ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

ชั้นประถมศกึ ษาปที ี่ 6

ตวั ประกอบ

ทบทวนเรอ่ื งกำรหำรลงตวั และไม่ลงตวั

นกั เรียนรว่ มกันสังเกตแลว้ แยกประเภทจำนวนทีก่ ำหนดให้
12, 15, 18, 21, 25, 29, 30, 37, 42, 56, 63, 78, 81, 89

หารลงตวั หารไม่ลงตวั

หาตัวคูณของ 18 ได้ดังน้ี

18 1×18 2×9 3×6 6×3 9×2 18×1

จานวนทห่ี าร 18 ได้ลงตัว คอื 1, 2, 3, 6, 9 และ 18
1, 2, 3, 6, 9 และ 18 เปน็ จานวนนับทห่ี าร 18 ลงตวั เราเรยี กจานวนเหลา่ นี้
วา่ ตวั ประกอบ ของ 18

จานวนใดบ้างทห่ี าร 18 ไมล่ งตัว 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12,…
จานวนเหล่านจ้ี ึงไมเ่ ป็นตวั ประกอบ ของ 18

ตวั ประกอบ หมายถึง จานวนนบั ทหี่ ารจานวนนบั ทเี่ รากาหนดใหไ้ ดล้ งตวั

ตารางรอ้ ย 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

แบ่งกลุ่มนกั เรียนหาตวั ประกอบของจานวนนบั ในตาราง

จานวนเฉพาะ

กำรหำตวั ประกอบของจำนวนนบั ใด ๆ จะพบว่ำ บำงจำนวนมตี ัวประกอบเพยี ง 1 ตัว
บำงจำนวนมตี ัวประกอบ 2 ตวั ในขณะทบี่ ำงจำนวนมตี วั ประกอบมำกกว่ำ 2 ตัว

1 มีตวั ประกอบ 1 ตวั คือ 1
1 ไมเ่ ป็นจำนวนเฉพำะ เพรำะมตี ัวประกอบเพยี งตัวเดียว

2 มตี ัวประกอบ 2 ตัว คอื 1 และ 2
หรืออีกนยั หนง่ึ วำ่ 2 มีตวั ประกอบ 2 ตัว คือ 1 กับ ตัวของมนั เอง
ดังนน้ั 2 เปน็ จำนวนเฉพำะ เพรำะมตี วั ประกอบ 2 ตัว

3 มีตวั ประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 3
หรอื อกี นยั หนึ่งวำ่ 3 มีตวั ประกอบ 2 ตวั คอื 1 กบั ตัวของมนั เอง
ดงั นน้ั 3 เปน็ จำนวนเฉพำะ เพรำะมตี วั ประกอบ 2 ตัว

6 มีตวั ประกอบ 4 ตัว คอื 1, 2, 3 และ 6
หรอื อกี นัยหน่ึงวำ่ 6 มีตวั ประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2, 3 กับ ตัวของมันเอง
6 ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพำะ เพรำะมตี ัวประกอบมำกกว่ำ 2 ตัว

จำกตัวอย่ำงด้ำนบน เรำพบวำ่ 1 มีตวั ประกอบ 1 ตัว 6 มีตัวประกอบ 4 ตัว
ในขณะที่ 2 และ 3 มีตัวประกอบ 2 ตัว คอื 1 กบั ตวั ของมันเอง เรำเรียกจำนวน
ท่ีมีตวั ประกอบเพยี ง 2 ตัวนี้วำ่ จำนวนเฉพำะ

