อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3

ใบความรู้ที่ 1
เรื่อง ความร้เู ก่ียวกบั อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

1.1 สมการและอสมการ
นักเรยี นเคยเรียนเรื่องสมการมาแลว้ สำหรับในบทเรยี นหน่วยท่ี 1 เรอื่ ง อสมการ นกั เรยี นจะได้

เรยี นรเู้ ก่ียวกบั อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว การแก้อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว และการแก้โจทย์ปัญหาเก่ียวกบั
อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ซ่ึงกอ่ นอืน่ นกั เรยี นควรทบทวนสญั ลกั ษณ์ และศึกษาขอ้ ความต่อไปนี้

สมการ เป็นประโยคที่แสดงถึงความสมั พนั ธข์ องจำนวน โดยมีสัญลักษณ์ = แสดงความสัมพันธ์

อสมการ เป็นประโยคท่ีแสดงถงึ ความสัมพนั ธข์ องจำนวน
โดยมสี ัญลักษณ์ <, >, £, ³ หรือ ¹ แสดงความสมั พนั ธ์
จะพบว่า มีสัญลักษณท์ ี่นักเรยี นเคยรู้จกั มาบ้างแล้ว และสัญลักษณ์ที่นักเรียนจะตอ้ งรจู้ กั เพม่ิ เตมิ ดงั นี้

= แทนความสมั พนั ธเ์ ท่ากับ หรือ เทา่ กัน หรือไมเ่ กิน
< แทนความสมั พนั ธ์น้อยกวา่ ต่ำกวา่ หรือไม่ถึง หรืออย่างน้อย
> แทนความสมั พันธม์ ากกวา่ สงู กว่า หรือเกนิ

£ แทนความสัมพนั ธน์ อ้ ยกวา่ หรอื เท่ากบั ไม่มากกวา่
³ แทนความสมั พันธม์ ากกวา่ หรือเท่ากับ ไมน่ อ้ ยกว่า
¹ แทนความสมั พนั ธ์ไมเ่ ทา่ กบั หรอื ไม่เท่ากนั

ตวั อย่างประโยคท่ีใชส้ ัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ เช่น

x = 1 อา่ นวา่ x เทา่ กบั 1 x £ 3 อา่ นวา่ x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3
หมายถงึ x = 1 หมายถึง x < 3 หรือ x = 3
อีกนัยหน่ึงคือ x ไมเ่ กิน 3
x ³ y อ่านว่า x มากกว่าหรือเท่ากบั y
หมายถงึ x > y หรือ x = y
อกี นยั หนึ่งคอื x ไม่น้อยกว่า y

ในบทเรียนนเ้ี ป็นเรื่องอสมการ โดยประโยคทใี่ ชส้ ญั ลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์บอกความสมั พันธข์ องจำนวนทเี่ ป็น
อสมการ แบง่ ได้ 2 แบบ คือ

1. อสมการที่ไม่มีตวั แปร เชน่

6 ¹ 5+ 2 5 + 8 > 10 9 ³ 4+3 -3<3

2. อสมการที่มีตวั แปร เชน่ 2 ,
3
m £ 12 15x + 4 ¹ 7 x+2>8 y ³ 10 5x < 2x + 6

,

จากตวั อย่างของอสมการท่ีมีตัวแปรขา้ งต้น เป็นตัวอย่าง
ของ อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว คือ อสมการที่มตี วั แปรเพียงตัวเดยี ว และดีกรีของตัวแปรเท่ากับ 1
ซ่ึงสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปต่อไปน้ีได้

1. ax + b < c เช่น 2x + 5 < 7
2. ax + b > c เช่น x - 2 > 3

3. ax + b £ c เชน่ 1 x + 4 £ 1
2
4. ax + b ³ c เช่น - 7x + 9 ³ 5

5. ax + b ¹ c เชน่ 3x - 5 ¹ 4
6
เม่อื a, b และ c เปน็ ค่าคงตวั โดยที่ a ¹ 0 และ x เป็นตัวแปร

ตวั อย่างท่ี 1 2y + 4 > 16 เป็นอสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียวหรือไม่
ตอบ 2y + 4 > 16 เป็นอสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว เนอื่ งจาก
เป็นประโยคทมี่ สี ญั ลักษณ์ < แสดงความสมั พนั ธ์
- มตี ัวแปรเพียงตวั เดียวคอื ตวั แปร y และเลขชีก้ ำลังของตัวแปร y เป็น 1
-

ตวั อย่างท่ี 2 2.5x ¹ 20 เปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียวหรือไม่
2.5x ¹ 20 เปน็ อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว เนอ่ื งจาก
ตอบ เป็นประโยคทมี่ สี ญั ลักษณ์ ¹ แสดงความสัมพนั ธ์
- มีตัวแปรเพยี งตวั เดยี วคอื ตวั แปร x และเลขชีก้ ำลังของตวั แปร x เป็น 1
-

ตัวอย่างที่ 3 2x + 5y £ 14 เปน็ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวหรือไม่

ตอบ 2x + 5y £ 14 ไมเ่ ปน็ อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว เน่ืองจาก

- เปน็ ประโยคที่มีสัญลกั ษณ์ £ แสดงความสมั พันธ์จึงเปน็ อสมการ
แตม่ ตี ัวแปรสองตัวเดียวคอื ตัวแปร x และตัวแปร y จงึ สรปุ ได้ว่า ไม่เปน็ อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

ตวั อย่างท่ี 4 3x2 < 48 เปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วหรือไม่

ตอบ 2y + 4 > 16 ไมเ่ ป็นอสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว เนือ่ งจาก

- เปน็ ประโยคทีม่ สี ญั ลักษณ์ < แสดงความสมั พันธ์จงึ เป็นอสมการ

และมีตัวแปรหน่งึ ตวั คือ ตวั แปร x แตเ่ ลขช้ีกำลังของตัวแปร x เป็น 2 จงึ สรปุ ได้วา่ ไมเ่ ปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตัว

แปรเดยี ว

สำหรบั อสมการบางอสมการทนี่ ักเรียนพบ อาจไม่มรี ปู แบบตามทีก่ ลา่ ว
ขา้ งตน้ นกั เรยี นอาจยงั ไมส่ ามารถสรุปไดท้ ันทีวา่ อสมการนัน้ เป็นอสมการเชิงเส้น

ตัวแปรเดยี วหรอื ไม่ แต่นกั เรียนสามารถใช้สมบัติการแจกแจง สมบตั ิการเปลยี่ น

กลุม่ สมบตั ิการสลับท่ี ในการจัดรปู ของอสมการใหมใ่ ห้อยู่ในรปู แบบขา้ งตน้ กอ่ น
กจ็ ะทำใหส้ ามารถสรุปได้

ตัวอย่างท่ี 5 2(m + 3) > 20 เป็นอสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียวหรือไม่

ตอบ 2(m + 3) > 20 เปน็ อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว เนื่องจาก

ดำเนินการจดั รูปแบบอสมการจากเดิม คอื 2(m + 3) > 20

ใช้สมบตั ิการแจกแจง จะไดร้ ปู แบบอสมการใหม่เปน็ 2m + 6 > 20 พบว่า
- เป็นประโยคที่มสี ัญลักษณ์ > แสดงความสัมพันธ์

- มตี วั แปรเพียงตวั เดยี วคือ ตัวแปร m และเลขชกี้ ำลังของตัวแปร m เปน็ 1

ตวั อย่างท่ี 6 5x - 3 + 2x £ -6 เป็นอสมการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี วหรอื ไม่

ตอบ 5x - 3 + 2x £ -6 เปน็ อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียว เนือ่ งจาก
ดำเนนิ การจดั รูปแบบอสมการจากเดมิ คือ 5x - 3 + 2x £ -6
ใชส้ มบัติการสลับท่ี จะได้รูปแบบอสมการใหมเ่ ป็น 5x + 2x - 3 £ -6
ใช้สมบัตกิ ารแจกแจง จะได้รปู แบบอสมการใหมเ่ ปน็ (5 + 2)x - 3 £ -6

ดงั นั้น จะได้รปู แบบอสมการใหมเ่ ปน็ 7x - 3 £ -6 พบวา่
- เปน็ ประโยคทม่ี สี ญั ลกั ษณ์ £ แสดงความสมั พนั ธ์
- มีตวั แปรเพยี งตัวเดยี วคือ ตวั แปร x และเลขชี้กำลังของตวั แปร x เป็น 1

ลองทำดู

ขอ้ คำแสดงความสมั พนั ธ์ สญั ลกั ษณ์ ขอ้ คำแสดงความสมั พันธ์ สญั ลกั ษณ์
<
ตวั อย่าง น้อยกว่า < ตวั อย่าง น้อยกว่า

1. มากกวา่ หรือเทา่ กับ 6. อยา่ งน้อย
2. ไม่เท่ากับ 7. ไมเ่ กิน
3. ไมถ่ งึ 8. เท่ากบั

4. เกนิ 9. มากกวา่

5. น้อยกว่าหรือเทา่ กับ 10. ไม่นอ้ ยกวา่

คำชแี้ จง: ใหน้ กั เรียนพจิ ารณาว่าประโยคทใ่ี ชส้ ญั ลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดใหเ้ ป็นอสมการ หรอื ไม่เป็น
อสมการ โดยทำเครือ่ งหมาย / ลงใน หน้าขอ้ ความ

ตวั อยา่ ง 2x < 8 เปน็ อสมการ ไม่เป็นอสมการ

1. 5x -1 > 16 เป็นอสมการ ไมเ่ ปน็ อสมการ
2. 3x + 2 = 8 เป็นอสมการ ไมเ่ ปน็ อสมการ
3. 4 - 2x ³ 10 เป็นอสมการ ไมเ่ ปน็ อสมการ
4. 2(y + 5) = -17 เปน็ อสมการ ไม่เป็นอสมการ
5. 8x ¹ 40
เป็นอสมการ ไม่เป็นอสมการ

คำชีแ้ จง : ให้นักเรียนใส่เครือ่ งหมาย / ลงในชอ่ งของตารางให้ถูกต้อง

ข้อ ประโยคสัญลักษณ์ อสมการ อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว
ตวั อย่าง 8x = 16 ใช่ ไม่ใช่ ใช่ ไม่ใช่

-/ --

ตวั อย่าง 1 x + 3 < 7 /- / -
1. 2

2x + 5 = 13

2. 3x + 5y > 10

3. 3 x < 20
2

4. y + 9 ³ 16

5. 2x + x £ x + 9

1.2 ประโยคภาษาและประโยคสญั ลกั ษณ์

ประโยคภาษาทางคณิตศาสตร์ คอื ประโยคเกย่ี วกบั จำนวนทเ่ี ขยี นเป็นขอ้ ความ เช่น

- ผลบวกของห้ากบั แปดน้อยกว่าสบิ หก - สามเท่าของจำนวนจำนวนหนึ่งเกนิ สิบสอง

- เศษสี่ส่วนหา้ ของจำนวนจำนวนหนงึ่ ไม่เทา่ กับสบิ สาม - ผลต่างของจำนวนจำนวนหนึ่งกับสีไ่ มเ่ กนิ เจด็

- สองเทา่ ของผลบวกของจำนวนจำนวนหน่งึ กบั หา้ ไมน่ อ้ ยกว่าแปด

ประโยคสัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ คอื ประโยคทใี่ ชส้ ัญลักษณท์ างคณิตศาสตรเ์ ขียนแทนข้อความและ

