DAFTAR ISI Halaman A. PENDAHULUAN ……………………………….........……................ 1 1. StAndAr Kompetensi …..……………..…………..…….……..... 2 2. Deskripsi …...………………………..……………………............... 2 3. WAktu …….………………………………………………..……….. 3 4. Petunjuk PenggunAAn Modul ..………………………...……… 3 B. PEMBELAJARAN ..………………………………………………..…… 4 1. TujuAn MAteri ………………………………………………..….. 4 2. UrAiAn MAteri …………………………….……………............… 4 3. RAngkumAn ……...……...……...………..……………………..…. 37 C. EVALUASI ………………..…………………………………………..… 40 1. LAtihan SoAl ………………………………………………..………. 40 D. KUNCI JAWABAN …………….……………………………..………. 45 E. DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………..……. 48 F. PENUTUP …………………………………………………………..…… 49
Seorang anak menabung di sebuah bank pada setiap akhir bulan. Mula-mula ia membuka rekening sebesar Rp 50.000,00. Selanjutnya, setiap akhir bulan ia selalu menabung Rp 5.000,00 lebih besar dibandingkan dengan bulan sebelumnya, yaitu Rp 55.000,00 pada akhir bulan kedua, Rp 60.000,00 pada akhir bulan ketiga dan seterusnya. Sekarang,denganmengabaikanbungabankdanpotonganadministrasilainnya,berapakah jumlah tabungan anak tersebut pada akhir bulan ke-50? Kita tidak mungkin mendaftar satu per satu besar uang yang ditabung setiap akhir bulan sebanyak 50 kali, kemudian baru menjumlahkannya. Cara ini membutuhkan waktu yang lama. Lalu, bgaaimana cara yang efektif untuk menyelesaikan masalah di atas? Suatu keteraturan yang membentuk pola tertentu, misalnya kenaikan yang tetap (seperti contoh di atas), penurunan yang tetap atau kenaikan m kali lipat setiap periode tertentu, dapat kalian selesaikan dengan menggunakan metode deret. Deret yang akan kita pelajari yaitu deret aritmetika dan deret geometri. Untuk contoh diatas, deret yang digunakan adalah deret aritmetika. Bagaimana selanjutnya? Padaderet aritmetika, untukmengetahuijumlahtabungananak tersebut pada akhir bulan ke-50, kita cukup memerlukan setoran awal (a), besar kenaikan (b) dan lama menabung (n). Jadi,jumlahtabunganpada akhir bulanke-50dapat dinyatakan sebagai a = 50.000, b = 5.000, n = 50
Jadi, jumlah tabungan anak tersebut pada akhir bulan ke-50 adalah sebesar Rp 8.625.000,00.Bukankahcarainilebihefektifdibandingkandenganmendaftarsatupersatu besar tabungan setiap akhirbulan? Dengan adanya deret, akan mempermudah kita dalam melakukan perhitungan. Karena ada dua jenis deret yang akan kita pelajari, maka kita perlu memahami benar perbedaan dari keduanya, sehingga tidak akan terjadi kesalahan dalam menggunakan rumus. Rumus yang diatas adalah untuk deret aritmetika, bagaimanakah rumus untuk deret geometri? Dapatkah kita menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari? Mari kita cari tahu pada bab ini. 3.5 Menganalisis barisan dan deret aritmetika 4.5 Menyelesaikanmasalahkontekstualyangberkaitandenganbarisandanderet aritmetika 3.6 Menganalisis barisan dan deret geometri 4.6 Menyelesaikanmasalahkontekstualyangberkaitandenganbarisandanderet geometri 3.7 Menganalisis pertumbuhan, peluruhan, bunga dananuitas 4.7 menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan pertumbuhan, peluruhan, bunga dan anuitas . Modul ini merupakan modul pembelajaran mata pelajaran Matematika untuk SMK kelas XII semester 5. Modul pembelajaran ini dapat mempermudah dalam proses pembelajaran. Modul ini berisi materi pembelajaran yaitu Barisan dan Deret.
Alokasi waktu untuk mempejari dan mengerjakan modul ini yaitu satu bulan. Sebelum PembelAjArAn 1. Sebelummasukpadamateri,disajikanpendahuluansebagaipengantarmenujumateri utama. 2. Disajikankompetensidasardanalokasiwaktusebagaipedomanbagipenggunamodul untuk mencapai tujuan pembelajaran. SelAmA PembelAjArAn 1. Mempelajari dan memahami materi padamodul. 2. Mempelajari dan mencatat contoh teks dan analisis. 3. Mengerjakan tugas yang terdapat pada bagian evaluasi. 4. Mengerjakan tes untuk mengukur kemampuan dalam memahami modul. SetelAh PembelAjArAn 1. Mengevaluasi jawaban dengan kuncijawaban. 2. Mengetahui hasil evaluasi(sudah memenuhi kriteria ketuntasan atau belum) 3. Memutuskanuntukmeneruskanbelajarpadamateriselanjutnyaatautetappada materi yang sama.
