estatica

PROBLEMA 5.28 Grafique los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para el
pórtico mostrado en la figura 5.81

Fig. 5.81

Solución:

Calculamos las reacciones en los apoyos:

MA  0  VD.(8)  2.(2) 1.(4)  3.(5).(5,5) 1  0

FY  0 VD  10,4375T 
 VA 10,4375  3.(5)  0

FX  0 VA  4,5625T 
 HA 1 2  0

HA  1T 

En la figura 5.82,a se muestran las reacciones en los apoyos.

Ahora, graficamos los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector.
DIAGRAMA “N”:

Para el tramo AB, proyectamos las componentes de reacción a lo largo del tramo.

NAB  4,5625.cos 37o 1.cos 53o  4,25T (COMPRESION)

NBC  2T (COMPRESION)

NCD  10,4375T (COMPRESION)

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza axial, tal como se muestra en la figura

5.82,b
DIAGRAMA “V”:

Para el tramo AB, proyectamos las fuerzas en forma perpendicular al eje del tramo.

VAAB  4,5625.sen37o 1.sen53o  1,9375T

VBAB  1,9375T

VBBC  4,5625T

VCBC  4,5625  3.(5)  10,4375T

201

VCCD  2T

VCD  2T
F0

VCD  22 0
F0

VDCD  0

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza cortante, tal como se muestra en la

figura 5.82,c

Fig. 5.82

DIAGRAMA “M”:

MA  0

MB  1,9375.(5)  9,6875T.m

ME  9,6875  1 .(1,5208).(4,5625)  13,1568T.m
2

M C0  13,1568  1 .(3,4792).(10,4375)  5T.m
2

MC0  5 1  4T.m

MF  4  2.(2)  0

MD  0

202

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de momento flector, tal como se muestra en la
figura 5.82,d

PROBLEMA 5.29 Grafique los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para la
estructura mostrada en la figura 5.83

Fig. 5.83

Solución:

Como se trata de una estructura en voladizo, no es necesario calcular las reacciones en el

empotramiento, pudiendo graficar desde el extremo libre D hasta el empotramiento, avanzando

tramo por tramo.
DIAGRAMA “N”:

NDC  0

NCB  7 cos 53o  4,2kN (COMPRESION)

NBA  0

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza axial, tal como se muestra en la figura

5.84,a
DIAGRAMA “V”:

VDDC  7kN

VCDC  7kN

VCCB  7sen53o  5,6kN

VBCB  5,6kN

VBBA  7kN

VABA  7  2.(8)  9kN

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza cortante, tal como se muestra en la

figura 5.84,b
DIAGRAMA “M”:

M DC  0
D

M DC  7.(8)  56kN.m
C

203

MCCB  56  24  32kN.m

M CB  32  5,6.(10)  24kN.m
B

M BA  24kN.m
B

M BA  24  1 .(3,5).(7)  11,75kN.m
E 2

M BA  11,75  1 .(4,5).(9)  32kN.m
A 2

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de momento flector, tal como se muestra en la

figura 5.84,c

Fig. 5.84

PROBLEMA 5.30 Grafique los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para el
pórtico mostrado en la figura 5.85

Fig. 5.85
Solución:
Como se sabe, para estructuras isostáticas, el cálculo de reacciones y los diagramas N, V, M no
dependen del apoyo elástico. Por ello, el apoyo C puede asumirse como un apoyo movible.

204

Ahora, calculamos las reacciones en los apoyos:

FY  0  VC  3.(4)  0  VC  12kN 

MB  0  HA.(10)  3.(4).(2) 10.(6) 12  0  HA  4,8kN 

FX  0  4,8  HB 10  4  0  HB  9,2kN 

En la figura 5.86,a se muestran las reacciones en los apoyos.

