คณิตศาาสตร์

ได้แก่ (1, -3) , (0.5,8), (2, ),12, (1,.5) เป็นตนั ฃ

บ ท นิ ย า ม คู่ อั น ดั บ คื อ ก า ร แ ส ด ง ถึ ง (a , b) = (c , d) ก็ตอ่ เม่ือ a = c และ b = d
ความสัมพันธ์ของการจับคู่ระหว่างสมาชิก (a , b) (c , d) ก็ต่อเม่อื a + c หรือ b# d
ของกลุ่มสองกลุ่ม สมาชิกกลุ่มแรก และ b
เป็นสมาชิกกลุ่มหลัง เขียนแทนคู่อันดบั a, b
ด้วย (a, b)

บทนิยาม ให้ A, B เป็ นเซตใด 1 ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesian Product)
ของ A และ B คือ เซตของ คู่อันดับท่ีสมาชิกตัวหน้าอยู่ใน A และสมาชิกตัวหลัง
อยู่ใน B เขียนแทนด้วย A X B น่ันคือ A x B = {(a│b)} ∈ A และ b ∈ B]
ดงั นัน้ (a, b) ∈ A X B กต็ ่อเม่ือ a ∈ A และ b ∈ B

กาหนดให้ A, B, C และ D เปน็ เซตใดๆ 6. (A x B)∩(C x D) = (A∩C) x(B∩D)
1. Ø x A = Ø = A x Ø 7. ถา้ A ⊂ B และ C ⊂ D แลว้ A X C ⊂ B X D
2. n(Ax B) = n(A)∙n(B) 8. A x B = Ø ก็ตอ่ เมอื่ A = Ø หรือ B = Ø
3. A x(BUC) = (A x B)∪(A x C) 9. A X B = B x A ก็ต่อเมือ่ A = B หรือ A = Ø หรอื B = Ø
4. A x (B∩C) = (A x B)∩(A x C)
5. A x(B-C)=(A x B)-(A x C)

บทนิยาม กาหนดให้ r เปน็ ความสมั พนั ธ์
โดเมน (domain) ของ r คอื เซตของสมาชกิ ตัวหน้าทง้ั หมดของคู่อนั ดับใน r แทนดว้ ยสญั ลักษณ์
น่นั คือ = , ) ∈
เรนจ์ (range) ของ r คอื เชตของสมาชกิ ตวั หลังทง้ั หมดของคู่อันดบั ใน r แทนด้วยสัญลกั ษณ์
นั่นคอื , ) ∈

วธิ ีการหาโดมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ r มีดังน้ี

ถา้ r อยใู่ นรปู เซตทเ่ี ขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ สามารถหาโดเมนและเรนจ์ได้จากสมาชกิ ของ
ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ r = (1, 2), (2, 4), (3,4), (3,6) จงหาโดเมนและเรนจ์ของ r
- {1,2,3}
- {2,4,6}

เงอื่ นไข มีวธิ ีการหาโดเมนและเรนจด์ งั น้ี

การหาโดเมน ให้จัดสมการตรงเงอ่ื นไขใหอ้ ยูใ่ นรปู Y = เทอมของ X แลว้ พจิ ารณาหาคา่ x ท้ังหมด
ทส่ี ามารถทาให้ หาคา่ ได้ ค่า X ท่ไี ด้ทัง้ หมดน้ี คือ โดเมนของความสมั พนั ธ์

การหาเรนจ์ ใหจ้ ดั สมการตรงเง่ือนไขให้อยูใ่ นรูป x = เทอมของ Y แล้วพจิ ารณาหาคา่ y ทั้งหมด
ที่สามารถทาให้ x หาค่าได้ ค่า y ท่ีไดท้ ้งั หมดน้ี คือ เรนจ์ของความสมั พนั ธ์

หลักเกณฑท์ ว่ั ไปที่ใช้ประกอบการพิจารณาโดเมนและเรนจ์

เศษสว่ น = y =
−

กรณฑ์อันดบั คู่ a = เม่ือ b เป็นจานวนจรงิ และ n เป็นจานวนค่บู วก พิจารณา a ≥ และ b ≥

