แยกตัวประกอบ

•แยกตวั ประกอบ

สมาชิกผจู้ ดั ทา
1)ด.ช.ชยั ภทั ร หงอสกลุ เลขท่4ี
2)ด.ช.สรณ สาดสาน เลขท่1ี 8
3)ด.ช.สวติ ตา ตนั เลขท่ี40

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่ีมีดีกรสี องและมีตวั แปรเดยี ว ท่ีแตล่ ะพจนม์ ี
สมั ประสิทธิ์เป็นจานวนเตม็

ตวั อยา่ ง ของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว

3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+

พหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดียว คอื พหนุ ามท่ีเขียนในรูป ax2 + bx
+ c เม่ือ a , b , c

เป็นคา่ คงตวั ท่ี a ≠ 0 และ x เป็นตวั แปร

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดยี ว

ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a , b เป็นจานวนเต็ม และ c = 0

ในกรณีท่ี c = 0 พหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดยี วจะอยใู่ นรูป ax2+
bx สามารถใชส้ มบตั ิการแจกแจงแยกตวั ประกอบได้

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 2x
วธิ ีทา x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)
= x(x + 2)

ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 - 20x
วธิ ีทา 4x2 - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)
= 4x(x - 5)

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ -4x2 - 6x
วธิ ีทา -4x2 - 6x = -2x(2x + 3)
หรอื -4x2 - 6x = 2x(-2x - 3)

ตวั อย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ -15x2 + 12x

วิธีทา -15x2 + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)

= 3x(-5x + 4)

หรือ -15x2 + 12x = (-3x)(-5x) - (-3x)(4)

= -3x(5x - 4)

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว
ในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a = 1 , b และ c เป็น

จานวนเต็ม และ c ≠ 0

ในกรณีท่ี a = 1 และ c ≠ 0 พหนุ ามดกี รสี องตวั แปร
เดยี ว จะอย่ใู นรูป x2 + bx + c
สามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรูปนีไ้ ด้ โดยอาศยั แนวคิดจากการหา
ผลคณู ของพหนุ าม ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปนี้

จากการหาผลคณู ( x +2 )( x + 3 ) ดงั กลา่ ว จะไดข้ นั้ ตอนการแยกตวั
ประกอบของ

x2 + 5x + 6
โดยทาขนั้ ตอนยอ้ นกลบั ดงั นี้
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) ×
(3) = 6 ]

= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]

= (x + 2)x + (x + 2)(3)

= (x + 2)(x + 3)

น่นั คอื x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

พิจารณาผลคณู ของพหนุ ามตอ่ ไปนี้

1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)

= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]

= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)

= x2 + (2+ 3)x + (2)(3)

= x2 + 5x + 6

ดงั นนั้ แยกตวั ประกอบของ x2 + 5x + 6 ไดด้ งั นี้ x2 + 5x + 6 = (x +
2)(x + 3) ใหส้ งั เกตวา่ เราจะแยกตวั ประกอบของ x2+ 5x + 6 ได้ ถา้
เราสามารถหาจานวนเตม็ สองจานวนท่ีคณู กนั ไดเ้ ท่ากบั พจนท์ ่ีเป็นคา่ คงตวั
คอื 6 และบวกกนั ไดเ้ ทา่ กบั สมั ประสิทธิ์ของ x คอื 5

(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)

= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)

= x2 + (-1)x + (-20)

= x2 - x - 20

ดงั นนั้ แยกตวั ประกอบของ x2 - x - 20 ไดด้ งั นี้
x2 - x - 20 = (x + 4)(x – 5) จากการหาผลคณู x + 4)(x -5)
ดงั กลา่ ว จะไดข้ น้ั ตอนการแยกตวั ประกอบของ x2- x – 20

โดยทาขน้ั ตอนยอ้ นกลบั ในทานองเดียวกบั ขอ้ 1. ดงั นี้
x2- x – 20 = x2 + (-1)x + (-20)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
[4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)
= (x + 4)[x + (-5)]
= (x + 4)(x -5)
น่นั คือ x2 - x - 20 = (x + 4)(x - 5)