Ahora, graficamos los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector.
DIAGRAMA “N”:

NAD  0

NDB  9,2kN (TRACCION)

NFC  0

NEF  12kN (COMPRESION)

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza axial, tal como se muestra en la figura

5.86,b

Fig. 5.86
205

DIAGRAMA “V”:

VAAG  4,8kN

VGAG  4,8kN

VGGD  4,8 10  5,2kN

VDGD  5,2kN

VDDE  0

VEDE  0

VCCF  12kN

VFCF  12kN

VFFE  0

VEFE  0

VEEB  12kN

VBEB  12  3.(4)  0

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza cortante, tal como se muestra en la

figura 5.86,c
DIAGRAMA “M”:

M AD  0
A

MGAD  4,8.(4)  19,2kN.m

M AD  19,2  5,2.(6)  12kN.m
D

MDE  12kN.m

M CF  12kN.m
C

M CF  12 12.(4)  36kN.m
F

MFE  36kN.m

M BE  0
B

M BE   1 .(4).(12)  24kN.m
E 2

Como comprobación final del equilibrio del nudo E, analizamos las fuerzas y momentos actuantes en

dicho nudo, los cuales se muestran en la figura 5.87

FX  0  9,2  9,2  0

FY  0  12 12  0

ME  0  12  24  36  0

206

Fig. 5.87
De esta manera, con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de momento flector, tal como se
muestra en la figura 5.86,d
PROBLEMA 5.31 Grafique los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para el
pórtico mostrado en la figura 5.88

Fig. 5.88
Solución:

Como se sabe, para cuerpos absolutamente rígidos (EI  ) no existen diagramas N, V, M. Tal tipo

de cuerpos no se deforman, por ello, no se muestran los diagramas N, V, M
En la realidad, tal tipo de cuerpos no existen, pero cuando las relaciones de rigidez entre elementos
estructurales es alta, se considera al de mayor rigidez como absolutamente rígido, lo cual es
característico en sistemas estructurales hiperestáticos (estáticamente indeterminados), asumiendo,

para ello, una rigidez infinita EI   o EI  

Para el presente problema, la rigidez del elemento BD es finita, pero bastante grande, en
comparación con los otros elementos, es por ello, que a dicho elemento se le ha considerado como
elemento rígido. Para graficar los diagramas N, V, M para estructuras isostáticas, se realiza como
cualquier otro tipo de estructura simple, pero para fines académicos consideraremos con línea
punteada los diagramas en dicho elemento rígido.
Ahora, calculamos las reacciones en los apoyos:

207

MA  0  VB.(3)  8.(2)  6.(7)  5.(4).(2)  0  VB  22kN 

FY  0   VA  22  6  0  VA  16kN 

FX  0   8  5.(4)  HC  0  HC  12kN 

En la figura 5.89,a se muestran las reacciones en los apoyos.

Ahora, graficamos los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector.
DIAGRAMA “N”:

NAD  16cos 37o  12,8kN (TRACCION)

NBD  22kN (COMPRESION)

NDE  8kN (TRACCION)

NCE  0

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza axial, tal como se muestra en la figura

5.89,b
DIAGRAMA “V”:

VAD  16sen37o  9,6kN

VDE  16  22  6kN

VBF  0

VFD  8kN

VCCE  12kN

VECE  12  5.(4)  8kN

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de fuerza cortante, tal como se muestra en la

figura 5.89,c
DIAGRAMA “M”:

MA  0

M AD  9,6.(5)  48kN.m
D

MB  0

MF  0

M FD  8.(2)  16kN.m
D

MC  0

M CE   1 .(12).(2,4)  14,4kN.m
G 2

M CE  14,4  1 .(8).(1,6)  8kN.m
E 2

M ED  8kN.m
E

208

M ED  8  6.(4)  32kN.m
D

Con los valores obtenidos, graficamos el diagrama de momento flector, tal como se muestra en la

figura 5.89,d

Como se puede apreciar, se puede graficar de izquierda a derecha, como de derecha a izquierda,

quedando a criterio del lector la comprobación del equilibrio en el nudo D, pudiendo efectuarlo en

forma análoga al problema 5.30

Fig. 5.89
209

5.4 DIAGRAMAS EN ARCOS
PROBLEMA 5.32 Graficar los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para el
arco mostrado en la figura 5.90, considerando que B es punto medio del arco ABC

Fig. 5.90

Solución:

Calculamos las reacciones en los apoyos:

MA  0  VC.(2) 15  0  VC  7,5kN 

FX  0  HA  7,5  0  HA  7,5kN 

FY  0  VA  0

En la figura 5.91 se muestran las reacciones en los apoyos.

Fig. 5.91
Ahora, graficamos los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector.

TRAMO CB: (0    90o )

Proyectamos la reacción en C de 7,5kN hacia el punto D y lo descomponemos en una tangente a la
curva y una perpendicular a la tangente (figura 5.92,a), siendo la fuerza tangencial la normal y la
radial la cortante para cualquier punto del arco en dicho tramo.

