Hand out program Linear

HANDOUT
MATEMATIKA
”PROGRAM LINEAR”

Disusun Oleh :
Lina Dwi Aris Setiani

DINAS PENDIDIKAN PROVINSI JAWA TENGAH 1
SMA NEGERI 1 ROWOKELE
TAHUN 2022

Matematika Wajib Kelas XI
SMA Negeri 1 Rowokele

Menggambar Grafik dari Persamaan Garis

1. Grafik dari garis

Langkah-langkah:

a. Tentukan titik potong sumbu dan titik potong sumbu .

b. Hubungkan kedua titik yang diperoleh sehingga terbentuklah suatu garis lurus.

Contoh:

Gambarkan grafik .

Penyelesaian:

Titik potong sumbu , untuk

Titik potong sumbu :
Titik potong sumbu , untuk

Titik potong sumbu :

30
02







2. Grafik dari garis

Garis adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu melalui titik .

Contoh:





Garis Sumbu Y atau

3. Grafik dari garis

Garis adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu melalui titik .

Contoh:







Garis Sumbu atau

Matematika Wajib Kelas XI 2
SMA Negeri 1 Rowokele

Menentukan Persamaan Garis dari Grafik

Persamaan garis yang sesuai berdasarkan
gambar di samping adalah

Contoh:






5


8

Persamaan garis yang sesuai dari Persamaan garis yang sesuai dari
grafik di atas adalah
grafik di atas adalah
8 8 (bagi 4)
5 5
8
5 5

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Bentuk:

atau

untuk dan bilangan real. .
Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari



Perhatikan grafik yang ditunjukkan pada gambar di
samping. Daerah di sebelah kiri garis
menunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan . Garis yang dilukis tidak
putus-putus menunukkan bahwa titik-titik yang terletak
pada garis termasuk daerah himpunan penyelesaian.

Tentukan daerah penyelesaian dari .



Perhatikan grafik yang ditunjukkan pada gambar di

samping. Daerah di sebelah atas garis

menunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan . Garis yang dilukis

putus-putus menunukkan bahwa titik-titik yang terletak

pada garis bukan termasuk daerah himpunan

penyelesaian.

Matematika Wajib Kelas XI 3
SMA Negeri 1 Rowokele

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Bentuk: atau
untuk
dan bilangan real.

Langkah-langkah menentukan daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel.

1. Gambar grafik .

2. Ambil sembarang titik yang terletak di luar garis .

3. Substitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan.

4. Apabila pertidaksamaan benar, maka daerah yang memuat titik adalah daerah

himpunan penyelesaian. Jika pertidaksamaan salah, maka daerah lain yang tidak memuat

titik adalah daerah himpunan penyelesaian. Daerah yang tidak memenuhi

pertidaksamaan ditunjukkan dengan arsiran.

Contoh:

Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan

Penyelesaian:

Langkah 1

Gambar garis .

Titik potong sumbu , untuk

Titik potong sumbu :
Titik potong sumbu , untuk

Titik potong sumbu :

12 0
04



Langkah 2

Ambil titik yang tidak dilalui garis . Misalnya titik .

Langkah 3

Substitusikan titik ke dalam pertidaksamaan .

(pernyataan salah)

Langkah 4

Karena pernyataan salah, maka daerah lain yang tidak memuat titik yang dibatasi garis

merupakan himpunan penyelesaian. Pada gambar berikut, himpunan penyelesaian

pertidaksamaaan adalah daerah yang tidak diarsir.



Daerah Himpunan Penyelesaian
(DHP)



Matematika Wajib Kelas XI 4
SMA Negeri 1 Rowokele

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Gabungan dari dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel dengan variabel-variabel yang
sama akan membentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah himpunan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel ditentukan dengan menentukan irisan dari masing-
masing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan.
Contoh:
Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan

dan .
Penyelesaian:
Langkah 1
Gambarkan grafik masing-masing garis.

 menyatakan sumbu
 menyatakan sumbu
 Garis

 Garis





Langkah 2

Menentukan daerah himpunan penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan.

 memiliki daerah penyelesaian yang letaknya di sebelah kanan sumbu .

 memiliki daerah penyelesaian yang letaknya di sebelah atas sumbu .

 . Misalnya titik .
Ambil titik yang tidak dilalui oleh garis

(pernyataan benar)

Karena pernyataan benar, maka daerah yang memuat titik merupakan daerah

himpunan penyelesaian dari . Daerah lain yang tidak memuat titik diarsir.

