ) = 5
4 +1
5.2 ( ) = 3 2 + 10 3 ln

5.3 ( ) = sin2 + tan−1(√ 2 + 1)
1+cos

5.4 ( ) = (cos )sin 2

6. กำหนดให้ cos + sin = 4 + 1 จงหา


7. กำหนดให้ ( ) = cos( 2) จงหา ′′ ( )
2

8. กำหนดให้ ( ) = 4 3 + 2 − 2 + 1 จงแสดงวิธหี าคำตอบต่อไปน้ี

8.1จดุ สุดขีดสัมพัทธ์ของ ( ) (2 คะแนน)
8.2 ชว่ งที่ ( ) เปน็ ฟังกช์ นั เพิ่มและลด (2 คะแนน)
8.3 ช่วงทกี่ ราฟของฟงั ก์ชนั ( )เวา้ บนและเว้นล่าง (3 คะแนน)
8.4 เขียนกราฟของฟังก์ชัน ( ) (3 คะแนน)

9. กำหนดให้ ( ) = 1−( − 1)2⁄3 (7 คะแนน)
9.1 จงหาค่าสุดขีดของฟงั กช์ ัน (ถา้ ม)ี
9.2 จงหาค่าสดุ ขีดสมั บูรณข์ องฟงั ก์ชนั บนชว่ ง [−7, 2]

10. กล่องใบหน่ึงมฐี านเปน็ รปู สเ่ี หลีย่ มจัตุรัสไม่มีฝาปิด ดังแสดงในภาพ ถ้าวสั ดุทใี่ ชผ้ ลติ ฐานของกลอ่ งมีราคา 8

บาทตอ่ ตารางเซนตเิ มตร ในขณะที่วสั ดทุ ่ีใชผ้ ลิตผวิ ขา้ งของกล่องมรี าคา 2 บาทต่อตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตร

ทมี่ ากท่ีสุดของกล่องใบน้ีเมอื่ มงี บประมาณในการผลติ 2,400 บาท (8 คะแนน)

11. ถา้ สบู ลมเขา้ ไปในลกู บอล ดว้ ยอตั ราคงท่ี 1.5 ลูกบาศก์เซนติเมตรต่อวนิ าที สมมติให้อากาศมีความดนั คงทแี่ ละ
ลกู บอลเปน็ รูปทรงกลม จงหาอัตราการเปลยี่ นแปลงของรศั มที เี่ พ่ิมขนึ้ ขณะทล่ี ูกบอลมรี ศั มี10 เซนติเมตร

(8 คะแนน)

34

เฉลย
1. จงหาคา่ ลิมติ

1.1 lim √5 −1−3 (5 คะแนน)
2−4 (5 คะแนน)
→2 (5 คะแนน)

lim √5 −1−3 = lim (√5 −1−3) ∙ (√5 −1+3) 35
2−4 ( 2−4) (√5 −1+3)
→2 →2
5 −10
= lim
→2 ( −2)( +2)(√5 −1+3)
5( −2)
= lim
→2 ( −2)( +2)(√5 −1+3)
5
= lim ( +2)(√5 −1+3)

→2
=5
(2+2)(√9+3)

lim √5 −1−3 = 5
2−4 24
→2

1.2 lim 2 sin 1
→0
−1 ≤ sin 1 ≤ 1

− 2 ≤ 2 sin 1 ≤ 2


lim − 2 = −(02) lim 2 = (02)

→0 →0

lim − 2 = 0 lim 2 = 0

→0 →0

lim 2 sin 1 = 0

→0

1.3 lim | 2−9|
→3− −3
{ 2−− 29+; x9≤; −−33<หรxอื
| 2 − 9| = ≥ 3
<3
lim | 2−9| = lim −( 2−9)
→3− −3 →3− −3
= lim −( −3)( +3)
→3− −3

= lim + 3
→3−

lim | 2 − 9| =6

→3− − 3

1.4 lim −2 (5 คะแนน)
2+ −6
→3−
พิจารณา 2 + − 6 = 0+เมอื่ → 3−

lim −2 = −5 = −∞
2+ −6 0+
→3−

1.5 lim √4 2+7 (5 คะแนน)
→−∞ 3−5
1
lim √4 2+7 = lim √4 2+7 ( )
3−5 1
→−∞ 3−5 →−∞

= lim −√4 22+ 72

→−∞ 3 −5

= lim −2

→−∞ −5

lim √4 2+7 = 2
→−∞ 3−5 5

x 3−27 ถา้ ≠ 3
ถา้ = 3
2. กำหนดให้ ( )= { 2−9
9

2

จงพจิ ารณาวา่ เป็นฟงั กช์ ันตอ่ เนอ่ื งท่ี = 3 หรือไม่ เพราะเหตุใด (7 คะแนน)

