บทที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง.

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 1 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... ฟังก์ชัน (function) คือ ความสัมพันธ์ของปริมาณ x และปริมาณ y โดยที่ปริมาณ x แต่ละค่าจะมีปริมาณ y ที่สอดคล้องกันเพียง 1 ค่า ในกรณีที่ f เป็นความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน และค่าของ y ขึ้นอยู่กับค่าของ x จะเขียนแทนด้วย y f (x) = และเรียก f (x) ว่า ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x สัญลักษณ์ f (x) อ่านว่า “เอฟของเอกซ์” หรือ “เอฟเอกซ์” ตัวอย่างที่ 1 กำหนด 2 x 25 f (x) 5 − = จงหา f ( 5) −และ f (8) วิธีทำ f ( 5) − = .............................. = .............................. = .............................. = .............................. f (8) = .............................. = .............................. = .............................. = .............................. ตัวอย่างที่ 2 ให้ 2 f (x) x x 5 = − + จงหา f (2) f (3) f (4) + − วิธีทำ จาก 2 f (x) x x 5 = − + จะได้ว่า f (2) = ............................................... = ............................................... = ........................ f (3) = ............................................... = ............................................... = ........................ f (4) = ............................................... = ............................................... = ........................ ดังนั้น f (2) f (3) f (4) + − = .............................................................................. = ........................ 1. กำหนด 2 f (x) x 2x = + จงหา f (3) ......................................................................................................................................................................................................... 2. กำหนด 3 2 f (x) 3x 2x 4x 1 = − + − จงหา f ( 2) − ......................................................................................................................................................................................................... 3. กำหนด 2 g(x) 2(x 4) = − จงหา 1 g 2 ......................................................................................................................................................................................................... 4. กำหนด g(x) x 5 = + จงหา g( 1) − ......................................................................................................................................................................................................... 5. กำหนด 2 h(x) (x 3) ax = − − จงหา h(a) ......................................................................................................................................................................................................... ชุดที่ 1 : แนะนำฟังก์ชัน แบบฝึกหัดที่ 1 : แนะนำฟังก์ชัน

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 2 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... สมการที่สามารถเขียนอยู่ในรูป 2 y ax bx c = + + เมื่อ x, y เป็นตัวแปร a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a 0 เรียกว่า สมการของพาราโบลา ตัวอย่างที่ 3 สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสมการของพาราโบลาหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 2 y 9 2x x = − − 2) ( ) 2 y x 5 = + 3) 3 2 y 4x x = − วิธีทำ 1) 2 y 9 2x x = − − ............................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 2) ( ) 2 y x 5 = + .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 3) 3 2 y 4x x = − .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. สมการในข้อใดต่อไปนี้ เป็นสมการของพาราโบลาหรือไม่ เพราะเหตุใด สมการ สมการของพาราโบลา เหตุผล เป็น ไม่เป็น 1. y 3x 5 = − 2. y 6 = 3. 2 y x 2x 3 = + − 4. 2 y 2x = − 5. 2 y 4x 5 = − 6. 2 4x x y 2 − = 7. 2 y 6 x = − 8. 2 y 2(x 3) = + 9. y x(7x 5) = + 10. 2 y x (x 1) = − ชุดที่ 2 : สมการของพาราโบลา แบบฝึกหัดที่ 2 : สมการของพาราโบลา

