p e l u a n g R I N I T A , S . P D 2 0 2 3 BAHAN AJAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, penulis dapat menyusun bahan ajar matematika SMK kelas X untuk materi peluang. Beberapa manfaat yang diperoleh setelah mempelajari materi peluang diantaranya membantu dalam pengambilan keputusan yang tepat, memperkirakan hal yang akan terjadi, dan meminimalisir kerugian serta kerap digunakan pada bidang ilmu ekonomi, ilmu statistika, dan ilmu psikologi. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa bahan ajar ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk penyempurnaan bahan ajar ini sangatlah penulis harapkan. Penulis juga mengucapkan banyak terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam proses penyusunan bahan ajar ini. Semoga bahan ajar matematika ini akan membantu peserta didik belajar dan memahami matematika, terutama pada materi peluang. Peserta didik dapat menggunakan bahan ajar matematika ini sebagai referensi. Jakarta, Juni 2023 Penulis Rinita , S.Pd KATA PENGANTAR
Untuk mengambil sebuah kesimpulan atas sebuah hipotesis yang terkait tentang masalah populasi. Kenapa populasi? Karena sebuah peluang dapat diambil berdasarkan titik sampel yang banyak. Itulah kenapa rumusan teori peluang dikemukakan karena menyangkut jumlah data dan titik sampel yang sangat banyak. Di sekolah – sekolah dan Perguruan Tinggi, teori ini tetap dipakai sampai sekarang. Penulispun dalam menyelesaikan Tugas Akhir menggunakan teori ini dalam sebuah program yang penulis buat. Itulah kenapa peluang ini sangat penting untuk dipelajari khususnya bagi seorang akademisi. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil penelitian dari suatu populasi. Misalnya ketika akan diadakan sensus penduduk untuk pemilihan Presiden tahun 2024. Jika di sensus tahun 2020 jumlah perbandingan laki-laki dengan perempuan adalah sebesar 6:5 dan di tahun 2010 jumlah perbandingan laki-laki dengan perempuan adalah sebesar 5:5, maka dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah pertumbuhan penduduk yang berjenis kelamin laki – laki mengalami pertumbuhan dalam satu dekade terakhir. Dalam perdagangan misalnya pemilik toko ingin menambah stok barang di tokonya, tentunya si pemilik toko akan menghitung peluang barang yang akan laku dan laris dipasaran. Dengan teori peluang ini, si pemilik toko akan berupaya untuk mendahulukan barang yang cepat laku di pasaran. Dalam UTBK SNBT 2023 pun kita diminta untuk memilih Universitas dan Jurusan yang kita sukai. Aturan dalam SNBT misalnya siswa jurusan akuntansi diperbolehkan memilih 2 jurusan pada 1 universitas atau masing-masing 1 jurusan pada 2 universitas berbeda. Maka tentunya kita akan melakukan urutan pemilihan berdasarkan besarnya peluang yang kita dapatkan untuk bisa lolos ujian. Contohnya Jurusan Manajemen UI mempunyai saingan lebih tinggi dari Akuntansi UI, dengan melihat data seperti ini, tentunya kita akan meletakkan Fakultas Manajemen UI pada pilihan pertama dan Fakultas Akuntansi UI pada pilihan kedua. Peluang adalah banyaknya kemungkingan dari setiap kali percobaan yang dilakukan. Contohnya "berapa kemungkinan munculnya angka dari 3 kali percobaan melempar koin?" Dalam kehidupan sehari – hari, peluang merupakan sebuah teori yang sangat erat kaitannya dalam mengambil sebuah keputusan. Misalnya jika kita akan pergi bermain keluar rumah dan melihat cuaca di luar rumah mendung, tentunya kita akan memperkirakan berapa kemungkinan akan turun hujan pada hari ini. Karena peluang merupakan teori yang sangat banyak dipakai dalam kehidupan sehari – hari, mari kita simak kapan dan dimana teori ini dipakai oleh masyarakat pada umumnya. 1. 2. 3. 4. Masih banyak contoh lainnya dalam kehidupan sehari-hari. Mari kita pelajari materi ini dengan baik dan cermat. Selamat belajar. Matematikaaa... Siapa Takut! PENDAHULUAN
Capaian Pembelajaran Di akhir fase E, Peserta didik dapat menjelaskan peluang dan menentukan frekuensi harapan dari kejadian majemuk, dan konsep dari kejadian saling bebas dan saling lepas. Tujuan Pembelajaran Mengidentifikasi peluang kejadian saling lepas. Menentukan peluang kejadian kejadian saling lepas. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian saling lepas. Mengidentifikasi peluang kejadian tidak saling lepas. Menentukan peluang kejadian kejadian tidak saling lepas. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian tidak saling lepas 1. 2. 3. 4. 5. 6.