ต่อเนื่องที่ = 3 กต็ อ่ เม่อื lim ( ) = lim ( ) = ( )
→3− →3+
lim ( ) = lim ( −3)( 2+3 +9)
→3− →3− ( −3)( +3)
= lim 2+3 +9
→3− +3
= 9+9+9
6
=9
2
lim ( ) = lim ( −3)( 2+3 +9)
→3+ →3+ ( −3)( +3)
=9
2
( ) = 9
2
จาก lim ( ) = lim ( ) = ( ) = 9 ดงั นั้น ตอ่ เนื่องที่ = 3
→3− →3+ 2

36

3. กำหนด ( ) = 7 จงหาคา่ ของ ′( ) โดยใช้นยิ าม (5 คะแนน)
2−3 (7 คะแนน)
′( ) = lim ( +∆ )− ( )
∆ →0 ∆ (3 คะแนน)
7 7
′( ) = lim 2−3( +∆ ) − 2−3 37

∆ →0 [7([22−−33 () −+7∆[ 2 −)]3(2( − +3∆ ) )]]
1
= lim ∆

∆ →0 21∆
= lim 1 [
∆ →0 ∆ [2−3( +∆ )](2−3 ) ]

′( ) = 21
(2−3 )2

4. จงหาสมการเสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ = + 3 ทจี่ ุด (1, 4)

จากสมการ = + 3

หาอนุพนั ธเ์ ทยี บ ท้งั สองขา้ งของสมการ

= ( + 3 )

3
= 1 − 2

เพราะฉะนน้ั | = −2
(1,4)
ดงั นั้นสมการเสน้ สัมผสั โคง้ คือ

− 1 = ( − 1)
− 4 = −2( − 1)

= −2 + 6

หรอื 2 + − 6 = 0

5. จงหาอนุพันธข์ องฟังกช์ นั ต่อไปนี้

5.1 ( ) = 5
4 +1
(4 +1) (5 )−(5 ) (4 +1)
′( ) = (4 +1)2

= (4 +1)(5 )−(5 )(4 )
(4 +1)2
20 2 +5 −20 2
= (4 +1)2

= 5
(4 +1)2

5.2 ( ) = 3 2 + 10 3 ln (4 คะแนน)

′( ) = 3 2 ln 3 2 + 10 3 ln + ln 10 3

1
= 3 2 ln 3 (2 ) + 10 3 + ln (30 2 )

= 2 (3 2 ln 3) + 10 2 + 30 2 ln

5.3 ( ) = sin2 + tan−1(√ 2 + 1) (4 คะแนน)
1+cos
) (1+cos
′( ) = (1+cos sin2 − sin2 ) + 1 ( 2 + 1
(1+cos )2 1+(√ 2+1)2
1)2

= (1+cos )(2 sin ) sin − sin2 sin + 1 1 ( 2 + 1)−21 ( 2 + 1)
(1+cos )2 2+2 2
sin3
= (1+cos )(2 sin ) cos − + 2
(1+cos )2 2( 2+2)√ 2+1

5.4 ( ) = (cos )sin 2 (4 คะแนน)

ให้ = (cos )sin 2

∴ ln = ln(cos )sin 2

= (sin 2)(ln cos )

1 = sin 2 ln cos + ln cos sin 2


= sin 2 1 cos + ln(cos ) cos 2 2
cos
= (sin 2)(− sin ) + ln(cos )(cos 2)(2 )
cos
2)(− sin
∴ = (sin cos ) + ln(cos )(cos 2)(2 )] (cos )sin 2
[

6. กำหนดให้ cos + sin = 4 + 1 จงหา (5 คะแนน)

( cos + sin ) = (4 + 1) 38


cos + cos + sin + sin = 4 + 4


− sin + cos + cos + sin = 4 + 4



− sin + sin − 4 = 4 −cos − cos



(− sin + sin − 4 | = 4 −cos − cos



= 4 −cos − cos

− sin +sin −4

7. กำหนดให้ ( ) = cos( 2) จงหา ′′ ( ) (5 คะแนน)
2 (2 คะแนน)
′( ) = − sin 2 ( 2) (2 คะแนน)



= − sin 2(2 )

′′( ) = − sin 2 (2 ) + (2 ) (− sin 2)



= − 2sin 2 + 2 (− cos 2(2 ))

= − 2sin 2 − 4 2cos 2
"( ) = − 2sin − 4 cos

2 4 44

= −2 √2 − π √2

22

= −√2 − √2
2

8. กำหนดให้ ( ) = 4 3 + 2 − 2 + 1 จงแสดงวธิ ีหาคำตอบต่อไปนี้

8.1จดุ สดุ ขดี สัมพัทธ์ของ ( )
จากโจทย์จะได้ ′( ) = 12 2 + 2 − 2

= 2(6 2 + − 1)
= 2(3x − 1)(2 − 1)