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 3 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... กราฟของฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีลักษณะเป็นพาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการของพาราโบลาแบบต่าง ๆ เมื่อ a, b, c, h, k เป็นค่าคงตัว และ a 0 ดังนี้ ▪ พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax = ▪ พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax k = + ▪ พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y a(x h) = − ▪ พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y a(x h) k = − + (สมการรูปมาตรฐาน) ▪ พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax bx c = + + (สมการรูปทั่วไป) ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ a, b, c, h และ k จากสมการของพาราโบลาในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2 y 3(x 2) 8 = + − 2) 2 y 5x 1 = − + 3) ( ) 2 y 4 x 3 = − 4) 2 y 2x = − 5) 2 y x 4x 4 = + + 6) 2 y x 6x = − 7) 2 y 7x 1 = − วิธีทำ สมการของพาราโบลา สมการ 2 y a(x h) k = − + สมการ 2 y ax bx c = + + a h k a b c 1) 2 y 3(x 2) 8 = + − 2) 2 y 5x 1 = − + 3) ( ) 2 y 4 x 3 = − 4) 2 y 2x = − 5) 2 y x 4x 4 = + + 6) 2 y x 6x = − 7) 2 y 7x 1 = − ชุดที่ 3 : กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 4 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... จงหาค่าของ a, b, c, h และ k จากสมการของพาราโบลาในแต่ละข้อต่อไปนี้ สมการของพาราโบลา สมการ 2 y a(x h) k = − + สมการ 2 y ax bx c = + + a h k a b c 1) 2 y x x 6 = + − 2) 2 y 2x = − 3) 2 y 9 x = + 4) 2 2y 4x 2x = − 1. จุดวกกลับ (จุดยอด) มี 2 แบบ คือ กราฟหงาย : จุดวกกลับเป็นจุดต่ำสุด กราฟคว่ำ : จุดวกกลับเป็นจุดสูงสุด 2. แกนสมมาตร คือ เส้นตรงที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน 3. จุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y ▪ หาจุดตัดแกน X คือ จุด (x, 0) แทน y 0 = ในสมการของพาราโบลา ▪ หาจุดตัดแกน Y คือ จุด (0, y) แทน x 0 = ในสมการของพาราโบลา ********************************************************* จุดตัดแกน จุดตัดแกน จุดวกกลับ (จุดต่ำสุด) แกนสมมาตร จุดตัดแกน จุดตัดแกน แกนสมมาตร จุดวกกลับ (จุดสูงสุด) แบบฝึกหัดที่ 3 : กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง ส่วนประกอบของพาราโบลา พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว่ำ

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 5 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... จากสมการของพาราโบลา 2 y a(x h) k = − + เมื่อกำหนดให้ a 0, h 0, k 0 = = จะได้สมการ 2 y ax = ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนกราฟของสมการ 2 2 2 2 2 1 y x , y 2x , y x , y x , y 2x 2 = = = = − = − และ 1 2 y x 2 = − โดยใช้แกนคู่เดียวกัน วิธีทำ x −2 −1 0 1 2 1) 2 y x = 2) 2 y 2x = 3) 1 2 y x 2 = 4) 2 y x = − 5) 2 y 2x = − 6) 1 2 y x 2 = − ชุดที่ 4 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax = เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 6 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... สมการ ลักษณะของกราฟ จุดวกกลับ ค่าของ y แกนสมมาตร จุดตัดแกน จุดสูงสุด จุดต่ำสุด ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด X Y 2 y x = 2 y 2x = 1 2 y x 2 = 2 y x = − 2 y 2x = − 1 2 y x 2 = − จากกราฟในตัวอย่างที่ 5 ค่าของ | a | มีผลต่อกราฟอย่างไร ........................................................................................................ ......................................................................................................................................................................................................... มาสรุปกันเถอะ “พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เมื่อ ” พาราโบลาหงาย จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... พาราโบลาคว่ำ จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... ถ้า มีค่าน้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะ.......................................................................................................... ในทางกลับกัน ถ้า มีค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ กราฟจะ..........................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 7 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... 1. จงเติมคำตอบลงในตารางให้สมบูรณ์ (แนะนำให้ใช้ https://www.desmos.com) สมการของพาราโบลา สมการ 2 y a(x h) k = − + พาราโบลา (หงาย/คว่ำ) สมการ แกนสมมาตร จุดวกกลับ ค่าของ y a h k ต่ำสุด สูงสุด ต่ำสุด สูงสุด 1) 2 y 12x = 2) 1 2 y x 3 = 3) 2 y 10x = − 4) 2 y 0.5x = 5) 2 y 0.2x = − 6) 1 2 y x 4 = − 2. จงเขียนกราฟของสมการ 2 y 4x = และ 2 y 4x = − โดยใช้แกนคู่เดียวกัน แล้วเติมคำตอบลงในช่องว่างให้สมบูรณ์ x 2 y 4x = 2 y 4x = − 1) กราฟทั้งสองมีเส้นตรง.......................... เป็นแกนสมมาตร 2) จุด.......................ของกราฟของสมการ 2 y 4x = คือ จุด................................. 3) จุด.......................ของกราฟของสมการ 2 y 4x = − คือ จุด............................... 4) ค่า............................ของ y ในสมการ 2 y 4x = คือ ...................................... 