PBL MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 4

Project Based Learning (PBL) Matematik Tambahan

SMK PENGKALAN TAMAN PINJI MEWAH 31500
LAHAT PERAK

JURNAL SAYA

PERNYATAAN MASALAH

Perkataan kuadratik berasal daripada perkataan quad yang bermaksud empat tetapi suatu
persamaan kuadratik melibatkan polinomial dengan kuasa tertinggi 2. Buat kajian tentang asal usul
perkataan kuadratik yang berkaitan dengan persamaan kuadratik. Hasilkan satu folio grafik tentang
kajian anda.

Ahli kumpulan : Thamutaran A/L Viwaygananthan

Mohammad Danish Iman bin Mohd Ashrof

Kelas : 4STA
Nama Guru : En. Azza Feroz bin Abdul Azih

Tandatangan

……………………...

1

1.0 PERNYATAAN MASALAH

Perkataan kuadratik berasal daripada perkataan quad yang bermaksud empat tetapi suatu
persamaan kuadratik melibatkan polinomial dengan kuasa tertinggi 2. Buat kajian tentang asal usul
perkataan kuadratik yang berkaitan dengan persamaan kuadratik. Hasilkan satu folio grafik tentang
kajian anda.

2.0 PENDAHULUAN

Saya ingin mengambil kesempatan ini untuk merakamkan setinggi-tinggi penghargaan
kepada pihak-pihak yang telah membantu saya untuk menyiapkan Project Based Learning (PBL)
matematik tambahan mengenai asal usul perkataan kuadratik yang berkaitan dengan persamaan
kuadratik.

Sehubungan dengan itu, saya ingin mengucapkan jutaan terima kasih kepada guru
matematik tambahan saya iaitu En. Azza Feroz bin Abdul Azih yang telah banyak membantu saya
menyiapkan Project Based Learning (PBL) ini. Beliau juga telah memberi tunjuk ajar dan
bimbingan kepada saya sepanjang proses membuat Project Based Learning (PBL) ini. Kesabaran
beliau amatlah saya hargai.

Ribuan terima kasih yang tidak terhingga kepada kedua ibu bapa saya yang telah
memberikan dorongan dan sokongan kepada saya dalam menyiapkan Project Based Learning
(PBL) saya dan pelajaran saya keseluruhannya. Walaupun mereka sentiasa sibuk, masa singkat
yang berkualiti dengan idea-idea bernas banyak membantu saya untuk menjalankan kajian ini.

2

3.0 PENGENALAN

3.1 Pengenalan Persamaan Kuadratik atau Quadratic Equations.

Seawal 2000 SM, tercatat pada Old Babylonion clay tablets bahawa ahli Matematik Babylon dapat
menyelesaikan pasangan persamaan kuadratik dalam bentuk :

yang mana mempunyai kesamaan dengan persamaan :

dengan p ialah hasil tambah punca dan q ialah hasil darab punca.
Dalam Sulba Sutras pada zaman India Purba sekitar 8SM, persamaan kuadratik dalam bentuk
ax2 = c dan ax2 + bx = c ditemui dengan penyelidikan geometri. Ahli Matematik Babylon (sekitar
400SM) dan ahli Matematik China (200SM) telah menyelesaikan persamaan kuadratik
menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua 'completing the square'. Walau bagaimanapun,
tiada rumus yang khusus dicipta.
Euclid, ahli Matematik Greek, menyumbang kaedah geometrik yang lebih abstrak sekitar 300SM.
Pythagoras dan Euclid menggunakan pendekatan geometri, dan telah menemui rumus umum untuk
menyelesaikan persamaan kuadratik.
Pada 628M, Brahmagupta, seorang ahli Matematik India telah mengeluarkan suatu rumus
walaupun masih bukan dalam bentuk umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik
ax2 + bx = c.
Rumus yang digunakan ialah :