Setelah mempelajari modul ini, pengguna modul diharapkan dapat: 1. Menentukansukupertama,beda, sukuke-ndanjumlahnsukupertamadaribarisan aritmetika. 2. Menyelesaikanmasalahkontekstualyangberkaitandenganbarisandanderet aritmetika. 3. Menentukansukupertama,rasio,suku-ndanjumlahnsukupertamadaribarisan geometri. 4. Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan geometri 5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bunga, pertumbuhan, peluruhan dan anuitas. A. Pola Bilangan Pola bilangan dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda (diwakili dengan lambing noktah). 1. Pola Bilangan Asli 1, 2, 3, 4,… 2. Pola Bilangan AsliGanjil 1, 3, 5, 7, … 3. Pola Bilangan Asli Genap 2, 4, 6, 8,…
4. PolaBilanganSegitiga Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai u1, u2, u3, ..., un 1, 3, 6, 10, … 5. Pola Bilangan Persegi 1, 4, 9, 16, … 6. Pola Bilangan Persegi Panjang 2, 6, 12, 20,… B. Barisan Bilangan Perhatikan susunan-susunan bilangan berikut ini a. 1, 2, 3, 4, 5, … disebut barisan bilanganasli b. 2, 4, 6, 8, 10, … disebut barisanbilangan asli genap c. 1, 3, 6, 10,15, … disebut barisanbilangan segitiga d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … disebut barisanbilangan Fibonacci Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-sukubarisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk …, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli). Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu disebut barisan berhingga. Suku ke-n atau un merupakan fungsi dengandaerah asal (domain) bilanganasli n. Definisi Barisan Bilangan Contoh 1 Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai un = 3n + 1 Jawab : Suku ke-n, un = 3n + 1 Untuk n = 1, diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4 n = 2, diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7
Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7 dan u3 = 10 Contoh 2 Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan un =an2 +bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan masing-masing sama dengan 8 dan 63. a. Hitunglah a dan b b. Tentukansukuke-10 Jawab : a. Rumus umum suku ke-n , un = an2 +bn Sukuke-2samadengan8,diperolehhubungan a(2)2 + b(2) =8 4a + 2b = 8 2a + b = 4 .....................(1) Sukuke-7samadengan63,diperolehhubungan a(7)2 + b(7) =63 49a + 7b = 63 7a + b = 9......................(2) Dari persamaan (1) dan (2) membentuk sistem persamaan linera dua variabel sebagai berikut : 2a + b = 4 7a + b = 9 - -5a = - 5 a = 1 substitusikan nilai a = 1 pada persamaan (1) sebagai berikut 2(1) + b =4 b = 4 – 2 = 2 Jadi, nilai a = 1 dan nilai b = 2 b. Berdasarkan hasil perhitungan pada point (a) rumus umum suku ke-n dapat dinyatakan sebagai un = n2 +2n
Misalkan u1, u2, u3, ..., un merupakan suku-suku suatu barisan. Jumlah beruntun dari suku- suku barisan itu disebut sebagai deret dan dituliskan sebagai u1 + u2 + u3 + …+ un Jadi, u10 = 120 C. Deret Untukmemahamipengertian deret, simaklahbarisanyang terdiri atas 10bilanganasli pertama di bawah ini u1, u2, u3, u4, u5, u6,u7, u8, u9, u101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Jikasuku-sukubarisantersebutdijumlahkanmakadiperolehbentuksebagaiberikut. u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + u8 +u9+u10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 Jumlah suku-suku barisan itu disebut penjumlahan beruntun dan disebut sebagai deret (sum atau series). Jadi, penjumlahan beruntun sepuluh bilangan asli pertama juga disebut sebagai deret sepuluh bilangan asli pertama. Definisi Deret D. Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika Untuk mengenali ciri yang ada pada suatu barisan aritmetika, simaklah barisanbarisan bilangan berikut ini. a. 1, 6, 11, 16, … b. 6, 4, 2, 0, … Perhatikan bahwa pada masing-masing barisan diatas mempunyai ciri tertentu yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai yang tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri semacam itu disebut barisan aritmetikadan selisihdua suku yangberurutandisebutbedadari barisanaritmetika tersebut, yang dilambangkan dengan huruf b. Sebagai contoh : a. Untuk barisan 1, 6, 11, 16, …; b = 16 – 11 =11 – 6 = 6 – 1 = 5 b. Untuk barisan 6, 4, 2, 0, …; b = 0 – 2 = 2 – 4 = 4 – 6 = - 2
Dengan demikian, barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai berikut Suatu barisan u1, u2, u3, ..., un disebut barisan aritmetika jika untuk sebarang nilai n berlaku hubungan : un – un-1 = b dengan b adalah suatu ketetapan ( konstanta ) yang tidak tergantung pada n Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b. rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh un = a + (n – 1)b Definisi Barisan Aritmetika Rumus Umum Suku Ke-n Pada Barisan Aritmetika Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b, maka sukusuku barisan itu dapat divisualisaikan sebagai berikut u1 , u2 , u3 , ... ,un a , a +b, a +2b , … , a + (n - 1)b berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan dalam bagan diatas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmetika dapat ditentukan melalui hubungan berikut. Rumus umum suku ke-n pada barisan aritmetika Contoh 3 Tentukansuku pertama,beda dansukuke-6 daribarisanaritmetika 4, 1,-2,-5, … Jawab : 4, 1, -2, -5, … Sukupertama=a=4 Beda = b = 1 – 4 = -3 Suku ke-6 = u6 = 4 + (6 – 1)-3 = 4 – 15 = -11 Jadi, a = 4, b = - 3, u6 = - 11 Contoh 4 : Suku ketiga suatu barisan aritmetika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39 a. Carilah suku pertama dan beda dari barisan itu
b. Carilah rumus suku ke-n Jikau1,u2,u3,...,un ,merupakansuku-sukubarisanaritmetika,maka u1 + u2 + u3+ …+ un disebut sebagai deret aritmetika Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika u1 + u2 + u3 + …+ un-1 + un ditentukan dengan menggunakan hubungan : Jawab : a. ……………….(1) ………………(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh - -7 b = -28 b = 4 substitusikan nilai b = 4 pada persamaan (1) sehingga diperoleh a + 2(4) =11 a = 11 – 8 = 3 Jadi suku pertama = a = 3, beda = b = 4 b. Jadi rumus suku ke-n adalah 2. Deret Aritmetika Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmetika disebut sebagai deret aritmetika. Sebagai contoh : a. Daribarisanaritmetika 1, 3, 5, 7, …,99 dapat dibentuk deret aritmetika 1 + 3 + 5 + 7 + …+99 b. Draibarisanaritmetika2,4,6,8, 10,…,2ndapatdibentukderetaritmetika 2 + 4+ 6 + 8 + 10 + … + 2n Definisi Deret Aritmetika Rumus Jumlah n suku pertama deret aritmetika
Jumlah n suku pertama deret aritmetika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 1. merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan. 2. Untuk setiap bilangan asli ( suku ke-n) Contoh 5 Hitunglah jumlah deret aritmetika 2 + 4 + 6 + …+ 60 Jawab : A = 2, b = 4 – 2 = 2, Contoh 6 Suku ke-5 suatu deret aritmetika sama dengan 40 dan suku ke-8 deret itu sama dengan 25. a. Tentukan suku pertama dan beda deret aritmetika itu. b. Hitunglahjumlahsepuluhsukupertamadarideretaritmetikaitu. Jawab : a. ……………………(1) ……………………(2) - -3b =15 b = -5 substitusikan nilai b=- 5 pada persamaan (2) sehingga diperoleh a + 7(-5) =25 a = 25 + 35 = 60
Contoh 7 Jumlahnsukupertama deretaritmetikaditentukandenganrumus . Tentukansuku ke-n dari deret aritmetika tersebut. Jawab : E. Barisan dan Deret Geometri 1. Barisan Geometri Untuk memahami ciri pada barisan geometri, simaklah barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 2, 6, 18, 54, … b. -32, 16, -8, 4, … Perhatikan bahwa masing-masing barisan bilangan tersebut mempunyai ciri tertentuyaituperbandinganduasukuyangberurutanmempunyainilaiyangtetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri seperti itu disebut sebagai barisangeometridanperbandingandua sukuyangberurutandisebut pembanding atau rasio (dilambangkan dengan huruf r). sebagai contoh barisan-barisan diatas dapat ditetapkan sebagai berikut. a. b.
