MATERI AJAR MATEMATIKA

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan
rahmat dan karunia‐Nya, atas anugerah hidup dan kesehatan yang telah kami terima,
serta petunjuk‐Nya sehingga memberikan kemampuan dan kemudahan bagi kami dalam
penyusunan modul ini sebagai tugas “Penyusunan Materi Ajar”.

Modul ini disusun untuk memenuhi kebutuhan peserta pendidikan dan pelatihan
(Diklat) PPG dalam rangka sertifikasi guru bagi mereka yang belum berhasil meraih
sertefikat guru profesional. Modul ini digunakan untuk memenuhi kebutuhan siswa
dalam belajar matematika pada materi Pola Bilangan, Barisan dan Deret secara mudah,
terstruktur dan mandiri. Untuk itu pembahasan materi pada modul ini menggunakan
bahasa yang sederhana dan komunikatif, agar dapat mudah dipahami dan dicerna oleh
siswa.

Seperti layaknya sebuah modul, maka pembahasan dimulai dengan menjelaskan
tujuan yang hendak dicapai dan disertai dengan soal yang mengukur tingkat penguasaan
materi setiap topik. Dengan demikian pengguna modul ini secara mandiri dapat
mengukur tingkat ketuntasan yang dicapainya.

Kami menyadari bahwa keterbatasan pengetahuan dan pemahaman kami,
menjadikan keterbatasan kami pula untuk memberikan penjabaran yang lebih dalam
tentang materi ini, kiranya mohon dimaklumi apabila masih terdapat banyak
kekurangan dan kesalahan dalam penyusunan modul ini.

Harapan kami, semoga modul ini membawa manfaat bagi kita, setidaknya untuk
memperlancar kegiatan pembelajaran kita di sekolah, khususnya untuk materi Pola
Bilangan, Barisan dan Deret.

Kebumen, Juli 2021
Penulis,

Fitri Ratna Wardani

i

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ......................................................................................................i
KATA PENGANTAR.................................................................................................. ii
DAFTAR ISI................................................................................................................ iii

A. PENDAHULUAN
1. Deskripsi Singkat ..............................................................................................2
2. Relevansi...........................................................................................................2
3. Petunjuk Belajar................................................................................................2

B. INTI
1. Capaian Pembelajaran.......................................................................................3
2. Sub Capaian Pembelajaran................................................................................3
3. Uraian Materi dan Contoh ................................................................................3
a. Pola Bilangan ...............................................................................................3
b. Barisan Bilangan ........................................................................................13
c. Deret Bilangan ............................................................................................22

4. Rangkuman .....................................................................................................31
5. Tes Formatif....................................................................................................32
6. Kunci Jawaban ................................................................................................35
7. Daftar Pustaka.................................................................................................36

ii

A. PENDAHULUAN

1. Deskripsi Singkat

Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau

pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan

terjadinya multitafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan

pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan

parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak

melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara

matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang

langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan.Karenanya matematika

berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan

berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas:

menentukan variabel dan parameter,mencari keterkaitan antar variabel dan

dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan,

membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan

model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.

Materi dalam modul ini disajikan secara sistematis, mulai dari hal yang

konkret ke yang abstrak dan dari yang sederhana ke yang kompleks. Soal-soal

dalam modul ini pun disajikan dengan sangat variatif, baik jenisnya maupun

tingkat kesulitannya. Dengan demikian, siswa diharapkan mampu menguasai konsep

yang disajikan dengan baik, bukan sekadar menghafal konsep dan mengerjakan

soal dengan cepat.

Setelah mempelajari materi Bab 2 ini, Kalian diharapkan dapat

memahami tentang pola bilangan, baris dan deret. Secara lebih terperinci,

Kalian diharapkan dapat: Memahami pola bilangan ganjil, genap, segitiga,

persegi, persegi panjang, dan segitiga pascal. Memahami jumlah n suku

pertama barisan dan deret aritmetika. Memahami jumlah n suku pertama barisan dan

deret geometri. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pola pada barisan

bilangan dan barisan konfigurasi objek

1

Untuk mencapai tujuan di atas, Kalian dituntut untuk membaca setiap uraian
materi dengan cermat, mencatat kata-kata kuncinya, serta mengerjakan latihan
dan tes formatif secara disiplin. Dengan mengikuti petunjuk ini, mudah-mudahan
mempelajari modul akan menjadi pekerjaan yang menyenangkan bagi Kalian dan
kesuksesan menanti Kalian.
2. Relevansi

Kegiatan belajar ini selain berisi materi utama, juga dilengkapi dengan
materi penunjang yang dapat dipelajari untuk lebih memperkuat konsep dan
pemahaman mengenai materi esensial matematika yang berupa video, dan ppt.
Selain itu juga dilengkapi dengan link rujukan yang dapat dipelajari mengenai
konsep kapita selekta.