จานวนเฉพาะ หมำยถึง จำนวนท่ีมตี วั ประกอบเพยี ง 2 ตัว คอื 1 กับตวั ของมันเอง

มอบหมายงาน

ใหน้ กั เรียนหำจำนวนเฉพำะจำกตำรำงรอ้ ยวำ่ มที ั้งหมดกีจ่ ำนวน
คอื จำนวนใดบำ้ ง

ตวั ประกอบเฉพาะ

ตวั ประกอบเฉพำะ ตัวประกอบของจำนวนนับใดท่เี ปน็ จำนวนเฉพำะ

กำรหำตัวประกอบเฉพำะของจำนวนนับใด ๆ นัน้ เรำจะตอ้ งหำตวั ประกอบทง้ั หมด
ของจำนวนนบั นนั้ ๆก่อน จำกน้นั จงึ คอ่ ยพิจำรณำ ตัวประกอบเหล่ำนนั้ ว่ำ มีจำนวนใด
เป็นจำนวนเฉพำะบำ้ ง ซึ่งจำนวนเฉพำะเหลำ่ นั้นเรำเรยี กว่ำ ตวั ประกอบเฉพำะ

ตวั อย่ำง
ตวั ประกอบของ 12 ประกอบ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12

ตวั ประกอบเฉพำะของ 12 ประกอบด้วย 2 , 3
ทง้ั นี้เพรำะวำ่ 2 , 3 เปน็ ตวั ประกอบของ 12 และเปน็ จำนวนเฉพำะดว้ ย

ใหน้ กั เรยี นแบง่ กลมุ่ หำตวั ประกอบเฉพำะของจำนวนนบั 10 จำนวน

การแยกตวั ประกอบ

การแยกตัวประกอบ หมำยถึง กำรเขยี นในรปู กำรคูณของตวั ประกอบเฉพำะ
ของจำนวนนับน้ัน ๆ

12 12 สำมำรถแยกตวั ประกอบได้เปน็ 2 x 2 x 3

จำกตวั อย่ำงจะพบว่ำ 2 และ 3 เปน็ ตวั ประกอบเฉพำะของ 12 ซึง่ อำจมกี ำรคณู ซ้ำกัน
หลำยคร้งั กไ็ ด้ และกำรคณู ซำ้ กนั หลำยครัง้ สำมำรถเขยี นในรูปของเลขยกกำลังได้
กลำ่ วคอื เรำจะแยกตัวประกอบของ 12 เปน็ 3 แทน 2 x 2 x 3 กไ็ ด้
( อำ่ นวำ่ 2 ยกกำลงั 2 )

75 สำมำรถแยกตวั ประกอบได้เป็น 5 x 5 x 3 หรอื  3

100 สำมำรถแยกตวั ประกอบไดเ้ ป็น 5 x 5 x 2 x 2 หรอื 

วิธีการแยกตวั ประกอบ

1. วิธเี ขียนในรูปกระจำยของผลคูณของตัวประกอบ

ตวั อย่าง จงแยกตัวประกอบของ 80
80 = 8 x 10
= 2x4x2x5
= 2x2x2x2x5

ดงั นัน้ 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
หรือ 80 =  5

ใหน้ กั เรียนแบ่งกลุ่มแยกตัวประกอบของจำนวนนบั กลุ่มละ 5 จำนวน

2. วธิ ีต้งั หำร

กำรแยกตัวประกอบโดยวธิ ีต้ังหำรใช้วิธกี ำรหำรสน้ั

ตัวอย่ำง จงแยกตัวประกอบของ 80
วธิ ที ำ 2 ) 80
2 ) 40
2 ) 20
2 ) 10
5)5
1
ดังนั้น 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5
หรือ 80 =  5
ใหน้ ักเรียนแบ่งกลุ่มแยกตัวประกอบโดยวธิ ตี ั้งหำรกล่มุ ละ 5 จำนวน

ตัวหารร่วม ตัวหารรว่ มมาก

ตัวหำรรว่ มหรือตวั ประกอบรว่ ม หมำยถงึ ตวั หำรรว่ มมำก หมำยถึง ตัวหำรรว่ มทีม่ ี
จำนวนท่ีสำมำรถหำรจำนวนนบั ท่ี คำ่ มำกทสี่ ดุ (ห.ร.ม.)
กำหนดให้ต้งั แต่ 2 จำนวนลงตวั

วธิ ีท่ี 1 ตัวอย่ำง จงหำตวั หำรรว่ มของ 12 , 18
หาตวั ประกอบร่วม ตัวประกอบของ 12 คอื 1, 2, 3, 4, 6 และ 12
ตัวประกอบของ 18 คอื 1, 2, 3, 6, 9 และ 18
ดงั น้ัน ตวั ประกอบร่วมของ 12 และ 18 คอื 1, 2, 3 และ 6
หรอื ตวั หำรรว่ มของ 12 และ 18 คือ 1, 2, 3 และ 6
ตัวหำรร่วมมำกของ 12 และ 18 คอื 6

ให้นักเรียนแบ่งกลมุ่ หำตัวหำรร่วมและตวั หำรรว่ มมำก
กลมุ่ ละ 3 ขอ้

วธิ ีที่ 2 การแยกตวั ประกอบ

ตวั อยำ่ ง จงหำ ห.ร.ม.ของ 16 , 20 และ 24
16 = 2 x 2 x 2 x 2
20 = 2 x 2 x 5
24 = 2 x 2 x 2 x 3

ดงั นนั้ ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 24 คอื 2 x 2 = 4
หรอื ห.ร.ม. ของ 16, 20 และ 18 คือ 4

ให้นกั เรยี นแบง่ กลุ่มหำตัวหำรรว่ มและตวั หำรร่วมมำก กล่มุ ละ 3 ขอ้

วธิ ีท่ี 3 การตง้ั หาร
ตัวอย่ำง จงหำ ห.ร.ม. ของ 15, 20 และ 25

5 ) 15, 20, 25
3, 4, 5

ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 15, 20 และ 25 คอื 5
เพรำะ 5 หำร 15, 20 และ 25 ไดล้ งตวั

ให้นกั เรยี นแบ่งกลมุ่ หำตัวหำรร่วมและตวั หำรรว่ มมำก กลมุ่ ละ 3 ขอ้

ตวั คูณร่วมนอ้ ย (ค.ร.น.)

ตวั คูณร่วมนอ้ ย (ค.ร.น.) คอื ตวั คณู รว่ ม (หรือพหุคณู รว่ ม) ทม่ี ีคา่ นอ้ ยทส่ี ุด ท่ี
จานวนนบั ชุดใด(ตง้ั แตส่ องจานวนข้นึ ไป) ไปหารไดล้ งตวั

วิธที ี่ 1 ตวั อยำ่ ง จงหำ ค.ร.น. ของ 4, 8 และ 12
พหุคูณของ 4 คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24,.....
พจิ ารณาพหคุ ณู พหุคณู ของ 8 คอื 8, 16, 24, 32, 40,....
พหุคูณของ 12 คอื 12, 24, 36, 48, 60,....
พหคุ ณู ร่วมของ 4, 8 และ 12 คือ 24, 48,......และมตี อ่ ไปเร่อื ยๆ ไมร่ จู้ บ
ซ่งึ ตัวท่นี อ้ ยทส่ี ดุ ก็คอื 24
ดงั นั้น ค.ร.น. ของ 4, 8 และ 12 คอื 24

ให้นกั เรยี นแบ่งกลุ่ม หำ ค.ร.น. กลมุ่ ละ 3 ข้อ โดยกำรกำหนดเอง

วธิ ที ่ี 2 การแยกตัวประกอบ

ตวั อยำ่ ง จงหำ ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 20
12 = 2 x 2 x 3
16 = 2 x 2 x 2 x 2
20 = 2 x 2 x 5

เอำตวั ทซี่ ำ้ หรอื ซำ้ แคบ่ ำงจำนวนและ จำนวนท่ไี มซ่ ำ้ มำคณู กนั
ดังนน้ั ค.ร.น ของ 4, 8 และ 12 คือ 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240