กาลงั คู่ = b เมือ่ n เปน็ จานวนคู่บวก พจิ ารณา b ≥

คา่ สัมบรู ณ์ |a| = b พิจารณา b ≥

บทนิยาม ตวั ผกผันของความสมั พนั ธ์ r คือ ความสมั พนั ธ์ซง่ึ เกิดจากการสลับท่ีของสมาชิกตัวหน้า และ
สมาชกิ ตัวหลังในแต่ละค่อู นั ดบั ทเ่ี ปน็ สมาชิกของ r ตัวผกผนั ของความสัมพนั ธ์ r เขียนแทนด้วย −

วธิ ีการหาตวั ผกผนั ของความสมั พนั ธ์
1. ถ้า r อยใู่ นรูปเซตท่ีเขยี นแบบแจกแจงสมาชิก สามารถหา − ไดโ้ ดยการสลบั ที่สมาชิกตัวหน้ากบั สมาชกิ
ตัวหลังของทกุ คู่อนั ดับใน r
2. ถ้า r อย่ใู นรปู เซตท่เี ขยี นแบบบอกเงื่อนไข สามารถหา − ไดโ้ ดยการสลบั ที่ตัวแปรของส่วนทเ่ี ปน็
คู่อนั ดับหรอื สลับทีต่ วั แปรของส่วนทบี่ อกเง่ือนไขใน r จดั รปู เปน็ y เทอม X

ฟังก์ชัน (Function) คอื ความสัมพนั ธ์ท่สี มาชกิ ในโดเมนแตล่ ะตัวจับคู่กบั สมาชกิ ในเรนจ์ของความสัมพนั ธ์เพยี งตวั เดยี ว
เท่านั้น

บทนิยาม
เรียกความสัมพนั ธ์ r วา่ ฟงั กซ์ นั (Function) เมอื่ r มคี ณุ สมบัตดิ งั นี้
ถ้า , ∈ และ , ∈ แล้ว =

เปน็ ฟงั กช์ ัน ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน

การตรวจสอบความสัมพนั ธท์ ีก่ าหนดใหใ้ นรูปแบบแจกแจงสมาชกิ สามารถทาไดด้ ังตวั อย่างตอ่ ไปนี้
ตวั อยา่ งที่ 1 จงตรวจสอบว่าความสัมพนั ธ์ตอ่ ไปนี้เปน็ ฟังก์ชนั หรอื ไม่
f = {(0,1),(2,3),(4,5),(0,2)}
g ={(1,2),(7,8),(5,9),(1,2)}

จากความสัมพันธ์ที่กาหนดให้จะพบวา่ ทง้ั f และ g ตา่ งมีคู่อนั ดับทมี่ สี มาชกิ ตวั หน้าซา้ กัน คือ (0,1) กับ (0,2)
และ (1,2) กบั (1,2) ตามลาดบั แตส่ มาชิกตัวหลังของคอู่ นั ดบั ทซ่ี ้ากนั ใน f ไม่เหมือนกนั ดังนน้ั f จงึ ไม่เปน็
ฟังก์ชัน แต่ g เปน็ ฟงั ก์ชนั

ตรวจสอบโดยใช้บทนยิ ามใหน้ าสมการแสดงความสัมพันธร์ ะหว่างสมาชิกตวั หนา้ x กบั สมาชกิ ตัวหลัง y
มาตรวจสอบค่า y ท่ไี ด้จากค่า x หน่งึ ๆ หากมคี ่า y ที่เปน็ ไปไดเ้ พียงค่าเดียว ความสมั พันธ์น้ันจะเปน็ ฟงั ก์ชัน

ตวั อย่าง จงตรวจสอบวา่ ความสัมพันธ์ f = {(x , y)ϵR x R | y2= x + 1} เป็นฟังกช์ ันหรอื ไม่
วธิ ีทาพจิ ารณาค่าของสมาชิกตวั หลัง y1และ y2ทค่ี า่ สมาชิกตัวหน้าเดียวกนั x
จะได้
y12= x + 1 ---------- (1)
y22= x + 1 ---------- (2)
ดา้ นขวามอื ของสมการทงั้ สองเทา่ กนั ดงั นัน้
y12=y22หรอื y1= ± y2 จะพบวา่ y1ไมจ่ าเป็นต้องเท่ากบั y2 น่นั คือ f ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ัน

ตัวอยา่ ง จงตรวจสอบวา่ ความสัมพันธ์ gเปน็ ฟังก์ชนั หรือไม่ เม่ือ
g= , ∈ = − จะได้

1 = 64 − 2 1

2 = 64 − 2 2

หรือy1=y2 นัน้ คือ g เปน็ ฟงั ก์ชนั

ตรวจสอบจากการวาดกราฟวธิ ีนีท้ าได้โดยลากเส้นตรงขนานแกน y ลงบนกราฟของความสัมพนั ธ์ หากไม่มีเสน้ ตรงใดตดั กราฟ
ของความสมั พันธม์ ากกวา่ 1 จุด ความสัมพนั ธ์นั้นจะเปน็ ฟังก์ชัน แตถ่ ้ามอี ยา่ งนอ้ ย 1 เสน้ ตดั กราฟ 2 จุด ความสมั พันธน์ นั้ จะ
ไม่เป็นฟังกช์ นั

ตัวอย่าง f = {(x , y) ϵ R x R | y2+ 10y + x + 28 = 0} จงหาว่า f เป็นฟงั กช์ นั หรอื ไม่
วธิ ที า 1. จัดรูปสมการ เพอื่ เขียนกราฟได้
y2+ 10y + x + 28 = 0
y2+ 10y + 25 = -x - 28 + 25
(y-5)2= - (x+3)
2. วาดกราฟ สมการที่ได้เปน็ สมการพาราโบลา เปดิ ทางด้านซา้ ย ซง่ึ มจี ุดยอดอยูท่ ่ี (-3,5) ซ่งึ มกี ราฟดงั รูปที่ 1
เม่อื ลากเสน้ ขนานแกน y จะพบว่ามเี ส้นตรงตดั กราฟ 2 จุด ดงั นน้ั จึงสรุปได้วา่ f ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ ัน

1 ฟังก์ชนั คงที่ เปน็ ผลลพั ธ์ท่ีเรามเี พยี งผลลพั ธเ์ ดยี วสาหรับฟงั ก์ชันดงั กลา่ วดังน้นั เราจงึ ไดส้ ่งิ ท่คี ลา้ ยกบั
ทเี่ ราเหน็ ในภาพต่อไปนี้น่นั คือเส้นแนวนอน

2

ฟงั ก์ชั่นบรรทัด คือส่ิงที่มีรูปร่าง f (x) = mx + โดยท่ี m คือความชันบ่งช้ีในขณะท่ี b คือค่าใน y ดงั น้ัน
จงึ ไดเ้ สน้ ตรง

3 ฟังก์ชนั กาลงั สอง

ฟังก์ชันกาลังสอง เป็นฟงั ก์ชันของประเภท f (x) = ax2 + b x + ดงั นั้น a, b และ c จะเป็นค่าคงท่ีซึง่
แตกต่างจากศนู ยไ์ มว่ ่าในกรณีใด ๆ ดว้ ยวิธีน้สี ิง่ ท่ีได้คือพาราโบลาที่สามารถเปดิ ข้ึนหรือลงได้ขึ้นอยู่กับว่า a
มีค่ามากกว่าศูนย์หรือมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ในกรณีที่เป็นค่าท่ีสูงกว่าค่านั้นจะเปิดข้ึนด้านบนและถ้าเป็นค่าที่
ต่ากว่าศนู ย์ค่าน้นั จะเปิดลงด้านล่าง