disebut bari Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. rumus umum suku ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh : Rumus Umum Suku ke-n Pada barisan Geometri Contoh 8 Tentukansukupertama, rasiodansukukeenampadabarisangeometriberikutini. a. 27, 9, 3, 1, … b. 2, - 6, 18, - 54, … Jawab : a. 27, 9, 3, 1, … b. 2, -6, 18, -54, … Suatu barisan san geometri, jika untuksebarang bilanganaslikurangdarimberlakuhubungan denganr adalahsuatutetapan(konstanta) yang tidak tergantungpadan.
ometri sam Contoh 9 Suku pertama suatubarisan ge 12 a dengan 5, sedangkan suku ketiganya sama dengan 45. Selain itu, diketahui pula rasio barisan geometri tersebut positif. a. Tentukan rasio dari barisan geometritersebut b. Tentukan rumus umum suku ke-n c. Sukukeberapakahpadabarisangeometriitu yangnilainya samadengan1.215? Jawab : a. b. c. Jadi, 1.215 merupakan suku ke-6 2. Deret Geometri Jika suku-suku dari suatu barisan geometri dijumlahkan, maka penjumlahan beruntun dari suku-suku barisan geometri itu disebut sebagai deret geometri. Sebagai contoh : Dari barisan geometri 3, 6, 12, 24, …, 192 dapat dibentuk deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + … + 192 Dengan demikian, deret geometri dapat didefinisikan sebagai berikut .
Jumlahnsukupertamaderetgeometri Definisi Deret Geometri Jikau1 ,u2,u3 ,…,unmerupakanbarisangeometri,maka u1 +u2+u3+ … + un disebut sebagaideret geometri Rumus Jumlah n suku pertama deret geometri Contoh 10 Hitunglahjumlahenamsukupertamapadaderetgeometriberikutini. a. 27 + 9 + 3 + … b. Jawab : a. 27 + 9 + 3 + … Jadi, jumlah enam suku pertama deret geometri 27 + 9 + 3 + … sama dengan
b. Jadi, jumlah enam suku pertama deret geometri sama dengan Contoh 11 Jumlahnsukupertamadarisuatuderetgeometriditentukanoleh . a. Tentukan rumus suku ke-n b. Tentukansuku pertamadanrasioderet geometriitu Jawab : a. b. Jadi suku pertama = a = 2 dan rasio = r = 3 F. Deret Geometri TakHingga
Jika banyak suku-suku penjumlahan deret geometri itu bertambah terus mendekati tak Deretgeometritakhingga limit jumlah itu ditentukanoleh hingga,makaderet geometri semacaminidisebut sebagaideretgeometritakhingga. Deret geometri tak hingga ditulis sebagai berikut. Jumlah dari deret geometri tak hingga dilambangkan dengan S dan , dikatakanSdiperolehdari denganproses limitnmendekatitakhingga.Selanjutnya , nilai ditentukan dengan menggunakan teorema limit sebagai berikut. Berdasarkan persamaanyang terakhir itujelasbahwa ditentukanolehada atau tidaknya nilai . Berdasarkanuraiandiatas,cirideretgeometritakhinggadapatditetapkandengan menggunakan sifat berikut. Sifat deret geometri tak hingga Contoh 12 Diketahui deret geometri 1 + 0,8 + 0, 64 + … Hitunglah limit jumlahnya atau S. Jawab : 1 + 0,8 + 0,64 + … a = 1, r = 0,8 Jadi,limitjumlahderetgeometritakhinggaituadalah
Sukuke-ndari suatuderetgeometriditentukandenganrumusun=6-n.Hitunglah jumlah dari deret geometri tak hinggatersebut. Jawab : Jadi,limitjumlahdarideretgeometritakhinggatersebut . G. MerumuskanMasalahNyataYangMemilikiModelMatematikaBerbentukBarisanatau Deret Dalamsoalmatematikadandalamkehidupansehari-hari, kita seringdihadapkanpada masalah nyata yang model matematikanya dapat diterjemahkan dalam bentuk barisan dan deret (barisan dan deret aritmatika, barisan dan deret geometri serta deret geometri tak hingga). Pertama kita harus mampu mengidentifikasi bahwa karakteristik masalah yangakan diselesaikan mempunyai model matematika berbentuk barisan atau deret. Setelah masalah nyata itu teridentifikasi, pemecahan masalah selanjutnya dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel dalam barisan atau deret. Variabel-variabel ini dilambangkan dengan huruf-huruf misalnya a sebagai suku pertama, b sebagai beda, dan r sebagai rasio. Rumuskanbarisanatauderet yangmerupakanmodelmatematikadarimasalah. Tentukanpenyelesaian darimodel matematika yangdiperolehpadaLangkah2. Tafsirkan hasil yang diperoleh terhadap masalah semula.