เพรำะ 12, 16 และ 20 หำร 240 ได้ลงตวั

ใหน้ ักเรยี นแบ่งกลุ่ม หำ ค.ร.น. กลุ่มละ 3 ขอ้ โดยกำรกำหนดเอง

วธิ ที ่ี 3 การตัง้ หาร

ตวั อย่าง จงหำ ค.ร.น. ของ 18, 24 และ 30

3 ) 18, 24, 30
2 ) 6, 8, 10

3, 4, 5
ดงั นั้น ค.ร.น. ของ 18, 24 และ 30 คอื 3 × 2 × 3 × 4 × 5 = 360

เพรำะ 18, 24 และ 30 ต่ำงกห็ ำร 360 ไดล้ งตัว

ให้นักเรยี นแบ่งกล่มุ หำ ค.ร.น. กลุ่มละ 3 ข้อ โดยกำรกำหนดเอง

การหา ห.ร.ม. แบบยูคลดิ (Euclid)

ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 231 กับ 789 คอื 3

จงหำ ห.ร.ม. ของ 125 กบั 210 จงหำ ห.ร.ม. ของ 1245 กบั 2310

ดังน้นั ห.ร.ม. ของ 125 กับ 210 คอื 5 ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 1245 กบั 2310 คอื 15

การนา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไปใช้ในการแก้ปัญหา

โจทยป์ ัญหา ห.ร.ม. เป็นสถานการณป์ ัญหาทเี่ ราเผชญิ ในชวี ติ ประจาวนั
คอ่ นขา้ งมาก ไมว่ า่ จะเป็นการจดั สง่ิ ของ การแบง่ สงิ่ ของ หรอื แมก้ ระทง่ั การกอ่ สรา้ ง เชน่ ตดิ
หลอดไฟ คานวณกระเบ้ืองปูพ้ืน เป็นตน้

ลกั ษณะของโจทยป์ ัญหา ห.ร.ม. มีขอ้ ทนี่ ่าสงั เกตคอื โจทยน์ น้ั ๆ มกั มีขอ้ ความหรอื
คาทม่ี ีความหมายในลกั ษณะ “มากทส่ี ุด” ในกรณีทมี่ ีสงิ่ ของหลายๆชนิดมกั มีเง่ือนไขเพ่ิมเตมิ
คอื “ไมป่ นกนั ” เป็นตน้

โจทยป์ ัญหา ห.ร.ม.
ตวั อย่าง

ต้องกำรจัดมังคดุ 27 ผล เงำะ 36 ผล และ ละมุด 18 ผล ใส่จำน โดยใหแ้ ตล่ ะจำนมี
จำนวนผลไม้มำกท่สี ุด และไม่ใหผ้ ลไม้ในแตล่ ะจำนปนกัน จะสำมำรถจดั ไดจ้ ำนละกีผ่ ล
และจัดได้กจ่ี ำน

ใช้กำรหำ ห.ร.ม. ในกำรหำคำตอบ เพรำะมีคำว่ำมำกทสี่ ุดและไม่ปนกัน

3 ) 18, 27, 36
3 ) 6, 9, 12

2, 3, 4
ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 18, 27 และ 36 คอื 3 × 3 = 9

จดั ผลไม้ใสจ่ ำนไดจ้ ำนละ 9 ผล, ละมุด 2 จำน มังคดุ 3 จำน
เงำะ 4 จำน จัดผลไม้ไดท้ ง้ั หมด 9 จำน

แบบฝึกหัด

1. ในกำรฝึกซ้อมของนกั กีฬำจกั รยำนจำนวน 3 คน โดยปัน่ จกั รยำนรอบสนำม 1
รอบ ใช้เวลำ 40, 50 และ 60 วินำที ตำมลำดบั ถำ้ นกั กีฬำทั้งสำมเร่มิ ออกตัวปั่น
จักรยำนพรอ้ มกันเวลำ 08.00 น. อยำกทรำบว่ำเวลำใดท้งั สำมคนจงึ จะมำพรอ้ ม
กันทีจ่ ดุ ต้งั ตน้ อีกครั้ง

2. มีเชอื ก 3 มว้ นยำว 91, 161 และ 245 เมตร ถำ้ ตัดเปน็ ทอ่ นให้แต่ละทอ่ น
ยำวเท่ำกนั โดยไมเ่ หลือเศษ จะได้เชือกยำวทสี่ ุดท่อนละเท่ำใด

ใหน้ ักเรียนแบง่ กลุ่มรว่ มกันแสดงวิธีหำคำตอบ

3. เป้หำควำมยำวของเชอื กท่สี ั้นทสี่ ดุ ทตี่ ัดแบง่ เปน็ เส้นยำวเสน้ ละ 3 เมตร
12 เมตร หรือ 15 เมตร ไดพ้ อดเี ชือกเส้นนีจ้ ะมคี วำมยำวเท่ำใด

4. คุณครตู ง้ั นำฬกิ ำปลุกไว้ สำมเรือนให้ปลุกทกุ ๆ 15 นำที 45 นำที และ 1
ช่ัวโมงตำมลำดับ เมื่อนำฬิกำปลุกพร้อมกันแลว้ หนึ่งคร้งั อกี นำนเท่ำใดนำฬกิ ำท้งั
สำมจึงจะปลกุ พรอ้ มกันอกี ครง้ั

5. ตองซื้อปลำมำสำมชนดิ คอื ปลำทอง ปลำเงิน และปลำหำงนกยูง จำนวน 60,
75 และ 120 ตวั ตำมลำดบั โดยตั้งใจจะเลีย้ งภำยในต้ปู ลำใหไ้ ดจ้ ำนวนมำกท่สี ุด
ตลู้ ะเท่ำๆกนั ไมเ่ หลอื เศษและไมป่ นกัน ตองจะตอ้ งปลอ่ ยปลำต้ลู ะก่ีตัว

6. ลงุ มลี วด 3 เสน้ ยำว 24 เมตร 48 เมตร และ 56 เมตร ตำมลำดบั
นำลวดมำตัดเปน็ เส้นส้ันๆให้ยำวเท่ำกันและยำวท่ีสุดโดยไม่เหลอื เศษ
จะตัดลวดไดย้ ำวเส้นละกเี่ มตร และไดล้ วดทั้งหมดกเ่ี สน้

7. พื้นหอ้ งรปู ส่ีเหล่ยี มผนื ผำ้ กว้ำง 360 ซม. ยำว 400 ซม. ตอ้ งกำรปูพื้น
ดว้ ยกระเบ้อื งรปู สีเ่ หลยี่ มจตั รุ ัสโดยไมต่ อ้ งตัดแบ่งกระเบื้องเลยและใช้
กระเบอ้ื งนอ้ ยท่ีสดุ จะตอ้ งใช้กระเบอ้ื งกีแ่ ผน่ และกระเบือ้ งแตล่ ะแผ่นจะมี
ขนำดเทำ่ ใด(พนื้ ทขี่ องกระเบื้อง)

8. มสี มดุ อยู่ 4 สี จำนวนสีละ 24, 36, 60 และ 72 เล่ม ตำมลำดบั
ต้องกำรแจกสมุดให้ได้มำกทีส่ ดุ เท่ำๆ กนั โดยไมใ่ หเ้ หลือเลย จะต้องแจก
สีละกเ่ี ลม่

ข้อควรจา

โจทย์ ห.ร.ม. จะมคี าว่า ใหญ่, ยาว, มาก
โจทย์ ค.ร.น. จะมคี าวา่ เล็ก, สั้น, นอ้ ย, พรอ้ ม

การเขา้ ใจ
และจา
ต้องทาซ้าๆ