BARISAN & DERET

MODUL 4

BARISAN
&

DERET

A. POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET

1. Pola Bilangan
Pola bilangan adalah salah satu cara menunjukkan aturan suatu barisan bilangan.
a. Pola Bilangan Ganjil dan Bilangan Genap
1) Pola Bilangan Ganjil
Bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan dua. Dalam hal ini karena
pembahasan hanya pada himpunan bagian dari bilangan asli, maka anggota dari himpunan bilangan asli ganjil
adalah {1, 3, 5, 7, 9, … }.
Secara umum, rumus mencari suku ke- dan jumlah suku sebagai berikut:

= −
=

Contoh Soal:
Beberapa banyaknya bilangan asli yang pertama yang jumlahnya 144?
Jawab:
Jumlah dari bilangan asli ganjil yang pertama = 2.
Sehingga:
⇔ 144 = 2
⟺ 2 = 12,
⟺ = −12 ( ℎ )
Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12.
2) Pola Bilangan Genap
Selain bilangan ganjil, yang termasuk himpunan bagian bilagan asli adalah bilagan genap, yaitu {2, 4, 6, 8, … }.
Secara umum, rumus mencari suku ke- dan jumlah suku sebagai berikut:

=
= +n atau = ( + )

Contoh Soal:
Tentukan jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama.
Jawab:
Delapan bilangan asli genap yang pertama adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.
= 8
Jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama = ( + 1)

= 8(8 + 1)
= 72
Jadi, jumlah 8 bilangan asli genap yang pertama 72.

b. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
Rumus mencari jumlah baris ke- adalah 2 − 1. Gambar pola bilangan segitiga pascal adalah sebagai berikut:

1
11

121

1331

14641

1 5 10 10 5 1

dan seterusnya.
Contoh Soal:
Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada baris ke-10.
Jawab:
Jumlah bilagan adalah = 2 −1

= 210−1
= 29
= 512
Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah 512.

2. Barisan
Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu. Secara umum, barisan
bilangan dapat ditulis sebagai berikut:

, , , … ,

dengan: 1 = − 1
2 = − 2
3 = − 3
= −

Contoh Soal:
Tentukan suku ke-30 dari barisan bilangan 4, 9, 16, 25, ….
Jawab:
1 = 4 = 22 = (1 + 1)2
2 = 9 = 32 = (2 + 1)2
3 = 16 = 42 = (3 + 1)2
4 = 25 = 52 = (4 + 1)2

Berdasarkan aturan pembentukan barisan bilangan terlihat bahwa pangkat selalu 2, sedangkan bilangan pokoknya
adalah urutan suku ditambah 1, maka:
= ( + 1)2
Jadi, 30 = (30 + 1)2 = 312 = 961

3. Deret
Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan. Jika 1, 2, 3, … , merupakan barisan
bilangan, deret bilangan didefiniskan sebagai berikut:

+ + + … +

Contoh Soal:
Suatu deret bilangan memiliki jumlah suku yang pertama dinyatakan dengan rumus = 3 2 + 4 + 7. Tentukan:
a. Jumlah 5 suku yang pertama,
b. Rumus suku ke- .
Jawab:
a. Dari = 3 2 + 4 + 7, jumlah 5 suku yang pertama:

5 = 3(5)2 + 4(5) + 7
= 102

b. Untuk menentukan rumus suku ke- jika diketahui digunakan hubungan antara dan , yaitu:
= − ( −1)
= {3 2 + 4 + 7} − {3( − 1)2 + 4( − 1) + 7}
= {3 2 + 4 + 7} − {3 2 − 6 + 3 + 4 − 4 + 7}
= {3 2 + 4 + 7} − {3 2 − 2 + 6}
= 3 2 − 3 2 + 4 + 2 + 1
= + (dengan syarat > 1, untuk menentukan 1, digunakan 1 = 1.

Latihan Soal 1

1. Tentukan rumus suku ke- untuk barisan bilangan berikut.

a. 3, 4, 5, 6, … c. 9, 14, 19, 24, …

b. 0, 3, 6, 9, … d. 2, 6, 18, 54, …

2. Perhatikan barisan 4, 1, −2, −5, ….

a. Tentukan pola atau aturan dari barisan tersebut.

b. Tentukan bilangan ke-20.

3. Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan dengan rumus berikut:

a. = 2 2 − − 2 c. = ( + 1)3 + 3
b. = 3 + 7

4. Suku ketiga sebuah barisan adalah 20. Nilai setiap suku adalah 3 lebih besar dari suku sebelumnya. Tentukan:

a. Lima suku pertamanya, c. Suku ke – 90.

b. Rumus suku ke− ,

5. Suku pertama sebuah barisan adalah 40. Nilai setiap suku adalah 5 lebih kecil dari suku sebelumnya. Tentukan:

a. Rumus suku ke – ,

b. Suku ke – 100.

B. NOTASI SIGMA

1. Pengertian Notasi Sigma
Notasi sigma yaitu huruf besar Yunani untuk dari perkataan ”sum” yang berarti jumlah. Suatu cara untuk menuliskan

penjumlahan beruntun secara singkat ialah dengan menggunakan tanda  (dibaca sigma) dan dinamakan ”tanda
sigma”.
Dengan menggunakan tanda sigma, maka penjumlahan beruntun sepuluh bilangan asli pertama dapat disingkat sebagai

berikut:

10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ∑

=1

Bilangan 1 disebut batas bawah dan bilangan sepuluh disebut batas atas.

Bentuk lain, misalnya:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13.
Penjumlahan tersebut ditulis sebagai:

 1 = (2(1) − 1)  9 = (2(5) − 1)

 3 = (2(2) − 1)  11 = (2(6) − 1)

 5 = (2(3) − 1)  13 = (2(7) − 1)

 7 = (2(4) − 1)
Tiap suku dalam penjumlahan berurutan tersebut dapat ditulis sebagai ( − ) untuk berturut-turut disubstitusikan
dari 1 sampai dengan 7. Dalam notasi sigma dapat disingkat sebagai berikut:

7

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = ∑(2 − 1)

=1

Dengan cara yang sama maka:

dimana, 1 = suku ke − 1
2 = suku ke − 2, dan seterusnya
= suku ke −

Contoh Soal:
1) Tuliskan bentuk notasi sigma berikut ke dalam bentuk penjumlahan beruntun dan kemudian hitunglah jumlahnya.

a. c.

b.
Jawab:

a. = (5.1) + (5.2) + (5.3) + (5.4) + (5.5) = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75

b. = 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 20+15+12 = 47

1+2 2+2 3+2 3 4 5 60 60

c. = 21 + 22 + 23 = 2 + 4 + 8 = 14
2) Nyatakan tiap penjumlahan beruntun berikut dengan notasi sigma.

a. 1 + 1 + 1 + 1 + 1

2345

b. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18
Jawab:

a. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =

2 3 4 5 0+1 1+1 2+1 3+1 4+1

b. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18

= (3.1) + (3.2) + (3.3) + (3.4) + (3.5) + (3.6) =

2. Kaidah-Kaidah Notasi Sigma
Bentuk penjumlahan yang dituliskan dengan notasi sigma memiliki beberapa kaidah sebagai berikut:
Misalkan dan merupakan suku ke- dan suatu konstanta.
K–1

K–2

K–3

K–4
K–5

Latihan Soal 2

1. Tuliskan jumlah berikut dengan lengkap.

a. c.

b.
2. Nyatakan tiap penjumlahan beruntun di bawah ini dengan menggunakan notasi sigma.

a. 3 + 10 + 17 + 24 + 31 + 38
b. 3 + 5 + 9 + 17 + 33
c. 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + 37
3. Dengan menggunakan penjumlahan beruntun, buktikan bahwa:

a.

b.

c.

C. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1. Barisan Aritmetika

Jika terdapa suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada barisan, yaitu selisih antara dua suku yang berurutan

selalu tetap (konstan), maka barisan bilangan itu disebut barisan aritmetika.