Hasil produksi suatu pabrik per tahun mengikuti aturan barisan aritmetika. Produksi pada tahun pertama sebanyak 400unit dan produksi pada tahun keempat sebanyak 520 unit. Tentukan pertambahan produksi tiap tahunnya, kemudian tentukan pula banyak produksi pada tahun keduapuluh. Jawab : Misalkanproduksi pada tahun pertama=a=400unit Produksi pada tahun keempat = u4 = 520 unit U4 = 520 a + 3b = 520 400 + 3b = 520 3b = 520 – 400 3b = 120 b = 40 u20 = a + 19b = 400 + 19(40) = 400 + 760 = 1.160 Contoh 15 Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 meter. Setiap kali setelah memantul, bola itu mencapai ketinggian lima per enam dari ketinggian yang dicapai sebelumnya.Hitunglahpanjanglintasanyangditempuholehbolaitusampaiberhenti. Jawab : Untuk lintasan turun Untuk lintasan naik
Jadi, panjang lintasan yang ditempuh bola itu sampai berhenti adalah 11 meter. H. Aplikasi Barisan dan Deret 1. Bunga Prinsip Bunga Tunggal Istilah bunga tunggal sering kita pergunakan dalam masalah simpan pinjam. Dalammasalahsimpanan,akandijumpaibarisandanderetaritmatikanaikyaitu dengan b > 0 dan Dalam masalah pinjaman, kita menggunakan prinsip barisan dan deret aritmetika turun, yaitu dengan b > 0 dan Sebagaiilustrasi,seseorangmenanamkanataumeminjamkanmodalnyayang digunakan untuk usaha selama jangka waktu tertentu. Jika jangka waktu itu berakhir,maka peminjam harus mengembalikan modal ditambahbiaya lainnya. Biaya lain inilah yang disebut dengan bunga Secara formula berarti peminjam harus mengembalikan : modal + bunga. Jika modal itu dibayar berdasarkan modal tetap (flat), maka disebut bunga tunggal Misalkan seorang meminjam uang di bank sebesar Rp 2.000.000,00 dan dalam jangka waktu 1 bulan harus dikembalikan sebesar Rp 2.040.000,00. Ini berartibahwaorang tersebutharusmembayar jasabanksebesarRp40.000,00. Penentuan persentase bunga terhadap besarnya modal sebesar Hasil ini sering disebut sebagai suku bunga 1. Perumusan Model Matematika Misalkanmodal awal= Besar bunga = B (dalam rupiah) Besar suku bungaper satuanwaktu ditentukanoleh: 2. Penentuan modal setelah jangka waktu / peroide tertentu Modal awal = (modal pokok ) Suku bunga tunggal = b%
Perhitungan modal pada masing-masing periode waktu : Periode 1 : modal menjadi = Periode 2 : modal menjadi= Periode 3 : modal menjadi= ………………………………………………………………… Periode n : modal menjadi= Penentuanmodalpadamasing-masingperodewaktu Contoh 16 Yunus neminjam uang di bank sebesar Rp 5.000.000,00 dengan suku bunga dan harus dikembalikan dalam jangka waktu 1 bulan. Berapa besarnya bunga dan uang yang harusdikembalikan? Jawab : Jadi, besar bunganya adalah Rp 125.000,00 dan uang yang harus dikembalikan adalah Rp 5.125.000,00. Contoh 17 UangsebesarRp100.000.000,00disimpandibankdengansukubunga9,6%per tahun dengan sistem bunga tunggal. Hitunglah besar uang tersebut beserta bunganya setelah 4 bulan. Sebuah modal sebesar (modal pokok) disimpan di bank dengan bunga tunggal sebesar b = i% dalam satu periode waktu. Modal tersebut setelah period eke-n ditentukan oleh : atau
Diketahui : b = 9,6% per tahun bunga per bulan = besar uang setelah 4 bulan ditentukan oleh : Contoh 18 Seseorang meminjam uang atau modal. Setelah jangka waktu 2 tahun, modal itu harus dikembalikan kali modal semula. Berapa suku bunga per bulan yang dibebankan pada peminjam? Jawab : Diketahui : Modal awal= Suku bunga b = i% per bulan Lama pinjaman = 2 tahun = 24 bulan Berdasarkan rumus , , diperoleh : i= 2,08% Jadi, besar suku bunga per bulan sebesar 2,08%
Carlesmempunyaiutang.Setelah8bulanbesarnyamenjadiRp228.000.000,00 dan dikenakan suku bunga tunggal sebesar 15% per tahun. Berapa nilai utang awal Carles? Jawab : Diketahui : b% = 15% per tahun per bulan Ditanya : Beradsarkan formula , diperoleh: Jadi, nilai utang awal Carles sebesar Rp Prinsip Bunga Majemuk (CompoundInterest) Jika seseorang menyimpan modalnya di bank dalam beberapa kali periode bunga dengan besar bunga tertentu, akan terjadi proses bunga dari modal awal dengan bunga yang tidak diambil. Artinya, modal itu dibungakan lagi pada periode waktu berikutnya. Proses ini dikenal sebagai bunga majemuk atau bunga berbunga. Penentuan modal setelah periode n dan besar bunga setelah periode n Misalkan sebuah modal sebesar (modal awal) disimpan atau dipinjamkan dengan suku bunga b = i% per periode, perhitungan nilai modal per akhir periode adalah sebagaiberikut. Pertama,modalmenjadi= Kedua,modalmenjadi= Ketiga, modal menjadi =
Sebuahmodal sebesar (modal pokok / awal), dibungakan dalam jangka waktu n periode bunga dengan sistem bunga majemuk sebesar b = i% per periode, modal tersebut setelah period eke-n ditentukan oleh : atau Besar bunga setelah period eke-n ditentukan oleh : atau Formula ini merupakan aktualisasi dari deret geometri berhingga dengan suku pertama dan rasio = r = Ke-n,modalmenjadi= Besar bunga setelah n periode, ditentukan oleh : Penentuan modal dan besar bunga pada masing-masing periode waktu Contoh 20 Pak Broto menyimpan uang sebesar Rp 600.000.000, 00 di bank dengan sistem bunga majemuk sebesar 21% per tahun. Hitunglah : a. Besarnya uang Pak Broto setelah 6bulan b. Besarnyabunga yangditerimaPakBroto setelah6bulan Jawab : Diketahui : b = 21% per tahun b = per bulan a. Berdasarkanformula , diperoleh
b. Besar bunga yang diterima Pak Broto selama 6 bulan sebesar Contoh 21 Pak Andre mendepositokan uang sebesar Rp 400.000.000, 00 dengan suku bunga majemuk sebesar 20% per tahun. Pak Andre menghendaki nilai akhir uang tersebut menjadi dua kali lipat dari nilai uang yang didepositokan. Berapa lama uang tersebut harus didepositokan oleh PakAndre? Jawab : Diketahui : b = 20% per tahun Ditanya : n Berdasarkan formula : , diperoleh Jadi, uang tersebut harus didepositokan selama 4 tahun.