Setelah mempelajari modul pada materi utama serta materi penunjang,
peserta diharapkan mampu:

a. Menarik kesimpulan matematis dengan menggunakan penalaran logis.
b. Menentukan rumus dari suatu pola bilangan dan deret bilangan.
c. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dan

persamaan kuadrat.
d. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan grafik fungsi linear dan

kuadrat.
e. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan trigonometri.

3. Petunjuk Belajar
Kegiatan belajar ini selain berisi materi utama, juga dilengkapi dengan

materi penunjang yang dapat dipelajari untuk lebih memperkuat konsep dan
pemahaman mengenai materi esensial matematika yang berupa video, dan ppt.
Selain itu juga dilengkapi dengan link rujukan yang dapat dipelajari mengenai
konsep kapita selekta.

Setelah mempelajari modul pada materi utama serta materi penunjang,
peserta diharapkan mampu:

a. Menarik kesimpulan matematis dengan menggunakan penalaran logis.
Menentukan rumus dari suatu pola bilangan dan deret bilangan.

2

b. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dan
persamaan kuadrat.

c. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan grafik fungsi linear dan
kuadrat.

d. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan trigonometri

B. INTI
1. Capaian Pembelajaran
a. Menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural serta keterkaitan
keduanya dalam konteks materi logika, pola bilangan, persamaan linear,
persamaan kuadrat dan grafik fungsi polinomial.
b. Menguasai konsep teoretis materi pelajaran matematika secara
mendalam.
2. Sub Capaian Pembelajaran
a. Menarik kesimpulan matematis dengan menggunakan penalaran logis.
b. Menentukan rumus dari suatu pola bilangan dan deret bilangan.
c. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan linear dan
persamaan kuadrat.
d. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan grafik fungsi linear dan
kuadrat.
e. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan trigonometri
3. Uraian Materi dan Contoh
a. Pola Bilangan
Pernahkah anda bermain ular tangga? Untuk dapat memainkan
permainan ular tangga anda memerlukan sebuah dadu. Jika anda perhatikan, di
setiap dadu tersebut memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk
bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik), seperti gambar berikut:

3

Bulatan-bulatan kecik tersebut mewakili bilangan-bilangan yang
ditentukan. Satu bulatan mewakili bagian 1, dua bulatan mewakili bilangan 2,
dan begitu seterusnya hingga enam bulatan yang mewakili bilangan 6. Uniknya,
penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada
bentuk bangun datar atau bangun ruang.

Jika mengamati dadu tersebut, diurutkan dengan suatu aturan tertentu
sehingga bilangan-bilangan pada dadu tersebut membentuk suatu
barisan. Jadi pola bilangan merupakan suatu bilangan dengan aturan tertentu
yang akan membentuk suatu barisan bilangan yang teratur.

Dalam kehidupan sehari-hari banyak terdapat ukuran-ukuran pada
benda yang membentuk pola bilangan. Semakin indah bentuk suatu benda,
maka semakin teratur pola bilangan yang dimilikinya. Contoh pola bilangan
dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya:

4

1). Pola Bilangan Ganjil

Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan
ganjil . Sedangkan pengertian dari bilangan ganjil sendiri memiliki arti suatu
bilangan asli yang tidak habis dibagi dua ataupun kelipatannya .

• Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 ….
• Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …
• Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….
• Rumus mencari suku ke ke-n adalah = 2 − 1
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = 2

Contoh :
1 , 3 , 5 , 7 , . . . , ke 10
Berapakah pola bilangan ganjil ke 10 ? Jawab :
= 2 − 1
10 = 2(10)− 1
= 20 − 1
= 19

2). Pola Bilangan Genap

Pola bilangan genap yaitu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan – bilangan

5

genap . Bilangan genap yaitu bilangan asli yaitu bilangan asli yang habis
dibagi dua atau kelipatannya.

• Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..
• Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….
• Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +…..
• Rumus untuk mencari suku ke-n adalah = 2
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = 2 +

Contoh :
2 , 4 , 6 , 8 , . . . ke 10 .berapakah pola bilangan genap ke 10 ? Jawab :
= 2
10 = 2 × 10 = 20

3. Pola Bilangan Segitiga

Pola bilangan segitiga yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk
sebuah pola bilangan segitiga .

• Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
• Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..
• Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..
• Rumus mencari suku ke-n adalah = 1/2 ( + 1)
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = 1/6 ( + 1)( + 2)

6

Contoh Soal :
Dari suatu barisan bilangan 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , . . . , ke 10 .
Berapakah pola bilangan segitiga ke 10 ?
Jawab : = ( + 1)
= 2 × 10 (10 + 1)
= 5 ( 11 )
= 55

4). Pola Bilangan Persegi

Pola bilangan persegi yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk suatu
pola persegi .
• Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
• Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..
• Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……
• Rumus mencari suku ke-n adalah = 2
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah =1/6 ( + 1)(2 + 1)

7

Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 1 , 2 , 9 , 16 , 25 , 36 , . . . ,ke 10 . Berapakah
pola bilangan ke 10 dalam pola bilangan persegi ?
Jawab :
= 2
10 = 102 = 100

5). Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola bilangan persegi panjang yaitu suatu barisan bilangan yang membentuk pola
persegi panjang

• Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
• Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……
• Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..
• Rumus mencari suku ke-n adalah = ( + 1)
• Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah = 1/3 ( + 1)( + 2)

Contoh :
Dari suatu barisan bilangan 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , . . . , ke 10 . Berapakah pola
bilangan persegi ke 10 ?
Jawab :
= ( +1)
10 = 10 (10 + 1)
= 10 (11)
= 110

8

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal
memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola
segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di
dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Rumus mencari jumlah
baris ke-n adalah 2 −1
Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai
berikut.
1) Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.
2) Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir

selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.
3) Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan

hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.
4) Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

Contoh:
Pada pola bilangan segitiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke-7 adalah
...
Pembahasan:
Cara 1:
Pola bilangan Pascal sebagai berikut

1

9

11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Jumlah bilangan pada garis ke 7 = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64
Cara 2:
jumlah bilangan ke-7 pada segitiga Pascal

7). Pola Bilangan Fibonacci
• Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan

setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan
sebelumnya.
• Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..
• 2 diperoleh dari hasil 1 + 1 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari
hasil 3 + 2 dan seterusnya
• Rumus mencari suku ke-n adalah = – 1 + − 2

10

8). Pola Bilangan Pangkat Tiga

• Pola bilangan pangkat tiga adalah pola bilangan dimana bilangan
setelahnya merupakan hasil dari pangkat tiga dari bilangan sebelumnya

• Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah 2, 8, 512, 134217728, …..
• Keterangan : 8 diperoleh dari hasil 2 pangkat tiga, 512 diperoleh dari hasil

8 pangkat tiga, dan seterusnya.

9). Pola Bilangan Aritmatika

• Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dimana bilanga

sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama.

• Contoh pola bilangan aritmatika adalah 2, 5, 8, 11, 14, 17, ….

• Suku pertama dalam bilangan aritmatika dapat disebut dengan awal (a) atau

1, sedangkan suku kedua adalah 2 dan seterusnya.

• Selisih dalam barisan aritmatika disebut dengan beda dan dilambangkan

dengan b.

• Karena bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama,
maka = 2− 1= 3− 2= 4 − 3 = 5 − 4 = 6 − 5 = 3

• Rumus mencari suku ke-n adalah = + ( – 1 )

• Rumus mencarijumlah n suku pertama adalah

= /2 ( +

10. Pola Bilangan Geometri

Pada pola bilangan geometri, suatu bilangan merupakan hasil perkalian bilangan
sebelumnya dengan suatu bilangan yang tetap.
Rumus suku ke-n adalah = −1

11

Latihan

Untuk memantapkan pemahaman Kalian terhadap materi di atas, coba
kerjakan latihan di bawah ini!
1) Sebuah barisan bilangan dituliskan sebagai berikut:

1234567891011121314151617181920212223242526... sehingga suku
ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan seterusnya. Dapatkah
kamu temukan angka yang menempati suku ke-2004?
2) Perhatikan susunan lantai dari beberapa buah
persegi yang diarsir seperti pada gambar di
samping ini. Susunan persegi tersebut membentuk
suatu pola tertentu. Berapakah banyak persegi yang
diarsir pada pola ke-7?
3)

4) Suatu barisan dengan pola deret = 2 3 − 3 2.
Tentukan pola barisan tersebut kemudian tentukanlah suku ke-10!