Jika suku pertama ( ) dinyatakan dengan , selisih (beda) antara dua suku berurutan diberi notasi , dan suku

barisan ke – dilambangkan dengan , maka bentuk umum barisan aritmetika adalah sebagai berikut:

1 = = + 0. = + (1 − 1)

2 = 1 + = + = + 1. = + (2 − 1)

3 = 2 + = ( + ) + = + 2. = + (3 − 1)
4 = 3 + = ( + 2 ) + = + 3. = + (4 − 1)

Rumus suku ke – barisan aritmetika

= + ( − )

Dimana: = −
= ( − − )
=
=

Contoh Soal:
1. Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke- , dan suku ke–10 dari barisan berikut.

a. 5, 10, 15, 20, …
b. 2, −1, −4, −7, …
Jawab:
a. Suku pertama ( 1) = = 5

Beda ( ) = 2 − 1 = 3 − 2 = 5
Rumus suku ke- ( ) = + ( − 1) = 5 + ( − 1). 5 = 5 + 5 − 5 = 5
Suku ke – 10 ( 10) = 5(10) = 50

b. Suku pertama ( 1) = = 2
Beda ( ) = 2 − 1 = 3 − 2 = −3
Rumus suku ke- ( ) = + ( − 1) = 2 + ( − 1) (−3) = 2 − 3 + 3 = −3 + 5
Suku ke – 10 ( 10) = −3(10) + 5 = −25

2. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang, pada tahun-tahun berikutnya produksi turun
secara bertahap sebesar 80 unit per tahun. Pada tahun ke berapa perusahaan tersebut memproduksi 3.000 unit
barang?
Jawab:
Penurunan produksi bernilai tetap, berarti merupakan persoalan barisan aritmetika dengan beda ( ) = −80,
= 5.000, = 3.000, sehingga
= + ( − 1)
3.000 = 5.000 + ( − 1)(−80)
3.000 = 5.000 − 80 + 80
80 = 2.000 + 80
= 2.080 = 26

80

Jadi, perusahaan memproduksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke – 26.

3. Untuk membuat ulir disediakan roda gigi pengganti. Banyak roda gigi masing-masing membentuk barisan aritmetika
yaitu 20, 25, 30, … , 120. Tentukan banyak roda gigi yang disediakan!
Jawab:
= 20, = 25 − 20 = 5
= + ( − 1) ⇔ = 20 + ( − 1)(5)
⇔ 120 = 20 + 5 − 5
⇔ 5 = 105
⇔ = 21
Jadi, roda gigi yang disediakan sebanyak 21 buah.

4. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke – 4 = 17 dan suku ke – 9 = 37. Tentukan suku ke – 41!
Penyelesaian:
Suku ke  4 ( 4) = 17 ⟺ + (4 − 1) = 17
+ 3 = 17 ….. ①

Suku ke  9 ( 9) = 37 ⟺ + (9 − 1) = 37
+ 8 = 37 …… ②

Eleminasi persamaan ① dan ② menjadi:

+ 3 = 17
+ 8 = 37

−5 = −20
= 4

Substitusikan = 4 ke persamaan ① menjadi:

+ 3(4) = 17 ⇔ + 12 = 17
⇔ = 5

= + ( − 1) = 5 + ( − 1) 4 = 5 + 4 − 4 = 4 + 1
41 = 4(41) + 1 = 165
Jadi, suku ke – 41 adalah 165.

2. Deret Aritmetika (Deret Hitung)
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa penjumlahan berurut suku-suku dari suatu barisan disebut deret.
Contoh:

 2+4+6+8+⋯

 3 + 7 + 11 + 15 + ⋯

 1+1+0−1−⋯
24 4

Bentuk umum deret dinyatakan sebagai: + + + ⋯ + .