คำท่แี สดงแสดงความสมั พนั ธข์ องจำนวน เชน่ 5 + 8 < 16 3x > 12 2(x + 5) ³ 8 x - 4 £ 7 4 x ¹ 13
5

การสรา้ งประโยคสญั ลักษณแ์ ทนประโยคภาษาของอสมการ
ในการสรา้ งประโยคสัญลกั ษณแ์ ทนประโยคภาษาของอสมการนั้น นกั เรยี นตอ้ งทราบว่าในประโยค

ภาษาที่กำหนดใหน้ นั้ จะมขี อ้ มลู อยู่ 2 สว่ น คอื สว่ นที่กล่าวถงึ จำนวน และสว่ นท่ีแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง

จำนวน ดังนี้

1. ส่วนท่ีกล่าวถึงจำนวน เปน็ ส่วนที่กล่าวถึงจำนวน ซ่ึงในแตล่ ะประโยคอาจมีส่วนน้ไี ดม้ ากกว่า 1
แหง่ นอกจากน้ถี า้ มปี ริมาณท่ไี มไ่ ดร้ ะบใุ ห้เปน็ คา่ คงตวั ใหแ้ ทนจำนวนนน้ั ดว้ ยตัวแปร โดยนักเรียนสามารถ
เขยี นสว่ นทีก่ ลา่ วถงึ จำนวนใหอ้ ยู่ในรูปการดำเนนิ การของจำนวนกบั จำนวน หรืจำนวนกับตวั แปร ดว้ ย
เครอื่ งหมายทางคณติ ศาสตร์

2. ส่วนท่แี สดงความสัมพนั ธ์ระหว่างจำนวน เป็นส่วนท่เี ขยี นสญั ลกั ษณ์แทนความสัมพนั ธข์ องสว่ นท่ี
กล่าวถึงจำนวน โดยใชส้ ัญลกั ษณ์ <,>,£,³ หรือ ¹

ตวั อยา่ งที่ 1 ผลบวกของสามกับแปดนอ้ ยกวา่ ยส่ี บิ เขียนได้เป็น 3 + 8 < 20 มวี ธิ ีคิด ดงั น้ี
ผลบวกของสามกบั แปดน้อยกวา่ ย่ีสบิ

สว่ นทีก่ ล่าวถึงจำนวน สว่ นทีแ่ สดงความสัมพันธ์ สว่ นทก่ี ลา่ วถึงจำนวน
ผลบวกของสามกบั แปด ระหว่างจำนวน ยีส่ ิบ

นอ้ ยกวา่

3+8 < 20

3 + 8 < 20

ตัวอย่างท่ี 2 ผลตา่ งของจำนวนจำนวนหนง่ึ กับส่ีไมน่ อ้ ยกวา่ สิบห้า เขยี นได้เปน็ x - 4 ³ 15 มวี ิธคี ดิ ดังนี้

ประโยคภาษา ผลต่างของจำนวนจำนวนหน่งึ กบั สีไ่ มน่ อ้ ยกวา่ สิบห้า

ประโยคสญั ลักษณ์

x-4 ³ 15

ตวั อย่างที่ 3 สองเทา่ ของผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกบั สามไมเ่ ทา่ กับแปด เขยี นไดเ้ ปน็ 2(x + 3) ¹ 8
มวี ิธีคดิ ดงั นี้

ประโยคภาษา สองเทา่ ของผลบวกของจำนวนจำนวนหน่ึงกบั สามไม่เทา่ กับแปด

ประโยคสญั ลกั ษณ์ 2(x + 3) ¹8

ลองทำดู

คำชีแ้ จง: ใหน้ ักเรียนเขียนประโยคท่ใี ชส้ ัญลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตรแ์ ทนแต่ละประโยคตอ่ ไปนี้
(ให้ x แทนจำนวนหน่ึง)

ขอ้ ประโยคภาษา ประโยคสญั ลักษณ์

ตัวอย่าง สามเท่าของจำนวนจำนวนหน่ึงบวกกับหา้ เท่าของ 3x + 5x > 40
จำนวนจำนวนนน้ั มากกว่าสสี่ บิ

1. จำนวนจำนวนหนึ่งมากกว่าหก ………………………………………

2. ผลบวกของห้ากบั เจด็ นอ้ ยกว่าหรอื เทา่ กับสิบห้า ………………………………………

3. สบิ สองบวกกบั แปดไมเ่ ท่ากบั ยีส่ บิ สาม ………………………………………

4. จำนวนหนึง่ บวกกับห้ามากกว่าหรอื เท่ากับเก้า ………………………………………

5. ผลบวกของจำนวนจำนวนหนึ่งกบั สไี่ ม่น้อยกวา่ หก ………………………………………

คำชี้แจง: ใหน้ ักเรยี นเขียนประโยคท่ใี ชส้ ญั ลักษณท์ างคณิตศาสตรแ์ ทนแตล่ ะประโยคตอ่ ไปน้ี
(ให้ y แทนจำนวนหนงึ่ )

ข้อ ประโยคภาษา ประโยคสญั ลักษณ์

ตวั อย่าง ครง่ึ หนึ่งของผลบวกของสิบกับจำนวนหน่งึ มคี า่ ไม่ 1 (10 + y) ³ 10
น้อยกว่าสิบ 2

1. สามเทา่ ของจำนวนจำนวนหนงึ่ มคี า่ ไม่มากกวา่ ผลบวก ………………………………………
ของสองเท่าของจำนวนนนั้ กบั สาม

2. สีเ่ ท่าของผลต่างของจำนวนจำนวนหน่งึ กบั สบิ ห้าไม่ ………………………………………
เกนิ ยี่สบิ ห้า

3. ผลบวกของสสี่ ว่ นห้าของจำนวนจำนวนหนึง่ กบั 10 ………………………………………
ไม่น้อยนอ้ ยกวา่ 9