5) Perhatikan barisan huruf berikut: A B B C C C D D D D A B B C C C D D
D D A B B C C C D D D D ...Berdasarkan pola barisan tersebut,
tentukanlah huruf pada urutan ke 864

12

Petunjuk Jawaban Latihan
1. Kalian cermati kembali Pola bilangan
2. Pendapat Kalian dapat saja berbeda-beda. Kalian dapat menerima atau

menolak pendapat tersebut dengan sejumlah argumentasi. Untuk
memudahkan Kalian mengemukakan pendapat, terlebih dahulu kaji kembali
kapan suatu masalah itu timbul pada seseorang.
3. Sebelum diskusi, ada baiknya Kalian mencermati Kurikulum Tingkat Satuan
Pendidikan Sekolah Dasar terutama yang berkaitan dengan kompetensi yang
harus dikuasai siswa Sekolah Dasar.
4. Untuk menjawab soal ini, Kalian harus memahami terlebih dahulu
pengertian soal rutin dan soal non rutin sehingga Kalian dapat
menentukan karakteristik masing-masing jenis soal tersebut.
5. Berbekal pemahaman Kalian tentang karakteristik soal rutin dan soal non
rutin yang dikaitkan dengan materi pelajaran matematika pada setiap
jenjang kelas di Sekolah Dasar, Kalian akan dapat mengkategorikan soal
pemecahan masalah pada masing- masing tingkatan tersebut.

RANGKUMAN

• Pola bilangan merupakan suatu bilangan dengan aturan tertentu
yang akan membentuk suatu barisan bilangan yang teratur.

• Macam-macam pola bilangan yaitu pola bilangan ganjil, genap,
segitiga, persegi,

• persegi panjang, segitiga pascal, fibonacci, pangkat tiga, aritmatika
dan geometri

13

b. Sub Bab 2
Barisan dan Deret Bilangan

Barisan bilangan

Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut: a. 2, 4, 6, 8
b. 1, 3, 5, 7, …
c. 3, 6, 9, 12, 15, …
Jika kamu perhatikan, bilangn-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun
mengikuti pola tertentu. Bilangn-bilangan tersebut disebut barisan bilangan.
Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan. Suku pada
barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh
U1 = suku ke-1 = 2
U2 = suku ke-2 = 4
U3 = suku ke-3 = 6
U4 = suku ke-4 = 8

Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku

Contoh soal

Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut.

Sebutkan satu persatu suku yang dimaksud Penyelesaian :

1) terdapat 8 suku barisan dalam barisan dalam bilangan tersebut.

2) U1 =1 U5 =9

3) U2 = 3 U6 =11

4) U3 = 5 U7 =13

5) U4 = 7 U8 =15

Jadi, barisan bilangan adalah susunan bilangan yang di urutkan menurut
aturan tertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah 1 2, 3, 4, … ,

14

setiap unsur pada bilangan di atas disebut suku barisan. Suku ke-n dari auatu
barisan ditulis dengan simbol (n bilangan asli). Dengan demikian, 1
disebut suku pertama atau 1, 2disebut suku kedua atau
2, dan disebut suku ke-n atau .
Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi 2 bagian, barisan
aritmatika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu
lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika (barisan hitung) adalah barisan bilangan yang mempunyai

beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

Perhatikan uraian berikut. Barisan aritmatika merupakan suatu barisan bilangan,

dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisih

yang tetap ini dilambangkan b.

Diketahui barisan bilangan:

14 7 10 13 16 19 22

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku

barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan

barisan aritmatika.

Diketahui barisan bilangan:

84 0 -4 -8 -12 -16 -20

-4 -4 -4 -4 -4 -4 -4
Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara 2 suku
barisan yang berurutan, yaitu -4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan
barisan aritmatika.
Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmatika memiliki
beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka
barisan aritmatika itu dikatakan barisan aritmatika naik. Sebaliknya, jika b

15

bernilai negative maka barisan aritmatika itu dikatakan barisan aritmatika
turun.
Contoh soal
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut:
a. 30, 32, 34, 36, 38, …
b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, …
Penyelesaian:
a. 30 32 34 36 38

+2 +2 +2 +2
Merupakan barisan aritmatika naik karena bedanya 2
b. 18 15 12 9 6 3

-3 -3 -3 -3 -3

Merupakan barisan aritmatika turun karena bedanya -3

Kamu telah memahami barisan aritmatika naik dan turun. Sekarang, bagaimana

cara mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan

bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama

dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian

berikut.

Diketahui barisan bilangan aritmatika sebagai berikut.