5) ค่า............................ของ y ในสมการ 2 y 4x = − คือ ................................... แบบฝึกหัดที่ 4 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax = เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 8 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... จากสมการของพาราโบลา 2 y a(x h) k = − + เมื่อกำหนดให้ a 0, h 0, k 0 = จะได้สมการ 2 y ax k = + ตัวอย่างที่ 6 จงเขียนกราฟของสมการ 2 2 2 2 2 y 2x , y 2x 2, y 2x 2, y 2x , y 2x 2 = = − = + = − = − − และ 2 y 2x 2 = − + โดยใช้แกนคู่เดียวกัน วิธีทำ x −2 −1 0 1 2 1) 2 y 2x = 2) 2 y 2x 2 = − 3) 2 y 2x 2 = + 4) 2 y 2x = − 5) 2 y 2x 2 = − − 6) 2 y 2x 2 = − + ชุดที่ 5 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax k = + เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 9 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... สมการ ลักษณะของกราฟ จุดวกกลับ ค่าของ y แกนสมมาตร จุดตัดแกน จุดสูงสุด จุดต่ำสุด ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด X Y 2 y 2x = 2 y 2x 2 = − 2 y 2x 2 = +2 y 2x = − 2 y 2x 2 = − − 2 y 2x 2 = − + มาสรุปกันเถอะ “พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เมื่อ ” พาราโบลาหงาย จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... พาราโบลาคว่ำ จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... กราฟของสมการ เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ โดย • ถ้า แล้วกราฟของสมการ จะเลื่อนขนานตามแนวแกน ขึ้นไป เป็นระยะ หน่วย • ถ้า แล้วกราฟของสมการ จะเลื่อนขนานตามแนวแกน ลงมา เป็นระยะ หน่วย

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 10 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... 1. จงเติมคำตอบลงในตารางให้สมบูรณ์ (แนะนำให้ใช้ https://www.desmos.com) สมการของพาราโบลา สมการ 2 y a(x h) k = − + พาราโบลา (หงาย/คว่ำ) สมการ แกนสมมาตร จุดวกกลับ ค่าของ y a h k ต่ำสุด สูงสุด ต่ำสุด สูงสุด 1) 2 y 3x 4 = − − 2) 2 y 2x 9 = − 3) 2 y 5x 2 = − + 4) 2 y 6x 7 = + 5) 1 3 2 y x 2 4 = − 2. จงเขียนกราฟของสมการ 2 y 4x 1 = + และ 2 y 4x 1 = − + โดยใช้แกนคู่เดียวกัน แล้วเติมคำตอบลงในช่องว่างให้สมบูรณ์ x 2 y 4x 1 = +2 y 4x 1 = − + 1) กราฟทั้งสองมีเส้นตรง.......................... เป็นแกนสมมาตร 2) จุด.......................ของกราฟของสมการ 2 y 4x 1 = + คือ จุด............................ 3) จุด.......................ของกราฟของสมการ 2 y 4x 1 = − + คือ จุด.......................... 4) ค่า............................ของ y ในสมการ 2 y 4x 1 = + คือ ................................. 5) ค่า............................ของ y ในสมการ 2 y 4x 1 = − + คือ ............................... แบบฝึกหัดที่ 5 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax k = + เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 11 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... จากสมการของพาราโบลา 2 y a(x h) k = − + เมื่อกำหนดให้ a 0, h 0, k 0 = จะได้สมการ 2 y a(x h) = − ตัวอย่างที่ 7 จงเขียนกราฟของสมการ 2 2 2 2 2 y 2x , y 2(x 2) , y 2(x 2) , y 2x , y 2(x 2) = = − = + = − = − − และ 2 y 2(x 2) = − + โดยใช้แกนคู่เดียวกัน วิธีทำ x −2 −1 0 1 2 1) 2 y 2x = 2) 2 y 2(x 2) = − 3) 2 y 2(x 2) = + 4) 2 y 2x = − 5) 2 y 2(x 2) = − − 6) 2 y 2(x 2) = − + ชุดที่ 6 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y a(x h) = − เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 12 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... สมการ ลักษณะของกราฟ จุดวกกลับ ค่าของ y แกนสมมาตร จุดตัดแกน จุดสูงสุด จุดต่ำสุด ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด X Y 2 y 2x = 2 y 2(x 2) = − 2 y 2(x 2) = +2 y 2x = − 2 y 2(x 2) = − − 2 y 2(x 2) = − + มาสรุปกันเถอะ “พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เมื่อ ” พาราโบลาหงาย จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... พาราโบลาคว่ำ จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... กราฟของสมการ เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ โดย • ถ้า แล้วกราฟของสมการ จะเลื่อนขนานตามแนวแกน ไปทางขวา เป็นระยะ หน่วย • ถ้า แล้วกราฟของสมการ จะเลื่อนขนานตามแนวแกน ไปทางซ้าย เป็นระยะ หน่วย

