Conic 28-9-2555

6-1 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

บทที 6
ภาคตัดกรวย

กรวย เป็นรูปทรงเรขาคณิตทีมวี ิธีการสร้างในเชิงคณิตศาสตร์ ดงั นี
ให้ a และ b เป็นเส้นตรงสองเส้นใดๆ ทีตดั กนั ทีจดุ V เป็นมมุ แหลม 
ให้เส้นตรง a และจดุ V ตรึงอยุ่กบั ที ผิวทีเกิดจากการหมนุ เส้นตรง b รอบเส้นตรง a (โดย
หมนุ  ระหวา่ งเส้นตรง a และ b มขี นาดคงตวั ) เรียกวา่ กรวยกลมตรง
ในบทนีเราจะศกึ ษาเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านนั และจะเรียกสนั ๆ วา่ กรวย เส้นตรงทีตรึงอย่กู ับที
เรียกวา่ แกนของกรวย จดุ V เรียกวา่ จุดยอด และ เส้นตรง b ทีผ่านจดุ V ทํามมุ  กบั แกนของ
กรวย เรียกวา่ ตัวก่อกาํ เนดิ ของกรวย และ จดุ V จะแบ่งกรวยออกเป็ นสองข้าง (nappes) ซึงอยู่คนละ
ข้างของจดุ ยอด ดงั รูป

ภาคตัดกรวย (conic section) คือ รูปในระนาบทีเกิดจากการตดั กนั ของระนาบกับกรวยได้แก่ วงกลม
(circle) พาราโบลา (parabola) วงรี (ellipse) และไฮเพอร์โบลา (hyperbola)

6-2 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

ภาคตดั กรวย ทีได้จากการนําระนาบไปตดั กรวยตรง โดยไมผ่ า่ นจดุ ยอดของกรวย จะได้ดงั ตอ่ ไปนี

รูประนาบทตี ัดกรวย ลักษณะของระนาบทตี ัด รูปในระนาบทีเกดิ จากการ
กรวย ตัดกรวย

ระนาบทีตดั กรวย ตงั ฉาก กบั วงกลม
แกนของกรวย

ระนาบทีตดั กรวย ขนาน กบั พาราโบลา
ตวั ก่อกําเนิดของกรวย และ

จะตดั กรวยข้างเดยี ว

ระนาบทีตดั กรวย ทํามมุ วงรี
แหลมกบั แกนของกรวย แต่
ขนาดใหญ่กวา่  และ
ระนาบจะตดั กรวยข้างเดียว

6-3 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

รูประนาบทตี ัดกรวย ลักษณะของระนาบทตี ัด รูปในระนาบทีเกิดจากการ
กรวย ตัดกรวย

ระนาบทีตดั กรวย ขนานกบั ไฮเพอร์โบลา
แกน

ถ้าระนาบผา่ นจดุ ยอดของกรวย รอยตดั ของระนาบกบั กรวยจะเป็นจดุ หรือ เส้นตรงเส้นหนึง หรือ
เส้นตรงสองเส้นตดั กนั ซึงเรียกลกั ษณะดงั กลา่ ววา่ ภาคตัดกรวยลดรูป กลา่ วคอื

รูประนาบทตี ัดกรวย ลักษณะของระนาบทตี ัดกรวย

ระนาบทีตดั กรวย ผา่ นจดุ ยอดและตงั ฉากกบั แกน
ของกรวย จะได้ จดุ 1 จดุ

ระนาบทีตดั กรวย ผา่ นจดุ ยอดและตดั ตวั ก่อกําเนิด
ของกรวย จะได้ เส้นตรง 1 เส้น

ระนาบทีตดั กรวย ผา่ นจดุ ยอดและตดั ทบั แกนของ
กรวย จะได้ เส้นตรง 2 เส้นตดั กนั

6-4 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

การเลือนแกนทางขนาน (Translation of Axes)

การเลือนแกนทางขนาน หมายถงึ การเปลียนแปลงแกนพิกดั เดิมอย่างน้อยหนึงแกน (แกน x
หรือ แกน y ) โดยให้แกนพิกดั ใหมข่ นานกบั แกนพิกดั เดมิ

การเลือนแกนทางขนานนบั เป็นพนื ฐานทีสําคญั ทีชว่ ยในการศกึ ษาเกียวกบั ภาคตดั กรวยให้สะดวก
ยิงขนึ

ให้จดุ P(x, y) เป็นจดุ ทีอย่หู า่ งจากแกน y ไปทางขวามือเป็ นระยะทาง x หน่วย และอย่เู หนือ
แกน x เป็นระยะทาง y หนว่ ย ดงั รูป ก

เมอื เลือนแกนจดุ P(x, y) ยงั คงที แตพ่ ิกดั ของ P จะเปลียนไปเมือเทียบกับแกนพิกดั ใหม่ พิกัด
ของจดุ กําเนิดใหมเ่ มือเทียบกบั แกนพิกดั เดิม x และ y คอื จดุ O '(h, k) และแกนพิกัดใหม่ x ' และ y '
ขนานกบั แกนพิกดั เดิม x และ y ตามลําดบั ดงั รูป ข

นนั คือ แกนพิกดั ใหมเ่ กิดจากการเลอื นแกนตามแนวนอน h หน่วย และตามแนวตงั k หนว่ ย
ให้ (x, y) เป็นพิกดั ของจดุ P เมือเทียบกบั แกนพิกดั เดิม

(x ', y ') เป็นพิกดั ของจดุ P เมอื เทียบกบั แกนพิกดั ใหม่ และ h,k เป็นจํานวนจริง
ดงั นนั จะได้

x  x ' h หรือ x '  x  h
y  y ' k
y' yk

6-5 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

ตัวอย่าง 1 ถ้าเลือนแกนไปโดยใช้จุด (2,3) เป็ นจุดกําเนิดใหม่ ซึง A(0,2), B(5, 4),C(4, 1)
และ D(3,5) เป็นพิกดั ของจดุ เมือเทียบกบั แกนพิกดั เดิม จงหาพิกดั เหลา่ นีเมอื เทียบกบั แกนพิกดั ใหม่
วธิ ีทาํ ให้ (x, y) เป็นพิกดั ของจดุ เมอื เทียบกบั แกนพิกดั เดิม

และ (x ', y ') เป็นพิกดั ของจดุ เมือเทียบกบั แกนพิกดั ใหม่
ในทีนี (h, k)  (2,3) นนั คือ h  2 และ k  3

พิจารณาจดุ A(0,2) จะได้วา่ x  0 และ y  2
จาก x '  x  h ดงั นนั x '  0  (2)  2
และ y '  y  k ดงั นนั y '  2  3  1
ดงั นนั พิกดั ของจดุ A(0,2) เมอื เทียบกบั แกนพิกดั ใหม่ คือ จดุ (2, 1)
B(5, 4),C(4, 1) และ D(3, 5) แสดงเป็ นแบบฝึ กหดั
ข้อตกลง การเลือนแกนทางขนานโดยมจี ดุ (h,k) เป็นจดุ กําเนิดใหม่ จะเรียกสนั ๆ วา่ การเลือน
แกนไปทีจดุ (h, k)
ตัวอย่าง 2 ถ้าเลอื นแกนไปทีจดุ (3, 7) แล้วกราฟของสมการ x2  6x  y2 14y  2  0 จะมี
สมการเทียบกบั แกนใหม่ ซงึ ใช้พิกดั (x ', y ') แทนพิกดั (x, y) เป็นอย่างไร
วธิ ีทาํ จากโจทย์เลือนแกนไปทีจดุ (3, 7) จะได้ (h, k)  (3,7) นนั คอื h  3 และ k  7

6-6 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

จากสตู ร x  x ' h จะได้ x  x ' 3

และจาก y  y ' k ดงั นนั y  y ' 7

ตอ่ ไปแทน x  x ' 3 และ y  y ' 7 ลงในสมการ x2  6x  y2 14 y  2  0

จะได้วา่  x ' 32  6 x ' 3   y ' 72 14 y ' 7  2  0
นนั คอื
x '2  6x ' 9  6x '18  y '2 14 y ' 49 14 y ' 98  2  0

เพราะฉะนนั x '2  y '2  60

ดงั นนั x '2  y '2  60 เป็นสมการเทียบกบั แกนใหมข่ องกราฟรูปนี

ตัวอย่าง 3 จากสมการ x2  y2  8x  6y  24  0 ถ้าต้องการเลอื นแกนอ้างองิ ให้ได้สมการในรปู
x '2  y '2  1 แล้วจดุ กําเนิดใหมค่ ือจดุ ใด

วธิ ีทาํ จากสมการ x2  y2  8x  6y  24  0

จะได้  x2 8x   y2  6y  24
   ดงั นนั x2  8x  42  y2  6y  32  24  42  32

นนั คือ  x  42   y  32 1

ให้ x '  x  4 และ y '  y  3

จะได้วา่ x '2  y '2  1 ซงึ เป็นสมการทตี ้องการ และจดุ กําเนดิ ใหมค่ ือจดุ (4, 3)

ตัวอย่าง 4 จากสมการ 25x2  9y2  50x  36y  236  0 ถ้าต้องการเลือนแกนอ้างอิงให้ได้
สมการในรูป x '2  y '2  1 แล้วจดุ กําเนิดใหมค่ อื จดุ ใด

9 25

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

6-7 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

การเลือนแกนทางขนานกับการเขียนกราฟ

การเขยี นกราฟโดยการเลอื นแกนทางขนานไปทีจดุ (h,k) ทีเหมาะสม จะเขียนง่ายกวา่ การเขียน
กราฟในระบบพิกัดฉากทีมีจุดกําเนิดทีจุด (0,0) โดยเปลียนพิกดั จุด P(h,k) ใดๆ ในระบบเดิม เป็ น
P(x ', y ') ในระบบใหม่ โดยที x '  x  h และ y '  y  k จะทําให้สมการเทียบกับแกนใหม่มีรูปซึง
สะดวกตอ่ การเขยี นกราฟ ดงั นี

ตัวอย่าง 5 จงเขียนกราฟของสมการ y  (x  5)2
วธิ ีทาํ จากสมการ y  (x  5)2 และเลือนแกนไปทีจดุ (5,0)
ดงั นนั จะได้สมการเทียบกบั แกนใหม่ คอื y '  x '2

วงกลม (Circle)

วงกลม คือ เซตของจดุ ทงั หมดในระนาบทีหา่ งจากจดุ ๆ หนึงทีตรึงอยกู่ บั ทีเป็นระยะทางคงตวั จดุ ที
ตรึงอยกู่ บั ทีนี เรียกวา่ จดุ ศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตวั เรียกวา่ รัศมี (radius) ของ
วงกลม

พิจารณารูปวงกลมตอ่ ไปนี

6-8 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

จากรูป เป็นวงกลมทีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ C(0,0) และมรี ศั มี r หนว่ ย
สมการวงกลมทีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ C(0,0) และมรี ัศมี r หนว่ ย คอื x2  y2  r2
ตัวอย่าง 6 จะได้ว่าสมการวงกลมทีมีจดุ ศูนย์กลางอยู่ทีจุด (0,0) และมีรัศมียาว 3 หน่วย คือ
x2  y2  32 นนั คอื x2  y2  9
พิจารณารูปวงกลมตอ่ ไปนี

