Devoir de Synthèse N°1 - Math - Bac Sciences exp (2014-2015) Mr Ali Hamdi

Devoir de Synthèse N°1

L.S :02/03/34 Section : Sciences Expérimentales
Goubellat
Epreuve : Mathématiques
Date : 10/12/2014
Classe : 4eme année Durée : 2h Coefficient :3
Prof :Hamdi

EXERCICE N° 1 ( 3 Pts )

Donner la réponse exacte

1° ) Soit (Un ) la suite définie sur  croissante et non majorée alors on a

a° ) lim Un =0 ; b° ) lim U n = -∞ ; c° ) lim U n = +∞

n→+∞ n→+∞ n→+∞

2° ) Soit la suite U définie par Un = 2n sin( 1 )
2n

a°) a° ) lim U n =0 ; b° ) lim U n =1 ; c° ) lim U n = +∞

n→+∞ n→+∞ n→+∞

3° ) Soit un nombre complexe Z = 2 sin α ei α avec α ∈ [¨- π , 0[ la forme trigonometrique de Z

est :

a° ) [- 2 sin α ; α + π ] ; b° ) [ 2 sin α ; α ] ; c° ) [1 ; α ]

EXERCICE N° 2 ( 5.5 Pts )

On considère les suites U et V définies sur  par :

U0 = 0 et ∀ n ∈  Un+1 = 2Un +Vn
 Vn+1 = 3
V0 = 7 et ∀ n ∈ 
Un + 3Vn
4

1 ° ) Montrer que la suite W définie par W n = Un - Vn est une suite géométrique

de raison 5
12

2 ° ) Montrer que pour tout n ≥ 0 , Un ≤ Vn

3 ° ) Montrer que la suite U est croissante et que la suite V est décroissante

4 ° ) En déduire que les suites U et V sont adjacentes et qu' elles admettent la meme limite L
5 ° ) Soit la suite T définie sur  par : T n = 3 Un + 4 Vn

a ° ) Montrer que la suite T est constante

b ° ) En déduire L

EXERCICE N° 3 ( 6 Pts )

1° ) On considère la fonction g définie sur [ 0 , π ] par : g ( x ) = x -1- sin x

a ° ) Montrer que l'équation : g ( x ) = 0 admet une unique solution α dans  π ,π 
 2 

b ° ) Donner un encadrement de α d'amplitude π
4

c ° ) Vérifier que pour tout x ∈[ 0 , α [ on a : g ( x )  0 et pour tout x ∈ ] α , π ]

on a : g ( x )  0

d ° ) Exprimer cos α à l'aide de α

2 ° ) Soit f la fonction définie sur [ 0 , π ] par : f ( x ) = ( x - 1 ) sin x + cos x - 1 sin 2 x

2

a ° ) Montrer que pour tout x de [ 0 , π ] on a : f ' ( x ) = g ( x ) cos x

b ° ) Dresser le tableaux de variation de f

c ° ) Montrer que l'équation : f ' ( x ) = -2 admet au moins une solution x 0 dans ¨ 0 , π 
π 2 

EXERCICE N° 4 ( 5.5 Pts )

Soit l'équation ( E α ) : Z 3 + 3 i Z 2 - ( 3 + e 2 i α ) Z - i ( 1 + e 2 i α ) = 0 avec α ∈ [ - π , π [

1 ° ) a ° ) Verifier que -i est une solution de ( E α ).

b ° ) Verifier que :

Z3 +3iZ2 -(3+e2iα )Z-i(1+e2iα ) =(z+i)(Z2 +2iZ-(1+e2iα ))

c ° ) Resoudre dans  l'équation ( E α ).  

2 ° ) Dans le plan complexe munie d'un repère orthonormé direct ( O , U , V ) on considere

les points I , M et N d'affixe respectifs : Z I = - i ; Z M = e i α - i et Z N = -i - e i α

a ° ) Montrer que I est le milieu de [ M N ]

b ° ) Montrer que si α varie dans [ -π , π [ alors M varie sur un cercle de centre I dont on

determinera son rayon.

c ° ) En deduire l'ensemble des points N lorsque M varie sur le cercle.

3 ° ) Dans la suite on suppose que α = 0.

a ° ) Ecrire Z M sous forme exponentielle.
ZN

b ° ) En deduire la nature du triangle O M N.

BONNE CHANCE