Pertumbuhan Pertumbuhan merupakan deskripsi dari konsep barisan dan deret aritmetika maupun geometri naik secara umum . dengan Semuaaturandalambarisandanderetaritmetikamaupungeometridigunakan dalam pembahasan berikut. Contoh 22 Di sebuah kota pada tahun 2011, jumlah penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa. Menurut historis perhitungan, tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% per tahun. Berapa jumlah penduduk di kota tersebut pada tahun 2015? Jawab : Diketahui : u1 = 2.000.000 n = 2015 – 2011 = 4 tahun b = 2% r = (100 + 2)% = 102% = 1,02 Ditanya : u4 Berdasarkanformulasukuke-npadabarisangeometri,diperoleh: U4 = a .r 4-1 U4 = 2.000.000 . (1,02)3 U4 = 2.000.000 (1,061208) U4 = 2.122.416 Jadi, jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2015 sebanyak 2.122.416 jiwa. Contoh 23 Sebuah dealer sepeda motor “Pasti Puas” baru setahun membuka usahanya. Pada bulan pertama, stok persediaan sepeda motor 10 buah. Pada akhir tahun, setelah dievaluasi ternyata rata-rata jumlah permintaan sepeda motor sebanyak 7 buah setiap bulan. Berapa jumlah stok persediaan bulan ketujuh? Jawab : Diketahui : U1 = 10
n = 7 Ditanya : u7 Berdasarkan formula suku ke-n dari barisan aritmetika , diperoleh : Un = a + (n - 1)b U7 = 10 + (7 - 1)7 U7 = 10 + 42 U7 = 52 Jadi, jumlah stok persediaan pada bulan ketujuh sebanyak 52 buah. Peluruhan Peluruhanmerupakankebalikandaripertumbuhandanmerupakandeskripsidari konsep barisan dan deret turun, yaitu: u1 , u2 , u3 , … , un dengan u1 > u2 > u3 >… > un Contoh 24 Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 m di atas lantai dan setiap bola itu mencapai lantai sellau memantul 80% dari ketinggian awalnya. a. Berapa ketinggian maksimum yang dicapai bola tersebut saat pantulan kelima? b. Berapapanjanglintasanyangdilaluibolasampaiberhenti? Jawab : Diketahui : a = 8 m Ditanya : dan a. Pantulan kelima = Jatuh keempat b. Saat bola jatuh
Saatbolamemantul Anuitas = Angsuran + Bunga atau A =an +bn Jadi panjang lintasan yang dilalui bola yaitu 40 + 32 = 72 meter 3. Anuitas Berbagai cara atau sistem yang dapat digunakan orang untuk pengaturan pengelolaan uang dalam dunia usaha. Salah satunya, yaitu dengan membayar sejumlah uang tetap (flat) pada setiap habis satu periode bunga (tahun atau bulan). Jumlah uang tetap (flat) ini disebut anuitas. Untuk perusahaan atau perorangan, periode bunga antara dua pembayaran umumnya adalah per tahun atau jangka waktu tertentu yang disepakati dua belah pihak.Akan tetapi, untuk pengusaha kecil, perode pembayaran dilakukan per bulan atau jangka waktu yang disepakati dalam hal jangka waktu, masa bunga dan tabel angsuran dari sistem anuitas tersebut. Dalam matematika keuangan, tiap anuitas (A) dikategorikan dalam dua bagian berikut. 1. Bagian angsuran (an) Bagian ini merupakan cicilan untuk melunasi utang atau pinjaman. 2. Bagian bunga (bn) Bunga dari utang selama satu periode bunga yang telah berlangsung atau terlampaui. Dari kedua hal di atas, dapat disimpulkan bahwa : 3.1 Rencana Angsuran(Rencan )
Untuk melunasi suatu pinjaman, kita perlu membuat rancangan pelunasan atas pinjaman tersebut. Rancangan ini disebut rencana angsuran atau rencana pelunasan. Berikut ini diberikan contoh rencana angsuran dalam bentuk perhitungan langkah demi langkah, kemudian dari perhitungan ini kita dapat menyusunnya dalam bentuk tabel rencanaangsuran. Contoh 25 Abdul mempunyai utang sebesar Rp 5.000.000, 00. Utang tersebut akan dilunasi secara anuitas sebesar Rp 1.060.792,00 dengan suku bunga 2% per bulan. Buatlah : a. Perhitungan angsuran langkah demilangkah b. Tabelrencanaangsuran Jawab : Diketahui : M = 5 x 106 , b = 2% , anuitas = A = 1.060.792 Misalkan : an = angsuran pada bulan ke-n bn=bunga pada akhir bulan ke-n Mn = sisa utang pada bulan ke-n Dengan n = 1, 2, 3, 4, … a. Proses penghitungan angsuran (an) berdasarkan aturan Angsuranpertama (ai)=anuitas–bunga akhir bulanke-i Secara formula : an = A - bn AngsuranPertama:(a1) Utang pada bulan ke-1 = M1 = 5 x 106 Bunga pada akhir bulan ke-1 = b1 = 0,02 x 5 x 106 =105 Angsuran pertama =a1 = A –b1 a1 = 1.060.792 – 100.000 a1 =960.792 Angsuran Kedua (a2) Utang pada bulan ke-2 = M2 = M1 – a1 M2 = 5 x 106 – 960.792 M2 = 4.039.208
Bunga pada akhir bulan ke-2 = b2 = 0,02 x 4.039.208 b2 = 80.784 Angsuran kedua = a2 = 1.060.792 – 80.784 a2 = 980.008 Angsuran Ketiga (a3) Utang pada bulan ke-3 = M3 = M2 – a2 M3 = 4.039.208 – 980.008 M3 = 3.059.200 Bunga pada akhir bulan ke-3 = b3= 0,02 x 3.059.200 b3 = 61.184 Angsuran ketiga = a3 = 1.060.792 –61.184 a3 = 999.608 Angsuran Keempat (a4) Utang pada bulan ke-4 = M4 = M3 – a3 M4 = 3.059.200 – 999.608 M4 = 2.059.592 Bunga pada akhir bulan ke-4 = b4 =0,02 x 2.059.592 b4 = 41.192 Angsuran keempat = a4 = 1.060.792 – 41.192 a4 = 1.019.600 Angsuran Kelima (a5) Utang pada bulan ke-5 = M5 = M4 – a4 M5 = 2.059.592 – 1.019.600 M5 = 1.039.992 Bunga pada akhir bulan ke-5 = b5 = 0,02 x 1.039.992 b5 = 20.800 Angsurankelima=a5=1.060.792–20.800 a5 = 1.039.992 Oleh karena nilai M5 =a5, berarti utang pada bulan ke-6 = M6 = M5 – a5 = 0 (lunas). Jadi, utang Abdul lunas dalam waktu 5 bulan. b. Beradsarkan perhitungan (a), dapat dibuat tabel angsuran berikut. Bulan Hutang awal =A=Rp1.060.792,00 Sisautangakhir