เป็นวงกลมทีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ C(h,k) และมรี ศั มี r หนว่ ย
สมการวงกลมทีมีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ C(h,k) และมีรัศมี r หน่วย คือ

ตัวอย่าง 7 (x  h)2  ( y  k)2  r2
วธิ ีทาํ
จงหาสมการของวงกลมทีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ (1, 2) และมีรศั มี 3 หนว่ ย
สมการวงกลมทีมจี ดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ีจดุ C(h,k) และมรี ศั มี r หน่วย คอื

(x  h)2  ( y  k)2  r2

จากโจทย์ (h, k)  (1, 2) ดงั นนั h  1 และ k  2 และ r  3
เพราะฉะนนั สมการของวงกลมทีมจี ดุ ศนู ย์กลางอยทู่ จี ดุ (1, 2) และมรี ัศมี 3 หนว่ ย คอื

(x  (1))2  ( y  2)2  32

นนั คอื (x 1)2  (y  2)2  9 หรือ x2  y2  2x  4y  4  0

6-9 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

การหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม

เราจะได้ว่า สมการวงกลมทีอยู่ในรูป x2  y2  Dx  Ey  F  0 จะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที

  D ,  E  และมีรัศมี r  1 D2  E2  4F หนว่ ย
 2 2 
2

การพิจารณาคา่ D2  E2  4F

1. ถ้ า D2  E2  4F  0 แล้ว r  0 กราฟของสมการจะเป็ นวงกลมทีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที

  D ,  E  และมรี ศั มีเทา่ กบั 1 D2  E2  4F หนว่ ย
 2 2  2

2. ถ้า D2  E2  4F  0 แล้ว r  0 กราฟของสมการจะเป็นจดุ

3. ถ้า D2  E2  4F  0 แล้ว r ไมเ่ ป็นจํานวนจริง เขยี นกราฟไมไ่ ด้

ตัวอย่าง 8 จงหาจดุ ศนู ย์กลางและรัศมขี องวงกลม x2  y2  6x  4y 3  0

วธิ ีทาํ วธิ ีที 1 จากสมการวงกลมทีอยู่ในรูป x2  y2  Dx  Ey  F  0 จะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที

  D ,  E  และมรี ศั มี r  1 D2  E2  4F หน่วย
 2 2 
2

จากโจทย์สมการวงกลมอย่ใู นรูป x2  y2  6x  4y 3  0

จะได้ D  6, E  4 และ F  3

ดงั นนั จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี   D , E   3, 2
 2 2 

และมรี ศั มี r  1 D2  E2  4F  4 หน่วย

2

วธิ ีที 2 เราจะจดั ให้อย่ใู นรูป (x  h)2  (y  k)2  r2

จากโจทย์สมการวงกลมอยใู่ นรูป x2  y2  6x  4y 3  0

x2  6x   y2  4y  3

   x2  6x  32  y2  4 y  22  3  9  4

6-10 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

ตัวอย่าง 9  x  32   y  22  16
วธิ ีทาํ ดงั นนั วงกลมมีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี 3,2 และมรี ศั มี 4 หน่วย
จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 2x2  2y2 3x  4y  3  0
จากสมการ 2x2  2y2  3x  4y  3  0

จะได้วา่ x2  y2  3 x  2y  3  0

22

เพราะฉะนนั  x2  3 x    y2  2y   3
 2  2

 นนั คือ 3  3 2  3  3 2
 x2  2 x   4   y2  2y 12   2   4  1
 
 

จึงได้วา่  x  3 2  y  12  1   1 2
 4 16  4
 
 

ดงั นนั กราฟเป็นรูปวงกลม มีจดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี  3 , 1 และรัศมียาว 1 หน่วย
 4 4

ตัวอย่าง 10 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ x2  y2  2x  6y 1  0

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

พาราโบลา (Parabola)

พาราโบลา คือ เซตของจดุ ทกุ จดุ บนระนาบ ซงึ อยหู่ ่างจากเส้นตรงคงทีเส้นหนงึ บนระนาบและจุด
คงทีจดุ หนึงบนระนาบทีไมอ่ ย่บู นเส้นตรงนนั เป็นระยะทางเทา่ กนั เสมอ

รูปตอ่ ไปนี แสดงลกั ษณะของพาราโบลา

6-11 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

ซึงประกอบด้วย
1. จดุ คงที เรียกวา่ จดุ โฟกสั ของพาราโบลา
2. เส้นตรงคงที เรียกวา่ เส้นบงั คบั หรือไดเรกตริกซ์ (Directrix)
3. เส้นตรงทีผ่านจุดโฟกสั จุดยอดและตงั ฉากกบั ไดเรกตริกซ์ เรียกวา่ แกนพาราโบลา
หรือ แกนสมมาตร
4. จดุ ทีแกนพาราโบลาตดั กบั โค้งพาราโบลา เรียกวา่ จดุ ยอด (Vertex) ของพาราโบลา
5. สว่ นของเส้นตรงทีผ่านโฟกัสและตงั ฉากกับแกนพาราโบลา โดยจุดปลายทงั สองอยู่
บนโค้งของพาราโบลา เรียกว่า ลาตสั เรกตัม (Latus rectum) ซึงเรียกวา่ คอร์ด
(Chord) ของพาราโบลา

พิจารณารูปพาราโบลาตอ่ ไปนี

จากรูป เป็ นพาราโบลาทีมีจุดยอดอยู่ทีจุด (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที F(c,0) เส้นไดเรกตริกซ์ คือ
เส้นตรง x  c และมีแกน x เป็นแกนพาราโบลา

