เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 51 a sin A = b sin B = c sinC หรือ A a sin = B b sin = C c sin กฎของโคไซน์ (The Law of Cosine) 1. ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใดๆ ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ตามลำดับ แล้วจะได้ความสำพันธ์ดังนี้ a 2 = b2 + c2 - 2b c co b 2 = a2 + c2 – 2 ac cos c 2 = a2 + b2 - 2a c cos C 2. เราอาจมองให้อยู่ในรูปแบบใหม่ได้ ดังนี้ cos = 2+ 2− 2 2 cos = 2+ 2− 2 2 cos = 2+ 2− 2 2 ตัวอย่างที่ 1 ในสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A ยาว a ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b และด้านตรงข้ามมุม C ยาว c 1) ถ้า = 60 A ˆ , = 45 B ˆ และ a = 6 แล้ว จงหา b ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ...........
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 52 A ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... 2) ถ้า b = 2 3 , c = 2 และ = 150 C ˆ แล้ว จงหา B ˆ ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................... ........................... 3) ถ้า = 30 A ˆ , a = 2 และ c = 5 แล้ว จงหา C ˆ ............................................................................................................................. ....................................................................... ........................................................................................................................................................ ............................................ .................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ........................................................................................................................................ ............................................................ 4) ถ้า A = 45°, C = 60°, b = 20 จงหา ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... การหาระยะทางและความสูง ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวต่อไปนี้
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 53 10 D C A B 10 D C A B E 10 D C A B 1) AB = .................... 2) AD = .................... 3) AB = .................... 4) AE = .................... การหาระยะทางและความสูง การหาระยะทางและความสูงสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและรูปสามเหลี่ยม ช่วยในการคำนวณหา ระยะทางและความสูงของสิ่งของได้ เช่น อาคารเรียน ต้นไม้
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 54 มุมก้มและมุมเงย เป็นมุมที่มีเส้นระดับสายตา (แนวนอน) เป็นด้านเริ่มต้นของมุมและมีเส้นจากตาไปยัง วัตถุ เป็นด้านสิ้นสุดของมุม สมมุติให้เป็นมุม - ถ้าวัตถุอยู่เหนือเส้นระดับสายตา แล้วเราจะเรียก ว่าเป็น มุมเงย - ถ้าวัตถุอยู่ใต้เส้นระดับสายตา แล้วเราจะเรียก ว่าเป็น มุมก้ม ตัวอย่างที่ 1 ชุติมายืนอยู่ห่างจากตึกหลังหนึ่ง 18 เมตร มองเห็นยอดตึกและเสาอากาศซึ่งอยู่บนยอดตึกเป็นมุมเงย 30 และ 60 ตามลำดับ แล้วจงหาความสูงของเสาอากาศ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 2 เรือสองลำทอดสมออยู่ห่างกัน 60 เมตร และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกับประภาคาร ลูกเรือในเรือแต่ละลำ มองเห็นยอดประภาคารเป็นมุมเงย 45 และ 30 จงหาว่าเรือลำที่อยู่ใกล้ประภาคารอยู่ห่างจากประภาคารเท่าไร …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ตัวอย่างที่ 3 จากหน้าผาซึ่งสูง 200 เมตร เหนือระดับน้ำทะเล ผู้สังเกตคนหนึ่งมองเห็นเรือสองลำทอดสมออยู่ในทะเลเป็น มุมก้ม 30 องศา และ 60 องศา ตามลำดับ จากเส้นระดับสายตาเดียวกัน จงหาว่าเรือทั้งสองลำนี้อยู่ห่างกันเท่าใด ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. .......................................................................
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 55 ................................................................................................................................................................... ................................. .................................................................................................. .................................................................................................. ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ................................................................................................................................................... ................................................. .................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ตัวอย่างที่ 4 นายแดงยืนอยู่บนยอดประภาคารแห่งหนึ่งซึ่งสูง 80 เมตร ถ้านายแดงมองออกไปที่เรือ 2 ลำ ในทะเล และ อยู่ในแนวเดียวกับประภาคาร พบว่ามุมก้มมีค่าเท่ากับ 45 องศา และ 60 องศา ตามลำดับ จงหาว่าเรือทั้งสองลำอยู่ห่างกัน กี่เมตร .................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ...................................................................................................................................... .............................................................. .................................................................................................................................................................................................. .. ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ตัวอย่างที่ 5 เนตรยืนอยู่บนสนามแห่งหนึ่ง มองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15 องศา แต่เมื่อเดินตรงเข้าไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75 องศา ถ้าเนตรสูง 150 เซนติเมตร จงหาความสูงของเสาธง ............................................................................................................................. ....................................................................... ...................................................................................................................................... .............................................................. .................................................................................................................................................................................................. .. ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... .................................................................................................................................................................................. .................. ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ตัวอย่างที่ 6 มุมยกขึ้นของระฆัง เมื่อสังเกตจากจุดๆ หนึ่ง บนพื้นราบเป็นมุม 58 องศา แต่ถ้าสังเกตจากจุดอีกจุดหนึ่งซึ่งอยู่ สูงจากจุดเดิมขึ้นไป 42 ฟุต มุมยกขึ้นของยอดหอระฆังจะเป็น 44 องศา จงหาความสูงของหอระฆัง (กำหนด tan 58 = 1.6 และ tan 44 = 0.965 ............................................................................................................................. .......................................................................
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 56 ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................... ........................... ........................................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ตัวอย่างที่ 7 A,B และ C เป็นจุด 3 จุด บนพื้นระดับ และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันกับโคนเสาธงต้นหนึ่ง มุมยกขึ้นของ ยอดเสาธรนี้ เมื่อสังเกตจากจุด A,B และ C เป็น 30 ,45 และ 60 ตามลำดับ ถ้า BC = 10 เมตร จงหาความสูงของ เสาธงและระยะทางระหว่างจุด A กับเสาธง ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................... ........................... ........................................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................... ........................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................ ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ........... ........................................................................................................................ ............................................................................
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 57 ตัวอย่างที่ 8 ก ำหนดให้ ABC เป็นรูปสำมเหลี่ยมที่มีมุม A เท่ำกับ 60 องศำ = √6 และ = 1 ค่ำของ (2) เท่ำกับ ข้อใด (PAT1 มี.ค.52) ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... .................................................................................................................................................................................... ................ ................................................................................................................... ................................................................................. ............................................................................................................................. ....................................................................... ............................................................................................................................. ....................................................................... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ตัวอย่างที่ 9 ก ำหนดให้ ABC เป็นรูปสำมเหลี่ยมโดยที่มีควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุม A และมุม B และมุม C เท่ำกับ a หน่วย b หน่วย และ c หน่วย ตำสมล ำดับ ถ้ำ = √3 − 1 และ มุม C มีขนำด 30° แล้วค่ำของ 3 มีค่ำเท่ำใด (PAT1 ก.พ.62) ............................................................................................................................. ............................................................................. ................................................................................................................................................................................... ....................... ............................................................................................................ .............................................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................. ........................................................................................................................................... ............................................................... ................................................................................................................................................................................................. ......... .......................................................................................................................... ................................................................................ ............................................................................................................................. ............................................................................. ............................................................................................................................. ............................................................................. ......................................................................................................................................................... ................................................. .......................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ............................................................................. ............................................................................................................................. ...........................................................................
เอกสารประกอบการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 (ค32201) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภารคเรียนที่ 1 **** กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนชิโนรสวิทยาลัย *** 58