2.3-เฉลยการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ

การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นดว้ ยเมทริกซ์

(Solving Systems of Linear Equations Using Matrices)

Deaw Jaibun, MWITS

ในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร เมทริกซ์เป็นเครื่องมืออย่างหนึ่งที่ช่วยให้หาคาตอบได้ง่ายขึ้น
โดยการเปล่ียนระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) แล้วใช้การดาเนินการตามแถว
เบือ้ งตน้ เปลี่ยนเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบที่หาคาตอบได้ง่ายข้ึนเรียกว่า ข้ันบันไดตามแถวและข้ันบันไดลดรูปตามแถว (Row-
Echelon Form and Reduced Row-Echelon Form) แล้วพิจารณาคาตอบของระบบสมการ ในหัวข้อนี้เราจะสนใจการ
หาคาตอบของระบบสมการเชงิ เส้นโดยใช้เมทรกิ ซ์ 2 วธิ ี คือ การกาจัดเกาสเ์ ซยี นและการกาจดั เกาส์-จอร์แดน

1. เมทริกซ์แตง่ เตมิ (Augmented Matrix)

ในการเปล่ียนระบบสมการsเชิงเส้นหลายตัวแปรให้อยู่ในรูปของเมทริกซ์ เมทริกซ์ท่ีเกี่ยวข้องกับการแก้สมการจะ

เรยี กวา่ เมทริกซส์ มั ประสิทธ์ิ (Coefficient Matrix) และเมทริกซแ์ ต่งเติม (Augmented Matrix) ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ระบบสมการเชงิ เสน้ : x 4y 3z 5

(System of Linear Equations) x 3y z 3

2x 4z 6

เมทริกซแ์ ต่งเติม : 14 3 5
13 1 3
(Augmented Matrix)

204 6

เมทรกิ ซส์ ัมประสิทธิ์ : 14 3
13 1
(Coefficient Matrix)

204

เพอื่ ความสะดวกเราจะใช้สัญลักษณ์ Rn เพ่ือแทนแถวแต่ละแถวของเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น แถวท่ี 1 จะใช้สัญลักษณ์
R1 ดงั นนั้ เมทริกซ์แต่งเตมิ ในตัวอย่างขา้ งต้น อาจเขยี นให้ชดั เจนขนึ้ เพ่ือเน้นแต่ละแถวของเมทรกิ ซ์ อาจเขียนไดด้ งั น้ี

R1 1 4 3 5
R2 1 3 1 3
R3 2 0 4 6

ตวั อยา่ งที่ 1. จงเขยี นเมทรกิ ซ์แต่งเติมจากระบบสมการที่กาหนดให้

x 4y 3z 5

(1) x 3y z 3

2x 4z 6

x 2y 3z 9

(2) x 3y 4

2x 5y 5z 17

2. การดาเนินการตามแถวเบือ้ งต้น (Elementary Row Operation: ERO)

ความรู้พ้นื ฐานในการหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น คือ การสร้างระบบสมการเชิงเส้นขึ้นมาใหม่ที่ง่ายต่อการหา
คาตอบยิ่งขนึ้ โดยที่ระบบสมการเชิงเส้นท่ีสร้างข้ึนมาใหม่น้ียังคงมีเซตคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นเดิม ระบบสมการเชิง
เส้นใหม่ที่สร้างข้นึ น้ี อาศยั การดาเนินการ 3 ชนิดตอ่ ไปนี้ เพอ่ื กาจดั ตวั แปรดงั นี้

1. การสลบั กนั ระหวา่ งสมการสองสมการ
2. การคณู สมการใดสมการหน่ึงด้วยคา่ คงตวั ทไี่ ม่เปน็ ศนู ย์
3. การคณู สมการใดสมการหนึ่งด้วยคา่ คงตัวทีไ่ มเ่ ป็นศูนย์แลว้ บวกเข้ากับสมการอ่ืน
เนื่องจากแต่ละแถวของเมทริกซ์แต่งเติม เกิดจากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรและค่าคงตัวของแต่ละสมการท่ีสมนัยกัน ดังนั้นการ
ดาเนนิ การ 3 ชนิด บนสมการดงั กล่าวจะเหมือนกับการดาเนนิ การ 3 ชนดิ ต่อไปนี้บนเมทริกซแ์ ตง่ เตมิ