U1, U2, U3, U4, U5, U6, , Un-1, Un

Dari barisan tersebut diperoleh

U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5

= U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = U4 + b + (a + 4b) + b = a + 5b
Un = Un-1 + b = (a + (n – 2) b) + b = a + (n - 1) b

16

Jadi, rumus ke-n barisan aritmatika dapat ditulis sebagai berikut:

Un = a + (n – 1) b

Keterangan:
Un = suku ke-n b = beda
a = suku pertaman = nomor suku
Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmatika, coba kamu perhatikan
uraian berikut.
U2 = U1 + b maka b = U2 – U1 U3 = U2 + b maka b = U3 – U2 U4 = U3
+ b maka b = U4 – U3
U5 = U4 + b maka b = U5 – U4
.
.
.
Un = Un-1 + b maka b = Un – Un-1
Jadi, beda suatu barisan aritmatika dinyatakan sebagai berikut.

−1

Contoh soal
Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, …
Tentukan:
a) jenis barisan aritmatikanya
b) suku kedua belas barisan tersebut.
Penyelesaian:
a) untuk menentukan jenis barisan aritmatika, tentukan nilai beda pada

barisan tersebut. b = U2 - U1 = 13 – 10 = 3
Oleh karena b>0, barisan aritmatika tersebut merupakan barisan
aritmatika naik.
b) untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut.

17

Un = a + (n-1) b maka U12 = 10 + (12-1) 3 = 10 + (11) 3
= 10 + 33 = 43
Jadi, suku keduabelas barisan tersebut adalah 43.

Aplikasi Barisan
Aritmetika dalam
kehidupan

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan
dengan barisan aritmatika. Berikut contohnya:

Contoh aplikasi barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari:
Setiap bulan, Gofur selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung
sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan
ketiga ia menabbung Rp12.000,00,. Demikian seterusnya, ia selalu menabung
lebih Rp1000,00, setiap bulannya.
a) Nyatakanlah uang yang ditabung Gofur (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan

pertama.
b) Tentukan jumlah uang yang ditabung Gofur pada bulan ke-12 Penyelesaian:
c) Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Gofur 8 bulan pertama adalah

sebagai berikut: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17
d) Diketahui : U1 = 10 b = 1
U12 = a + ( n – 1 )
= 10 + ( 12 – 1 ) 1
= 10 + 11
= 21
Jadi, uang yang ditabung Gofur pada bulan ke-12 adalah Rp 21.000,00.

2. Barisan Geometri

Barisan geometri (barisan ukur) adalah barisan yang memmpunyai rasio tetap
antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmatika,

18

selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). artinya,
suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan
tetap dari suku barisan sebelumnya.
Pelajari uraian berikut:
• Diketahui barisan bilangan sebagai berikut:
3 6 12 24 48 96 192

x2 x2 x2 x2 x2 x2
barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r=2. Berarti,
barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap.
Jika r bernilai lebih dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan
geometri turun.

19

U2= U1 x r = (axr4) = ar5
Un= Un-1 x r = (axrn-2)x r = arn-1
Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut:

Un = arn-1

Keterangan:
Un = suku ke-n r = rasio
a = suku pertama n = banyak suku
Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut.
U2=U1 x r maka r =U2/U1
U3=U2 x r maka r =U3/U2
U4=U3 x r maka r =U4/U3
Un=Un-1 x r maka r =Un/Un-1
Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut:

20

Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah ( 2 )

2.187

Aplikasi Barisan
Geometri dalam
kehidupan

Setiap awal bulan Weni menabung di bank BRI sebesar Rp.500.000,-. Jika

Bank memberikan bunga 2% per bulan dengan asumsi tidak ada biaya pada

proses penabungan. Tentukan jumlah semua tabungan Weni setelah menabung

selama 1 tahun!

Jawab:

Sebelum menjawab soal diatas, terlebih dahulu mencari rumus modal akhir

dengan menggunakan bunga majemuk, yaitu:

Suatu modal M dengan bunga p% per bulan, maka setelah:

Satu bulan modal menjadi= M + Bunga

M1 = M + M x p

= M (1 + P)

Dua bulan modal menjadi = M1 + Bunga

M2 = M (1 + p) + M (1 + p) p

= M (1 + P)(1 + P) = M (1 + p)2

Tiga bulan modal menjadi = M2 + Bunga
M3 = M (1 + p)2 + M (1 + p)2 p

21

= M (1 + P)2(1 + P) = M (1 + p)3

Dari pila uraian diatas, maka pada n bulan modal menjadi:
Mn = M (1 + p)n. setelah satu tahun simpanan Weni pada:

Bulan pertama = 500.000 ( 1 + 0,02)12 = 500.000 (1,02)12

Bulan ke-2 = 500.000 (1,02)11

Bulan ke-3 = 500.000 (1,02)10 dan seterusnya, sehingga membentuk

deret: 500.000 (1,02)12 + 500.000 (1,02)11 + 500.000 (1,02)10 + … +

500.000 (1,02)