PETA KONSEP GLOSARIUM Hipotesis : Titik sampel : Ruang sampel : Kejadian : Kejadian majemuk : Frekuensi harapan : Kejadian saling lepas : Kejadian tidak saling lepas jawaban sementara terhadap permasalahan (dugaan) yang harus dibuktikan kebenarannya. hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan himpunan semua titik sampel, disimbolkan dengan S himpunan bagian dari ruang sampel S, disimbolkan dengan K kejadian atau percobaan yang terjadi lebih dari satu kali sehingga menghasilkan kejadian baru. harapan banyaknya kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang dilakukan. kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain. kedua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan
PETUNJUK PENGGUNAAN Disiplin dan serius ketika mempelajari bahan ajar ini. Pahamilah materi dan contoh soal yang ada sampai kamu mengerti, kemudian kerjakan latihan yang tersedia. Jika kamu menemui kesulitan ketika mengerjakan latihan. Pelajari kembali materi yang belum kamu pahami. Catatlah soal yang tidak dapat kamu selesaikan. Tanyakan soal tersebut kepada guru pada saat kegiatan belajar di kelas berlangsung atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi bahan ajar peluang ini. Referensi lain dapat membantu kamu untuk mendapatkan pengetahuan tambahan. Bagaimana cara menggunakan bahan ajar ini? Agar dapat menggunakan modul ini dengan baik, ada beberapa hal yang perlu kamu perhatikan. Beberapa hal tersebut antara lain: 1. 2. 3. 4. Pernahkah Anda memperhatikan pertandingan sepak bola ? menurut Anda, apa yang dimaksud dengan peluang kemenangan suatu tim sepak bola ? dan darimanakah kita dapat memperoleh peluang kemenangan dari tim tersebut ? Di dalam mempelajari statistika kita menggunakan istilah “percobaan” bagi sembarang proses yang dapat membangkitkan data. Contoh yang sangat mudah adalah suatu percobaan berupa pelemparan sekeping uang logam. Dalam percobaan tersebut hanya ada 2 kemungkinan hasil, sisi gambar atau sisi angka. Jika sekeping uang logam tersebut dilemparkan berulang – ulang kali, kita tidak dapat memastikan sisi bagian yang akan muncul, tetapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil setiap pelemparan. Untuk dapat memahami materi ini, kalian harus membaca berbagai sumber bacaan yang terkait materi peluang dengan penuh semangat, giat, mandiri, serta untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan peluang dilakukan secara gotong royong, dan berkomunikasi aktif didalam diskusi.
Materi Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-17 melalui permainan dadu. Dari permainan dadu inilah akhirnya berkembang permainan permainan yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya. Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan. Dalam perkembangannya, perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya, seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain. Pada awalnya peluang hanya dilakukan dalam permainan judi. Seorang penjudi menghendaki kemenangan besar, sehingga meminta bantuan seorang ahli matematika untuk mengatur siasat memenangkan permainan. Tetapi akibat perkembangan teori peluang yang pesat, akhirnya digunakan dalam bidang politik, ekonomi, peramalan cuaca dan penelitian ilmiah. Teori peluang berkaitan dengan perhitungan peluang atau kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Suatu kejadian merupakan bagian dari suatu kejadian yang lebih besar atau ruang sample. Untuk menentukan peluang suatu kejadian perlu menentukan terlebih dahulu berapa banyak kejadian itu dapat terjadi dan berapa banyak ruang sampelnya dapat terjadi. PELUANG KEJADIAN
Percobaan dan Peluang Suatu Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ketrampilan menentukan banyak anggota ruang sampel dan menentukan banyak anggota kejadian akan sangat diperlukan dalam menentukan peluang kejadian. Ruang Sampel Percobaan adalah kegiatanatau peristiwa yang memberikan sejumlahkemungkinan hasil. Semua kemungkinan hasil dapat digambarkan dengan diagram pohon atau tabel silang. Ruang sampel dinotasikan dengan S, adalah himpunan semua kemungkinan hasil. Banyak anggota ruang sampel dinotasikan dengan (). Contoh Pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. = { 6 ,5,4,3,2,1} () = 6 Angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 disebut titik sampel. Kejadian Kejadian dinotasikan dengan K, adalah himpunan salah satu kemungkinan hasil. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Banyak anggota kejadian dinotasikan dengan (). Menentukan anggota suatu kejadian dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua titik sampel, kemudian dipilihlah kejadian yang diharapkan muncul. Peluang adalah nilai yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.Dirumuskan: () = n(K) n(S) Nilai peluang 0 ≤ () ≤ 1 Jika P(K) = 0 berarti K adalah kejadianmustahil terjadi Jika P(K) = 1 berarti K adalah kejadian pasti terjadi.