 . Misalnya titik .
Ambil titik yang tidak dilalui oleh garis

(pernyataan benar)

Karena pernyataan benar, maka daerah yang memuat titik merupakan daerah

himpunan penyelesaian dari . Daerah lain yang tidak memuat titik diarsir.

Matematika Wajib Kelas XI 5
SMA Negeri 1 Rowokele

Langkah 3
Gambarkan masing-masing DHP pertidaksamaan kemudian tentukan irisannya. DHP dari sistem
pertidaksamaan ditunjukkan dengan daerah yang tidak diarsir.



DHP



Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel jika Diketahui DHP
Jika diketahui daerah himpunan penyelesaian, maka sistem pertidaksamaan linear yang sesuai
berdasarkan DHP dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Menentukan persamaan garis pembatas DHP.
2. Mengambil sebuah titik yang ada di DHP tetapi tidak dilalui oleh garis. Kemudian

substitusikan titik yang diambil ke persamaan garis.
3. Ubah tanda persamaan (sama dengan) menjadi pertidaksamaan dengan menentukan tanda

yang sesuai dari hasil substitusi dengan konstanta persamaan.
Contoh:
Daerah yang diarsir berikut menyatakan daerah himpunan penyelesaian suatu sistem
pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan yang sesuai.



DHP


8

Penyelesaian: DHP ①
③ ② 8 8 8
① ③
④
②


8④

Matematika Wajib Kelas XI 6
SMA Negeri 1 Rowokele

①

DHP terletak di sebelah kanan garis , maka pertidaksamaan yang sesuai adalah .

②

Ambil titik yang tidak dilalui garis dan masuk ke dalam DHP. Misalnya titik 8 .

8 …..

8 ….

8

Maka pertidaksamaan yang sesuai adalah

③8 8 8

Ambil titik yang tidak dilalui garis dan masuk ke dalam DHP. Misalnya titik .

8 ….. 24

8 ….

Maka pertidaksamaan yang sesuai adalah 8

④

DHP terletak di sebelah atas garis atau sumbu , maka pertidaksamaan yang sesuai adalah

.

Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai berdasarkan DHP yang diketahui adalah

 x2
 x  y  6
3x  8y  24
 y  0

Latihan Soal 1
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.
a.
b.
c.
d.
2. Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidakaman berikut.

 x0
 y  0
a. 2x  y  6

 x  3y  9

 x0
 y  0
b. 
 x  y  5

2x  y  8

 x0
 y  0
c. 3x  y  6

x  2 y  8

x  2y  2

d.  x y  2

 y  1

Matematika Wajib Kelas XI 7
SMA Negeri 1 Rowokele

3. Tentukan sistem pertidaksamaan yang sesuai jika DHP ditunjukkan oleh daerah yang
diarsir.





a.




b.



5

c.


d.


8 7
5
8
0
e.
Matematika Wajib Kelas XI
SMA Negeri 1 Rowokele

Program Linear Dua Variabel

Program linear merupakan bagian dari matematika terapan dengan model matematika yang terdiri

atas persamaan-persamaan atau pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang memuat pembuatan

program untuk memecahkan berbagai masalah. Syarat suatu masalah dikatakan permasalahan

program linear adalah sebagai berikut.

1. Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai harus dinyatakan dalam bentuk fungsi

linear . Fungsi linear ini dinamakan fungsi objektif (fungsi tujuan)

2. Harus memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan optimum

(maksimum ataupun minimum).

3. Sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas dan harus dinyatakan dalam bentuk

pertidaksamaan linear.

Adapun bentuk umum permasalahan program linear dituliskan sebagai berikut.

Fungsi objektif:

Syarat (kendala):

, untuk

Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif dengan Menggunakan Uji Titik Pojok
Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif dengan metode uji titik pojok dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut.

1. Buatlah model matematika dari masalah program linear. Model matematika ini memuat
fungsi objektif (berbentuk fungsi linear dua variabel) beserta kendala-kendala (berbentuk
sistem pertidaksamaan linear dua variabel) yang harus dipenuhi.

2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel,
kemudian tentukan koordinat titik-titik pojoknya.

