สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 5

สมการกำลังสอง
ตัวแปรเดยี ว

วิชาคณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน ค23101
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3

นางสาวนชุ จรีย์ จำเริญโชค
ครผู สู้ อน

ช่อื ......................................
ชั้น ม.3/…….. เลขที่ ........

โรงเรียนสุธีวิทยา

หนว่ ยที่ 5 สมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว : คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรยี ์ จำเริญโชค ครูผู้สอน

6.1 สมการกำลังสองตัวแปรเดยี ว
สมการกำลงั สองตวั แปรเดียว คอื สมการท่มี ี x เปน็ ตวั แปรและมรี ปู ท่วั ไปเป็น ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื
a, b, c เปน็ ค่าคงตัวและ a ¹ 0
คำตอบของสมการกำลงั สองตวั แปรเดยี ว คือ จำนวนจริงใด ๆ ที่แทนตวั แปรในสมการกำลงั สองตวั แปรเดียว
แล้วทำใหส้ มการเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 1 จงจัดรูปสมการตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรูปท่ัวไป 2) x2 + 5 = 2x
1) 1.5m2 - 0.5m + 2 = -4m วธิ ีทำ x2 + 5 = 2x
วธิ ีทำ 1.5m2 - 0.5m + 2 = -4m
x2 + 5 + (-2x) = 2x + (-2x)
1.5m2 - 0.5m + 2 + 4m = -4m + 4m x2 - 2x + 5 = 0
1.5m2 + 3.5m + 2 = 0
4) 2m2 -10 = -3m2 + 4
3) -y(4y + 7) = -8 วธิ ที ำ 2m2 -10 = -3m2 + 4
วธิ ีทำ -y(4y + 7) = -8 2m2 -10 + 3m2 = -3m2 + 4 + 3m2
5m2 -10 = 4
(-y)(4y) + (-y)(7) = -8 55mm22 - 10 (-4) 4 (-4)
-4y2 - 7y = -8 - 14 + 0 = +
-4y2 - 7y + 8 = -8 + 8 =
-4y2 - 7y + 8 = 0

ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่า a, b, c จากสมการต่อไปน้ี

สมการ รูปท่ัวไป คา่ a คา่ b ค่า c
( ax2 + bx + c = 0)
1.5m2 - 0.5m + 2 = -4m 1.5m2 + 3.5m + 2 = 0 1.5 3.5 2
-x2y+(4y5+=72)x= -8 x2 - 2x + 5 = 0 1 -2 5
-4y2 - 7y + 8 = 0
2m2 -10 = -3m2 + 4 5m2 -14 = 0

ตวั อย่างที่ 3 จงพจิ ารณาว่า 2 และ 3 เปน็ คำตอบของสมการ 8 ! − 15 = 0 หรอื ไม่

วธิ ีทำ จาก 8 ! − 15 = 0

เม่อื แทน x = 2 ในสมการ จะได้ 8(2)! − 15 = 0

17 – 15 = 0 เปน็ เท็จ

เม่ือแทน x = 3 ในสมการ จะได้ 8(3)! − 15 = 0
57 = 0 เป็นเท็จ

ตอบ 2 และ 3 ไมใ่ ช่คำตอบของสมการ 8 ! − 15 = 0 ##

2

หน่วยท่ี 5 สมการกำลังสองตัวแปรเดียว : คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนุชจรีย์ จำเรญิ โชค ครูผูส้ อน

แบบฝกึ หัด 6.1 สมการกำลงั สองตวั แปรเดียว

1. จงจัดรูปสมการต่อไปนี้ใหอ้ ยู่ในรปู ท่วั ไป

1) x! + 7x = −19 2) 12x = 17x!

วธิ ีทำ วธิ ีทำ

3) 5x! − 32 = x + 15 4) −18x! + 26 = 9x − 2 !
วธิ ีทำ วธิ ีทำ

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ a, b, c จากสมการต่อไปนี้

สมการ รูปทวั่ ไป ค่า a คา่ b ค่า c
( ax2 + bx + c = 0)
x! + 7x = −19

12x = 17x!