Dari deret diatas, dapat diketahui: suku pertama a = 500.000 (1,02)12, rasio

(r) = 1,02 dan banyaknya suku n = 12, maka jumlah semua sukunya adalah

Deret Bilangan

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu
barisan aritmatika ataupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-
suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu
menghitungnya
Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut.
2, 5, 8, 11, 14, 17, …, Un
Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi 2 + 5 + 8 + 11 + 14
+ 17 + … + Un

22

Bentuk seperti ini disebut deret bilangan. Jadi, deret bilangan adalah jumlah
suku- suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan pun
dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmatika dan deret geometri.

1. Deret Aritmatika

Kalian telah mengetahui definisi barisan aritmatika. Jumlah seluruh suku-
sukunya dinamakan deret aritmatika. Jadi, deret aritmatika atau deret hitung
adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan
aritmatika. Jika a,a + b,a + 2b,…, a+(n-1)b adalah barisan aritmatika baku maka
a + (a+b) + (a+2b) + … + (a+(n-1)b) disebut deret aritmatika baku.
Coba kamu perhatikan barisan aritmatikaa berikut.
3, 6, 9, 12, 15, 18, …, Un
Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmatika sebagai
berikut.
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + … + Un
Jadi, deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan
aritmatika.

Contoh soal
Suatu barisan aritmatika adalah memiliki suku pertama 5 dan beda 3.
Tuliskan deret aritmatika dari barisan tersebut.
Penyelesaian:

• Barisan aritmatikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …, Un
• Deret aritmatikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + … + Un

Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmatika tersebut? Untuk
deret aritmatika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih
mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat
banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk
menghitungnya.
Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret

23

aritmatika.

Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika maka
Sn = U1 + U2+ U3+ U4+ U5+…+ Un
= a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + … + Un

Kemudian,
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + … + Un
Sn = Un + (Un – b) + (Un - 2b) + (Un – 3b) + (Un – 4b) + … + a
2Sn= (a + U) + (a + U) + (a + U) + (a + U) + … + (a + U)

Sebanyak n kali
2Sn = n (a + Un)
Sn = 1/2 n (a + Un) = n/2 (a + Un)
Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmatika adalah
sebagai berikut.

Sn = (a + Un)

Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai
berikut.

Sn = (2a + (n – 1) b)

Keterangan: aritmatika. Suatu
Sn = jumlah n suku
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku

Sekarang kamu akan mempelajari sifat-sifat deret
deret aritmatika memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

24

Jika diketahui deret aritmatika U1 + U2 + U3 + … + Un Maka U2 - U1 =
U3 – U2=
U4 – U3 = … = Un – Un-1
Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmatika Maka 2U2 =
U1 + U3
Jika Um dan Un adalah suku-sukun deret aritmatika Maka Um = Un + (m –
n) b

Contoh soal
Dari satu deret aritmetika diketahui bahwa suku ke empatnya adalah 38 dan
suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan beda deret tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui U4 = 38 dan U10 = 92 Untuk mencari beda:
Um = Un + (m-n)b maka b = − = 10− 4 = 92−38 = 54 = 9
− 10−4 6 6
Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9.

Aplikasi Deret Aritmetika
dalam kehidupan

Banyak permasalahan dalam kehisupan sehari-hari yang bias diselesaikan dengan
menggunakan konsep deret artimatika dalam menyelesaikan masalah yang
ada dalam keseharian kita, langkah pertama yang harus dilakukan adalah
mengubah masalah nyata tersebut kedalam model matematika, setelah itu dicari
solusinya.

Solusi yang didapat diinterpretasikan kembali kemasalah nyata yang tadi
dimodelkan, sehingga diperoleh penyelesaian secara nyata. Agar dapat
memahami konsep deret aritmatika, perhatikan uraian berikut.