Contoh : Pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali, berapakah peluang munculnya mata dadu ganjil? Jawab: = {1,2,3,4,5,6} () = 6 K = kejadian munculnya mata dadu ganjil = {1,3,5} () = 3 () 3 1 () = () = 6 = 2 Jadi peluang kejadianmata dadu ganjil adalah 1/2. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan suatukejadian dari suatu perrcobaan adalah hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan , dirumuskan dengan (ℎ) = () × Contoh Misal sebuah dadu setimbang dilemparsebanyak 30 kali. Tentukan frekuensiharapan munculnya mata dadu 3. Jawab: Pelemparan dadu setimbang peluang muncul angka 3 = 1/6 Banyak percobaan = 30 Frekuensi harapan muncul angka 3 adalah 1/6 × 30 = 5 Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berbeda pada semesta (S), maka peluang kejadian A atau B ( AUB ),dirumuskan : ( ∪ ) = () + () − ( ∩ ) Contoh Misal sepasang dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap. Jawab: Kejadian muncul jumlah bilanganprima adalah = (1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (4,1) (2,3), (3,2), (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (5,6), (6,5) = 15 Peluang munculnya jumlah mata dadu bilangan prima adalah () = 15/36
Kejadian muncul jumlah bilangangenap adalah = (1,1),(2,2), (3,1), (1,3), (3,3), (4,2) (2,4), (1,5), (5,1), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4), (5,5), (6,4), (4,6)(6,6) = 18 Peluang munculnya jumlahmata dadu bilanganprima adalah () = 18/36 Kejadian A dan B memiliki1 titik persekutuan yaitu (1,1) . Jadi ( ∩ ) = 1/36 Peluang munculnya jumlah mata dadu bilangan prima atau bilangan genap adalah ( ∪ ) = () + () − ( ∩ ) ( ∪ ) = 15 + 18 - 1 = 32 36 36 36 9 Peluang Dua Kejadian Saling Lepas Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berbeda pada semesta (S), maka peluang kejadian A atau B ( AUB ),dirumuskan : ( ∪ ) = () + () Contoh Misal sepasang dadu dilemparbersamaan. Tentukan peluangmunculnya jumlah mata dadu 8 atau 10. Jawab: Kejadian muncul jumlah 8 adalah{(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}. maka n(A) = 5. () =5 /36 Kejadian muncul jumlah 10 adalah = (5,5), (6,4),(4,6) = 3 Peluang munculnya jumlah10 adalah () = 3 /36 Peluang munculnya jumlahmata dadu 8 atau 10 adalah
Tentukan peluang munculnya mata dadu primapada pelemparan 1 dadu sekali ! Dua dadu dilambungkan bersama. Peluang munculnya kedua mata dadu lebih dari 7 adalah .... Satu kartu diambil dari seperangkat kartu Bridge. Tentukan peluang terambilnya kartu warna hitam. Dua buah dadu setimbang dilempar undi bersama-sama sebanyak 540 kali. Frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 5 adalah ... Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu buah kartu, tentukan peluang terambilnya bukan kartu king atau As. Dua mata dadu dilempar satu kali secara bersamaan. Tentukan peluang munculnya kedua mata dadu berjumlah bilangan prima atau bilangan ganjil! Dua buah dadu dilempar bersama–sama satu kali. Peluang munculnya mata dadu berjumlah 7 atau 10 adalah ... Dalam suatu kotak terdapat 6 bola kuning dan 10 bola biru. Dua bola diambil satu demi satu tanpa pengembalian bola pertama ke dalam kotak. Peluang terambilnya pertama bola kuning dan kedua bola biru adalah ... Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 1 bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian bola pertama, maka peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan putih pada pengambilan kedua adalah .... Dua buah kartu diambil satu per satu secara acak dari 52 kartu bridge. Kartu yang terambil dikembalikan. Peluang pengambilan pertama kartu As dan pengambilan kedua kartu Hati adalah... LATIHAN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.