210

NCB  7,5cos 
VCB  7,5sen

Para calcular el momento, simplemente efectuamos un momento en el punto arbitrario D del
segmento de arco BC (figura 5.92,b), obteniéndose:

MCB  7,5.(1 cos )

Fig. 5.92

En la tabla 5.3 se muestran los resultados para la normal, cortante y momento en el tramo analizado.

Tabla 5.3

ANGULO N V M

(kN) (kN) (kN.m)

  0o  7,5 0 0

  45o  5,3  5,3 2,2

  90o 0  7,5 7,5

TRAMO AB: (0    90o )

Efectuamos en forma análoga al tramo anterior, obteniéndose las siguientes ecuaciones:

NAB  7,5cos 
VAB  7,5sen
MAB  7,5.(1 cos )

Fig. 5.93
211

En la tabla 5.4 se muestran los resultados para la normal, cortante y momento en el tramo analizado.

Tabla 5.4

ANGULO N V M

(kN) (kN) (kN.m)

  0o 7,5 0 0

  45o 5,3  5,3  2,2

  90o 0  7,5  7,5

Con los resultados obtenidos, graficamos los diagramas finales de fuerza axial, fuerza cortante y
momento flector, tal como se muestran en la figura 5.94

Fig. 5.94
PROBLEMA 5.33 Graficar los diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flector para el
arco mostrado en la figura 5.95

Fig. 5.95
212

Solución:
Como se trata de un arco en voladizo, no es necesario calcular las reacciones, sino iniciamos del
extremo libre y avanzamos hacia el empotramiento.

TRAMO DCB: (0    180o )

Efectuamos en forma análoga al problema anterior, obteniéndose las siguientes ecuaciones:

NDCB  30cos 
VDCB  30sen
MDCB  30.(1 cos )

Fig. 5.96

En la tabla 5.5 se muestran los resultados para la normal, cortante y momento en el tramo analizado.

ANGULO Tabla 5.5 M
NV (kN.m)
  0o (kN) (kN)
  45o 0
  90o 30 0  8,79
  135o  30
  180o 21,21 21,21  51,21
 60
0 30

 21,21 21,21

 30 0

TRAMO BA: (0    90o )

Efectuamos en forma análoga al tramo anterior, obteniéndose las siguientes ecuaciones:

NBA  30cos 
VBA  30sen
MBA  30.(1 cos ) 15

213

Fig. 5.97

En la tabla 5.6 se muestran los resultados para la normal, cortante y momento en el tramo analizado.

ANGULO N Tabla 5.6 M
(kN) V (kN.m)
  0o
  45o  30 (kN)  45
  90o
0  36,21

 21,21  21,21  15

0  30

Con los resultados obtenidos, graficamos los diagramas finales de fuerza axial, fuerza cortante y
momento flector, tal como se muestran en la figura 5.98

214

Fig. 5.98
5.5 DIAGRAMAS EN ESTRUCTURAS ESPACIALES

PROBLEMA 5.34 Graficar los diagramas de fuerzas interiores para la estructura mostrada en la
figura 5.99

Fig. 5.99
215

Solución:
Como se sabe, en el empotramiento D existen seis reacciones, tres fuerzas y tres momentos, los
cuales no es necesario calcularlos si iniciamos del extremo libre y avanzamos hacia el
empotramiento.
En la figura 5.100 se muestran las orientaciones positivas de los ejes coordenados para cada tramo
de la estructura.

Fig. 5.100
TRAMO AB:
Para analizar cada tramo, proyectamos las fuerzas y momentos en los planos donde actúan, tal
como se hizo cuando en el capítulo 1 se calculó momentos respecto a los ejes coordenados.

N0
VY  0
VZ  0
MX  Mtorsor  10kN.m
MY  0
MZ  0

Fig. 5.101
TRAMO BC:
Efectuamos en forma análoga al caso anterior, proyectando las fuerzas y momentos en los planos
actuantes del tramo analizado.

N0

VY  4X2  VY(X2 0)  0
VY(X2 2)  8kN

216

VZ  20kN
MX  Mtorsor  0

MY  20X1 10  MY(X10)  10kN.m
MY(X12)  50kN.m

MZ  4X 2  X2   2X 2  MZ(X2 0)  0
 2  2

MZ(X2 1)  2kN.m
MZ(X2 2)  8kN.m

Para este último caso, se analizan tres puntos, debido a que se trata de una parábola cuadrática.