ใหส้ งั เกตเช่นเดยี วกนั ว่า เราจะแยกตวั ประกอบของ x2- x – 20 ได้ ถา้ เรา
สามารถ

หาจานวนเตม็ สองจานวนท่ีคณู กนั ไดเ้ ท่ากบั พจนท์ ่ีเป็นคา่ คงตวั คือ -
20 และบวกกนั ไดเ้ ทา่ กบั

สมั ประสิทธิ์ของ x คอื -1
จากท่ีกลา่ วมาขา้ งตน้ นี้ ถา้ เราตอ้ งการแยกตวั ประกอบ

ของพหนุ ามดีกรสี อง เชน่
x2+ 6x + 8
เราจะตอ้ งหาจานวนเตม็ สองจานวนท่ีคณู กนั ได้ 8 และ

บวกกนั ได้ 6 ก่อน ดงั นี้

เน่ืองจาก x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + (2)(4)
= x2 + (2x + 4x) + (2)(4)

= (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]

= (x + 2)x + (x + 2)(4)

= (x + 2)(x + 4)

น่นั คอื x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)

ในกรณีท่วั ไป เราสามารถแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องในรูป
x2 + bx + c เม่ือ b , c

เป็นจานวนเต็ม และ c ≠ 0 ได้ ถา้ เราสามารถหา จานวนเตม็ สอง
จานวนท่ีคณู กนั ไดเ้ ท่ากบั พจนท์ ่ี

เป็นคา่ คงตวั คือ c และบวกกนั ได้ เทา่ กบั สมั ประสทิ ธิ์ของ x คือ b
ถา้ ให้ m และ n เป็นจานวนเตม็ สองจานวน ซง่ึ mn = c

และ m + n = b

จะไดว้ า่ x2 + bx + c = (x + m)(x + n)

ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 10x + 21

วธิ ีทา เน่ืองจาก (-3)(-7) = 21

และ (-3) + (-7) = -10

ดงั นนั้ x2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]
น่นั คอื x2 – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )
ตวั อย่างท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 5x - 6
วิธีทา เน่ืองจาก (-1)(6) = - 6

และ (-1) + (6) = 5
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

การแยกตวั ประกอบพหนุ ามดีกรสี องท่ีเป็นผลตา่ งกาลงั สอง
การแยกตวั ประกอบทางพชี คณิตอกี อยา่ งหน่งึ เรยี กวา่ ผลตา่ งกาลงั สอง มสี ตู ร

ดงั นี้
a2 - b2 = (a + b)(a - b)

ซง่ึ เป็นจรงิ สาหรบั ทงั้ สองพจน์ ไม่วา่ จานวนเหลา่ นนั้ จะเป็นกาลงั
สองสมบรู ณ์

หรือไม่ ถา้ พจนท์ งั้ สองลบกนั ก็ใหแ้ ทนดว้ ยสตู รดงั กลา่ วไดท้ นั ที แตถ่ า้ พจน์
ทงั้ สองบวกกนั ทวนิ ามท่ีไดจ้ ากการแยกตวั ประกอบจะตอ้ งมีจานวนจินต

a + b = (a +

bi)(a - bi)

ตวั อยา่ งเชน่ 4x2 + 49 สามารถแยกไดเ้ ป็น (2x + 7i)(2x −
7i) เป็นตน้

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องท่เี ป็นผลตา่ งของกาลงั
สองพิจารณา

การคณู พหนุ ามสองพหนุ ามตอ่ ไปนี้

1. (x + 3)(x – 3) = x2 - 3x + 3x - 9
= x2 - 9
= x2 - 32

2. (x + 7)(x – 7) = x2 - 7x + 7x - 49
= x2 - 49
= x2 - 72

3. (3x + 5)(3x – 5) = 9x2 - 15x + 15x - 25
= 9x2 - 25
= (3x)2 - 52

พิจารณาการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามสองตอ่ ไปนี้

1. x2 - 25 = x2 - 52

= (x + 5)(x - 5)