4 ฟังกช์ ันคา่ สัมบรู ณ์

ฟังก์ชันคา่ สมั บูรณ์ คอื ฟงั กช์ นั ทอ่ี ย่ใู นรูป y = |x - a| + c เมอื่ a และ c เป็นจานวนจริง ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
กราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ จะมีลักษณะเป็นเส้นตรงสองเส้นมาเจอกันที่จุดหักมุมฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์เมื่อ
หน้าคา่ สมั บรู ณ์มีค่า + จะได้กราฟหงาย

5 ฟังก์ชันข้นั บันได
ฟังก์ชนั ขนั้ บันได (Step Function) หมายถงึ ฟงั ก์ชนั ทมี่ ีโดเมนเปน็ สบั เซตของเซตของจานวนจริงและมีคา่
ของฟงั ก์ชนั เปน็ คา่ คงตัวเป็นช่วงๆมากกวา่ สองช่วงกราฟของฟังกช์ นั น้ีมีลักษณะคล้ายขน้ั บันได
กราฟของฟังก์ชนั นีจ้ ะมรี ปู ร่างคล้ายขนั้ บนั ได

ตัวอยา่ ง ของฟงั กช์ ันขน้ั บนั ไดทพ่ี บเห็นในชีวิตประจาวัน ไดแ้ ก่ อตั ราคา่ บรกิ ารไปรษณยี ป์ ระเภทต่างๆ เชน่ จดหมาย พัสดุไปรษณยี ์ เปน็ ตน้
ตัวอย่าง การเขียนฟงั กช์ นั ในรูป f(x) เมอื่ x เปน็ จานวนหน้าจดหมาย และ f(x) เป็นอตั ราคา่ สง่ จดหมาย

ฟงั ก์ชนั จาก A ไป B

บทนยิ าม กาหนดให้ A และ B เปน็ เซต f เป็นฟังก์ชนั จาก A ไป B (function from A to B )
ก็ตอ่ เมื่อ 1. f เปน็ ฟงั กช์ นั 2. = A 3. ⊂ B
f เปน็ ฟงั ก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ f : A → B

ฟังกช์ นั หน่งึ ตอ่ จาก A ไป B

บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันหนง่ึ ต่อหนงึ่ จาก A ไป B ก็ตอ่ เมอ่ื
1.f เปน็ ฟงั กช์ ันจาก A → B
2. ถ้า y ∈ แลว้ จะมี x ∈ D, เพยี งตวั เดยี วเท่าน้ันที่ทาให้ (x, y) ∈ f เขียนแทน f เป็นฟงั กช์ นั
หนง่ึ ต่อหนึ่งจาก A ไป B
ดว้ ยสัญลกั ษณ์ f : A → B

ฟังกช์ ันจาก A ไปทว่ั ถงึ B

นยิ าม กาหนดให้ A และ B เป็นเซต และ f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B ก็ตอ่ เมอื่
1. f เปน็ ฟงั กช์ ัน
2. = A
3. = B
f เป็นฟงั ก์ชนั จาก A ไป B เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ f : A → B

ฟงั ก์ชนั หน่ึงตอ่ จาก A ไปทั่วถึง B

บทนยิ าม f เปน็ ฟังก์ชนั หนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B กต็ อ่ เมือ่
1.f เป็นฟงั ก็ชันหนึ่งตอ่ หนึ่งจาก A ไป B
2. f เป็นฟงั ก์ชนั จาก A ไปทัว่ ถึง B เขียนแทน f เป็นฟังก์ชนั หน่ึงตอ่ หนึง่ จาก A ไปทัว่ ถงึ B ด้วยสัญลักษณ์
f : A→ B

f + g = { (x,y) | y = f(x) + g(x) และ x ∩ Dg }
f – g = {(x,y) | y = f(x) – g(x) และ x ∩ Dg}
f · g = {(x,y) | y = f(x) · g(x) และ x ∩ Dg}
{(x,y) | y = เมอื่ x ∩ Dg และ g(x) ≠ 0}