ke- bukan ke- Bunga = 2% Angsuran bulan ke1 Rp 5.000.000,00 Rp 100.000,00 Rp960.792,00 Rp 4.039.208,00 2 Rp 4.039.208,00 Rp 80.784,00 Rp980.008,00 Rp 3.059.200,00 3 Rp 3.059.200,00 Rp 61.184,00 Rp999.608,00 Rp 2.059.592,00 4 Rp 2.059.592,00 Rp 41.192,00 Rp1.019.600,00 Rp 1.039.992,00 5 Rp 1.039.992,00 Rp 20.800,00 Rp1.039.992,00 Rp 0,00 Contoh 26 Diberikan tabel rencana angsuran berikut Tahun keHutang awal tahun keAnuitas = A = Rp 5.615.673,75 Sisa utang akhir Bunga = 4% Angsuran bulan ke1 Rp25.000.000,00 Rp1.000.000,00 Rp4.615.677,75 Rp20.384.322,25 2 Rp 20.384.322,25 Rp 815.372,89 Rp4.800.304,86 Rp15.584.017,39 3 Rp 15.584.017,39 Rp 623.360,70 Rp4.992.317,05 Rp10.591.700,34 4 Rp 10.591.700,34 Rp 423.668,01 Rp5.192.009,74 Rp5. 339.690,60 5 Rp 5.399.690,60 Rp 215.987,62 Rp5.399.690,13 Rp 0,47 a. Jelaskan tabeltersebut b. Berapa tahun utang itulunas? c. Berapa besarnya angsuran pertama dan angsuran terakhir? d. Berapa besarnya bunga pada akhir tahun keempat? e. Berapabesarnyautangpadatahunkeempat? Jawab : a. Tabel tersebut menunjukkan rencana angsuran dari pinjaman sebesar Rp 25.000.000,00 dengan anuitas sebesar Rp 5.615.677,75 per tahun dan suku bunga 4% per tahun. b. Utangtersebut lunas dalam waktu 5 tahun. c. Angsuran pertama sebesar Rp 4.615.677,75 dan angsuran terakhir (angsuran kelima) sebesar Rp5.399.690,13. d. Bunga pada akhir tahun keempat sebesar Rp 423.668,01. e. Utang pada tahun keempat sebesar Rp 5.339.690,60 Pada tabel tersebut terlihat bahwa sisa utang pada akhir tahun kelima sebesar Rp 0,47. Hal ini dianggap lunas. 3.2 FormulaUntukUnsur-unsu m Anuitas
Pada bagian sebelumnya, kita telah membahas tentang pembuatan tabel pelunasan (angsuran) dan penghitungannya langkah demi langkah. Dalam bagian ini, kita akan menentukan formula matematika drai unsur-unsur pada tabel tersebut. Pada tabel tersebut terdapat unsur-unsur yaitu A = besar anuitas, an = besar angsuran pada periode ke-n, bn = bunga pada akhir periode ke-n, Mn = utang pada periode ke-n dan n = periode angsuran (dengan n = 1, 2, 3, …) 1. Formula umum angsuran(an) Formula umum angsuran (an) tiap periode ke-n, dapat ditentukan oleh langkah-langkah berikut. Penentuanangsuranpertama(a1) Angsuran pertama = a1 = A –b1 Utang pada periode pertama = M1 = M Bunga pada akhir periode pertama = b1 = b . M Jadi, angsuran pertama adalah a1 = A – b . M Penentuan angsurankedua(a2) Angsuran kedua = a2 = A –b2 Utang pada periode kedua = M2 = M - a1 = M – (A – b . M) Bunga pada akhir periode kedua = b2 = b . M2 b2 = b [M – (A – b . M)] Jadi, angsuran kedua = a2 = A - b [M – (A – b . M)] a2 = A –bM + bA – b2M a2 = A(1 + b) – b . M(1 + b) Jadi, a2 = (A - bM)(1 + b) Penentuan angsuran ketiga (a3) Angsuran ketiga = a3 = A –b3 Utangpadaperiodeketiga M3 = M2 –a2 M3 = M – (A – b . M) –[(A - bM)(1 + b)] Bunga pada akhir periode ketiga = b3 = b . M3 Angsuran ketiga
00.000)](1+0, a3 = A – b . M3 a3 = A – b {[M-(A-bM)]-[(A-bM)(1+b)]} a3=(A–bM)+b(A–bM)+(A- bM)[b(1+b)] a3 = (A -bM)[(1 + b) + b(1 + b)] a3 = (A - bM)(1+b)(1+b) Jadi, a3 = (A – bM) (1 + b)2 Dari penentuan angsuran pertama, angsuran kedua dan angsuran ketiga, telah terjadi keteraturan sebagai berikut. Angsuran pertama = a1 = (A – bM) = (A - bM)(1 + b)0 Angsuran kedua = a2 = (A - bM)(1 + b)1 Angsuran ketiga = a3 = (A – bM)(1 + b)2 Perhatikan bahwa a1 , a2 , a3 membentuk deret geometri berhingga dengan a1 = suku pertama = (A – bM) dan rasio = r (1 + b). Jadi, suku ke-n dapat dtentukan dengan rumus berikut Contoh 27 Hasan mempunyai utang sebesar Rp 5.000.000,00. Utang tersebut akan dilunasi secara anuitas sebesar Rp 1.060.792,00 dengan suku bunga 2% per bulan. Hitunglah besar angsuran pada : a. Bulan ketiga b. Bulankeempat Jawab : Diketahui : M = 5.000.000, A = 1.060.792, b = 2% = 0,02 Berdasarkan formula , diperoleh : a. a3 = [1.060.792-(0,02)(5.000.000)](1+0,02)3-1 a3 =[1.060.792-100.000](1,02)2 a3 = 960.792 (1,0404) a3 =999.608 Jadi, angsuran pada bulan ketiga sebesar Rp 999.608,00. b. a4 = [1.060.792-(0,02)(5.0 02)4-1
a3 =[1.060.792-100.000](1,02)3 a3 = 960.792 (1,061208) a3 =1.019.600 Jadi, angsuran pada bulan keempat sebesar Rp 1.019.600,00. 2. Formula penentuan besar pinjaman (M0) Dalam bagian ini, kita akan menentukan formula perhitungan besar pinjaman (M) sebagai fungsi anuitas (A) dengan suku bunga b pada periode angsuran (n). dengan prinsip bunga majemuk, anggap utang sama dengan jumlah semua NT (nilai tunai dari angsuran). Jumlah NT ini sama dengan besar utang atau pinjaman yaitu : Penentuan formula dapat ditentukan oleh formula pada deret geometri berhingga dengan dan rasio = yaitu sebagai berikut.
(i) Menggunakan tabel daftar bunga (ii) Menggunakanrumus (i) Menggunakantabeldaftaranuitas Formula menghitung besar pinjaman (utang ) 3. Formula penentuan besarnya anuitas (A) Berdasarkanformulapenentuanbesarpinjaman(utang)tersebut,diperoleh formula penentuan besarnya anuitas sebagai berikut . Contoh 28 Sebuahpinjamandilunasidengan8buahanuitasmasing-masingsebesarRp 22.741.448,00yangdibayar setiapakhirbulan.Tentukanbesarpinjamanjika ditentukan dasar bunga majemuk 4% per bulan.
A = 22.741.448, b = 4% , n = 8 Ditanya : M Berdasarkan formula : Jadi, besar pinjaman adalah Rp 153.112.638,00 Contoh 29 Sebuah pinjaman sebesar Rp 25.000.000,00 harus dilunaskan dengan 5 anuitas akhir tahunan. Jika dasar bunga majemuk ditetapkan 4% per tahun, hitunglah besar anuitas. Jawab : DiketahuiM=25.000.000, b =4%, n=5 Ditanya : A Beradsarkan rumus : Jadi , anuitas sebesar Rp 5.615.677,50 Contoh 30 Sebuah pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00 akan dilunasi dengan 14 anuitas sebesarRp427.684,50.Berapapersendasar bungapinjamanperbulannya?