2. 36x2 - 49 = (6x)2 - 72

= (6x + 7)(6x - 7)

จากตวั อยา่ งการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทงั้ สองขา้ งตน้ จะ
เห็นวา่ การ

แยกตวั ประกอบของพหนุ าม
ดกี รสี องในแตล่ ะขอ้ จะไดต้ วั ประกอบเป็นพหนุ ามดีกรหี นง่ึ ท่ีมี

พจนเ์ หมือน
กนั แตม่ ีเคร่อื งหมายระหวา่ ง
พจนต์ า่ งกนั เรยี กพหนุ ามดกี รสี องท่มี ลี กั ษณะเช่นนีว้ า่ พหุ

นามดีกรสี องท่ี
เป็นผลตา่ งของกาลงั สอง

พหนุ ามดีกรสี องท่ีเป็นผลตา่ งของกาลงั สอง ดงั ตวั อยา่ ง
ขา้ งตน้ มลี กั ษณะ

พเิ ศษท่ีสงั เกตไดด้ งั นี้
1. x2 - 25 = x2 - 52

= (x + 5)(x - 5)

ถา้ ให้ x เป็นพจนห์ นา้ และ 5 เป็นพจนห์ ลงั จะเขยี น
ความสมั พนั ธไ์ ดด้ งั นี้

(พจนห์ นา้ )2 - (พจนห์ ลงั )2 = (พจนห์ นา้ + พจนห์ ลงั ) (พจน์
หนา้ - พจนห์ ลงั )

พหนุ ามดีกรสี องท่เี ป็นผลตา่ งของกาลงั สอง ดงั ตวั อยา่ งขา้ งตน้
มีลกั ษณะ

พิเศษท่ีสงั เกตไดด้ งั นี้
2. 36x2 – 49 = (6x)2– 72

= (6x + 7)(6x – 7)

ถา้ ให้ 6x เป็นพจนห์ นา้ และ 7 เป็นพจนห์ ลงั จะเขยี น
ความสมั พนั ธไ์ ดด้ งั นี้

(พจนห์ นา้ )2 – (พจนห์ ลงั )2 = (พจนห์ นา้ + พจนห์ ลงั ) (พจน์
หนา้ – พจนห์ ลงั )

ในกรณีท่วั ไป ถา้ ให้ A แทน พจนห์ นา้ และ B แทน พจนห์ ลงั
จะแยกตวั

ประกอบของพหนุ ามดีกรสี อง
ท่ีเป็นผลตา่ งของกาลงั สองไดต้ ามสตู ร ดงั นี้

A2 – B2 = (A + B)(A – B)

เราสามารถใชส้ ตู รนี้ ในกรณีท่ี A และ B เป็นพหนุ ามในการ
แยกตวั ประกอบ

ไดด้ ว้ ย
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 121

วธิ ีทา x2 – 121 = x2 – 112
ดงั นนั้ x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)

ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 – 121
วิธีทา x2 – 121 = x2 – 112

ดงั นนั้ x2 – 121 = (x + 11)(x – 11)
ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ 49x2 – 196
วธิ ีทา 49x2 – 196 = (7x)2 – 142

= (7x + 14)(7x – 14)
= 7(x + 2)(7)(x – 2)
ดงั นนั้ 49x2 – 196 = 49(x + 2)(x – 2)

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
พิจารณาการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรสี องตอ่ ไปนี้

1. x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)

หรอื x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

2. x2 - 8x + 16 = (x - 4)(x - 4)

หรอื x2 - 8x + 16 = (x - 4)2

3. 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)(2x + 1)

หรอื 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2

4. 9x2 - 24x + 16 = (3x - 4)(3x - 4)

หรือ 9x2 - 24x + 16 = (3x - 4)2

จากตารางการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทงั้ ส่ขี า้ งตน้ จะเหน็
วา่ การแยกตวั ประกอบของ

พหนุ ามดีกรสี อง
ในแตล่ ะขอ้ จะไดต้ วั ประกอบเป็นพหนุ ามดกี รหี น่งึ ท่ีซา้ กนั จงึ