3

Persamaan kuadratik terus dikaji dan dikaji. Pada abad ke-9, seorang ahli Matematik Islam dari
Persia, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, telah mencipta rumus-rumus yang berhasil dengan
nombor positif sahaja. Ideanya telah diinspirasikan daripada Brahmagupta. Al-Khwarizmi
melangkah lebih jauh dengan menyumbang penyelesaian yang sempurna untuk bentuk am
persamaan kuadratik, dan mengukuhkan hujahnya dengan bukti-bukti geometri.
Beliau juga telah menyatakan bahawa nilai pembezalayan 'discriminant' mestilah sentiasa positif.
Ini bermakna, jika nilai pembezalayan negatif, maka suatu persamaan kuadratik itu tidak
mempunyai punca. Idea ini telah disokong oleh 'Abd al-Hamid ibn Turk yang hidup sezaman
dengan beliau, dengan mendatangkan bukti melalui gambaran geometri bahawa nilai
pembezalayan tidak boleh negatif.
Walau bagaimanapun, pada abad ke-10, ahli Matematik Islam yang lain telah menerima nilai
negatif sebagai punca, dan begitu juga nombor yang tidak rasional 'irrational numbers' sebagai
punca.
Ahli Matematik Yahudi, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (abad ke-12, Sepanyol) telah mengelolakan
sebuah buku Eropah yang mencatat penyelesaian-penyelesaian bagi persamaan kuadratik.
Kebanyakan penyelesaian yang dilakukan olehnya adalah berasaskan idea Al-Khwarizmi.
Pada 1545, Gerolamo Cardano menjayakan lagi persamaan kuadratik ini dengan
mengumpulkannya dalam sebuah buku. Pada 1637, René Descartes telah menerbitkan sebuah
buku, La Géométrie yang mempunyai rumus penyelesaian persamaan kuadratik. Rumus tersebut
merupakan apa yang telah kita ketahui pada hari ini.

4

4.0 HASIL DAPATAN

4.1 Persamaan Kuadratik

Dalam algebra, persamaan kuadratik (dari quadratus Latin untuk "persegi") adalah sebarang
persamaan yang dapat disusun semula dalam bentuk standard sebagai

mana x mewakili anu, dan a, b, dan c mewakili nombor yang diketahui, di mana a ≠ 0. Sekiranya a
= 0, maka persamaannya adalah linear, bukan kuadratik, kerana tidak ada istilah. Nombor a,
b, dan c adalah pekali persamaan dan boleh dibezakan dengan gelaran pekali kuadratik, pekali
linear dan pemalar.

Nilai x yang memenuhi persamaan disebut penyelesaian persamaan, dan punca atau pensifar
ungkapan di sebelah kiri. Persamaan kuadratik mempunyai paling banyak pun dua penyelesaian.
Sekiranya tidak ada penyelesaian sebenar, ada dua penyelesaian yang kompleks. Sekiranya hanya
ada satu penyelesaian, ia dikatakan bahawa punca ganda. Persamaan kuadratik selalu mempunyai
dua akar, jika akar kompleks disertakan dan akar berganda dikira untuk dua. Persamaan kuadratik
boleh difaktorkan menjadi persamaan yang setara

di mana r dan s adalah penyelesaian untuk x. Melengkapkan kuasa dua pada persamaan kuadratik
dalam bentuk piawai menghasilkan rumus kuadratik, yang menyatakan penyelesaian dari segi a, b,
dan c. Penyelesaian terhadap masalah yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadratik
telah diketahui seawal tahun 2000 SM.
Kerana persamaan kuadratik hanya melibatkan satu anu yang tidak diketahui, ia disebut
"univariat". Persamaan kuadratik hanya mengandungi kuasa x yang merupakan integer bukan
negatif, dan oleh itu ia juga adalah persamaan polinomial. Khususnya, ini adalah persamaan
polinomial darjah kedua, kerana kekuatan terbesar adalah dua.

5

4.2 Funsi Kuadratik

Dalam algebra, fungsi kuadratik, polinomial kuadratik, polinomial darjah 2, atau kuadratik sahaja
adalah suatu fungsi polinomial dalam satu atau lebih banyak pemboleh ubah di mana sebutan
tertingginya ialah darjah kedua. Contohnya, suatu fungsi kuadratik dengan tiga pemboleh ubah x,
y, dan z secara eksklusif mengandungi sebutan x2, y2, z2, xy, xz, yz, x, y, z, dan satu pemalar:

dengan sekurang-kurangnya satu pekali a, b, c, d, e, atau f daripada sebutan darjah kedua adalah
bukan sifar.
Suatu fungsi kuadratik univariat (pemboleh ubah tunggal) mempunyai bentuk

dalam pemboleh ubah tunggal x. Graf bagi suatu fungsi kuadratik univariat merupakan parabola di
mana paksi simetrinya adalah selari dengan paksi-y, seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan.
Jika fungsi kuadratik ditetapkan sama dengan sifar, maka hasilnya adalah persamaan kuadratik.
Penyelesaian kepada persamaan univariat dipanggil punca fungsi univariat.
Kes bivariat dari segi pemboleh ubah x dan y mempunyai bentuk

dengan sekurang-kurangnya salah satu a, b, c tidak sama dengan sifar, dan suatu persamaan
menetapkan fungsi ini sama dengan sifar menimbulkan keratan kerucut (suatu bulatan atau elips
lain, parabola, atau hiperbola).