Deret aritmetika adalah suatu barisan aritmetika yang suku-sukunya dijumlahkan. Apabila jumla suku barisan
aritmetika yang berurutan dinyatakan sebagai , maka:

= 1 + 2 + 3 + ⋯ + −1 +
= + ( + ) + ( + 2 ) + ⋯ + ( + ( − 1) ) …... ①
Jika urutan penulisan suku-suku dibalik, maka diperoleh:
= + ( − ) + ( − 2 ) + ⋯ + ( + ) + ….. ②

Dengan menjumlahkan persamaan ① dan ② diperoleh:

2 = ( + ) + ( + ) + ( + )+. . . +( + )

sebanyak suku

⟺ 2 = ( + )

⟺ = 1 ( + )
2

Jadi, secara umum jumlah suku pertama dari deret aritmetika dapat dinyatakan dengan rumus berikut.


= ( + )

atau


= ( + ( − ) )

dengan : jumlah suku pertama
: suku ke-
: suku pertama

: beda

: banyak suku

Untuk setiap berlaku:

= − −

Contoh Soal:

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika: 11 + 16 + 21 + ⋯
Jawab:

= 1 = 11
= 16 − 11 = 21 − 16 = 5

= 10

= 1 (2 + ( − 1) )
2

10 = 1 (10)(2(11) + (10 − 1)5) = 5(22 + 45) = 335
2

2. Diketahui deret aritmetika: 2 + 5 + 8 + 11 + ⋯
Tentukan:

a. Rumus suku ke- ( ),
b. Rumus jumlah suku pertama ( ),
c. Jumlah 20 suku pertama ( 20).
Jawab:

= 1 = 2

= 5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 3

a. = + ( − 1) = 2 + ( − 1) 3 = 3 − 1

b. = 1 ( + ) = 1 (2 + (3 − 1)) = 1 (1 + 3 ) = +
2 2 2

c. 20 = 20 + 3(20)2 = 10 + 600 = 610
2 2

3. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikkan sebesar Rp 50.000,00. Jika gaji pertama karyawan tersebut adalah
Rp 1.000.000,00, tentukan jumlah gaji selama satu tahun pertama.
Jawab:

= 1.000.000

= 50.000

= 1 ℎ = 12

=1 (12)(2(1.000.000) + (12 − 1)(50.000)

2

= 6 (2.000.000 + 11(50.000))

= 6 (2.550.000)

= 15.300.000
Jadi, jumlah gaji karyawan tersebut selama setahun adalah Rp 15.300.000,00.

Latihan Soal 3

1. Tentukan lima suku pertama dari masing-masing barisan aritmetika berikut, jika diketahui:
a. = 8 dan = 3
b. = −7 dan = 2,5
c. = 1 dan = 2

23

2. Tentukan banyaknya suku barisan aritmetika berikut jika diketahui:
a. = 19, = −5, dan = −41
b. = −2, = 7, dan = 138
c. = 6, = 4, dan = 58

3. Diketahui barisan: 7, 11, 15, 19, 23, …
a. Tentukan rumus suku ke–

b. Berapakah suku ke-50?

c. Suku ke berapakah yang nilainya 432?

4. Tentukanlah rumus suku ke– dan suku ke-10 dari barisan berikut.

a. 0, 3 , 7 , 11 , 15 , …

22 2 2

b. 4, 7, 10, 13, …

c. 4, 9, 16, 25, …

5. Tentukan suku ke-20 dan jumlah 10 suku pertama dari tiap barisan aritmetika di bawah ini.

a. 2, 8, 14, 20, …

b. −6, −3, 0, 3, …

c. 2 1 , 3, 3 1 , 4, …

22

6. Diketahui rumus suku ke – barisan aritmetika adalah = 4 − 3. Tentukan suku ke–13 dan suku ke–17.
7. Diketahui barisan aritmetika dengan 8 = 19 dan 15 + 18 = 72. Tentukan rumus suku ke– barisan itu.
8. Diketahui deret aritmetika dengan = 1.000, = 420, dan = 110. Tentukan suku pertama dan banyaknya suku

deret itu.

9. Tentukan rumus suku ke– pada tiap deret artimetika di bawah ini, jika diketahui:

a. = 2 2 + 7

b. = 1 2

2

10. Jumlah deret aritmetika 3 + 5 + 7 + 9 + ⋯ adalah 1.763.

a. Berapakah banyak suku deret aritmetika?

b. Tentukan suku terakhir deret aritmetika tersebut.