Ditanya :b% Berdasarkan formula : Jadi, dasar bunga per bulannya adalah 1. Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilanganberikutnya. 2. Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang mempunyai ciri tertentu yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai tetap (konstan). Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah . Rumus jumlah n suku pertamabarisan aritmetika adalah dimana a adalah suku pertama, b adalah beda dan n adalah banyaknya suku. 3. Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki ciri tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai nilai tetap (konstan). Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah dan rumus jumlah n suku pertamaderetgeometriadalah atau 4. Deretgeometritakhingga dikatakan a. mempunyailimitjumlahataukonvergen, jika danhanya jika limitjumlahituditentukanoleh b. tidakmempunyailimitjumlah ataudivergen,jika dan hanya jika Bunga Tunggal
Misalkanmodal awal=M0 Besar bunga = B (dalam rupiah) Besar bunga per satuan waktu ditentukan oleh : b. Penentuan modal pada masing-masing periode waktu Sebuah modal sebesarM0 (modal pokok) dismpan di bnak dengan bunga tunggal sebesar b = i% dalam satu periode waktu. Modal tersebut setelah periode ke-n ditentukan oleh: 6. Prinsip bungamajemuk atau Sebuah modal sebesar M0 (modal pokok / awal), dibungakan dalam jangka waktu n periode bunga dengan system bunga majemuk sebesar b = i% per periode, modal tersebut setelah period eke-n ditentukan oleh : atau Besar bunga setelah period eke-n ditentukan oleh : atau Formula ini merupakan aktualisasi dari deret geometri berhingga dengan suku pertama = u1 =M1 dan rasio = r = (1 + b) 7. Pertumbuhan Pertumbuhan merupakan deskripsi dari konsep dan deret aritmetika maupun geometri naik secara umum. dengan 8. Peluruhan Peluruhan merupakan kebalikan dari pertumbuhan dan merupakan deskripsi dari konsep barisan dan deret turun, yaitu : dengan 9. Anuitas Anuitas adalah suatu rencana pembayaran tetap yang dilakukan secara berkala pada jangka waktu tertentu. Anuitas = Angsuran + Bunga a. Menghitung angsuran
Jika a1 , a2 , a3 membentuk deret geometri berhingga dengan suku pertama = a1 = (A-bM)dan rasio=r =(1+b), maka suku ke-nadalah an=a1 (1 +b)n-1 atau an = (A – bM)(1 + b)n-1 b. Formula penentuan besar pinjaman(utang) (i) Menggunakan tabel daftar bunga (ii) Menggunakan rumus c. Formula penentun anuitas (i) Menggunakan tabel daftar anuitas (ii) Menggunakan rumus
Barisan Aritmetika 1. Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, suku kedua puluh dari barisan aritmetika berikut ini. a. 2, 5, 8, … b. 12, 7, 2, … c. 100, 90, 80, … 2. Suku ke-3 dari suatu barisan aritmetika sama dengan 9 sedangkan suku ke-8 sama dengan 4. a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmetika ini b. Carilah rumus suku ke-n c. Carilah suku ke-15 dan sukuke-20 3. Suku ke-8 dari suatu barisan aritmetika sama dengan 15, sedangkan jumlah suku ke-2 dan suku ke-16 sama dengan26. a. Carilah suku pertama dan beda barisan aritmetika ini b. Carilah rumus suku ke-n 4. Temukan nilai x agar barisan merupakan barisan aritmetika Deret Aritmetika 1. Tentukanjumlah20sukupertamapadaderet aritmetikaberikutini. a. 1 + 4 + 7 +… b. 40 + 37 + 34 + … 2. Tentukan jumlah deret aritmetika berikutini.
a. -10 -11 -12 - …-100 b. 15 + 12 + 9 + …-36 3. Diketahui jumlah deret aritmetika 3 + 6 + 9 + … sama dengan 165. a. Tentukan banyaknya suku dalam deret aritmetika itu. b. Tentukan suku terakhirnya. 4. Diberikan merupakan jumlah n suku pertama sebuah deret aritmetika. a. Tentukan un b. Tentukan u20 5. Tentukan jumlah semua bilangan bulat antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5. Barisan Geometri 1. Tentukanrasio, rumus sukuke-n,dansukukesepuluhdaritiapbarisangeometri berikut. a. 1, 4, 16, 64, … b. 3, -6, 12, -24, … 2. Diketahui barisan geometri a. Tentukan rasio dan rumus sukuke-n b. Suku keberapakah yang nilainya sama dengan 256? 3. Sukuketigadansukukeenamdari suatubarisangeometriberturut-turut adalah32 dan 2.048. Tentukan suku pertama dan rasio dari deret geometri itu. 4. Diketahui barisan geometri dengan . Tentukan a, r dan . 5. Jika (p+1),(p–2),(p–8), … membentuk barisangeometri, maka rasionya adalah … Deret Geometri 1. Tentukanjumlah6sukupertamapadaderetgeometriberikutini. a. -2 + 10 -50 + 250 + … b. 128 -64 + 32 – 16 + … 2. Tentukan jumlah deret geometri 5 + 10 + 20 + …+ 320 3. Diketahui sukukelimadansukukesepuluhdarisuatuderetgeometriberturut-turut adalah 8 dan -256. a. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu. b. Hitunglah jumlah sepuluh sukupertamanya.
4. Diketahui barisan geometri dengan a = 4 dan u5 = 324. Tentukan jumlah 5 suku pertama barisan tersebut? 5. Diketahui barisan geometri dengan S2 = 72 dan S4 = 80. Hitunglah nilai u5. Deret Geometri Tak Hingga 1. Hitunglahlimitjumlahdarideretgeometritakhinggaberikutini. a. b. 2. Diketahuideretgeometritakhingga,dengansukupertama3,konvergendengan limit jumlah . Tentukan rasio deret geometri tak hingga tersebut. 3. Rumus suku ke-n dari suatu deret geometri adalah un =31-2n. a. Tentukan suku pertama, rasio dan suku keduanya b. Hitunglah limit jumlah suku-suku sampai tak hingga 4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 12 m dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi semula. Begitu seterusnya hingga bola berhenti. Panjang lintasan bola adalah … Bunga Tunggal 1. Pak Anton meminjam di sebuah bank sebesar Rp 200.000.000,00 dengan tingkat suku bunga tunggal sebesar 24% per tahun. Hitunglah : a. Besar bunga selama 6bulan b. Besar pinjaman yang harus dikembalikan setelah 8 bulan 2. Pak Hotman mendepositokan uangnya sebesar Rp 400.000.000,00 dengan suku bunga 20% per bulan selama 10 bulan. Hitunglah : a. Besar bunga b. Uang Pak Hotman setelah 10bulan 3. Om Toyib meminjamkan uangnya sebesar Rp 30.000.000,00 dengan suku bunga tunggal sebesar 3% per bulan. Setelah berapa lamakah uang Om Toyib menjadi Rp 43.500.000,00? 4. Harga sebuah kendaraan jenis minibus sebesar Rp 180.000.000,00 dibayar tunai. Tante Nina membeli kendaraan itu secara angsuran selama 1 tahun dan harganya menjadi Rp 240.000.000,00. Berapa besarnya suku bunga tunggal per bulan untuk pembelian secara angsuran tersebut?