3. Hitunglah nilai fungsi objektif untuk titik-titik pojok yang diperoleh.
4. Berdasarkan hasil perhitungan, nilai maksimum ataupun nilai minimum dari fungsi objektif

dapat ditentukan. Begitu pula nilai-nilai yang menyebabkan fungsi objektif mencapai nilai
optimum.
Contoh:
1. Seorang pedagang sepatu mempunyai modal Rp8.000.000,00. Ia merencanakan membeli
dua jenis sepatu dua jenis sepatu, sepatu pria dan sepatu wanita. Harga beli sepatu pria
adalah Rp20.000,00 per pasang dan sepatu wanita harga belinya Rp16.000,00 per pasang.
Keuntungan dari penjualan sepatu pria dan sepatu wanita berturut-turut adalah Rp6.000,00
dan Rp5.000,00. Mengingat kapasitas kiosnya, ia membeli sebanyak-banyaknya 450 pasang
sepatu. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut. Tentukan keuntungan
terbesar yang dapat diperoleh.
Penyelesaian:
Misalkan banyak sepatu pria adalah dan banyak sepatu wanita adalah , maka
permasalahan di atas dapat ditnyatakan pada tabel berikut.

Sepatu Pria Sepatu Wanita Kapasitas/ Modal

Banyak 5

Harga Beli 8

Keuntungan 5

Karena kapasitas kios tidak lebih dari 450 pasang sepatu dan pedagang hanya memiliki

modal Rp8.000.000,00, maka didapat pertidaksamaan sebagai berikut.

5

 85
dan menyatakan banyaknya sepatu, sehingga nilainya tidak mungkin negatif maupun

pecahan. Jadi, pertidaksamaan yang sesuai adalah sebagai berikut.

Matematika Wajib Kelas XI 9
SMA Negeri 1 Rowokele

 dan
Model matematika yang sesuai dari permasalahan di atas adalah

 x0
 y  0
 , untuk
 x  y  450

5x  4 y  2.000

Sedangkan fungsi objektifnya adalah 5.

Adapun untuk menentukan keuntungan maksimum dari penjualan sepatu akan diselesaikan

menggunakan metode uji titik pojok.

55 5 5

55

DHP dari sistem pertidaksamaan ditunjukkan pada gambar berikut.



5 5
③
Untuk 5 5
5
5 5
①
④ 5 5



Sehingga diperoleh titik 5

②
5

Menentukan koordinat titik pojok

① Titik

② Titik

③ Titik 5

④ Titik 5

Keempat titik pojok tersebut diujikan pada fungsi objektif 5.

5

5

5 555

5 55 55

Berdasarkan tabel tersebut, dapat disimpulkan bahwa keuntungan maksimum yang dapat

diperoleh pedagang adalah Rp2.450.000,00 yaitu dengan membeli 200 pasang sepatu pria

dan 250 pasang sepatu wanita.

2. Diketahui DHP dari suatu sistem pertidaksamaan ditunjukkan oleh daerah yang diarsir

pada gambar berikut.



8

Tentukan nilai maksimum dari
Matematika Wajib Kelas XI 5.
SMA Negeri 1 Rowokele
10

Penyelesaian:
Menentukan koordinat masing-masing titik pojok.

8 8
8

8




③ Untuk 8
④
8

①② 8


① Titik
Sehingga diperoleh titik

② Titik

③ Titik

④ Titik

Keempat titik pojok tersebut diujikan pada fungsi objektif 5 .

5

5

5

5 58
Berdasarkan tabel tersebut, dapat disimpulkan bahwa nilai maksimumnya adalah 23.

Latihan Soal 2 yang
1. Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi objektif
memenuhi DP berikut.



5
8

2. Tentukan nilai maksimum dari
berikut. 8 yang memenuhi sistem pertidaksamaan

 x  y  20 5 yang memenuhi sistem pertidaksamaan
2x  y  32
 11
 x0

 y  0

3. Tentukan nilai minimum dari

berikut.

3x  2 y  60
4x  5y  90

 x0

 y  0

Matematika Wajib Kelas XI
SMA Negeri 1 Rowokele

4. Daerah diarsir pada gambar berikut menyatakan himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan.





Tentukan nilai minimum dari .

5. Suatu perusahaan tas dan sepatu mempunyai bahan baku kulit dan plastik masing-masing

450 cm2. Sebuah sepatu memerlukan bahan kulit 30 cm2 dan bahan plastik 15 cm2. Sebuah

tas memerlukan bahan kulit 15 cm2 dan bahan plastik 30 cm2. Apabila perusahaan tas

tersebut memproduksi buah sepatu dan buah tas, tentukan sistem pertidaksamaan yang

sesuai dari masalah tersebut.

6. Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk dengan kapasitas tidak lebih dari 48

penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan

untuk penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat

menampung bagasi paling banyak 1.440 kg. Jika dan berturt-turut menyatakan

banyaknya penumpang kelas utama dan ekonomi, tentukan sistem pertidaksamaan yang

sesuai berdasarkan masalah tersebut.

7. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2.

Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00 per

jam dan mobil besar Rp2.000,00 per jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada

kendaraan yang pergi dan datang, tentukan penghasilan maksimum tempat parkir tersebut.

8. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang di warungnya. Pedagang tersebut

membeli mangga dengan harga Rp8.000,00 per kg dan pisang dengan harga Rp6.000,00 per

kg. Modal yang dia miliki Rp1.200.000,00 da warungnya hanya dapat memuat mangga dan

pisang sebanyak 100 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00 per kg dan harga jual pisang

Rp7.000,00 per kg, tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh.

9. Seorang agen sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Setiap sepeda biasa ia beli

dengan harga Rp1.500.000,00 dan setiap sepeda balap dibeli dengan harga Rp2.000.000,00.

Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Setiap

penjualan satu sepeda biasa mendapatkan keuntungan Rp300.000,00 dan sepeda balap

mendapatkan keuntungan Rp400.000,00.

a. Buatlah model matematika untuk masalah program linear di atas.

b. Tunjukkan daerah himpunan penyelesaian berdasarkan model matematika yang dibuat.

c. Hitunglah keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh dari penjualan seluruh

sepeda.

10. Suatu perusahaan ingin mengangkut barang-barang kantor yang sedikitnya terdiri dari 480

kardus dan 352 peti dengan menyewa dua jenis kendaraan yaitu mobil bak dan truk kecil.

Sewa untuk mobil bak adalah Rp200.000,00 dan untuk truk kecil adalah Rp300.000,00.

Mobil bak dapat mengangkut sampai 40 kardus dan 16 peti, sedangkan truk kecil dapat

mengangkut sampai 30 kardus dan 32 peti.

a. Buatlah model matematika untuk masalah program linear di atas.

b. Gambarkan daerah himpunan berdasarkan model matematika yang dibuat.

c. Tentukan banyaknya mobil bak dan truk kecil yang harus disewa agar biaya

pengangkutan seminimal mungkin. Tentukan pula besar biaya minimum tesebut.

Matematika Wajib Kelas XI 12
SMA Negeri 1 Rowokele

LATIHAN SOAL PENILAIAN HARIAN

1. Tentukan pertidaksamaan yang sesuai 6. Tentukan nilai minimum dari
dari gambar berikut.
8 yang memenuhi

.

7. Sebuah butik memiliki bahan 4 meter

kain satin dan 5 meter kain prada. Dari

bahan tersebut, akan dibuat dua jenis

baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2

2. Tentukan daerah himpunan meter kain satin dan 1 meter kain

peyelesaian yang memenuhi sistem prada. Baju pesta II memerlukan 1

pertidaksamaan meter kain satin dan 2 meter kain

8 8. prada. Jika butik tersebut membuat

3. Tentukan sistem pertidaksamaan yang

sesuai berdasarkan gambar berikut. buah baju pesta jenis I dan buah baju

pesta jenis II, tentukan model

matematika yang sesuai.

6 8. Seorang anak penderita kekuarangan

gizi diharuskan mengkonsumsi dua

jenis tablet vitamin setiap hari. Tablet

pertama mengandung 6 unit vitamin A
4. Tentukan 8
dan 1 unit vitamin B, sedangkan tablet
berikut. nilai maksimum dari
pada daerah yang diarsir kedua mengandung 3 unit vitamin A

dan 5 unit vitamin B. Dalam satu hari,

anak tersebut memerlukan 18 unit

vitamin A dan 12 unit vitamin B. Jika

55 harga tablet pertama Rp3.500,00 per

butir dan harga tablet kedua

Rp5.000,00 per butir, tentukan

pengeluaran minimum untuk

pembelian tablet per hari.

9. Pak Syarif ingin membeli paling

5. Tentukan nilai maksimum dari banyak 25 sepeda untuk persediaan
5 yang memenuhi DHP
dagangannya. Ia ingin membeli sepeda
berikut.
gunung dengan harga Rp1.500.000,00

per buah dan sepeda balap dengan

harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia

merencanakan tidak akan

mengeluarkan uang lebih dari

Rp42.000.000,00. Jika keuntungan

sebuah sepeda gunung Rp500.000,00

dan sebuah sepeda balap

Rp600.000,00, maka tentukan

keuntungan maksimum yang dapat

diperoleh Pak Syarif.

Matematika Wajib Kelas XI 13
SMA Negeri 1 Rowokele