11. Dari sebuah deret aritmetika, diketahui suku ketahui suku ketiganya adalah 14, sedangkan jumlah suku ke-4 dan ke-7

sama dengan 53. Tentukan rumus ke– dan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.

12. Jumlah suku kedua dengan suku kesepuluh dari deret aritmetika sama dengan 28. Jumlah suku keempat dengan suku

kelima adalah 16. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 50?

13. Dari seluruh gaji yang diterimanya setiap bulan, Yudha selalu menyisihkan sebagian untuk ditabung. Pada awalnya ia

menabung sebesar Rp 500.000,00 dan setiap bulan berikutnya ia menambah Rp 10.000,00 lebih besar dari tabungan

sebelumnya. Berapa besar uang yang ditabung Yudha setelah 3 tahun?

14. Seorang petani memetik buah kopi setiap hari dengan mencatatnya. Ternyata, massa buah kopi yang dipetik (dalam kg)

pada hari ke– memenuhi = 20 + 15 . Tentukanlah total massa buah kopi yang dipetik selama 3 minggu pertama!
15. Keuntungan yang diperoleh Pak Karta semakin bertambah setiap bulannya dengan jumlah yang sama. Apabila keuntungan

sampai bulang ke-3 adalah Rp 480.000,00 dang keuntungan sampai bulan ke-12 adalah Rp 2.568.000,00, tentukan

keuntungan yang diperoleh sampai tahun ke-3!

D. BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1. Barisan Geometri
Perhatikan contoh barisan bilangan di bawah ini.
a. 2, 7, 12, 17, 22, …
b. 2, 4, 8, 16, 32, …
Apa perbedaan antara kedua barisan itu pada bagian a, terlihat bahwa suku-suku barisan berubah secara tetap karena
operasi penjumlahan, yaitu ditambahkan dengan 5 untuk tiap suku berikutnya. Barisan ini disebut barisan aritmetika.
Pada bagian b, terilhat bahwa tiap suku barisan berubah pula secara tetap karena operasi perkalian, yaitu dikalikan
dengan 2 untuk tiap suku berikutnya. Barisan ini disebut barisan geometri. Jadi, barisan geometri adalah suatu barisan
bilangan yang tiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap ( = ).
Apabila diketahui barisan bilangan:

, , , … ,

Nilai diperoleh dari:

= = = = ⋯ =
−

Dimana merupakan bilangan konstan.
Bentuk umum barisan geometri dengan suku pertama dan rasio adalah sebagai berikut.

1 = = 0 = 1−1
2 = 1 = 1 = 2−1
3 = 2 = 2 = 3−1
4 = 3 = 3 = 4−1

Rumus suku ke–n barisan
geometri

= ( − )

Dengan, = −
= 1 =
=
=

Contoh Soal:
1. Diketahui barisan geometri: 2, 4, 8, 16, …

Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke– , dan suku ke-7.
Jawab:
Suku pertama ( 1) = = 2
Rasio ( ) = 2 = 3 = 2

1 2

Rumus suku ke– :
= ( −1) = (2). (2)( −1) = 21+ −1 = 2
Suku ke-7 ( 7) = (2)7 = 128

2. Diketahui barisan geometri: 27, 9, 3, 1, …

Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku ke– , dan suku ke-6.

Jawab:

Suku pertama ( 1) = = 27
Rasio ( ) = 2 = 3 = 1

1 2 3

Rumus suku ke– :

= ( −1) = (27). (1)( −1) = (3)3 . (3−1)( −1) = 33− +1 = 34−

3

Suku ke-6 ( 6) = (3)4−6 = 3−2 = 1
9

3. Perencana mesin perkakas memerlukan empat roda gigi A, B, C, dan D yang satu sama lain merupakan penggerak
dan yang digerakkan. Roda gigi tersebut diletakkan berurutan dan putaran roda giginya membentuk barisan
geometri. Tentukan berapa putaran/menit roda gigi D apabila diketahui putaran roda gigi = 30 putaran/menit dan
= 60 putaran/menit.
Jawab:
Barisan geometri: 30, 60, …
= 30, = 60 = 2

30

= −1
4 = 30 . (2)4−1 = 30(2)3 = 30(8) = 240
Jadi, putaran roda gigi D adalah 240 putaran/menit.