ใบความรทู้ ่ี 2

เรอ่ื ง คำตอบของอสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี วและกราฟแสดงคำตอบ

2.1 คำตอบของอสมการ คำตอบของอสมการ คือ จำนวนท่แี ทนตวั แปรในอสมการแล้วทำให้อสมการเปน็ จรงิ

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคำตอบของอสมการ a £ 5
วธิ ที ำ จาก
a£5
ถา้ แทน a ด้วย 6 จะได้ 6 £ 5 ไม่เป็นจรงิ

ถา้ แทน a ด้วย 5 จะได้ 5 £ 5 เป็นจรงิ
ถ้าแทน a ดว้ ย 4 จะได้ 4 £ 5 เปน็ จริง

และเมื่อแทน a ด้วยจำนวนอืน่ ๆ อกี มากมายที่ทำให้อสมการเป็นจรงิ

เช่น 4.9, 4 1 , 3.8 , 3 1 , 3, 2, 1, 0, -1, -2,…
2 2
ดังนั้น คำตอบของอสมการ a £ 5 คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวนท่ีนอ้ ยกว่าหรอื เทา่ กบั 5

ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนทน่ี ้อยกว่าหรือเท่ากบั 5

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาคำตอบของอสมการ x ¹ -13

วธิ ีทำ จาก x ¹ -13 เปน็ จริง
ถา้ แทน x ดว้ ย -14 จะได้ -14 ¹ -13
ถา้ แทน x ดว้ ย -13 จะได้ -13 ¹ -13 ไมเ่ ป็นจริง

ถ้าแทน x ดว้ ย -10 จะได้ -10 ¹ -13 เป็นจรงิ
ถ้าแทน x ด้วย -3 จะได้ - 3 ¹ -13 เป็นจริง

ถา้ แทน x ดว้ ย 0 จะได้ 0 ¹ -13 เป็นจรงิ

ถา้ แทน x ด้วย 2 จะได้ 2 ¹ -13 เป็นจรงิ
และเมื่อแทน x ดว้ ยจำนวนอืน่ ๆ อีกมากมายที่ทำให้อสมการเป็นจรงิ

เชน่ -20, -15, -5, - 1 1 , -1, 1, 3, 4, 5…
2
ดงั น้นั คำตอบของอสมการ x ¹ -13 คือ จำนวนจรงิ ใด ๆ ท่ไี ม่เท่ากบั -13

ตอบ จำนวนจริงใด ๆ ท่ีไม่เท่ากับ -13

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำตอบของอสมการ y - 2 < y +1

วิธที ำ จาก y-2 < y+1

ถา้ แทน y ดว้ ย -5 จะได้ - 5 - 2 < -5 +1
นน่ั คือ - 7 < -4 เปน็ จรงิ
ถ้าแทน y ด้วย -1 จะได้ -1- 2 < -1+1
นนั่ คอื - 3 < 0 เปน็ จรงิ

ถา้ แทน y ดว้ ย 0 จะได้ 0 - 2 < 0 +1 เปน็ จรงิ
นั่นคอื - 2 < 1
ถ้าแทน y ด้วย 2 จะได้ 2 - 2 < 2 +1
น่นั คือ 0 < 3 เปน็ จริง
และเม่ือแทน x ดว้ ยจำนวนอืน่ ๆ อีกมากมายท่ีทำใหอ้ สมการเปน็ จริง

เชน่ -25, -10, -3, - 1 1 , 0, 1, 3, 4, 5, 5.5,…
2
ดงั น้ัน คำตอบของอสมการ y - 2 < y +1 คอื จำนวนจรงิ ทกุ จำนวน

ตอบ จำนวนจริงทกุ จำนวน

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาคำตอบของอสมการ m > m +1

วิธที ำ จาก m > m +1

ถ้าแทน m ดว้ ย -3 จะได้ - 3 > -3 +1 ไม่เปน็ จรงิ
นนั่ คอื - 3 > -2
ถ้าแทน m ดว้ ย -1 จะได้ -1 > -1+1
น่ันคือ -1 > 0 ไมเ่ ปน็ จริง

ถ้าแทน m ดว้ ย 0 จะได้ 0 > 0 +1
น่นั คอื 0 > 1 ไมเ่ ปน็ จรงิ

ถา้ แทน m ดว้ ย 4 จะได้ 4 > 4 +1 ไมเ่ ป็นจริง
นัน่ คอื 4 > 5
เนื่องจาก ไม่มจี ำนวนจริงใดทแ่ี ทนลงในของอสมการ m > m +1 แล้วทำให้สมการเปน็ จริง

ตอบ ไม่มจี ำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาคำตอบของอสมการ x > 3

วิธที ำ เนอ่ื งจากเมอ่ื แทน x ด้วยจำนวนจรงิ ทกุ จำนวนที่มากกวา่ 3 ใน x > 3 แล้วจะไดอ้ สมการเปน็ จริง
ดงั นน้ั คำตอบของอสมการ x > 3 คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวนทีม่ ากกวา่ 3

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาคำตอบของอสมการ x £ -2
วธิ ีทำ เนือ่ งจากเมอ่ื แทน x ดว้ ยจำนวนจริงทกุ จำนวนทน่ี อ้ ยกวา่ หรือเทา่ กับ -2 ใน x £ -2 แลว้ จะได้
อสมการเป็นจริง

ดงั นั้น คำตอบของอสมการ x £ -2 คอื จำนวนจริงทุกจำนวนทน่ี อ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กับ -2

ตวั อย่างที่ 7 จงหาคำตอบของอสมการ x ¹ 4
วธิ ที ำ เน่อื งจากเมอ่ื แทน x ด้วยจำนวนจรงิ ทุกจำนวนที่ไม่เท่ากบั 4 ใน x ¹ 4 แล้วจะไดอ้ สมการเป็นจรงิ

ดังนนั้ คำตอบของอสมการ x ¹ 4 คือ จำนวนจรงิ ทุกจำนวนท่ไี ม่เทา่ กบั 4

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาคำตอบของอสมการ 2x + 3 ³ 2x +1
วิธีทำ เนอื่ งจากเม่อื แทน x ดว้ ยจำนวนจริงทุกจำนวนใด ๆ ใน 2x + 3 ³ 2x +1
แล้วจะไดอ้ สมการเป็นจรงิ

ดังนน้ั คำตอบของอสมการ 2x + 3 ³ 2x +1 คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวน

แบบฝึกทกั ษะท่ี 2.1
เรอ่ื ง คำตอบของอสมการ

คำขแ้ี จง: ให้นกั เรียนหาคำตอบของอสมการเชิงเสน้ ในขอ้ ต่อไปน

1ต.ัวอxย่า>ง10x > -8 2. x ³ -1
……วธิ……ีท……ำ…………เ……นอ่ื……ง……จ……าก……ดเ……มงั ื่อน……แ้นั……ท……คน……ำตx……อด……บว้ ……ขยอ……จงำ……อน……สวม……นกจ……าร……รงิ ……ทxกุ……จ……>ำ……น-……ว8น……คท……ือี่มาจกำกนวว……า่ น……-จ8……รงิ……ในท……กุ ……จx……ำน>……ว……น-……8ท……ม่ี แา……ลก……้วกจ……วะ่า……ได-……8อ้ ……ส……ม……กา……ร……เป……็น……จ……รงิ……………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

3. x < -7 4. x £ 14

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

5. x ¹ 24 6. x + 6 < x + 10

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

7. 2x + 9 ³ 2x + 4 8. x -10 > x - 5

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

9. 2x - 3 ³ 2x + 8

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2 การเขยี นและการอ่านกราฟของอสมการ

คำตอบของอสมการ อาจแสดงไดโ้ ดยใชก้ ราฟบนเสน้ จำนวนแสดงจำนวนจรงิ ทเี่ ปน็ คำตอบ
นค่ี อื เส้นจำนวน

วงกลมโปรง่ หมายถงึ ไม่รวมค่าทีจ่ ุดน้นั
วงกลมทึบ หมายถงึ รวมคา่ ทีจ่ ุดน้นั
ตัวอย่างท่ี 1 จงวาดกราฟแสดงคำตอบของอสมการ x ³ 1

กราฟขา้ งตน้ แสดงจำนวนจรงิ ทกุ จำนวนทีม่ ากกวา่ หรอื เท่ากบั 1 ซง่ึ เปน็ คำตอบของอสมการ x ³ 1
เน่ืองจาก 1 เป็นคำตอบของอสมการ x ³ 1 จึงเขยี นรูปวงกลมทึบทจี่ ุด 1 เพอ่ื แสดงวา่ กราฟรวมจดุ 1 ด้วย
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงวาดกราฟแสดงคำตอบของอสมการ x < -2

กราฟข้างตน้ แสดงจำนวนจริงทกุ จำนวนทีน่ อ้ ยกว่า -2 ซึ่งเปน็ คำตอบของอสมการ x < -2
เน่อื งจาก -2 ไมใ่ ช่คำตอบของอสมการ x < -2 จึงเขยี นรูปวงกลมโปร่งทีจ่ ดุ -2 เพอ่ื แสดงว่ากราฟ
ไมร่ วมจดุ -2
ตัวอยา่ งท่ี 3 จงวาดกราฟแสดงคำตอบของอสมการ x ¹ 0

กราฟขา้ งต้นแสดงจำนวนจรงิ ทุกจำนวน ยกเว้น 0 ซ่งึ เป็นคำตอบของอสมการ x ¹ 0
เน่ืองจาก 0 ไมใ่ ชค่ ำตอบของอสมการ x ¹ 0 จึงเขยี นวงกลมโปรง่ ทจ่ี ุด 0 เพ่อื แสดงวา่ กราฟไมร่ วมจุด 0

ตวั อย่างที่ 4 จงวาดกราฟแสดงคำตอบของอสมการ - 6 < x £ 4

กราฟขอ้ งต้นแสดงจำนวนจรงิ ทกุ จำนวนทมี่ ากกว่า -6 แตน่ ้อยกว่าหรือเท่ากบั 4 ซง่ึ เปน็ คำตอบของ
อสมการ - 6 < x £ 4

เนื่องจาก -6 ไมใ่ ชค่ ำตอบของอสมการ - 6 < x £ 4 จึงเขียนวงกลมโปร่งที่จดุ -6 เพ่อื แสดงวา่
กราฟไมร่ วมจดุ -6 และเน่ืองจาก 4 เปน็ คำตอบของอสมการ - 6 < x £ 4 จงึ เขียนวงกลมทึบท่จี ดุ 4
เพอื่ แสดงว่ากราฟรวมจุด 4
ตัวอย่างท่ี 5 จงวาดกราฟแสดงคำตอบของอสมการ - 30 £ x £ 20

กราฟขอ้ งตน้ แสดงจำนวนจรงิ ทกุ จำนวนทีม่ ากกวา่ หรอื เท่ากับ -30 แตน่ อ้ ยกว่าหรอื เทา่ กบั 20 ซงึ่
เปน็ คำตอบของอสมการ - 30 £ x £ 20

เนื่องจาก -30 เปน็ คำตอบของอสมการ - 30 £ x £ 20 จึงเขยี นวงกลมทบึ ทจี่ ุด -30 เพอื่ แสดง
ว่ากราฟรวมจุด -30 และเนอ่ื งจาก 20 เปน็ คำตอบของอสมการ - 30 £ x £ 20 จงึ เขียนวงกลมทึบทจี่ ดุ
20 เพ่ือแสดงว่ากราฟรวมจดุ 20

การอา่ นกราฟของอสมการ
ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาว่ากราฟแสดงคำตอบในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ แสดงจำนวนใดบ้าง

6.1 )

ตอบ จำนวนจริงทุกจำนวนทมี่ ากกวา่ หรือเทา่ กับ -2
6.2 )

ตอบ จำนวนจรงิ ทกุ จำนวน ยกเวน้ - 0.5
6.3)

ตอบ จำนวนจริงทกุ จำนวนท่ีมากกวา่ หรือเท่ากบั -28 แตน่ ้อยกว่า 21

แบบฝึกทักษะที่ 2.2
เรื่อง การเขียนและการอา่ นกราฟของอสมการ

คำชแ้ี จง: จงเขียนกราฟแสดงคำตอบของอสมการในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1) x > -6

2) x > 20

3) x < 5

4) x < -39
5) x ³ -7

6) x ¹ 7 5
8

7) - 4 < x < 3

8) - 8 £ x < 0
9) 5 £ x £ 13

คำชีแ้ จง: กราฟแสดงคำตอบในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ แสดงจำนวนใดบ้าง
1)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
6)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ใบความรทู้ ่ี 3
เรอื่ ง การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

การแก้อสมการ คอื การหาคำตอบของอสมการ นนั่ คอื การหาคา่ ของตวั แปรท่เี ม่อื นำไปแทนคา่ ใน
อสมการแลว้ ทำใหอ้ สมการเป็นจรงิ

การแกอ้ สมการตอ้ งอาศัยสมบัตขิ องการไม่เทา่ กนั ในการหาคำตอบ ได้แก่ สมบตั ขิ องการไมเ่ ท่ากัน
ของการบวก และสมบัตกิ ารคูณของการไม่เท่ากัน
3.1 การแกอ้ สมการโดยอาศัยสมบัติของการบวก

สมบัติการบวกของการไมเ่ ท่ากัน
ให้ a , b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ
ถา้ a < b แล้ว a + c < b + c
ถ้า a £ b แลว้ a + c £ b + c

ในทำนองเดียวกัน
ถา้ a > b แลว้ a + c > b + c
ถ้า a ³ b แลว้ a + c ³ b + c

ตวั อย่างที่ 1 จงแก้อสมการ x + 7 < 10 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ
วิธีทำ จาก x + 7 < 10
นำ -7 มาบวกท้ังสองข้างของอสมการ จะได้ x + 7 + (-7) < 10 + (-7)

ดังนน้ั x < 3
น่นั คอื คำตอบของอสมการ x + 7 < 10 คอื จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนท่นี อ้ ยกว่า 3
และเขยี นกราฟแสดงคำตอบไดด้ งั น้ี

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ตัวอยา่ งที่ 2 จงแกอ้ สมการ x - 2 ³ 8 และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ
วธิ ีทำ จาก x - 2 ³ 18
นำ 2 มาบวกท้งั สองข้างของอสมการ จะได้ x – 2 + 2 ³ 18 + 2

ดงั น้นั x ³ 20
นน่ั คือ คำตอบของอสมการ x - 2 ³ 18 คือ จำนวนจริงทกุ จำนวนที่มากกว่าหรอื เท่ากบั 20
และเขยี นกราฟแสดงคำตอบไดด้ งั นี้

ตวั อยา่ งที่ 3 จง-แ2ก0อ้ สมก-1า0ร 2-x5 - 3 0 £ 5x + 510 และเ1ข5ียนกรา2ฟ0แสดง2ค5ำตอบ30
วธิ ีทำ จาก 2x - 3 £ x + 5
นำ (-x) มาบวกทง้ั สองขา้ งของอสมการ จะได้ 2x – 3 + (-x) £ x + 5 + (-x)

x–3 £ 5
นำ 3 มาบวกท้งั สองข้างของอสมการ จะได้ x – 3 + 3 £ 5 + 3
ดังน้ัน x £ 8
นั่นคอื คำตอบของอสมการ 2x - 3 £ x + 5 คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวนทน่ี อ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ 8
และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดงั นี้

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3.1

เรื่อง การแกอ้ สมการโดยอาศัยสมบัติของการบวก

คำชี้แจง: จงแกอ้ สมการต่อไปนี้ พรอ้ มเขยี นกราฟแสดงคำตอบ

1. x + 9 > 11 2. x – 7 £ 23

3. 25 + x ³ 15 4. 4x + 7 < 3x

5. 3x + 4 < 2x - 6 6. 17 + 5x ³ 25 + 4x

7. x - 11 < 14 8. 12x - 7 £ -2 + 11x

3.2 การแกอ้ สมการโดยอาศัยสมบัติของการคณู

สมบตั ิการคูณของการไม่เท่ากัน

ให้ a , b และ c แทนจำนวนจริงใดๆ

(1) ถา้ a < b และ c เป็นจำนวนจรงิ บวก แล้ว ac < bc
(2) ถา้ a £ b และ c เปน็ จำนวนจริงบวก แลว้ ac £ bc
(3) ถา้ a < b และ c เปน็ จำนวนจริงลบ แลว้ ac > bc

(4) ถ้า a £ b และ c เปน็ จำนวนจริงลบ แล้ว ac ³ bc
ข้อสังเกตใ>นทเำปเมน็นอ่ื อคง((<ูณ56เด))ดยี ว้ถถวยกา้า้ จนั ำนaaวนแ>ลล³ะบbเคbร่ืองแแหลลมะะา<ยของเccปอน็สมก>เเาปปรน็น็จจะจเำำปนนลววย่ีนนนจจรรงิดงิ บบงั นววกก้ี
แล้ว ac > bc
แลว้ ac ³ bc
(7) ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac < bc

(8) ถ้า a ³ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แลว้ ac £ bc

³ เป็น £ และ £ เป็น ³ (เป็นเครอื่ งหมายตรงขา้ มกนั นนั่ เอง)

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงแก้อสมการ 2x + 3 < 9 และเขียนกราฟแสดงคำตอบดว้ ย