การดาเนนิ การตามแถวเบือ้ งต้น (Elementary Row Operation: ERO)

1. การสลับกนั ระหว่างแถวสองแถวของเมทรกิ ซ์แตง่ เติม
2. การคูณแถวใดแถวหนงึ่ ของเมทริกซ์แตง่ เติมดว้ ยคา่ คงตัวที่ไมเ่ ปน็ ศนู ย์
3. การคณู แถวใดแถวหนง่ึ ของเมทรกิ ซแ์ ต่งเตมิ ด้วยคา่ คงตัวทไี่ ม่เปน็ ศนู ย์แลว้ บวกเขา้ กบั แถวอ่นื

ตัวอย่างที่ 2. การดาเนนิ การตามแถวเบ้ืองตน้ (ERO)

1. สลับกันระหว่างแถวแรกและแถวท่สี องของเมทริกซแ์ ต่งเตมิ

Original Matrix New Row-Equivalent Matrix

0 134 R2 0 134
1 203 R1 1 203
2 341 34 1
2

2. คูณแถวแรกด้วยค่าคงตวั 1
2

Original Matrix New Row-Equivalent Matrix

2462 1 R1 1231
2

1330 1330

5 2 12 52 12

3. การคณู แถวทห่ี น่งึ ด้วย 2 แลว้ บวกเข้ากับแถวทส่ี าม

Original Matrix New Row-Equivalent Matrix

12 4 3 R3 ( 2)R1 1243
03 2 1 0321
21 5 2 0 3 13 8

เพื่อความสะดวก จะขอกาหนดสัญลักษณด์ งั นี้

1. Rij แทนการสลบั กันระหว่างแถวท่ี i กับแถวท่ี j (บางตาราแทนด้วย Ri Rj )
2. mRi แทนการนาคา่ คงตัว m 0 ไปคณู แถวที่ i
3. Ri mRj แทนการนาค่าคงตวั m 0 ไปคูณแถวท่ี j แลว้ บวกเข้ากับแถวที่ i

(บางตาราแทนดว้ ย mRj Ri )

หน้าที่ 2

ตัวอย่างที่ 3. จงพจิ ารณาว่าการดาเนนิ การใดบา้ งต่อไปน้ี เปน็ การดาเนนิ การตามแถวเบ้อื งตน้ (ERO)

a. R13

b. 1 R1
2

c. R1
2

d. R1 3R1
e. 2R1 R3
f. R1 R3
g. R3 1R1
h. R1 R3
i. R1 2R3

ตัวอยา่ งที่ 4. ลองพจิ ารณาเปรยี บเทียบการหาคาตอบโดยระบบสมการเชิงเส้น และการดาเนินการบนเมทรกิ ซด์ งั นี้

ระบบสมการเชิงเส้น เมทรกิ ซ์แต่งเตมิ

x 2y 3z 9 123 9
x 3y 4 130 4
2x 5y 5z 17 255 17

บวกสมการแรกเข้ากับสมการทส่ี อง บวกแถวแรกเข้ากบั แถวท่ีสอง

x 2y 3z 9 123 9 1R1
y 3z 5 0 13 5 R2
17 255 17
2x 5y 5z

บวก -2 เท่าของสมการแรกเข้ากบั สมการที่ 3 บวก -2 เทา่ ของแถวแรกเขา้ กบั แถวท่ี 3

x 2y 3z 9 123 9 ( 2)R1
y 3z 5 0 13 5
yz 1 011 1 R3

บวกสมการท่ีสองเข้ากบั สมการท่ี 3 บวกแถวทีส่ องเขา้ กบั แถวที่ 3

x 2y 3z 9 123 9 1R2
y 3z 5 0 13 5
2z 4 002 4 R3

คณู สมการที่ 3 ดว้ ย 1 คณู แถวที่ 3 ด้วย 1

2 2

x 2y 3z 9 123 9
y 3z 5 0 13
z2 001 5

2 1 R3
2

ขน้ั ตอนน้ี เราบอกไดว้ ่า z 2 ซึง่ สามารถแทนค่าย้อนกลับเพอื่ คานวณหา x และ y

y 3(2) 5

y1

แทนค่า y 1 และ z 2

x 2( 1) 3(2) 9

x1

คาตอบคอื x 1, y 1 และ z 2 (อยา่ ลืมตรวจสอบคาตอบ โดยการแทนค่า x,y และ z ลงในระบบสมการเดิม)