2. Deret Geometri (Deret Ukur)
Penjumlahan suku-suku dari barisan geometri yang berurutan disebut deret geometri. Seperti pada deret aritmetika,
deret geometri juga dinyatakan dengan , yaitu:
= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ +
= + + 2 + 3 + ⋯ + −1 ……. ①

Jika persamaan ① dikalikan dengan , maka diperoleh:

= + + 2 + 3 + ⋯ + −1 + ….… ②

Dengan mengurangakan persamaan ① dan ② diperoleh:

= + + 2 + 3 + ⋯ + −1
= + + 2 + 3 + ⋯ + −1 +
− = −
(1 − ) = (1 − )

Sehingga, untuk < 1, disebut dengan deret geometri konvergen (deret turun), berlaku:

( − )
= −

Dan untuk > 1, disebut dengan deret geometri divergen (deret naik), berlaku:

( − )
= −

Dimana, = jumlah suku pertama.

Contoh Soal:

1. Tentukanlah rasio, suku ke-10, dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut ini.

a. 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯

b. 2 + 1 + 1 + 1 + ⋯

24

Jawab:

a. = 1 = 3

= 2 = 3 = 2 { > 1 ( )}

1 2

= . −1

10 = (3) . (2)(10−1) = (3) . (2)9 = (3) . (512) = 1.536

= ( −1)
−1

10 = (3) .(210−1) = (3) . (1024 − 1) = 3.069
2−1

Jadi, = 2, 10 = 1.536, dan 10 = 3.069.

b. = 1 = 2

= 2 = 3 = 1 { < 1 ( )}

1 2 2

= . −1

10 = (2) . (1)(10−1) = (2) . (1)9 = (2) .( 1 ) = 1
256
2 2 512

= (1− )
1−

10 = (2) .(1−(12)10) = (2) .(1−1.0124) = 4 . (1.023) = 3,996
1−12
1 1.024

2

Jadi, = 1, 10 = 1, dan 10 = 3,996.

2 256

2. Suatu deret geometri dinyatakan sebagai berikut: 2 + 22 + 23 + 24 + ⋯ + 2 = 510. Carilah nilai .
Jawab:
= 1 = 2
= 2

= 510

= ( −1)
−1

⇔ 510 = 2(2 −1)

2−1

⇔ 510 = 2 +1 − 2

⇔ 512 = 2 +1

⇔ 29 = 2 +1

⇔ + 1 = 9

⇔ = 8
Jadi, = 8

Latihan Soal 4

1. Tuliskan lima suku pertama dari barisan geometri berikut, jika diketahui:

a. = −2, = 2 c. = 8, = 1

2

b. = 1 , = 1 d. = 128, = 1

23 2

2. Tentukan rumus suku ke– dari barisan geometri berikut.

a. 3, 9, 27, 81, … c. 3 , 3 , 3, 6, …

42

b. 1 , 1 , 1 , 1 , … d. 2, 3, 9 , 27 , …

2 6 18 54 24

3. Tentukan suku ke-10 dan ke-15 dari tiap barisan geometri di bawah ini.

a. 16, 8, 4, 2, … c. −2, 1, − 1 , 1 , …
b. 128, −64, 32, −16, …
24

d. 8, −20, 50, −125, …

4. Dari suatu barisan geometri diketahui:

a. = 2, = 3, tentukan suku ke-20.

b. = √20, = √3, tentukan suku ke-16.

5. Jika suku pertama suatu barisan geometri adalah 16 dan suku ketiga adalah 36, hitunglah besar suku kelima.

6. Diketahui barisan geometri dengan = 4 dan 5 = 324. Tentukan rasio, rumus suku ke– , dan jumlah 5 suku pertama
barisan tersebut.