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 13 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... 1. จงเติมคำตอบลงในตารางให้สมบูรณ์ (แนะนำให้ใช้ https://www.desmos.com) สมการของพาราโบลา สมการ 2 y a(x h) k = − + พาราโบลา (หงาย/คว่ำ) สมการ แกนสมมาตร จุดวกกลับ ค่าของ y a h k ต่ำสุด สูงสุด ต่ำสุด สูงสุด 1) 2 y 4(x 3) = − + 2) 2 y 2(x 10) = − 3) 2 y 5(x 7) = + 4) 2 y 8(x 2) = − − 5) 2 y (x 9) = − + 2. จงเขียนกราฟของสมการ 2 y 4(x 2) = − และ 2 y 4(x 2) = − − โดยใช้แกนคู่เดียวกัน แล้วเติมคำตอบลงในช่องว่าง ให้สมบูรณ์ x 2 y 4(x 2) = − 2 y 4(x 2) = − − 1) กราฟทั้งสองมีเส้นตรง.......................... เป็นแกนสมมาตร 2) จุด.......................ของกราฟของสมการ 2 y 4(x 2) = − คือ จุด......................... 3) จุด.......................ของกราฟของสมการ 2 y 4(x 2) = − − คือ จุด...................... 4) ค่า............................ของ y ในสมการ 2 y 4(x 2) = − คือ ............................. 5) ค่า............................ของ y ในสมการ 2 y 4(x 2) = − − คือ ........................... แบบฝึกหัดที่ 6 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y a(x h) = − เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 14 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... ตัวอย่างที่ 8 จงเขียนกราฟของสมการ 2 2 y 2(x 1) , y 2(x 1) 3 = − = − + และ 2 y 2(x 1) 3 = − − โดยใช้แกนคู่เดียวกัน วิธีทำ x −2 −1 0 1 2 1) 2 y 2(x 1) = − 2) 2 y 2(x 1) 3 = − + 3) 2 y 2(x 1) 3 = − − สมการ ลักษณะของกราฟ จุดวกกลับ ค่าของ y แกนสมมาตร จุดตัดแกน จุดสูงสุด จุดต่ำสุด ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด X Y 2 y 2(x 1) = − 2 y 2(x 1) 3 = − +2 y 2(x 1) 3 = − − ชุดที่ 7 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y a(x h) k = − + เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 15 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... 1. จงเติมคำตอบลงในตารางให้สมบูรณ์ (แนะนำให้ใช้ https://www.desmos.com) สมการของพาราโบลา สมการ 2 y a(x h) k = − + พาราโบลา (หงาย/คว่ำ) สมการ แกนสมมาตร จุดวกกลับ ค่าของ y a h k ต่ำสุด สูงสุด ต่ำสุด สูงสุด 1) 2 y (x 3) 5 = − + − 2) 2 y 2(x 7) 2 = − + 3) 2 y 8(x 1) 11 = − + − 4) 2 y 5(x 4) 6 = + − มาสรุปกันเถอะ “พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เมื่อ ” พาราโบลาหงาย จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... พาราโบลาคว่ำ จุดวกกลับ คือ จุด...................... ซึ่งเป็นจุด..................... ค่า.....................ของ คือ ................................................ แกนสมมาตร คือ ............................................................... กราฟของสมการ เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ โดย • ถ้า แล้วกราฟของสมการ จะเลื่อนขนานตามแนวแกน ขึ้นไป เป็นระยะ หน่วย • ถ้า แล้วกราฟของสมการ จะเลื่อนขนานตามแนวแกน ลงมา เป็นระยะ หน่วย แบบฝึกหัดที่ 7 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y a(x h) k = − + เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 16 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... 2. จงพิจารณาแต่ละสมการต่อไปนี้ แล้วตอบคำถามโดยไม่ต้องเขียนกราฟ 1) 2 y 4(x 1) 2 = − − 1.1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย ................................................................................................................................................................................. 1.2) จุดวกกลับของกราฟคือจุดใด ................................................................................................................................................................................. 1.3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร ................................................................................................................................................................................. 1.4) ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................. 1.5) กราฟตัดแกน X และตัดแกน Y ที่จุดใด ................................................................................................................................................................................. 2) 2 y 3(x 1) 3 = − + + 2.1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย ................................................................................................................................................................................. 2.2) จุดวกกลับของกราฟคือจุดใด ................................................................................................................................................................................. 2.3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร ................................................................................................................................................................................. 2.4) ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................. 