หนา้ ที่ 3

บทนยิ าม เมทรกิ ซ์ A สมมลู ตามแถว (row equivalent) กับเมทรกิ ซ์ B ก็ตอ่ เม่ือ
B เกิดจากการใชก้ ารดาเนินการตามแถวเบ้ืองต้นบนเมทรกิ ซ์ A เปน็ จานวนครงั้ จากัด
เขียนแทน A สมมลู ตามแถวกบั เมทรกิ ซ์ B ดว้ ย A ~ B

ตวั อย่างท่ี 5. จากตัวอย่างการหาคาตอบโดยระบบสมการเชงิ เส้นขา้ งตน้ จะพบว่า

123 9 123 9 1R1
130 4~ 0 13 5 R2
255 255 17
17

123 9 ( 2)R1
5
~ 013 1 R3

011 9 1R2
5
123 4 R3
~ 013
9
002
5
123
2 1 R3
~ 013 2

001

เมทริกซส์ ุดทา้ ยทีไ่ ด้ในตัวอย่างขา้ งต้น เรียกว่าอยใู่ นลกั ษณะขน้ั บันไดตามแถว ซึง่ สามารถหาคาตอบของระบบสมการ
โดยการแทนค่ายอ้ นกลับ รูปแบบของเมทรกิ ซ์ท่ีมีลักษณะพิเศษ มีสมบัติดงั นี้
เมทรกิ ซ์อยูใ่ นลกั ษณะขั้นบนั ไดตามแถว (row-echelon form: ref) มสี มบตั ดิ งั นี้
1. แถวท่ีสมาชิกบางตัวไมเ่ ป็นศนู ย์จะอยูด่ า้ นบนของเมทรกิ ซ์ และแถวท่สี มาชกิ ทุกตวั เป็นศนู ยจ์ ะอยดู่ า้ นล่างของเมทรกิ ซ์
2. ในแถวที่มีสมาชิกบางตวั ไมเ่ ปน็ ศนู ย์ จะมีสมาชิกตัวแรกเป็น 1 เรียกวา่ สมาชิกนา (leading entry 1)
3. แถวสองแถวใดทตี่ ดิ กันและมสี มาชิกนา สมาชิกนาในแถวลา่ ง จะอยูใ่ นหลกั ทางขวามอื ของสมาชิกนาในแถวบน

เมทริกซ์อยใู่ นลกั ษณะขัน้ บันไดลดรูปตามแถว (Reduced Row-Echelon Form: rref)
เมทริกซ์ทอี่ ย่ใู นรูปขั้นบนั ไดตามแถว (row-echelon form) และในหลกั ท่ีมสี มาชกิ นา สมาชิกตัวอ่ืนในหลักน้ันเป็นศูนย์ทุกตัว
จะเรียกว่าอยู่ในลักษณะข้ันบนั ไดลดรูปตามแถว (Reduced Row-Echelon Form)

ตวั อย่างที่ 6. Row-Echelon Form
เมทรกิ ซ์ต่อไปน้ีอยู่ในลกั ษณะข้ันบันไดตามแถว

12 1 4 0 10 5

a. 0 1 0 3 b. 0 0 1 3

00 1 2 0000

1 52 1 3 100 1

c. 0013 2 d. 010 2
0001 4 001 3

0000 1 000 0

เมทริกซใ์ นข้อ b. และ d. อยู่ในลักษณะข้ันบันไดลดรูปตามแถว (Reduced Row-Echelon Form) ด้วย ส่วนเมทริกซ์ต่อไปน้ี