7. Dalam barisan geometri diketahui 1 + 6 = 244 dan 3 . 4 = 243. Tentukan nilai !
8. Dalam sebuah barisan geometri diketahui 2 = 6 dan 4 = 30. Hitunglaah nilai dari 10.
9. Hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometri, jika diketahui 3 = 48 dan 6 = 42.
10. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian. Panjang keenam potong tali itu membentuk suatu deret geometri. Jika panjang

potongan tali yang terpendek 3 cm dan yang terpanjang 96 cm, tentukan panjang tali semula.

E. APLIKASI BARISAN

1. Pertumbuhan
Pertumbuhan, yaitu bertambahnya jumlah/nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmetika atau geometri. Contohnya
perkembanganbiakan bakteri dan pertumbuhan pendudukan.
Rumus pertumbuhan aritmetika:

= ( + ) atau = +

dengan: = jumlah/nilai suatu objek setelah waktu
0 = jumlah/nilai suatu objek mula-mula
= persentase pertumbuhan
= nilai beda pertumbuhan
= jangka waktu pertumbuhan

Rumus pertumbuhan geometri:

= ( + ) atau = .
dengan: = jumlah/nilai suatu objek setelah waktu

0 = jumlah/nilai suatu objek mula-mula
= persentase pertumbuhan
= rasio pertumbuhan ( > 1)
= jangka waktu pertumbuhan
Contoh Soal:
Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 2015, tingkat pertumbuhan 4% per tahun. Hitunglah jumlah
penduduk kota tersebut pada tahun 2025.
Jawab:
Periode waktu: 2025 − 2015 = 10 ℎ
= 0(1 + )
= 100.000 (1 + 0,04)10
= 100.000 (1,04)10
= 100.000 (1,48024) = 148.024
Jadi, jumlah penduduk pada tahun 2025 adalah 148.024 jiwa.

2. Peluruhan
Peluruhan, yaitu berkurangnya jumlah/nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmetika atau geometri. Contohnya,
penurunan nilai jual mobil.
Rumus perluruhan aritmetika:

= ( − ) atau = −

dengan: = jumlah/nilai suatu objek setelah waktu
0 = jumlah/nilai suatu objek mula-mula

= persentase peluruhan
= nilai beda peluruhan
= jangka waktu peluruhan
Rumus peluruhan geometri:

= ( − ) atau = .

dengan: = jumlah/nilai suatu objek setelah waktu
0 = jumlah/nilai suatu objek mula-mula
= persentase peluruhan
= rasio peluruhan ( > 1)
= jangka waktu peluruhan

Contoh Soal:
Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 200.000.000,00. Jika setiap tahun mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun
sebelumnya, tentukan harga mobil itu setelah dipakai selama 5 tahun.
Jawab:
= 0(1 − )

= 200.000.000 (1 − 0,20)10
= 200.000.000 (0,80)5
= 200.000.000 (0,32768) = 65.536.000
Jadi, harga mobil itu setelah dipakai selama 5 tahun adalah Rp 65.536.000,00.

3. Bunga Majemuk
Sebuah modal M ditabung di bank dengan suku bunga amajemuk p% tiap tahun. Pada akhir tiap tahun, modalnya akan
bertambah, yaitu modal dan unga. Jika bunga ini tidak diambil, pada tahun berikutnya bunga ini akan digabungkan
dengan modal dan akan berbunga lagi. Begitu seterusnya sehingga proses ini dikenal dengan istilah bunga berbunga
atau disebut dengan bunga majemuk.
a. Menghitung Nilai Akhir Modal
Suatu modal M dibungakan atas dasar bunga majemuk (i) setahun, besarnya modal setelah n tahun dirumuskan
sebagai berikut.

= ( + )

dengan: = nilai akhir modal
= modal awal
= suku bunga majemuk
= jangka waktu

Contoh Soal:
Modal sebesar Rp 2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 2% per bulan. Tentukan besar modal
akhir setelah 1 tahun.
Jawab:

= 2.000.000
= 2% = 0,02
= 1 ℎ = 12
= (1 + 1)

= 2.000.000 (1 + 0,02)12
= 2.000.000 (1,2682)
= 2.536.400
Jadi, besar modal akhirnya adalah Rp 2.536.400,00.

b. Menghitung Nilai Akhir dengan Masa Bunga Pecahan
Jangka waktu proses berbunganya suatu modal tidak hanya merupakan bilangan bulat. Berdasarkan rumus =
(1 + 1) hanya berlaku untuk anggota bilangan bulat, sedangkan untuk anggota bilangan pecahan digunakan rumus
sebagai berikut.