วิธีทำ จาก 2x + 3 < 9

นำ – 3 มาบวกทง้ั สองข้างของอสมการ จะได้ 2x + 3 + (-3) < 9 + (-3)

2x < 6

นำ 1 มาคูณท้ังสองขา้ งของอสมการ จะได้ 2x ( 1 ) < 6 ( 1 )

2 22
x< 3

ดงั นนั้ คำตอบของอสมการ 2x + 3 < 9 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนที่น้อยกว่า 3

และเขยี นกราฟแสดงคำตอบไดด้ งั น้ี

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแก้อสมการ 3x + 1 ³ 7 + 2x และเขยี นกราฟแสดงคำตอบ

วธิ ที ำ จาก 3x + 1 ³ 7 + 2x
นำ -1 มาบวกท้งั สองขา้ งของอสมการ จะได้ 3x + 1 + (-1) ³ 7 + 2x + (-1)

3x ³ 6 + 2x
นำ -2x มาบวกทง้ั สองข้างของอสมการ จะได้ 3x + (-2x) ³ 6 + 2x + (-2x)

ดังนนั้ x ³ 6
น่นั คอื คำตอบของอสมการ 3x + 1 ³ 7 + 2x คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวนท่มี ากกว่าหรือเทา่ กบั 6
และเขยี นกราฟแสดงคำตอบได้ดังน้ี

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 3.2

เรือ่ ง การแก้อสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี ว โดยใช้สมบัตขิ องการคูณ

คำชี้แจง: จงแกอ้ สมการต่อไปนี้ พร้อมเขยี นกราฟแสดงคำตอบ

1. 2x - 13 > 17 2. 4x – 8 < - 36

3. x + 6 £ 5 4. 4x – 5 ≤ 6x + 1
3 6. x – 6 < 2x - 10
8. 11(x – 7) £ 12(-2 + x)
5. -2x – 10 > 5x + 4

7. - 2 x + 5 ³ 22
3

3.3 การแกอ้ สมการที่มเี ครอ่ื งหมาย “ไมเ่ ทา่ กบั ” และแบบช่วง

การแกอ้ สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วที่มเี คร่อื งหมาย ¹ เช่น x + 4 ¹ 6 และ 5x – 3 ¹ 7
เราจะไม่ใช้สมบัติการบวกของการไมเ่ ท่ากันและสมบตั ิการคณู ของการไมเ่ ท่ากัน แต่จะใช้การแกส้ มการเพ่ือหา
คำตอบ ซึง่ เมือ่ ไดค้ ำตอบของสมการแลว้ จะทำให้ได้คำตอบของอสมการทมี่ เี คร่อื งหมาย ¹ เป็นจำนวนจรงิ ทุก
จำนวนยกเว้นจำนวนท่เี ป็นคำตอบของสมการ ดังนี้

การแก้อสมการ A ¹ B มวี ธิ ีการดงั น้ี
1. หาคำตอบของอสมการ A = B โดยวิธีแกส้ มการ
2. คำตอบของอสมการ A ¹ B คอื จำนวนจริงทุกจำนวนทไี่ มเ่ ท่ากับคำตอบของสมการ A = B

ตวั อย่างท่ี 1 จงแก้อสมการ 2x + 2 ¹ 20 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ

วิธที ำ แกส้ มการ 2x + 2 = 20
นำ -2 มาบวกท้งั สองขา้ งของอสมการจะได้ 2x + 2 + (-2) = 20 + (-2)

2x = 18

นำ 1 มาคูณท้ังสองข้างของอสมการจะได้ 2x( 1 ) = 18( 1 )

2 22
x=9

ดงั นั้น 9 เปน็ คำตอบของสมการ 2x + 2 = 20
นน่ั คือ คำตอบของอสมการ 2x + 2 ¹ 20 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนยกเวน้ 9
และเขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดงั น้ี

-12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15

ตวั อย่างท่ี 2 จงแก้อสมการ 4 < x - 2 < 8 และเขียนกราฟแสดงคำตอบ 1. แยกอสมการคดิ เปน็ 2 ส่วน
2. ไม่แยกอสมการคดิ เปน็ 2 สว่ น

วิธที ่ี 1 แยกอสมการคดิ เป็น 2 สว่ น

จากอสมการ 4 < x - 2 < 8 จะได้ 4 < x - 2 และ x - 2 < 8

(สว่ นที่ 1) คำตอบของอสมการ 4 < x - 2 (ส่วนท่ี 2) คำตอบของอสมการ x - 2 < 8
จะได้ - x < -2 - 4 จะได้
x <8+2

- x < -6 x < 10

x>6

เขยี นกราฟของอสมการทง้ั สองส่วนได้ดังน้ี

จะไดก้ ราฟแสดงคะต4อบของอ5สมการค6ือ 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ดงั น้ัน คำตอบของอสมการ 4 < x - 2 < 8 คอื จำนวนจริงทกุ จำนวนทมี่ ากกวา่ 6 แตน่ ้อยกว่า 10

วิธีที่ 2 ไมแ่ ยกอสมการคดิ เปน็ 2 สว่ น
จากอสมการ 4 < x - 2 < 8
นำ 2 มาบวกตลอดทัง้ อสมการ จะได้

4+2< x-2+2<8+2
6 < x < 10

ดงั นั้น คำตอบของอสมการ 4 < x - 2 < 8 คอื จำนวนจรงิ ทุกจำนวนทีม่ ากกว่า 6 แต่น้อยกวา่ 10

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 3.3

เรอื่ ง การแกอ้ สมการทมี่ เี คร่อื งหมาย “ไม่เทา่ กบั ” และแบบช่วง

คำชีแ้ จง: จงแก้อสมการต่อไปนี้ พร้อมเขียนกราฟแสดงคำตอบ

1. x - 13 ¹ 17 2. 4x – 8 ¹ - 36

3. 5(x - 8) ¹ 40 4. 5(x - 7) ¹ 3x + 3

5. - 2 < x - 5 < 3

ใบความรู้ท่ี 4
เร่อื ง โจทย์ปัญหาเกีย่ วกบั อสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