ไมอ่ ย่ใู นลักษณะขั้นบันไดตามแถว

12 3 4 0000

e. 0 2 1 1 f. 1212
1311
00 1 3
0010

หน้าท่ี 4

ตวั อยา่ งท่ี 7. จงใชก้ ารดาเนนิ การตามแถวเบ้อื งตน้ (ERO) ทาให้เมทริกซ์ e. และ f. ในตัวอยา่ งขา้ งตน้
อยูใ่ นลกั ษณะข้นั บนั ไดตามแถว

ตวั อยา่ งท่ี 8. (1) จงใชก้ ารดาเนินการตามแถวเบอ้ื งต้น (ERO) ทาให้เมทรกิ ซต์ ่อไปนอี้ ยใู่ นรปู ลักษณะข้นั บันไดตามแถว และ
(2) ดาเนนิ การตอ่ จนอยใู่ นลกั ษณะข้นั บนั ไดลดรูปตามแถว

2 0 40
0 136
0 0 15

หนา้ ท่ี 5

3. การกาจดั เกาส์เซยี นกับการแทนย้อนกลับ (Gaussian Elimination with Back-Substitution)

เราอาจหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นไดโ้ ดยวิธีการกาจัดเกาส์เซยี น (Gaussian elimination) ซงึ่ วธิ นี เ้ี ปน็ วิธที ่ี
รวดเร็ว โดยใชก้ ารดาเนนิ การตามแถวเบ้ืองต้นเพอ่ื หาเมทริกซข์ น้ั บนั ไดตามแถวทีส่ มมูลกับเมทริกซ์แต่งเติม หลังจากนั้นก็ใช้วิธี
แทนยอ้ นกลบั (back-substitution) เพื่อหาคาตอบของระบบสมการ ดังตัวอยา่ งต่อไปนี้
ตวั อยา่ งที่ 9. จงหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้น โดยวิธีการกาจัดเกาส์เซียนและแทนค่ายอ้ นกลบั

x y 2z 9
2x 4y 3z 1
3x 6y 5z 0

หนา้ ที่ 6

4. การกาจัดเกาส์-จอรแ์ ดน (Gauss-Jordan Elimination)

เราจะหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นอีกวิธีหนึ่ง วิธีนี้เรียกว่า การกาจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan
Elimination) โดยใช้การดาเนนิ การตามแถวเบ้ืองตน้ หาเมทรกิ ซ์ข้นั บนั ไดลดรูปตามแถวท่สี มมูลกับเมทรกิ ซ์แต่งเติม จากน้ันเรา
สามารถอา่ นค่าของตวั แปรได้ทันที อาจสรุปวธิ ีการไดด้ ังนี้

1. ทาสัมประสทิ ธข์ิ องตัวแปรแรกของแถวแรกใหเ้ ป็น 1 และทาสมั ประสทิ ธขิ์ องตัวแปรแรกของแถวอ่นื ให้เป็น 0
2. ทาสัมประสิทธ์ขิ องตวั แปรท่สี องของแถวท่ีสองให้เป็น 1 และทาสัมประสิทธ์ขิ องตวั แปรท่สี องของแถวอ่นื ให้เป็น 0
3. ทาเช่นนซ้ี ้ากับแถวอนื่ ๆ

ตวั อยา่ งที่ 10. จงหาคาตอบของระบบสมการตอ่ ไปน้ี โดยวธิ กี ารกาจัดเกาส์-จอร์แดน

xyz 5
2x 3y 5z 8
2
4x 5z

หนา้ ที่ 7

5. คาตอบของระบบสมการเชงิ เส้น

ระบบสมการเชิงเส้นจะต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งในสามอย่างน้ี คือไม่มีคาตอบ มีคาตอบเดียว หรือมีคาตอบอนันต์
ระบบสมการเชิงเส้นท่ีมีคาตอบเรียกว่าระบบคล้องจอง (consistent) ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคาตอบเรียกว่าระบบไม่
คล้องจอง (inconsistent)