= × ( + ) × ( + × )


dengan: = masa bunga pecahan



= masa bunga bulat

Contoh Soal:

Modal sebesar Rp 3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4% setahun. Hitung besar modal setelah

2 tahun 6 bulan.

Jawab:

= 3.000.000

= 4% = 0,04 ℎ

= 2 ℎ 6 = (2 + 6 ) ℎ = 2 1 ℎ

12 2

= × (1 + ) × (1 + × )


= 3.000.000 × (1,04)2 × (1 + 1 × 0,04)

2

= 3.000.000 × 1,0816 × (1 + 0,02)

= 3.309.696
Jadi, besar modal setelah 2 tahun 6 bulan adalah Rp 3.309.696,00.

c. Menghitung Nilai Tunai Bunga Majemuk

Apabila dalam periode seseorang harus melunasi pnjamannya sebesar M dengan perhitungan suku bunga % per periode

dan ternyata orang tersebut mampu untuk melunasi hutangnya, sekarang maka dikatakan orang tersebut membayar dengan

tunai.
( + )
=

dengan: = modal pada permulaan perhitungan yang disebut nilai tunai
= modal setelah jangka waktu selanjutnya ditulis dengan M

Sehingga diperoleh rumus nilai tunai sebagai berikut.


= ( + )

d. Menghitung Nilai Bunga Majemuk dengan Masa Bunga Pecahan
Dalam perhitungan modal pada sebuah bank tidak hanya berlaku untuk masa yang bulat saja, tetapi bisa juga terjadi masanya
pecahan, misalnya 2 tahun 2 bulan, 6 bulan 10 hari. Oleh karena itu, di dalam menentukan nilai tunai modal digunakan cara
sebagai berikut.


= × ×
( + ) ( + × )


dengan: = masa bunga bilangan pecahan



= masa bunga bilangan bulat
Contoh Soal:

Sebuah modal Rp 8.000.000,00 dibungakan selama 3 tahun 4 bulan dengan suku bungan majemuk 6% per tahun.

Tentukan nilai tunai modal tersebut.

Jawab:

= 8.000.000

= 6% = 0,06 ℎ

= 3 ℎ 4 = (2 + 1) ℎ = 3 1 ℎ

33

= × 1 × 1
(1+ ) (1+ × )

= 8.000.000 × 1 × 1
(1+0,06)3 (1+13×0,06)

= 8.000.000 × 1 × 1
(1,06)3 (1,02)

= 6.585.249,28
Jadi, besar modal awal adalah Rp 6.585.249,28.

Latihan Soal 5

1. Jumlah penduduk suatu kota bertambah menurut pola geometri sebesar 0,1 % per bulan. Berarti jika jumlah penduduk kota itu semula
3 juta orang maka hitunglah jumlah penduduk pada akhir bulan ke-3.

2. Suatu jenis hewan langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi sebanyak 1 dari jumlah populasi tahun sebelumnya.

3

Jika pada tahun 2015 diperkirakan jumlah populasi hewan tersebut disuatu pulau sebanyak 729 ekor, maka berapakah perkiraan
jumlah hewan pada tahun 2019?
3. Pada tiap-tiap akhir bulan selama 1 tahun, Pak Bambang membayar angsuran ke bank sebesar Rp 4.500.000,00 dengan
suku bunga majemuk 4% per bulan. Tentukan besar pinjaman Pak Bambang.
4. Ika menabung di bank sebesar Rp 2.500.000,00 dengan dasar bunga majemuk 10% setahun. Tentukan:
a. Bunga yang diterima setelah 2 tahun.
b. Jumlah uang Ika setelah dibungakan 3 tahun 3 bulan.