โจทย์อสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียว มวี ิธีการแกโ้ จทย์ปญั หาเช่นเดยี วกบั โจทยส์ มการ โดยอาศยั เร่ืองการแก้
อสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดียว โดยมีขน้ั ตอนดงั นี้

ขนั้ ท่ี 1 วิเคราะหโ์ จทย์เพอ่ื หาวา่ โจทยก์ ำหนดอะไรมาใหแ้ ละใหห้ าอะไร
ขน้ั ท่ี 2 กำหนดตวั แปรแทนสง่ิ ท่โี จทยใ์ หห้ าหรอื แทนสง่ิ ท่เี ก่ียวขอ้ งกับส่ิงทีโ่ จทยใ์ ห้หา
ข้นั ที่ 3 เขยี นอสมการตามเงอ่ื นไขในโจทย์
ขน้ั ท่ี 4 แก้อสมการเพ่ือหาคำตอบที่โจทยต์ อ้ งการ
ขั้นท่ี 5 ตรวจสอบคำตอบทไี่ ดก้ ับเงื่อนไขในโจทย์

ตวั อยา่ งท่ี 1 เกา้ เท่าของผลบวกของเลขจำนวนหนง่ึ กบั 15 ยังมี ตัวอยา่ งท่ี 2 ผลบวกของเลขจำนวนค่ีสามจำนวนเรยี งกนั มคี ่า
คา่ น้อยกว่า 72 จงหาเลขจำนวนน้ัน นอ้ ยกวา่ 81 จากจำนวนคีท่ ง้ั สามน้ัน จงหาจำนวนคีท่ ่มี ากทส่ี ดุ

วิธีทำ ให้เลขจำนวนนั้นคือ x ทเ่ี ปน็ ไปได้

เก้าเทา่ ของผลบวกของเลขจำนวนหนึง่ กับ 15 คือ 9(x +15) วธิ ีทำ ใหจ้ ำนวนค่สี ามจำนวนเรยี งกนั คอื x , x+2 , x+4
ผลบวกของเลขจำนวนคส่ี ามจำนวนเรยี งกนั มคี ่าน้อยกว่า 81
ยงั มคี า่ น้อยกวา่ 72
จะได้อสมการเปน็ 9(x +15) < 72 จะได้อสมการเป็น x + (x + 2) + (x + 4) < 81

จากอสมการ 9(x + 15) < 72 จากอสมการ x + (x + 2) + (x + 4) < 81

จะได้ x + 15 < 72 จะได้ x + x + 2 + x + 4 < 81
9
3x + 6 < 81

x + 15 < 8 3x < 81 - 6

x < 8 -15 3x < 75

x < -7 x < 75
5
ตรวจสอบ ถ้าเลขจำนวนนน้ั คอื -8
ผลบวกของเลขจำนวนนัน้ กับ 15 จะได้ - 8 +15 = 7 x < 25
เก้าเทา่ ของ 7 จะได้ 9´ 7 = 63
และ 63 มีคา่ น้อยกว่า 72 ซง่ึ เปน็ จริงตามเงื่อนไขในโจทย์ ตรวจสอบ ถ้าจำนวนคท่ี ่เี ป็นจำนวนน้อยทีส่ ุด คอื 23
ดงั นั้น เลขจำนวนนน้ั คอื จำนวนจรงิ ทกุ จำนวนทีน่ ้อยกวา่ -7 จำนวนคี่สามจำนวนเรยี งกัน 8 คอื 23 , 25 , 27
ดังนน้ั ผลบวกของเลขจำนวนค่สี ามจำนวนเรียงกนั คือ
23 + 25 + 27 = 75 มีคา่ นอ้ ยกว่า 81 ซง่ึ เปน็ จริงตามเงือ่ นไข
ในโจทย์
ดงั น้นั จำนวนคี่จำนวนทีม่ ากท่ีสุดทีเ่ ป็นไปได้คือ

23 + 4 = 27

แบบฝกึ ทักษะที่ 4
เรอื่ ง โจทย์ปัญหาเกย่ี วกับอสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว
คำชแ้ี จง: จงแก้โจทยป์ ญั หาอสมการตอ่ ไปน้ี
1. สองในหา้ เท่าของผลตา่ งของจำนวนจำนวนหน่งึ กบั ห้ามคี า่ มากกวา่ สี่ จำนวนนั้นเทา่ กบั เท่าใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

2. จำนวนนับสามจำนวนเรียงกนั รวมกันแลว้ ไมเ่ กนิ 21 เลขสามจำนวนนั้นได้แกเ่ ลขอะไรบา้ ง
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

3. แนนซอ้ื น้ำขวดเลก็ และขวดกลางมาขาย 200 ขวด เปน็ เงนิ 1,200 บาท ขายนำ้ ขวดเล็กราคาขวดละ 5
บาท ขายนำ้ ขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เม่อื ขายหมดไดก้ ำไรมากกว่า 250 บาท อยากทราบว่าแนนซือ้ น้ำ
ขวดเลก็ มาขายอยา่ งมากทสี่ ดุ กข่ี วด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4. วีระบุตรมเี หรียญบาทและเหรยี ญสลึงคดิ เปน็ เงนิ 20 บาท เม่อื นับจำนวนเหรยี ญดแู ล้ว พบวา่ มีเหรยี ญ
มากกว่า 50 เหรียญ แต่ไมถ่ ึง 60 เหรียญ จงหาวา่ เหรยี ญทว่ี ีระบุตรเก็บไวม้ ีโอกาสเปน็ เหรียญบาทก่เี หรยี ญ
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………….........................