สมการพาราโบลา คอื y2  4cx

6-12 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวทิ ย์

ตอ่ ไปพิจารณารูปพาราโบลาตอ่ ไปนี

จากรูป เป็ นพาราโบลาทีมีจุดยอดอยู่ทีจุด (0,0) จุดโฟกัสอยู่ที F(0,c) เส้นไดเรกตริกซ์ คือ
เส้นตรง y  c และมแี กน y เป็นแกนของพาราโบลา

สมการพาราโบลา คือ x2  4cy
ตัวอย่าง 11 จงหาสมการพาราโบลา เมอื กําหนดให้จดุ โฟกสั อยทู่ ี (5,0) และจดุ ยอดอยทู่ ี (0,0)
วธิ ีทาํ จากโจทย์ จดุ โฟกสั อย่ทู ี (5,0) และจดุ ยอดอย่ทู ี (0,0)

แสดงวา่ แกนพาราโบลา คือ แกน x และ c  5 เป็นกราฟพาราโบลาเปิ ดทางขวา
เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x  5
ลาตสั เรกตมั ยาว | 4(5) | 20 หนว่ ย
สมการอยใู่ นรูป y2  4cx นนั คอื สมการพาราโบลา คอื y2  4(5)x  20x
ตัวอย่าง 12 จงอธิบายลกั ษณะของสมการ x2  6y
วธิ ีทาํ จากสมการ x2  6y

จะได้ x2  4  3  y
 2 

แสดงวา่ เป็นกราฟพาราโบลา จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ีจดุ (0,0)

แกนพาราโบลา คอื แกน y และ c  3 เป็นกราฟพาราโบลาหงายขนึ

2

6-13 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวทิ ย์

จดุ โฟกสั อยทู่ ี  0, 3 
 2 

เส้นไดเรกตริกซ์ คอื เส้นตรง y   3

2

และลาตสั เรกตมั ยาว 4  3  6 หนว่ ย
 2 

ตัวอย่าง 13 จงอธิบายลกั ษณะของสมการ x2  10y

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

การหาสมการพาราโบลาทีมีจุดยอดอยู่ทีจุด (h,k) และมีแกนขนานกับแกน x หรือ
ขนานกับแกน y

เมอื แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x ดงั รูป

จากรูป จะได้วา่

 จดุ ยอดอยทู่ ี V (h, k)
 จดุ โฟกสั อยทู่ ี F(h  c, k)
 เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x  h  c
 แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน x อย่บู นเส้นตรง y  k
 ความยาวของลาตสั เรกตมั เทา่ กบั | 4c | หนว่ ย

จะได้ สมการพาราโบลา คือ (y  k)2  4c(x  h)

6-14 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

เมือแกนของพาราโบลาขนานกบั แกน y

จากรูป จะได้วา่
 จดุ ยอดอย่ทู ี V (h, k)
 จดุ โฟกสั อยทู่ ี F(h, k  c)
 เส้นไดเรกตริกซ์ คอื เส้นตรง y  k  c
 แกนของพาราโบลาขนานกบั แกน y อยบู่ นเส้นตรง x  h
 ความยาวของลาตสั เรกตมั เท่ากบั | 4c | หนว่ ย

จะได้ สมการพาราโบลา คือ (x  h)2  4c( y  k)
ตัวอย่าง 14 จงหาสมการของพาราโบลา เมือกําหนดให้จุดยอดอยู่ที (2,3) และจุดโฟกัสอยู่ที

(2, 7)

วธิ ีทาํ จากโจทย์ จดุ ยอดอยทู่ ี (2,3)  (h, k) ดงั นนั h  2 และ k  3
จดุ โฟกสั อย่ทู ี (2,7)  (h,k  c) จะได้วา่ k  c  7 แต่ k  3 ดงั นนั c  4
แกนพาราโบลาขนานกบั แกน y คือเส้นตรง x  2
เส้นไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y  k  c  3 4  1
เนืองจาก c  4  0 ดงั นนั เป็นพาราโบลาหงายขนึ

6-15 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั | 4(4) |16 หน่วย

สมการจะอยใู่ นรูป (x  h)2  4c( y  k)

จะได้สมการ (x  (2))2  4(4)( y  3)

จงึ ได้วา่ x2  4x  4  16 y  48

นนั คอื x2  4x 16 y  52  0

ตัวอย่าง 15 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ y2  6y  20x 109  0

วธิ ีทาํ จากสมการ y2  6y  20x 109  0 จะได้วา่ y2  6y  20x 109

ดงั นนั y2  6y  32  20x 109  32

นนั คือ (y  3)2  20x 100
จึงได้วา่ (y  3)2  20 x  5  4(5) x  5
ดงั นนั จะได้ h  5, k  3 และ c  5 เป็นกราฟพาราโบลาเปิ ดทางขวา

จดุ ยอดอยทู่ ี (h, k)  (5,3)

แกนพาราโบลาขนานกบั แกน x คือเส้นตรง y  k  3

จดุ โฟกสั อย่ทู ี (h  c, k)  (5  5,3)  (10,3)

เส้นไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x  h  c  5  5  0
ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั | 4(5) | 20 หนว่ ย

ตัวอย่าง 16 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ x2  4x  20y  56  0

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

ตัวอย่าง 17 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 3x2  9x  5y  2  0