บทนยิ าม ให้ f และ g เปน็ ฟังก์ชนั และ Rf ∩ Dg ≠ Ø ฟงั กช์ นั ประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย gof
กาหนดโดย (gof)(x) = g(f(x)) สาหรับทกุ x ซงึ่ f(x)

จากรปู ท่ี 1 y = f(x) และ z = g(y) จะเห็นวา่ จะหา gof ได้ เม่ือมี y อยู่ใน Rf และ Dg พร้อม ๆ กนั นนั่ คือ Rf Dg ตอ้ ง
ไมเ่ ทา่ กับ Ø จากแผนภาพจะพบวา่ f เป็นความสมั พันธจ์ าก A → B g เป็นความสัมพนั ธ์จาก B → C gof เป็น
ความสัมพนั ธ์จาก A → C การหาฟังกช์ ันประกอบ จากแผนภาพการแจกแจงสมาชกิ ของฟงั กช์ ัน

ฟงั ก์ชันผกผัน หรืออินเวอร์สฟังก์ชัน เขยี นแทนดว้ ยเมอ่ื เปน็ ฟงั ก์ชันฟังกช์ นั นน้ั เป็นความสัมพนั ธ์
ดงั นน้ั ฟงั ก์ชนั ก็สามารถหาตัวผกผันได้เช่นกัน แตต่ วั ผกผนั น้ันไม่จาเปน็ ท่ีจะตอ้ งเป็นฟังกช์ ันเสมอไป
เพราะอะไรถงึ ไม่จาเป็นจะต้องเป็นฟังก์ชัน
ตวั อยา่ ง
ให้ f = {(1, 2), (3, 2), (4, 5),(6, 5)} จะเหน็ วา่ f เปน็ ฟังกช์ ัน
พิจารณาตวั ผกผนั ของ f เทา่ กบั {(2, 1), (2, 3), (5, 4), (5, 6)}
จากนิยามของฟังกช์ ัน ถา้ ตวั หน้าเท่ากันแลว้ ตวั หลงั จะต้องเท่ากัน ทาใหไ้ ด้ว่า ตัวผกผนั ของ f ไม่เปน็ ฟงั กช์ นั





รากที่ n ของจานวนจริง คอื จานวนจรงิ ตัวหนง่ึ ยกกาลงั n แล้วเท่ากบั x เมอ่ื n > 1 โดยนยิ ามดงั น้ี
นิยาม
ให้ x, y เปน็ จานวนจริง และ n เป็นจานวนเต็มทีม่ ากกวา่ y เป็นรากท่ี n ของ x ก็ตอ่ เม่ือ = x

บทนยิ าม ฟังก์ชันเอก็ โพเนนเชียล (Exponential Function)
f = , ∈ + y = โดยท่ี a > 0 และ a ≠1

จะเห็นวา่ เมอื่ x เพม่ิ ขน้ึ คา่ ของ y นัน้ เพ่ิมขนึ้ เรื่อยๆ ดังนั้น เป็นฟงั กช์ นั เพม่ิ จะเห็นว่าเมื่อ x เพ่มิ ขึ้นคา่ ของ y น้นั เพิ่มข้นึ เร่อื ยๆ ดงั น้นั เปน็ ฟงั กช์ นั ลด

สมการเอกยโ์ พเนนเขยี ล (Exponential Equation) คือ สมการท่มี ตี ัวแปรเปน็ เลขช้ีกาลงั
วิธกี ารแกส้ มการ เอกซโ์ พเนนเชียล
1.ถ้าสมการอย่ใู นรูป = ให้ใชส้ มบัติของฟังก์ชัน 1 - 1 แปลงเป็น A = B
2.ถ้าสมการมมี ากกวา่ 2 พจน์ ใหจ้ ัดขา้ งใดข้างหน่งึ เป็น 0 แลว้ แยกตัวแปร 3 แล้วแยกตวั ประกอบ
3.ถา้ สมการมฐี านไมเ่ ท่ากัน ให้ใส่ l0g ท้ังสองข้างของสมการแล้วแก้สมการ