เขยี นการแยกตวั ประกอบ

ของแตล่ ะพหนุ ามดกี รสี อง

ขา้ งตน้ ไดเ้ ป็นกาลงั สองของพหนุ ามดีกรหี นง่ึ เรยี กพหนุ าม
ดีกรสี องท่มี ลี กั ษณะเชน่ นีว้ ่า

พหนุ ามดกี รสี องท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

พหนุ ามดกี รสี องท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ ดงั ตวั อย่างขา้ งตน้ มดี งั
ลกั ษณะพิเศษท่ีสงั เกตไดด้ งั นี้

1. x2 + 6x + 9 = x2 + 2(3)x + 32

= (x + 3)2 ถา้ ให้ x

เป็นพจนห์ นา้ และ 3 เป็นพจนห์ ลงั จะเขียนความสมั พนั ธไ์ ด้
ดงั นี้

(พจนห์ นา้ )2 + 2(พจนห์ นา้ )(พจนห์ ลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 = (พจน์
หนา้ + พจนห์ ลงั )2

2. x2 - 8x + 16 = x2 - 2(4)x + 42

= (x - 4)2

ถา้ ให้ x เป็นพจนห์ นา้ และ 4 เป็นพจนห์ ลงั จะเขียน
ความสมั พนั ธไ์ ดด้ งั นี้

(พจนห์ นา้ )2 - 2(พจนห์ นา้ )(พจนห์ ลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 =
(พจนห์ นา้ - พจนห์ ลงั )2

3. 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 - 2(2x)(1) + 12

= (2x + 1)2

ถา้ ให้ 2x เป็นพจนห์ นา้ และ 1 เป็นพจนห์ ลงั จะเขยี น
ความสมั พนั ธไ์ ดด้ งั นี้

(พจนห์ นา้ )2 + 2(พจนห์ นา้ )(พจนห์ ลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 =
(พจนห์ นา้ + พจนห์ ลงั )2

4. 9x2 - 24x + 16 = (3x)2 - 2(3x)(4) + 42

= (3x - 4)2

ถา้ ให้ 3x เป็นพจนห์ นา้ และ 4 เป็นพจนห์ ลงั จะเขียน
ความสมั พนั ธไ์ ดด้ งั นี้

(พจนห์ นา้ )2 - 2(พจนห์ นา้ )(พจนห์ ลงั ) + (พจนห์ ลงั )2 = (พจน์
หนา้ - พจนห์ ลงั )2

ในกรณีท่วั ไป ถา้ ให้ A แทนพจนห์ นา้ และ B แทนพจนห์ ลงั
จะแยกตวั ประกอบของ

พหนุ ามดีกรีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบรู ณไ์ ดต้ ามสตู ร ดงั นี้
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 − 2AB + B2 = (A − B)2

ตวั อย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 24x + 144
วธิ ีทา x2 + 24x + 144 = x2 + 2(12)x + (12)2

ดงั นนั้ x2 + 24x + 144 = (x + 12)2
ตวั อย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของ x2 + 30x + 225
วธิ ีทา x2 + 30x + 225 = x2 + 2(15)x + (15)2

ดงั นนั้ x2 + 30x + 225 = (x + 15)2

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 26x + 169
วธิ ีทา x2 - 26x + 169 = x2 - 2(13)x + (13)2

ดงั นนั้ x2 - 26x + 169 = (x - 13)2

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 32x + 256
วธิ ีทา x2 - 32x + 256 = x2 - 2(16)x + (16)2

ดงั นนั้ x2 - 32x + 256 = (x - 16)2
ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบของ 25x2 + 20x + 4
วธิ ีทา 25x2 + 20x + 4 = (5x)2 + 2(5x)(2) + 22

ดงั นนั้ 25x2 + 20x + 4 = (5x + 2)2

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงแยกตวั ประกอบของ 4x2 - 12x + 9
วธิ ีทา 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2(2x)(3) + 32

ดงั นนั้ 4x2 - 12x + 9 = (2x - 3)2
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。