25

Contoh soal

Seorang pegawai mendapat gaji pertama Rp.1000.000,- setiap ia mendapatkan

kenaikan gaji Rp.100.000,-. Berapakah jumlah pendapatan yang diterima

pegawai tersebut dalam waktu 10 bulan. Jika anda perhatikan masalah

tersebut sebenarnya permasalahan deret aritmatika dalam menentukan jumlah

n suku. Suku pertama dari deret tersrebut 1000.000 dan bedanya

dengan demikian, deret aritmatika dari masalah tersebut adalah 1000.000 +

1.100.000 + . . . + U10

Suku ke-10 dari deret tersebut adalah U10 = a + 9b

= 1000.000 + 9(100.000)

= 1.900.000

Sehingga jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut:

S10 = 10/2 (1.000.000 + 1.900.000)

= 5 (2.900.000)

= 14.500.000

Jadi, jumlah pendapatan yang diterima pegawai tersebut selama kurun

waktu 10 bulan adalah Rp.14.500.000,-

2. Deret Geometri

Sama seperti deret aritmatika, deret geometri pun merupakan jumlah suku-suku
dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini.
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, …, Un
Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh 1 +
3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + … + Un
Bentuk seperti ini disebut deret geometri.
Deret geometri atau deret ukur adalah suatu deret yang diperoleh dengan
menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Oleh karena itu, jika a, ar, ar2, …,
arn-1 adalah barisan geometri baku, deret a+ar+ar2+ …+arn-1 disebut deret
geometri baku.

26

Contoh soal
Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan
barisan dan deret geometrinya.
Penyelesaian:
Barisan geometrinya adalah
5, 10, 20, 40, 80, 160, …, Un
Deret geometrinya adalah
5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + … + Un

Selanjutnya, kamu akan mempelajari cara menentukan jumlah n suku pertama
dari deret geometri maka
Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + Un
= a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + … + arn-1
Kemudian,
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + … + arn-1
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + … + arn-1
Sn - rSn = a – arn
Sn - rSn = a(1 – rn)
Sn (1 – r) = a(1 – rn)
Sn = a(1 – rn)
(1 – r)
Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai
berikut.



Contoh soal
Diketahui barisan geometri: 3, 6, 12, 24, 48, …, Un. tentukan suku ke tujuh
(U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7).

27

Penyelesaian:
Menentukan suku ketujuh
Un = arn-1 maka U7 = ar6 = 3(2)6 = 3 (64) = 192
Jadi, suku ketujuhnya adalah 192.
Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya.
Untuk mempermudah perhitungan deret geometri, kamu dapat menggunakan
sifat- sifat dasar deret geometri, sebagai berikut.

Jika diketahui deret geometri :
U1 + U2 + U3 + … + Un

Maka :

U2 = U3 =
U4 = … =

Un U1 U2 U3 Un-1

Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku

deret geometri Maka :

U12 = U1 x U3

Jika Um dan Un merupakan suku dari

deret geometri Maka :
Um = Un x rm-n

Aplikasi Deret Geometri
dalam kehidupan

Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang
berhubungan dengan deret geometri. Berikut contohnya:
Contoh soal:
Dalam sebuah gedung pertemuan terdapat 25 kursi pada baris pertama dan
setiap baris berikutnya memuat 2 kursi lebih banyak didepannya. jika dalam
gedung tersebut terdapat 15 baris kursi,tentukan banyak kursi pada baris ke-
15?
Penyelesaian:
Sn = ½n [2a + (n − 1)b]

28

S15 = ½ 15 [2×23 + 14×2]
= ½ × 15 × 74
= 555

Latihan

Untuk memantapkan pemahaman Kalian terhadap materi di atas, coba
kerjakan latihan di bawah ini!
1) Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7

adalah 32. Tentukan:
a) Suku pertama dan rasio barisan geometri tersebut,
b) Suku ke-9 barisan geometri tersebut

2) Diketahui deret aritmatika: 3+7+11+15+19+ … +U10
Tentukan:
a) Suku ke-10 (U10)deret tersebut
b) Jumlah sepuluh suku pertama (S10)

3) Diketahui suatu deret aritmatika dengan suku pertama 10 dan suku ke-6 20.
Tentukan beda deret aritmatika tersebut
a) Tuliskan deret aritmatika tersebut
b) Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmatika tersebut

4) Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x-1, 2x-8, 5-x merupakan suku-suku
deret geometri

5) Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512.
Tentukan rasio(r), suku kelima (U5), dan jumlah delapan suku pertamanya
(S8)

29

Petunjuk Jawaban Latihan
1) Kalian cermati kembali barisan dan deret bilangan serta aplikasinya

dalam kehidupan sehari-hari.
2) Pendapat Kalian dapat saja berbeda-beda. Kalian dapat menerima atau

menolak pendapat tersebut dengan sejumlah argumentasi. Untuk
memudahkan Kalian mengemukakan pendapat, terlebih dahulu kaji
kembali kapan suatu masalah itu timbul pada seseorang.
3) Sebelum diskusi, ada baiknya Kalian mencermati Kurikulum Tingkat
Satuan Pendidikan Sekolah Dasar terutama yang berkaitan dengan
kompetensi yang harus dikuasai siswa Sekolah Dasar.
4) Untuk menjawab soal ini, Kalian harus memahami terlebih dahulu
pengertian soal rutin dan soal non rutin sehingga Kalian dapat
menentukan karakteristik masing-masing jenis soal tersebut.
5) Berbekal pemahaman Kalian tentang karakteristik soal rutin dan soal
non rutin yang dikaitkan dengan materi pelajaran matematika pada
setiap jenjang kelas di Sekolah Dasar, Kalian akan dapat
mengkategorikan soal pemecahan masalah pada masing- masing
tingkatan tersebut.