2.5) กราฟตัดแกน X และตัดแกน Y ที่จุดใด ................................................................................................................................................................................. 3) 2 y (x 2) 2 = + + 3.1) กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย ................................................................................................................................................................................. 3.2) จุดวกกลับของกราฟคือจุดใด ................................................................................................................................................................................. 3.3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร ................................................................................................................................................................................. 3.4) ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................. 3.5) กราฟตัดแกน X และตัดแกน Y ที่จุดใด .................................................................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 17 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... ในการเขียนกราฟหรือหาพิกัดจุดวกกลับจากสมการของพาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax bx c = + + เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัว และ a 0 นิยมเขียนสมการ 2 y ax bx c = + + ให้อยู่ในรูป 2 y a(x h) k = − + โดยใช้วิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างที่ 9 จงหาจุดวกกลับของกราฟของสมการ 2 y x 6x 5 = + + วิธีทำ เขียนสมการให้อยู่ในรูป 2 y a(x h) k = − + ได้ดังนี้ .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ดังนั้น จุดวกกลับเป็นจุด.....................................ของกราฟ คือ จุด..................................................................... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y ax bx c b a x x c a b b b a x 2 x c 2a 2a 2a b b a x c 2a 4a b b a x c 2a 4a b b 4ac a x 2a 4a 4a b 4ac b a x 2a 4a 4a b a x 2a = + + = + + = + + − + = + − + = + − + = − − − + = − − + − = − − 2 2 4ac b 4a − + เนื่องจากสมการ 2 y ax bx c = + + จัดรูปใหม่ได้เป็น 2 2 b 4ac b y a x 2a 4a − = − − + เมื่อเทียบกับสมการ 2 y a(x h) k = − + จะได้ว่า b h 2a = − และ 2 4ac b k 4a − = ชุดที่ 8 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax bx c = + + เมื่อ a 0 การจัดรูปสมการ 2 y ax bx c = + + ให้อยู่ในรูป 2 y a(x h) k = − +

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 18 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... จากสมการ 2 y x 6x 5 = + + ในตัวอย่างที่ 9 จะได้ว่า a = ..................., b = ................... และ c = ................... แทน a, b, c ในสมการ b h 2a = − และ 2 4ac b k 4a − = จะได้ว่า............................................................................................................................................................................... และ..................................................................................................................................................................................... ตัวอย่างที่ 10 จงเขียนกราฟของสมการ 2 y 2x 12x 17 = − − − วิธีทำ พิจารณาสมการ 2 y 2x 12x 17 = − − − จะได้ว่า 1. กราฟของสมการ 2 y 2x 12x 17 = − − − เป็น............................................................................................. 2. จุดวกกลับเป็นจุด....................................ของกราฟ คือ จุด........................................................................... 3. แกนสมมาตร คือ เส้นตรง.............................................................................................................................. 4. ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y คือ................................................................................................................... 5. กราฟตัดแกน X ที่จุด.................................................................................................................................. และตัดแกน Y ที่จุด..................................................................................................................................... มาสรุปกันเถอะ “พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เมื่อ ” จุดวกกลับของกราฟ คือ จุด................................... แกนสมมาตร คือ เส้นตรง...................................... ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ คือ .........................