Fig. 5.102

TRAMO CD:

Continuamos con la misma forma de análisis, es decir, proyectando fuerzas y momentos en los

planos actuantes del tramo analizado.

N  20kN (COMPRESION)

VY  8kN

VZ  0

MX  Mtorsor  8kN.m

MY  10  40  50kN.m

MZ  8X3  MZ(X30)  0

MZ(X34)  32kN.m

217

Fig. 5.103
De esta manera, graficamos los diagramas finales de fuerzas internas, que se muestran en la figura
5.104

Fig. 5.104
218

BIBLIOGRAFIA

1. Gere James – Timoshenko Stephen. Mecánica de materiales. Grupo Editorial
Iberoamericana. México, 1986. – 825p.

2. Miroliubov I.N. y otros. Problemas de resistencia de materiales. Editorial Escuela Superior.
Moscú, 2005. – 396p.

3. Nelson James – McCormac Jack. Análisis de estructuras. Editorial Alfaomega. México, 2006.
– 582p.

4. Pytel Andrew – Jaan Kiusalaas. Ingeniería Mecánica: Estática. Internacional Thomson
Editores. México, 1999. – 526p.

5. Uribe Escamilla Jairo. Análisis de estructuras. Editorial Uniandes. Colombia, 2004. – 840p.
6. Villarreal Castro Genner. Interacción sísmica suelo-estructura en edificaciones con zapatas

aisladas. Asamblea Nacional de Rectores. Lima, 2006. – 125p.
7. Villarreal Castro Genner. Análisis de estructuras con el programa LIRA 9.0. Lima, 2006. –

115p.
8. Villarreal Castro Genner. Interacción suelo-estructura en edificios altos. Asamblea Nacional

de Rectores. Lima, 2007. – 142p.
9. Villarreal Castro Genner. Análisis estructural. Lima, 2008. – 335p.
10. Villarreal Castro Genner – Oviedo Sarmiento Ricardo. Edificaciones con disipadores de

energía. Asamblea Nacional de Rectores. Lima, 2009. – 159p.
11. Villarreal Castro Genner. Resistencia de materiales. Lima, 2009. – 336p.
12. Volmir A. Problemas de Resistencia de materiales. Editorial MIR. Moscú, 1986. – 478p.

219

INDICE

PROLOGO ………………………………………………………………………..……………………. 02

CAPITULO 1. FUERZAS Y MOMENTOS
1.1. Operaciones con vectores ............................................................................... 04
1.2. Fuerzas concurrentes ...................................................................................... 11
1.3. Momento de una fuerza respecto a un punto. Teorema de Varignon ............. 17
1.4. Momento de una fuerza respecto a los ejes cartesianos ……………………... 27
1.5. Cupla o par de fuerzas ……………………………………………………….…… 40
1.6. Traslación de fuerzas. Par de transporte ……………………………………….. 42
1.7. Reducción de fuerzas paralelas …………………………………………………. 45
1.8. Fuerzas distribuidas ………………………………………………………………. 48

CAPITULO 2. EQUILIBRIO 57
2.1. Diagrama de cuerpo libre ……………………..………………………………….. 59
2.2. Cálculo de reacciones de estructuras simples …………………………………. 70
2.3. Cálculo de reacciones de estructuras con rótulas intermedias ……………….. 79
2.4. Cálculo de estructuras compuestas …….………………………………….……. 91
2.5. Cálculo de reacciones de estructuras espaciales …….…………………………

CAPITULO 3. CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA
3.1. Centroide de alambres ……………………..……..………………………………. 96
3.2. Centroide de áreas ………………………………………………………………… 98
3.3. Momentos de inercia de áreas planas ………….……..………………………… 102
3.4. Momentos de inercia de perfiles metálicos ……..………………………………. 106

CAPITULO 4. ARMADURAS
4.1. Método de los nudos …………………….…………………………………………. 111
4.2. Método de las secciones …..…………..………………………………………….. 124

CAPITULO 5. DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS

5.1. Fuerzas internas ............................................................................................. 144
5.2. Diagramas en vigas …………………............................................................... 155
5.3. Diagramas en pórticos …………..………………………………………………... 189
5.4. Diagramas en arcos ……………………………………………………………….. 210
5.5. Diagramas en estructuras espaciales …………………………………………… 215

BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................... 219

220