30

RANGKUMAN

Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmatika dan barisangeometri.
Rumus suku ke-n barisan aritmatika sebagaiberikut:

Un = a + (n – 1) b
Rumus suku ke-n barisan geometri sebagai berikut:

Un = arn-1
Deret bilangan terdiri atas deret aritmetika dan deret geometeri.
Jumlah suku ke-n deret aritmatika dinyatakan oleh rumus:

Sn = (a + Un)
Jumlah suku ke-n deret aritmatika dinyatakan oleh rumus:



31

Tes Formatif 1
Untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi ini, jawablah pertanyaan-
pertanyaan berikut.

Pilih satu jawaban yang Kalian anggap paling tepat!
1. Perhatikan gambar pola berikut!

Jika pola persegi tersebut dibuat dari batang korek api, banyaknya batang korek api
pada pola ke-7 adalah...

a. 40 b. 60
c. 84 d. 112
2. Segitiga tersebut tersusun atas batang-batang lidi. Banyak segitiga kecil pada pola
ke- 7 adalah...

a. 84 b. 49
c. 54 d. 59
3. Dua suku berikutnya dari pola: 4, 8 , 14, 22, adalah...
a. 30, 42
b. 30, 44
c. 32, 42
d. 32, 44
4. Rumus suku ke-n dari barisan 0, 3, 8, 15, … adalah …
1. n2-1
2. n2+1
3. n(n+1)
4. n(n-1)

32

5. Rumus suku ke-n dari barisan 5, 8, 11, 14, … adalah …

a. n+4

b. 2n+3

c. 3n+2

d. 5n

6. Suku ke-5 dan suku ke-8 barisan aritmetika berturut-turut 14 dan 23. Suku ke-30

barisan tersebut adalah ....

a. 89 c. 85

b. 87 d. 80

7. Dari barisan aritmetika diketahui U3 = 18 dan U7 = 38. Jumlah 24 suku pertama adalah

....

a. 786

b. 1.248

c. 1.572

d. 3.144

8. Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap

tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut

selama sepuluh tahun adalah ....

a. Rp7. 500.000,00

b. Rp8. 000.000,00

c. Rp52. 500.000,00

d. Rp55. 000.000,00

9. Jumlah semua bilangan kelipatan 7 dari 80 sampai 170 adalah...

a. 1.368 b.1.386

c. 1.638 d.1.683

10. Suatu bakteri akan membelah diri menjadi dua setiap menit. Jika banyaknya bakteri

semula ada 6, banyaknya bakteri setelah 5 menit adalah..

a. 48

b. 96

c. 192

d. 384

33

Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Apabila Kalian telah mengerjakan tes formatif, cocokkanlah jawaban Kalian dengan kunci
jawaban tes formatif yang terdapat pada bagian akhir unit ini, Kemudian hitunglah jumlah
jawaban Kalian yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Kalian terhadap materi ini.

Rumus:

Jumlah Jawaban Kalian yang Benar

Tingkat Penguasaan = x 100%

.....................

Arti tingkat penguasaan yang Kalian capai:
90% − 100% = baik sekali
80% − 89% = baik

70% − 79% = cukup

< 70% = kurang

Bila tingkat penguasaan Kalian mencapai 80% ke atas, Bagus Kalian dapat melanjutkan
dengan mempelajari materi pada unit berikutnya. Tetapi, bila tingkat penguasaan Kalian
kurang dari 80%, Kalian harus membaca kembali uraian materi BAB 1, terutama pada
bagian yang belum Kalian kuasai.

34

Kunci Jawaban Tes Formatif 1
1. D
2. A
3. D
4. A
5. C
6. A
7. C
8. C
9. C
10. C

35

Daftar pustaka

Agus, Nuniek Avianti.2007. Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional

Sukino. 2012. Three in One matematika untuk SMP/MTs kelas IX. Jakarta: Erlangga.
Siswanto. 2011. Theori and Application of Mhatematics. Medan: Tiga Serangkai.

36