อสมการเอกยโ์ พเนนเขียล (Exponential Equation) คอื อสมการที่มีตัวแปรเปน็ เลขชี้กาลัง
วธิ กี ารแก้สมการ เอกซโ์ พเนนเชยี ล
1.จัดอสมการอยู่ในรปู > , > , < , หรอื ≤ อยา่ งใดอยา่ ง
หนงึ่ ถ้า a > 1 ให้ใชส้ มบตั ิฟังกช์ นั เพมิ่ สรุปว่า A> , ≥ , < หรอื ≤

ตามลาดับ
2.ถ้าสมการมีมากกว่า 2 พจน์ ให้จัดขา้ งใดข้างหนึ่งเป็น 0 แลว้ แยกตวั แปร 3 แล้วแยกตวั ประกอบ
3.ถ้าสมการมฐี านไม่เทา่ กัน ใหใ้ ส่ l0g ท้งั สองข้างของสมการแล้วแก้สมการ

ฟงั ก์ชันลอการทิ มึ คือฟงั กช์ นั ผกผันของฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล จากท่ฟี ังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียลคอื คู่อันดบั (x, y)
ซง่ึ เป็นความสัมพันธท์ ีส่ ง่ จากจานวนจรงิ ไปยังจานวนจรงิ บวก โดยที่ y = ดงั นั้นฟงั ก์ชนั ดังกล่าวซ่งึ เป็นฟงั กช์ ันผกผนั ของ
เอกซ์โพเนนเชยี ล ก็คอื คู่อนั ดบั (y, x) หรอื อาจจะบอกไดอ้ กี แบบคือ คู่อันดบั (x, y) ซง่ึ เปน็ ความสมั พันธจ์ ากจานวนจรงิ บวก
ไปยงั จานวนจริง โดยที่ y = จดั รปู ใหม่ ได้เปน็ y = (อ่านว่าลอ็ ก x ฐาน a)

บทนยิ าม

จากกราฟจะเหน็ วา่ จากกราฟจะเหน็ วา่
เม่ือ a > 1 จะเปน็ ฟงั ก์ชนั เพิ่ม เม่ือ a > 1 จะเปน็ ฟงั ก์ชนั ลด



ลอการทิ ึมสามญั (Common Logarithm) คือ ลอการทิ มึ ท่มี ฐี านเป็น 10 ในการเขียนลอการิทมึ สามัญนยิ ม
เขียนโดยไม่ใสฐ่ านกากบั เชน่ (09103 เขยี นแทนด้วย log3

ตัวอยา่ ง กาหนดให้ log N = 2.5159 จงหาคา่ N
วิธีทา เนอ่ื งจาก log N = 2.5159
= 0.5159 + 2
= log 3.28 + log 102
= log (3.28×102)
= log 328
ดงั นั้น N = 328

เนื่องจากจานวน n ใดๆเราสามารถเขียนไดใ้ นรูปของ
N = A x เมือ่ 1 ≤A <10

ดงั นนั้ logN = logA + A
เรยี ก n วา่ แคแรกเทอริสติก และเรียก logA ว่า แมนทสิ ซา ซ่งึ 0 ≤ <



ลอการทิ ึมแบบเนเปียร์ หรือลอการทิ ึมธรรมชาติ ลอการิทึมฐาน e เม่อื e เปน็ สญั ลกั ษณแ์ ทน

จานวนอตรรกยะจานวนหน่ึงซง่ึ มีค่าประมาณ 2.71828182846 เรียกลอการิทึมฐาน e วา่ ลอการิทึม

แบบเนเปียร์ (Napierian Logarithm) หรือ ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithm) โดยในการ

เขียนลอการิทึมของ x ฐาน e นิยมเขียน Inx แทน 109 x และอาจค่าลอการิทึมฐาน e โดยอาศัย

ลอการิทึมฐานสิบ ดังน้ี
log e ≈ log2.71828 เมอ่ื e ≈ log2.71828
≈ 0.4343