1. UangsebesarRp40.000.000,00disimpandibankselama4tahundengansuku bunga 12% per tahun. Hitunglahbesar bunga, jikabank tersebut menerapkan system bunga majemuk . 2. Hitunglahbesarmodal setelah3tahununtukpenanamanmodal awalRp 200.000.000,00 dan suku bunga majemuk 10% per tahun. 3. Uang sebesar Rp 300.000.000,00 disimpan di bank atas dasar bunga majemuk. Hitunglahbesaruangitujikapadapermulaantahunkelimaberdasarkanbunga6% per tahun. 4. Berapabesarnyauangmula-mula yangharus disimpanolehPakBambang agar setelahlimatahunuangtersebutmenjadiRp1.000.000.000,00(1miliar)dengan sistem bunga majemuk sebesar 6% per tahun? 5. Berapakah besarmodal awal yang harus disetor ke bank agar 5 tahun yang akan datang modal tersebut menjadi Rp 1.000.000.000,00 (1 miliar), jika bank itu menerapkansukubungamajemuksebesar per tahun? Pertumbuhan dan Peluruhan 1. Sebuah pabrik perakitan motor di daerah Cikarang memulai berproduksi pada bulan Januari 2008 berusaha untuk dapat menambah produksi pada setiap bulannya. Pada bulan Januari 2008 pabrik itu memproduksi 3.500 unit, sedangkan pertambahan produksi setiap bulannya tetap sebesar 3.000 unit. Berapa jumlah sepeda motor yang diproduksi pada bulan Januari 2015? 2. Jumlah populasi suatu jenis tumbuhan bertambah mengikuti deret aritmetika dari 75.230 menjadi 125.280 dalam 8 tahun. Dengan anggapan rataan pertumbuhannya konstan, carilah rataan pertumbuhan populasi tersebut. 3. Pak Arifin menyetujui untuk bekerja pada hari pertama dengan honor Rp 100.000,00, hari kedua Rp 200.000,00, hari ketiga Rp 400.000,00, hari keempat Rp 800.000,00, demikian seterusnya. Berapa honor PakArifin pada hari ke-15? 4. Sebuah bola tenis jatuh dari ketinggian 12 meter dan memantul kembali dengan ketinggian kalitinggisemula.Pemantulaniniterusmenerushinggabolaberhenti. Panjang seluruh lintasan bola adalah….
1. Sebuah pinjaman sebesar Rp 100.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan sebesarRp18.067.438,00dansukubunga6%per tahun.Hitunglahbesarangsuran kedua 2. Didi meminjam uang di bank sebesar Rp 250.000.000,00. Pinjaman itu harus dilunaskandengananuitas akhir bulananselamadua tahun. Hitunglahanuitas yang ditetapkan bank tersebut dengan suku bunga 5% per bulan. 3. Sebuah perusahaan mempunyai utang sebesar Rp 500.000.000,00. Utang tersebut harus dikembalikan dalam jangka waktu 20 tahun dengan anuitas akhir tahunan dan suku bunga yang disepakati per tahun. Berapa besar anuitas yang diterapkan? 4. Sebuah perusahaan meminjam uang sebesar Rp 750.000.000,00 kepada bank. Pelunasannya dimulai setelah setahun dengan anuitas sebanyak 10 kali. Jika anuitasnya Rp 87.922.880,00, berapa persen dasar bunga yang ditetapkan bank tersebut?
Barisan Aritmetika 1. a. u1 = 2, b = 3, un = 3n – 1, u20 = 59 b. u1 = 12, b = -5, un = -5n + 17, u20 = -83 c. u1 = 100, b = -10, un = -10n +110, u20= -90 2. a. u1 = 11, b = -1 b. un = -n + 12 c. u15 = -3 u20 = -8 3. a. u1 = 29, b = -2 b. un = -2n + 31 4. x = -14 Deret Aritmetika 1. a. S20 = 590 b. S20 = -370 2. a. S91 = -5.005 b. S18 = -189 3. a. n = 10 b. u10 = 30 4. a. un = 4n + 8 b. u20 = 88 5. S39 = 7.800
1. a. r = 4 , un = 4n-1 , u10 = 49 = 262.144 b. r = -2, un = 3 . (-2)n-1 , u10 = -1.536 2. a. r b. n = 17 3. a = 2, r = 4 4. a = 12, r = 2 , u6 =384 5. r = 2 Deret Geometri 1. a. S6 = 5.208 b. S6 = 84 2. S6 =315 3. a. u1 = 0,5, r = -2 b. S10 = -170,5 4. S5 = 484 5. Deret Geometri Tak Hingga 1. a. b. 2. 3. a. b. 4. 60 meter Bunga Tunggal 1. a. 24.000.000 b. 232.000.000 2. a. 800.000.000 b. 1.200.000.000 3. 15 bulan
4. 25% Bunga Majemuk 1. 22.940774 2. 266.200.000 3. 401.467.673 4. 747.258.173 5. 802.451.046 Pertumbuhan dan Peluruhan 1. 21.500 unit 2. 7.150 3. 1.638.400.000 4. 60 meter Anuitas 1. 12.791.484 2. 18.117.725 3. 35.180.550 4. 3%
48 Kasmina, Toali. 2013. Matematika untuk SMK / MAK Kelas X. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama X-PRESS UN SMK / MAK 2018 Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan dan Pertanian. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama Sukino. 2015. Matematika untuk SMA / MA Kelas XII Kelompok Wajib. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama 2015.Matematika Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu Alam. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama Sulistyono.2012.SPM Matematika SMA dan MA. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama Widodo, Untung.2015. Mandiri Matematika untuk SMA / MA Kelas XII Kelompok Wajib. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama Wirodikromo, Sartono.2007.Matematika untuk SMA Kelas XII. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama
48 Melalui pembelajaran berbasis modul, diharapkan pengguna modul ini dapat belajar secara mandiri, mengukur kemampuan diri sendiri, dan menilai dirinya sendiri. Terutama dalam memahami materi barisan dan deret serta aplikasi barisan dan deret. Semoga modul ini dapat digunakan sebagai referensi dalam proses pembelajaran. Semoga modul ini memberi manfaat bagi pengguna.