∴ จุดวิกฤต คอื = 1 , −1

32

∴ จดุ สงู สุดสมั พัทธ์ คอื (−1 , 7)

24

จุดต่ำสดุ สมั พทั ธ์ คือ (13 , 1276)

8.2 ชว่ งที่ ( ) เปน็ ฟังกช์ ันเพ่ิมและลด

39

∴ ชว่ งฟงั กช์ ันเพ่ิม คือ (−∞, −1) ∪ (1 , ∞)
23
−1 13)
ชว่ งฟังก์ชันเพิ่ม คอื ( 2 ,

8.3 ช่วงท่ีกราฟของฟังก์ชัน ( )เว้าบนและเวน้ ลา่ ง (3 คะแนน)
(3 คะแนน)
"( ) = 24 + 2 = 2(12 + 1)
"( ) = 0 เมอื่ = − 1

12

∴ ช่วงทเ่ี วา้ บน คือ (− 1 , ∞)
12
ช่วงท่ีเว้าล่าง คอื (−∞, − 1 )
12

8.4 เขียนกราฟของฟังกช์ ัน ( )

9. กำหนดให้ ( ) = 1−( − 1)2⁄3 (7 คะแนน)

9.1 จงหาค่าสุดขีดของฟงั กช์ ัน (ถ้ามี) 40

′( ) = − 2 ( − 1)−1⁄3

3
−2
= 3( −1)1⁄3

จะเหน็ ไดว้ ่า ′( ) หาค่าไมไ่ ด้เมอ่ื = 1

∴ จดุ วิกฤต คือ = 1

∴ ค่าสงู สดุ สมั พัทธ์ คือ 1 และคา่ สูงสุดสมั พัทธ์ ไม่มี

9.2 จงหาค่าสุดขีดสมั บูรณ์ของฟงั ก์ชัน บนชว่ ง [−7, 2]

x f(x)
1 1 − (1 − 1)2⁄3 = 1

-7 1 − (−7 − 1)2⁄3 = −3

2 1 − (2 − 1)2⁄3 = 0

∴ คา่ สูงสุดสมั บูรณ์ คือ 1
ค่าตำ่ สดุ สมั บูรณ์ คือ 3

10. กล่องใบหน่งึ มีฐานเปน็ รูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสไม่มฝี าปิด ดังแสดงในภาพ ถา้ วสั ดุทใี่ ชผ้ ลติ ฐานของกลอ่ งมรี าคา 8

บาทต่อตารางเซนตเิ มตร ในขณะทว่ี ัสดทุ ่ีใชผ้ ลิตผิวขา้ งของกล่องมีราคา 2 บาทต่อตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตร

ทีม่ ากทส่ี ุดของกล่องใบน้เี มือ่ มงี บประมาณในการผลิต 2,400 บาท (8 คะแนน)

ให้ คือ ความกวา้ งของกล่อง

ℎ คือ ความสูงของกล่อง

คือ ปริมาตรของกลอ่ ง

โจทย์ต้องการหาค่าสูงสุดของ = 2ℎ
โจทย์กำหนดงบในการผลติ 2400 = 8 2 + 2(4 ℎ)

= 8( 2 + ℎ)
∴ 2 + ℎ = 300

ℎ = 300 − 2

41

= ( ℎ)
= (300 − 2)
= 300 − 3

′ = 300 − 3 2
= 3(100 − 2)

= 3(10 − )(10 + )

∴ จุดวิกฤต คอื ± 10

จะเกิดค่าสูงสดุ ท่ี = 10

∴ ปรมิ าตรที่มากท่สี ดุ ของการผลิต คอื = 300(10) − (10) 3

= 3000 − 1000
= 2000 3

11. ถา้ สบู ลมเขา้ ไปในลูกบอล ด้วยอตั ราคงที่ 1.5 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตรต่อวนิ าที สมมติให้อากาศมีความดนั คงทแ่ี ละ

ลกู บอลเป็นรูปทรงกลม จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงของรัศมีทเ่ี พ่ิมขน้ึ ขณะท่ลี ูกบอลมรี ัศมี10 เซนติเมตร

(8 คะแนน)

ให้ คือ รัศมีของลูกบอล

คือ ปรมิ าตรของลกู บอล

คือ เวลาท่ีสูบลมเข้าลูกบอล

โจทยก์ ำหนด = 1.5 โจทยต์ ้องการ |
=10
จากสูตรปรมิ าตรทรงกลม = 4 3
3
= 4 (3 2)
3
= 4 2

แทนคา่ v = 1.5 และ = 10

4 (10)2
∴ 1.5 =

∴ = 1.5 ⁄

400

42

บทท่ี 4
ปรพิ นั ธ์

43

บทท่ี 4 ปรพิ นั ธ์

I. จงหาปริพนั ธต์ ่อไปน้ี
1. ∫( + 2)

2. ∫(3 6 − 2 2 + 7 + 1)

3. ∫ cos
sin2

4. ∫ 2−2 4
4

5. ∫03(9 − 2)

6. ∫36( 2 − 2 )

7. ∫12 2+1
2

8. ∫−11| |

9. ∫ 6 1⁄
2

10. ∫
4+9 2

11. ∫ 3√ 4 + 11

12. ∫
2+

44

13. ∫ sec3 + sin
sec

II. จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน
1. ( ) = ∫ 1 2

2. ( ) = ∫1 2(3 − 1)

3. ( ) = ∫ 2 1+⁄33
1+ 3⁄2

45

เฉลย
I. จงหาปริพนั ธ์ตอ่ ไปน้ี

1. ∫( + 2)

∫( + 2) = ∫ + ∫ 2
= 2 + 3 +

23

2. ∫(3 6 − 2 2 + 7 + 1)

∫(3 6 − 2 2 + 7 + 1) = ∫ 3 6 − ∫ 2 2 + ∫ 7 + ∫ 1

= 3 ∫ 6 − 2 ∫ 2 + 7 ∫ + ∫

= 3 7 − 2 3 + 7 2 + +

732

3. ∫ cos
sin2 ∫
cos cos
sin2 = ∫ sin sin

= ∫ csc cot

= − csc +

4. ∫ 2−2 4
4
2−2 4
∫ 4 = ∫ ( 12 − 2)

= ∫ −2 − 2

= − 1 − 2 +



5. ∫03(9 − 2) 3)| 3
0
∫03(9 − 2) = (9 − 3

= (9(3) − 33) − (0)
3

= 18

46

6. ∫36( 2 − 2 )
∫36( 2 − 2 ) = ∫36 2 − 2 ∫36
3| 6 |36
= 3 − 2
3

= 1 (63 − 33) − (62 − 32)
3
= 1 (189) − 27

3

= 63 − 27 = 36

7. ∫12 2+1
2
2+1
∫12 2 = ∫12 1 + 1
2
∫12 ∫12 1
= + 2

= |12 − 1| 2
1


= (2 − 1) − (1 − 1)
2
=3
2

8. ∫−11| | ∫−11| | = ∫−01(− ) + ∫01

= − 2| 0 + 2| 1
−1 0
2 2

= − 1 (0 − (−1)2) + (1 − 0)

22

=1

9. ∫ 6 1⁄
2
1 1
ให้ = = −1 ดังน้ัน = − 2

∫ 6 1⁄ = −6 ∫ (− 1 )
2 2
= −6 ∫

47

= −6 +
= −6 1⁄ +

10. ∫
4+9 2

∫ 4+9 2 = ∫ 4(1+(3 ⁄2)2 )

= 2 ∫ 1 (3 ⁄2)
3 4(1+(3 ⁄2)2 )

= 1 ∫ (3 ⁄2)
6 1+(3 ⁄2)2

= 1 tan−1 (3 ⁄2) +
6

11. ∫ 3√ 4 + 11

∫ 3√ 4 + 11 = 1 ∫( 4 + 11)1⁄2 ( 4 + 11)
4
( 4+11)3⁄2
= 1 3⁄2 +
4

= ( 4+11)3⁄2 +
6

12. ∫
2+
(2+ )
∫ 2+ = ∫ 2+

= ln(2 + ) +

13. ∫ sec3 + sin
sec
sec3 + sin
∫ sec = ∫ (sec2 + cos sin )

= ∫ sec2 + ∫ sin (sin )

= tan + sin +

II. จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั

48

1. ( ) = ∫ 1 2 [∫ 1

′( ) = 2 ]

= [− ∫1 2 ]

[∫1
= − 2 ]

= − 2

2. ( ) = ∫1 2(3 − 1) 2

′( ) = [∫1 (3 − 1) ]

= (3( 2) − 1) ∙ [ 2]

= (3 2 − 1)(2 )

= 6 3 − 2

3. ( ) = ∫ 2 1+⁄33
1+ 3⁄2
[∫ 2 1+⁄33 1+ 3 ⁄2]
′( ) =

= (1+(2+13 )3⁄2) [2 + 3 ] − (1+( 11⁄3)3⁄2) [ 1⁄3]


= 3 − (1+ 1 1⁄2) (3 12⁄3)
1+(2+3 )3⁄2

= 3 − 1
1+(2+3 )3⁄2 3 2⁄3(1+ 1⁄2)

49

บทท่ี 5
เทคนิคการหาปริพนั ธ์

50