ตัวอย่างท่ี 11. จงหาคาตอบของระบบสมการ

2x 4y 6z 18
4x 5y 6z 24

3x y 2z 4

ถ้าทราบว่า 246 18 100 4
456 24 0 10 2
001 3
3 12 4

ตัวอย่างท่ี 12. จงหาคาตอบของระบบสมการ

2x 4y 6z 18
4x 5y 6z 24

2x y 6

246 18 10 1 1
24 0 12 4
ถ้าทราบวา่ 4 5 6 000 0
2 10 6

ตวั อย่างท่ี 13. จงหาคาตอบของระบบสมการ

2x 4y 6z 18
4x 5y 6z 24
5x 7y 9y 5

ถา้ ทราบว่า 246 18 10 1 0
456 24 0 12 0
000 1
579 5

หน้าที่ 8

PROBLEMS

1. จงหาเมทรกิ ซ์แตง่ เติมจากระบบสมการเชงิ เส้นทกี่ าหนดใหต้ ่อไปน้ี

ระบบสมการ เมทรกิ ซแ์ ตง่ เตมิ

4x 3y 5
x 3y 12

x 10y 3z 10
3x 2y 5z 5

7x y 3

2x 5y 3z 1
x 7y 2z 2

7x z 0

2. จงเขียนระบบสมการเชิงเส้นจากเมทริกซ์แต่งเตมิ ทีก่ าหนดให้ตอ่ ไปน้ี

เมทรกิ ซ์แต่งเตมิ ระบบสมการ

12 7
23 4

4 52 3
10 2 7
21 0 9

12 0 0 1
9 563 7
2 571 2
1 025 4

ขอ้ 3-6 ให้นกั เรียนหาสมาชิกของเมทริกซ์ทแ่ี ทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ?

3. 368 1? 8
4 36 3

4 36

4. 143 14 3
2 10 5 0? 1

24 83 1? ?? 12 43
1 1 32 0? 2
5. 1 1 3 2 26 49 02
71
26 49 2

??

1 1 4 1 114 1 11 4 1

6. 3 8 10 3 05? ? 01 26
55

2 1 12 6 0 3 ? ? 0 3 ? ?

7. เมทริกซ์ในขอ้ ใดต่อไปนี้ เมทรกิ ซใ์ ดเปน็ เมทรกิ ซ์ขน้ั บนั ไดตามแถว เมทริกซใ์ ดเป็นเมทรกิ ซ์ข้ันบันไดลดรูปตามแถว

100 1031

1.1. 0 1 0 1.5. 0 1 0 0

000 0000

0 10 0000

1.2. 1 0 0 1.6. 0 0 0 0

000 0000

10 1 1010

1.3. 0 1 0 1.7. 0 1 2 0

001 0001

1 7552 0010

1.4. 0 0 1 7 8 1.8. 0001
0000
0 0 001

0000

8. ใหน้ ักเรยี นหาการดาเนินการตามแถวเบ้อื งตน้ เมอ่ื กาหนดเมทริกซต์ น้ แบบและเมทรกิ ซ์ใหมม่ าให้ โดยท่ีเมทริกซใ์ หมเ่ กดิ จากการ

ดาเนนิ การตามแถวเบ้ืองต้นบนเมทรกิ ซ์ตน้ แบบ

เมทริกซ์ต้นแบบ เมทรกิ ซใ์ ทม่

8.1 2 5 1 13 0 39
3 18 318

8.2 3 1 4 314
43 7 50 5

8.3 0 1 55 13 76
1 3 76 01 55
0 7 27 27
4 5 13

8.4 12 3 2 1 23 2
25 17 0 9 7 11
0 68 4
547 6

หนา้ ท่ี 10

ขอ้ 19-10 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นตอ่ ไปน้ีโดยวิธกี ารกาจดั เกาส์เซียน
9. x 2y 7

2x y 8

10. 2x 6y 16

2x 3y 7

ข้อ 11-13 จงแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ ต่อไปนโี้ ดยวธิ กี ารกาจัดเกาส์เซียนหรอื การกาจัดเกาส์-จอรแ์ ดน

11. x y z 14
2x y z 21

3x 2y z 19

หน้าที่ 11

12. x 2y 3z 28
4y 2z 0

xyz 5

x 2y z 0

13. 3x 3y 2z 0

x 11y 6z 0

หนา้ ที่ 12