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 19 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... จงพิจารณาแต่ละสมการต่อไปนี้ แล้วตอบคำถามโดยไม่ต้องเขียนกราฟ 1. 2 y x 6x = − 1.1) กราฟของสมการ 2 y x 6x = − พาราโบลาคว่ำ พาราโบลาหงาย 1.2) จุดวกกลับของกราฟคือจุดใด ................................................................................................................................................................................. 1.3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร ................................................................................................................................................................................. 1.4) ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................. 1.5) กราฟตัดแกน X และตัดแกน Y ที่จุดใด ................................................................................................................................................................................. 2. 2 y 3x 6x 1 = − + 2.1) กราฟของสมการ 2 y 3x 6x 1 = − + พาราโบลาคว่ำ พาราโบลาหงาย 2.2) จุดวกกลับของกราฟคือจุดใด ................................................................................................................................................................................. 2.3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร ................................................................................................................................................................................. 2.4) ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................. 2.5) กราฟตัดแกน X และตัดแกน Y ที่จุดใด ................................................................................................................................................................................. 3. 2 y x 6x 5 = − + − 3.1) กราฟของสมการ 2 y x 6x 5 = − + − พาราโบลาคว่ำ พาราโบลาหงาย 3.2) จุดวกกลับของกราฟคือจุดใด ................................................................................................................................................................................. 3.3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร ................................................................................................................................................................................. 3.4) ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เป็นเท่าใด ................................................................................................................................................................................. 3.5) กราฟตัดแกน X และตัดแกน Y ที่จุดใด ................................................................................................................................................................................. แบบฝึกหัดที่ 8 : พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y ax bx c = + + เมื่อ a 0

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 20 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... ตัวอย่างที่ 11 การเคลื่อนที่ของบั้งไฟลำหนึ่งเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งของฟังก์ชันกำลังสอง ถ้าการเคลื่อนที่กำหนดด้วย สมการ 2 h 20t t = − เมื่อ h แทนความสูงที่บั้งไฟอยู่เหนือพื้นดิน (เมตร) และ t แทนเวลาที่ผ่านไป หลังจากยิงบั้งไฟ (วินาที) ตอบคำถามต่อไปนี้ 1) ถ้าจัดรูปสมการให้อยู่ในรูป 2 y a(x h) k = − + แล้วค่าของ a, h และ k เท่ากับเท่าใด 2) บั้งไฟขึ้นไฟได้สูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปกี่วินาที และขึ้นไปได้สูงสุดเหนือพื้นดินเป็นระยะทางกี่เมตร 3) เมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที บั้งไฟจะอยู่เหนือพื้นดินเป็นระยะทางกี่เมตร 4) บั้งไฟอยู่เหนือพื้นดินเป็นระยะทาง 84 เมตร หลังจากยิงบั้งไฟเป็นเวลากี่วินาที วิธีทำ 1) จากสมการ 2 h 20t t = − จัดรูปสมการได้ดังนี้ .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ดังนั้น a = ...................., h = .................... และ k = .................... 2) พิจารณาสมการที่จัดรูปแล้วจากข้อ 1) จะได้............................................................................................... แสดงว่า กราฟของการเคลื่อนที่ของบั้งไฟเป็น................................ และมีจุด.....................คือ จุด....................... ดังนั้น บั้งไฟขึ้นไฟได้สูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป.........วินาที และขึ้นไปได้สูงสุดเหนือพื้นดินเป็นระยะทาง..........เมตร 3) จาก................................................................................................................................................................ แทนค่า t = .................. จะได้ h = ............................................... = ................................ = .................... ดังนั้น เมื่อเวลาผ่านไป 2 วินาที บั้งไฟจะอยู่เหนือพื้นดินเป็นระยะทาง..................เมตร 4) จาก................................................................................................................................................................ แทนค่า h = .................. จะได้.......................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................. ดังนั้น บั้งไฟอยู่เหนือพื้นดินเป็นระยะทาง 84 เมตร หลังจากยิงบั้งไฟเป็นเวลา...........วินาที และ...........วินาที ชุดที่ 9 : โจทย์ปัญหาพาราโบลา

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 21 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... การเคลื่อนที่ของบั้งไฟลำหนึ่งเคลื่อนที่เป็นแนวโค้งของฟังก์ชันกำลังสอง ถ้าการเคลื่อนที่กำหนดด้วยสมการ 2 h 12t t = − เมื่อ h แทนความสูงที่บั้งไฟอยู่เหนือพื้นดิน (เมตร) และ t แทนเวลาที่ผ่านไปหลังจากยิงบั้งไฟ (วินาที) ตอบคำถามต่อไปนี้ 1) ถ้าจัดรูปสมการให้อยู่ในรูป 2 y a(x h) k = − + แล้วค่าของ a, h และ k เท่ากับเท่าใด 2) บั้งไฟขึ้นไฟได้สูงสุดเมื่อเวลาผ่านไปกี่วินาที และขึ้นไปได้สูงสุดเหนือพื้นดินเป็นระยะทางกี่เมตร 3) เมื่อเวลาผ่านไป 3 วินาที บั้งไฟจะอยู่เหนือพื้นดินเป็นระยะทางกี่เมตร 4) บั้งไฟอยู่เหนือพื้นดินเป็นระยะทาง 35 เมตร หลังจากยิงบั้งไฟเป็นเวลากี่วินาที ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................... แบบฝึกหัดที่ 9 : โจทย์ปัญหาพาราโบลา

เอกสารประกอบการเรียน รายวิชาคณิตศาสตร์ 5 (ค23101) หน่วยการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 22 ชื่อ – นามสกุล.................................................................................................................... ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ห้อง.................... เลขที่..................... คำสั่ง เลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว 1. จุดยอดของกราฟพาราโบลา 1 2 y x 2 = − คือข้อใด ก. 1 , 0 2 ข. 1 0, 2 − ค. (0, 0) ง. 1 , 1 2 − 2. จุดยอดของกราฟพาราโบลา 2 y 2x 5 = − + คือข้อใด ก. (0, 5) ข. (0, 2) − ค. ( 2, 5) −ง. (2, 5) − 3. จุดยอดของกราฟพาราโบลาในข้อใด ต่างจากพวก ก. 3 2 y x 2 = ข. 2 y 5x = ค. 2 y 1 x = + ง. 2 1 y x 2 = − 4. กราฟพาราโบลา 1 2 y x 1 4 = − + มีแกนสมมาตรคือข้อใด ก. x 1 = ข. 1 x 4 = − ค. x 1 = − ง. x 0 = 5. ข้อใดคือจุดยอดของกราฟพาราโบลา 2 y (x 1) = − − ก. (1, 0) ข. ( 1, 0) − ค. (0, 1) ง. (0, 1) − 6. กราฟพาราโบลาในข้อใด เป็นพาราโบลาคว่ำ ก. 2 y (x 1) = + ข. 2 y x 6x 8 = + + ค. 2 y 1 (x 4) = + − ง. 2 y 2 (x 2) = − + 7. กราฟพาราโบลาในข้อใด เป็นพาราโบลาหงาย ก. 2 y x 3 + = ข. 5 2 y 5 x 4 + = − ค. 1 2 y 6 x 2 = − − ง. 2 y 2x 5 = − 8. จุด (0, 5) −เป็นจุดต่ำสุดของกราฟพาราโบลาในข้อใด ก. 5 2 y x 5 4 = − ข. 2 y 5x = ค. 1 2 y x 5 5 = − + ง. 2 y x 5 = − − 9. จุด ( 3, 0) −เป็นจุดสูงสุดของกราฟพาราโบลาในข้อใด ก. 1 2 y x 3 2 = − − ข. 2 y 3x 1 = + ค. 2 y 2x 3 = + ง. 2 y (x 3) = − + 10. จุดใดต่อไปนี้อยู่บนพาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y 2x 8 = − + ก. (0, 2) −ข. ( 2, 0) − ค. ( 1, 6) − −ง. (1, 6) − 11. จุดใดต่อไปนี้อยู่บนพาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ 2 y 2(x 3) 4 = − + + ก. ( 4, 2) − −ข. ( 3, 4) − − ค. ( 2, 2) −ง. (0, 14) ใช้กราฟต่อไปนี้ตอบคำถามข้อ 12 – 13 12. สมการพาราโบลาของกราฟรูปที่ สอดคล้องกับข้อใด ก. 2 y 2x 1 = + ข. 2 y 2x = ค. 1 2 y x 1 2 = − ง. 1 2 y x 2 = 13. สมการพาราโบลาของกราฟรูปที่ สอดคล้องกับข้อใด ก. 3 2 y x 2 = − ข. 2 y x = − ค. 1 2 y x 2 = − ง. 1 2 y x 3 = − 14. กราฟพาราโบลาในข้อใด มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 6) − ก. 2 y 6x = ข. 1 2 y x 1 6 = − + ค. 1 2 y x 1 2 = − + ง. 5 2 y x 6 4 = − ทบทวนก่อนสอบปลายภาค