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

6-16 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

วงรี (Ellipse)
วงรี คอื เซตของจดุ ทกุ จดุ บนระนาบซงึ ผลบวกของระยะทางจากจดุ ใดๆ ในเซตนีไปยงั จุดคงทีสอง
จดุ บนระนาบมคี า่ คงตวั และคา่ คงตวั นีมากกวา่ ระยะทางระหวา่ งจดุ คงทีสองจดุ นนั
รูปตอ่ ไปนีแสดงลกั ษณะของวงรี

ซึงสว่ นประกอบของวงรี คอื
1. จดุ คงทีสองจดุ คือ จดุ F และ F ' เป็นโฟกสั ของวงรี
2. จดุ กงึ กลางระหวา่ งโฟกสั ทงั สอง คือ จดุ C เป็นจดุ ศนู ย์กลางของวงรี
3. จดุ ทีเส้นตรงทีลากผา่ นโฟกสั ทงั สองตดั กบั วงรี คือ จดุ A และ A' เป็นจดุ ยอดของวงรี
4. สว่ นของเส้นตรงทีเชือมจดุ ยอดทังสองของวงรี คือ AA' เรียกวา่ แกนเอก (major axis) ของ

วงรี
5. สว่ นของเส้นตรงทีตงั ฉากกบั แกนเอกทจี ดุ ศนู ย์กลาง และมีจดุ ปลายทงั สองอย่บู นวงรี คือ BB'

เรียกวา่ แกนโท (minor axis) ของวงรี
6. สว่ นของเส้นตรงทีตงั ฉากกับแกนเอกทีจดุ โฟกัส และมีจุดปลายทังสองอย่บู นวงรี เรียกว่า

ลาตสั เรกตมั ของวงรี

6-17 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวทิ ย์

พิจารณารูปวงรีตอ่ ไปนี

จากรูป จะได้วา่

 แกนเอกอยบู่ นแกน x จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ (0,0)
 จุด A(a,0) และ A'(a,0) เป็ นจุดยอดของวงรี และเรียก AA' ว่าแกนเอก ซึง

AA' ยาว 2a หนว่ ย (เมอื a  0 )
 จดุ B(0,b) และ B '(0, b) เป็ นจุดปลายแกนโทของวงรี เรียก BB ' ว่าแกนโท ซึง

BB ' ยาว 2b หน่วย (เมือ b  0 )
 จดุ F(c,0) และ F '(c,0) เป็นโฟกสั ของวงรี ซงึ FF ' ยาว 2c หน่วย (เมอื c  0 )

 ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2b2 หนว่ ย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง (eccentricity) หรือ e  c

a

 สมการไดเรกตริกซ์ คอื x   a หรือ x   a2

ec

สมการวงรี คือ x2  y2 1 โดยที ab0 และ b2  a2  c2
a2 b2

6-18 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

ตอ่ ไปพิจารณารูปวงรีตอ่ ไปนี

จากรูป จะได้วา่

 แกนเอกอย่บู นแกน y จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ (0,0)
 จุด A(0,a) และ A'(0, a) เป็ นจุดยอดของวงรี และเรียก AA' ว่าแกนเอก ซึง

AA' ยาว 2a หนว่ ย (เมอื a  0 )
 จดุ B(b,0) และ B '(b,0) เป็ นจุดปลายแกนโทของวงรี เรียก BB ' วา่ แกนโท ซึง

BB ' ยาว 2b หนว่ ย (เมือ b  0 )
 จดุ F(0,c) และ F '(0, c) เป็นโฟกสั ของวงรี ซึง FF ' ยาว 2c หนว่ ย (เมอื c  0 )

 ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั 2b2 หนว่ ย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง (eccentricity) หรือ e  c

a

 สมการไดเรกตริกซ์ คอื x   a หรือ x   a2

ec

สมการวงรี คอื y2 x2 1 โดยที ab0 และ b2  a2  c2
a2 

b2

ตัวอย่าง 18 จงหาสมการวงรีทีมีโฟกัสอย่ทู ีจดุ (4,0) และ (4,0) และมีคา่ เยืองศนู ย์กลาง เท่ากบั

8
13

วธิ ีทาํ จดุ โฟกสั อยทู่ ี (4,0) และ (4,0) แสดงวา่ จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี (0,0) แกนเอกอยบู่ นแกน
x และ c  4 และมีคา่ เยืองศนู ย์กลาง เทา่ กบั 8 นนั คือ e  8

13 13

6-19 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

จาก e  c จงึ ได้วา่ 8  4 เพราะฉะนนั a  13
a 13 a 2

จาก b2  a2  c2 หรือ c2  a2  b2 จะได้วา่ 42   13 2  b2 นนั คือ b  105
 2 2




เพราะฉะนนั สมการจะอยใู่ นรูป x2  y2 1
a2 b2

นนั คอื x2  y2  1

169 105
44

ดงั นนั สมการวงรี คือ 4x2  4y2  1

169 105

ตัวอย่าง 19 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ x2  y2  1

16 9

วธิ ีทาํ จากสมการ x2  y2  1

16 9

จะได้ a2  16 ดงั นนั a  4

และ b2  9 ดงั นนั b  3

เนื อง จา ก b2  a2  c2 ห รื อ c2  a2  b2 เพ รา ะฉ ะนัน c2 16  9  7 นันคื อ

c 7

แกนเอกอยบู่ นแกน x

จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี (0,0)

จดุ ยอดอยทู่ ี (4,0) และ (4,0)

จดุ โฟกสั อย่ทู ี ( 7,0) และ ( 7,0)

จดุ ปลายแกนโทอยทู่ ี (0,3) และ (0, 3)

ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2b2  2(9)  9 หน่วย

a 42

6-20 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

ตัวอย่าง 20 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 3x2  y2  3

วธิ ีทาํ จากสมการ 3x2  y2  3 จะได้วา่ x2  y2  1

13

ดงั นนั a2  3  a  3
และ b2  1 b  1
เนืองจาก c2  a2  b2 เพราะฉะนนั c2  3 1  2  c  2
แกนเอกอยบู่ นแกน y
จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี (0,0)
จดุ ยอดอย่ทู ี (0, 3) และ (0,  3)
จดุ โฟกสั อยทู่ ี (0, 2) และ (0,  2)
จดุ ปลายแกนโทอยทู่ ี (1,0) และ (1,0)

ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2b2  2 หน่วย

a3

สมการวงรีทมี ีจดุ ศูนย์กลางที (h,k)
สมการวงรีทีมีจุดศนู ย์กลางที (h, k) แกนเอกขนานกบั แกน x คือ (x  h)2  ( y  k)2 1 โดยที

a2 b2

a  b  0 และ b2  a2  c2
ดงั รูป

6-21 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

จากรูป จะได้วา่

 แกนเอกขนานกบั แกน x
 จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี (h, k)
 จุด F(h  c, k) และ F '(h  c, k) เป็ นจุดโฟกัสของวงรี ซึง FF ' ยาว 2c หน่วย

(c  0)
 จุด A(h  a, k) และ A'(h  a, k) เป็ นจุดยอดของวงรี และเรียก AA' ว่าแกนเอก ซึง

AA' ยาว 2a หนว่ ย ( a  0 )
 จดุ B(h, k  b) และ B '(h,k  b) เป็นจดุ ปลายแกนโทของวงรี และเรียก BB ' ว่าแกน

โท ซึง BB ' ยาว 2b หนว่ ย ( b  0 )

 ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั 2b2 หนว่ ย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง เทา่ กบั e  c

a

สมการวงรีทีมีจุดศนู ย์กลางที (h,k) แกนเอกขนานกับแกน y คือ (x  h)2  ( y k )2 1 โดยที
b2 a2

a  b  0 และ b2  a2  c2

ดงั รูป

จากรูป จะได้วา่

6-22 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวทิ ย์

 แกนเอกขนานกบั แกน y
 จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี (h, k)
 จุด F(h, k  c) และ F '(h, k  c) เป็ นจุดโฟกัสของวงรี ซึง FF ' ยาว 2c หน่วย

(c  0)
 จดุ A(h, k  a) และ A'(h, k  a) เป็ นจุดยอดของวงรี และเรียก AA' ว่าแกนเอก ซึง

AA' ยาว 2a หนว่ ย ( a  0 )
 จดุ B(h  b, k) และ B '(h  b, k) เป็นจดุ ปลายแกนโทของวงรี และเรียก BB ' ว่าแกน

โท ซงึ BB ' ยาว 2b หนว่ ย ( b  0 )
 ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2b2 หนว่ ย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง เท่ากบั e  c

a

ตัวอย่าง 21 จงหาสมการวงรี เมอื กําหนดให้จุดโฟกัสอยู่ทีจดุ (4, 2) และ (2, 2) และผลบวกคา่ คง
ตวั เท่ากบั 8 หน่วย

วธิ ีทาํ จากจุดโฟกสั อยู่ทีจดุ (4,2) และ (2,2) จะได้ว่าจดุ กึงกลางระหว่างโฟกัสทังสอง คือ

(1, 2)

ดงั นนั จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี (1, 2) นนั คอื h  1 และ k  2

และผลบวกคา่ คงตวั เท่ากบั 8 หนว่ ย จงึ ได้วา่ 2a  8  a  4

ระยะระหวา่ งจดุ (1, 2) กบั จดุ (4, 2) เท่ากบั 3 หนว่ ย ดงั นนั c  3

เนืองจาก b2  a2  c2 ดงั นนั b2  16  9  7  b  7

แกนเอกขนานกบั แกน x อยบู่ นเส้นตรง y  2

เพราะฉะนนั สมการจะอย่ใู นรูป (x  h)2 (y  k)2 1
a2  b2

นนั คอื (x 1)2  ( y  2)2 1
42
7 2

6-23 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

จงึ ได้วา่ (x 1)2  ( y  2)2  1

16 7

ดงั นนั 7(x 1)2 16( y  2)2  112
นนั คือ 7x2 16y2 14x  64 y  41  0
ตัวอย่าง 22 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 7x2 16y2 14x  64 y  41  0
วธิ ีทาํ จากสมการ 7x2 16y2 14x  64 y  41  0
จดั ให้อยใู่ นรูปกําลงั สองสมบรู ณ์ จะได้วา่

7x2 14x  16y2  64 y  41
7 x2  2x 16 y2  4y  41
   7 x2  2x 12 16 y2  4y  22  41 7(12 ) 16(22 )

7 x 12 16 y  22  41 7  64  112
นํา 112 หารทงั สองข้างของสมการ จะได้

(x 1)2 ( y  2)2
 1

16 7

จะได้ h  1 และ k  2

a2  16  a  4

b2  7  b  7

เนืองจาก c2  a2  b2  16  7  9  c  3
เพราะฉะนนั แกนเอกขนานกบั แกน x อย่บู นเส้นตรง y  2
จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี (h, k)  (1,2)
จดุ โฟกสั อย่ทู ี (h  c, k)  (1 3, 2)  (4, 2) และ (h  c, k)  (1 3, 2)  (2, 2)

6-24 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

จดุ ยอดอยทู่ ี (h  a, k)  (1 4, 2)  (5, 2) และ (h  a, k)  (1 4, 2)  (3, 2)
จดุ ปลายแกนโทอย่ทู ี (h, k  b)  (1, 2  7) และ (h, k  b)  (1,2  7)

ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั 2b2  7 หนว่ ย

a2

ตัวอย่าง 23 คา่ ความเยืองศนู ย์กลางเทา่ กบั e  c  3

a4

จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 25x2  21y2 100x  42 y  404  0

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

ไฮเพอร์โบลา คอื เซตของจดุ ทกุ จดุ บนระนาบ ซงึ ผลตา่ งของระยะห่างจากจุดใดๆ ในเซตนีไปยงั
จดุ คงทีสองจดุ บนระนาบมีคา่ คงตวั ซงึ มากกวา่ ศนู ย์ แตน่ ้อยกวา่ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ คงทีทงั สอง

ตอ่ ไปนีเป็นรูปแสดงลกั ษณะของไฮเพอร์โบลา

จากรูป จะได้วา่

1. จดุ คงทีสองจดุ คือ F และ F ' เป็นจดุ โฟกสั ของไฮเพอร์โบลา
2. จดุ กงึ กลางระหวา่ งจดุ โฟกสั ทงั สอง คือจดุ C เป็นจดุ ศนู ย์กลางของไฮเพอร์โบลา
3. จุดทีไฮเพอร์โบลาตัดกับเส้นตรงทีผ่านโฟกัสทังสอง คือ จุด A และ A' เป็ นจุดยอดของ

ไฮเพอร์โบลา

6-25 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

4. ส่วนของเส้นตรงทีเชือมจุดยอดทังสองของไฮเพอร์โบลา คือ AA' เรียกว่า แกนตามขวาง
(Transverse axis) ของไฮเพอร์โบลา

5. ส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางและตังฉากกับแกนขวาง คือ BB ' เรียกว่า แกนสังยุค
(Conjugate axis) ของไฮเพอร์โบลา

6. เส้นตรง L1 และ L2 เป็นเส้นกํากบั (asymptotes) ของไฮเพอร์โบลา

พิจารณารูปไฮเพอร์โบลาตอ่ ไปนี

จากรูป จะได้สมการของไฮเพอร์โบลาทีมีจุดศนู ย์กลางที C(0,0) แกนตามขวางอยู่บนแกน x คือ

x2  y2 1 เมือ b2  c2  a2
a2 b2

และ

 จดุ โฟกสั อยทู่ ี F(c,0) และ F '(c,0)
 จดุ ยอดอย่ทู ี A(a,0) และ A'(a,0) ซงึ ความยาวแกนตามขวาง คือ AA'  2a
 จดุ ปลายแกนสงั ยคุ อย่ทู ี B(0,b) และ B '(0, b) ซงึ ความยาวแกนสงั ยคุ คอื BB '  2b

 สมการเส้นกํากบั คือ y   b x

a

 ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2b2 หนว่ ย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง เทา่ กบั e  c

a

6-26 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวทิ ย์

ตอ่ ไปพิจารณารูปไฮเพอร์โบลา

จากรูป จะได้สมการของไฮเพอร์โบลาทีมีจุดศนู ย์กลางที C(0,0) แกนตามขวางอยู่บนแกน y คือ
y2  x2  1 เมอื b2  c2  a2

a2 b2

และ

 จดุ โฟกสั อยทู่ ี F(0,c) และ F '(0, c)
 จดุ ยอดอยทู่ ี A(0,a) และ A'(0, a) ซึงความยาวแกนตามขวาง คือ AA'  2a
 จดุ ปลายแกนสงั ยคุ อย่ทู ี B(b,0) และ B '(b,0) ซงึ ความยาวแกนสงั ยคุ คอื BB '  2b
 สมการเส้นกํากบั คอื y   a x

b

 ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั 2b2 หน่วย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง เท่ากบั e  c

a

กราฟของไฮเพอร์โบลาเป็ นเส้นโค้ง 2 เส้น แตล่ ะเส้น เรียกว่า รูปสีเหลียมมมุ ฉากทีด้านลากผา่ นจุด
(a,0),(0, b) หรือ (0, a),(b,0) เรียกวา่ รูปสีเหลียมมุมฉากศูนย์กลาง (central rectangle)

วิธีการเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา

I. วาดรูปสเี หลียมมมุ ฉากศนู ย์กลาง ทีมีจดุ กําเนิดเป็ นจดุ ศนู ย์กลางมีแตล่ ะด้านขนานกับแกนพิกดั
และตดั แกนพิกดั ที a และ b

II. ลากเส้นกํากบั ซึงเป็นเส้นตรงทีเกิดจากการตอ่ เส้นทแยงมมุ ของรูปสีเหลียมศนู ย์กลาง

III. ลงจดุ ยอด คือจดุ ทีระยะตดั แกน x ทงั สอง (x  a ) ของไฮเพอร์โบลา x2  y2 1
a2 b2

6-27 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

หรือ จดุ ทีระยะตดั แกน y ทงั สอง ( y  a ) ของไฮเพอร์โบลา y2 x2 1

a2 b2

IV. เขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา เริมต้นจากจุดยอดทีละจุด แล้วเขียนกราฟของแต่ละกิงของ

ไฮเพอร์โบลา โดยลากเส้นโค้งลเู่ ข้าหาเส้นกํากบั แตไ่ มต่ ดั เส้นกํากบั ดงั นี

ตัวอย่าง 24 จงหาสมการไฮเพอร์โบลา เมอื กําหนดให้ผลตา่ งของระยะจากจดุ ใดๆ บนไฮเพอร์โบลาไป
ยงั ยงั จดุ โฟกสั (5,0) และ (5,0) เท่ากบั 8 หน่วย