6

4.3 Rumus Kuadratik

Dalam algebra asas, rumus kuadratik ialah rumus yang memberikan penyelesaian kepada
persamaan kuadratik. Terdapat kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan
bukannya menggunakan rumus kuadratik, seperti pemfaktoran (pemfaktoran langsung,
pengelompokan, kaedah AC), melengkapkan kuasa dua, grafik dan lain-lain.
Diberi persamaan kuadratik umum bentuk

Dengan x mewakili yang tidak diketahui, a, b and c mewakili pemalar dengan a ≠ 0, rumus
kuadratik ialah:

di mana simbol tambah-tolak "±" menunjukkan bahawa persamaan kuadratik mempunyai dua
penyelesaian. Ditulis secara berasingan, mereka menjadi:

Setiap dua penyelesaian ini juga disebut punca persamaan kuadratik. Secara geometri, punca ini
mewakili nilai x bagi mana-mana parabola, yang secara jelas diberikan sebagai y = ax2 + bx + c,
melintasi paksi x.
Selain sebagai rumus yang menghasilkan pensifar dari setiap parabola, rumus kuadratik juga dapat
digunakan untuk mengenal pasti paksi simetri parabola, dan bilangan pensifar nyata yang terdapat
dalam persamaan kuadratik.

7

5.0 RUMUSAN

Kaedah paling awal untuk menyelesaikan persamaan kuadratik adalah geometri. Tablet kuneiform
Babylon mengandungi masalah yang dapat dikurangkan untuk menyelesaikan persamaan
kuadratik. Papirus Berlin Mesir, yang berasal dari Kerajaan Tengah (2050 SM hingga 1650 SM),
mengandungi penyelesaian untuk persamaan kuadratik dua istilah.
Ahli matematik Yunani Euclid (sekitar 300 SM) menggunakan kaedah geometri untuk
menyelesaikan persamaan kuadratik dalam Buku 2 Elemen, sebuah risalah matematik yang
berpengaruh. Hukum untuk persamaan kuadratik muncul dalam Bahasa Cina Sembilan Bab
mengenai Seni Matematik sekitar tahun 200 SM. Dalam Arithmetica, ahli matematik Yunani
Diophantus (sekitar tahun 250 M) menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah algebra
yang lebih dikenali daripada algebra geometri Euclid. Penyelesaiannya hanya memberikan satu
punca yang sama, walaupun kedua-dua puncanya positif.

Ahli matematik India Brahmagupta (597-668 M) secara terang-terangan menerangkan rumus
kuadratik dalam risalahnya Brāhmasphuṭasiddhānta yang diterbitkan pada tahun 628 Masihi, tetapi
ditulis dengan kata-kata dan bukannya simbol. Penyelesaiannya bagi persamaan kuadratik
ax2 + bx = c adalah seperti berikut: "Untuk nombor mutlak dikalikan dengan empat kali ganda
[pekali bagi] kuasa dua, tambahkan kuasa dua [pekali bagi] sebutan yang tengah; punca kuasakan
yang sama, kurangkan [pekali bagi] sebutan yang tengah, dibahagi dua kali ganda [pekali] kuasa
dua adalah nilainya. " Ini bersamaan dengan:

Ahli matematik Parsi abad ke-9 Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī menyelesaikan persamaan
kuadratik secara algebra. Rumus kuadratik yang merangkumi semua kes pertama kali diperoleh
oleh Simon Stevin pada tahun 1594. Pada tahun 1637 René Descartes menerbitkan La Géométrie
yang mengandungi kes khas rumus kuadratik dalam bentuk yang kita kenal sekarang.

8

LAMPIRAN

SUMBER RUJUKAN

1. BUKU
TAJUK : BUKU TEKS MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 4
NAMA PENULIS : Dr. Wong Mee Kiong

Zaini bin Musa
Azizah binti Kamar
Saripah binti Ahmad
Nurbaiti binti Ahmad Zaki
Zefry Hanif bin Burham@Borhan

TAHUN TERBIT : 2019
PENERBIT : PAN ASIA PUBLICATIONS SDN. BHD.

2. INTERNET

https://ms.wikipedia.org/wiki/Persamaan_kuadratik

https://ms.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kuadratik

https://ms.wikipedia.org/wiki/Rumus_kuadratik

http://mudah-addmath.blogspot.com/2012/12/bab-2-persamaan-kuadratik.html

9

10

Tandatangan Guru
…………………………

( En. Azza Feroz bin Abdul Azih )
MARKAH :

11