วธิ ีทาํ จดุ (5,0) และ (5,0) เป็ นจดุ โฟกัสของไฮเพอร์โบลา จะได้จดุ ศนู ย์กลางอย่ทู ี (0,0)
และ c  5 แกนตามขวางอยบู่ นแกน x และจากผลตา่ งเท่ากบั 8 หน่วย จะได้วา่ 2a  8  a  4

จาก b2  c2  a2 จะได้ b2  25 16  9  b  3

ดงั นนั สมการจะอยใู่ นรูป x2  y2 1
a2 b2

นนั คือ x2  y2 1 หรือ x2  y2 1 หรือ 9x2 16 y2  144
42 32 16 9

ตัวอย่าง 25 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 16 y2  9x2  144

วธิ ีทาํ จากสมการ 16 y2  9x2  144

นํา 144 หารตลอดสมการ จะได้วา่ y2 x2 1

9 16

เป็นสมการไฮเพอร์โบลาทีมแี กนตามขวางอยบู่ นแกน y

6-28 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

จาก y2 x2 1 จะได้ a2  9  a  3

9 16

และ b2  16  b  4

เนืองจาก b2  c2  a2 หรือ c2  a2  b2 ดงั นนั c2  9 16  25  c  5

จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ี (0,0) จดุ ยอดอย่ทู ี (0,3) และ (0, 3)

จดุ โฟกสั อยทู่ ี (0,5) และ (0, 5)

จดุ ปลายแกนสงั ยคุ คือ (4,0) และ (4,0)

สมการเส้นกํากบั คือ y   3 x

4

ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2(4)2  32

33

และคา่ ความเยืองศนู ย์กลาง e  5

3

สมการของไฮเพอร์โบลาทมี ีจดุ ศูนย์กลางที (h,k)

สมการของไฮเพอร์โบลาทีมีจุดศูนย์กลางที (h,k) แกนตามขวางขนานกับแกน x คือ

(x  h)2  ( y  k)2 1 เมอื b2  c2  a2 และ 0 a  c
a2 b2

ดงั รูป

6-29 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

จากรูป จะได้วา่

 จดุ โฟกสั อย่ทู ีจดุ F(h  c, k) และ F '(h  c, k)
 จดุ ยอดอย่ทู ีจดุ A(h  a, k) และ A'(h  a, k)
 จดุ ปลายแกนสงั ยคุ อยทู่ ีจดุ B(h, k  b) และ B '(h,k  b)

 สมการเส้นกํากบั คอื y  k   b (x  h)

a

 ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั 2b2 หนว่ ย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง e  c

a

สมการของไฮเพอร์โบลาทีมีจุดศูนย์กลางที (h,k) แกนตามขวางขนานกับแกน y คือ

(y  k)2  (x  h)2 1 เมือ b2  c2  a2 และ 0 a  c
a2 b2

ดงั รูป

จากรูป จะได้วา่

 จดุ โฟกสั อย่ทู ีจดุ F(h, k  c) และ F '(h, k  c)
 จดุ ยอดอย่ทู ีจดุ A(h, k  a) และ A'(h, k  a)
 จดุ ปลายแกนสงั ยคุ อยทู่ ีจดุ B(h  b, k) และ B '(h  b, k)

6-30 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทิพย์ เฮงคราวิทย์

 สมการเส้นกํากบั คอื y  k   a (x  h)

b

 ลาตสั เรกตมั ยาวเทา่ กบั 2b2 หน่วย

a

 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง e  c

a

ตัวอย่าง 26 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 16 y2  9x2  32 y  36x 164  0
วธิ ีทาํ จากสมการ 16 y2  9x2  32 y  36x 164  0

จดั รูปเป็นกําลงั สองสมบรู ณ์ จะได้

16 y2  32 y  9x2  36x  164
16 y2  2 y  9 x2  4x  164
   16 y2  2 y 12  9 x2  4x  22  164 16(1)2  (9)(2)2

นนั คือ 16 y 12  9 x  22 144
นํา 144 หารตลอดสมการ จะได้วา่

( y 1)2 (x  2)2
 1

9 16

จะได้ h  2 และ k  1

a2  9  a  3

b2  16  b  4

เนืองจาก b2  c2  a2 จะได้ c2  9 16  25  c  5
แกนตามขวางขนานกบั แกน y อยบู่ นเส้นตรง x  2
จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ีจดุ (h, k)  (2, 1)
จดุ โฟกสั อยทู่ ีจดุ (h, k  c)  (2, 1 5)  (2, 4)

6-31 เอกสารประกอบการสอนวิชา TU154 : FOUNDATION OF MATHEMATICS โดย อาจารย์ ดร. จรินทร์ทพิ ย์ เฮงคราวิทย์

และ (h, k  c)  (2, 1 5)  (2, 6)
จดุ ยอดอยทู่ ีจดุ (h, k  a)  (2, 1 3)  (2, 2)
และ (h, k  a)  (2, 1 3)  (2, 4)
จดุ ปลายแกนสงั ยคุ อย่ทู ีจดุ (h  b,k)  (2  4,1)  (2, 1)
และ (h  b, k)  (2  4, 1)  (6, 1)

สมการเส้นกํากบั คือ y  k   a (x  h)  y 1   3 (x  2)

b4

ลาตสั เรกตมั ยาวเท่ากบั 2b2  2(16)  32 หน่วย

a 33

ตัวอย่าง 27 คา่ ความเยืองศนู ย์กลาง e  5

3

จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ x2  4 y2  2x 16 y 13  0

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

ตัวอย่าง 28 จงอธิบายลกั ษณะของกราฟ 9x2  4y2  54x  40y  55  0

วธิ ีทาํ (เป็นแบบฝึกหดั )

การหมุนแกน (Rotation of axis)