5x! − 32 = x + 15

−18x! + 26 = 9x − 2 !

ตวั อย่างที่ 3 จงพจิ ารณาวา่ 3 และ − " เปน็ คำตอบของสมการ 4 ! + 20 + 25 = 0 หรือไม่
!
วธิ ีทำ

3

หน่วยท่ี 5 สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว : คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรีย์ จำเริญโชค ครูผูส้ อน

สมบัติของจำนวนจรงิ
กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถา้ ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0

6.2 การแกส้ มการกำลังสองตัวแปรเดยี วโดยใชก้ ารแยกตัวประกอบของพหนุ าม
การแยกตวั ประกอบพหุนามดกี รสี องในรูป เปน็ ax2 + bx + c = 0 เม่ือ a, b, c เปน็ คา่ คงตัวและ
a ¹ 0 โดยเขยี นอยใู่ นรปู (mx+p)(nx+q) และสมบตั ขิ องจำนวนจรงิ ขา้ งต้น

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ x2 – 81 = 0
วธิ ีทำ จาก x2 – 81 = 0

จะได้ (x – 9)(x + 9) = 0 แยกตัวประกอบของ x2 – 81

แลว้ x – 9 = 0 x + 9 = 0 ใแชล้สว้ xมmบตั ==ขิ อ0ง–จแำลนะ9วnนจ=ริง0 ถ้า mn = 0
x =9 ในการหา

ดงั น้นั x = 9 , – 9 คำตอบของสมการ
ตรวจคำตอบ

1. แทนค่า x = 9 ลงในสมการ x2 – 81 = 0 2. แทนค่า x = – 9 ลงในสมการ x2 – 81 = 0
92 – 81 = 0 (–9)2 – 81 = 0

81 – 81 = 0 81 – 81 = 0

0 = 0 จรงิ 0 = 0 จรงิ
ตอบ 9 และ – 9 เป็นคำตอบของสมการ x2 – 81 = 0

2. จงแกส้ มการ x2 = 3x 3. 2x2 = 7x
วิธีทำ จาก x2 = 3x วิธีทำ จาก 2x2 = 7x

จะได้ x2 – 3x = 0 2x2 – 7x = 0

x(x – 3) = 0 x(2x – 7) = 0
แลว้ x = 0 x – 3 = 0 แล้ว x = 0 2x – 7 = 0

x =0 x=3 x =0 x= 7
ตอบ x = 0 , 7 2
ตอบ x = 0 , 3
2

4. 2x2 – x = 10 5. 17x = 3x2 – 6

วธิ ที ำ จาก 2x2 – x = 10 วธิ ที ำ จาก 17x = 3x2 – 6

2x2 – x – 10 = 0 0 = 3x2 – 17x – 6
(2x – 5)(x + 2) = 0 3x2 – 17x – 6 = 0

แล้ว 2x – 5 = 0 x + 2 = 0 (3x + 1)(x – 6) = 0

x =5 x = –2 แล้ว 3x + 1 = 0 x–6= 0
2
x = - 1 x=6
3
ตอบ x = - 1 , 6
3

4

หน่วยท่ี 5 สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว : คณติ ศาสตรพ์ ืน้ ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนุชจรีย์ จำเริญโชค ครูผูส้ อน

แบบฝกึ หัด 6.2 การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดียวโดยใชก้ ารแยกตวั ประกอบของพหุนาม

1. จงหาคำตอบของสมการตอ่ ไปน้ี 2) y2 - 5y = 0
1) x2 -16 = 0
……………………………………………………………………
…………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………

2. จงแก้สมการตอ่ ไปน้ี 2) (y - 21)2 = 0

1) x2 - 225 = 0 …………………………………………………………………..
………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..
3) y2 + 5y + 6 = 0
4) -z2 + 8z = 7
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..
5) 2x2 - 5x - 3 = 0 6) 3m2 + 2m - 8 = 0
……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………… …………………………………………………………………..

5

หนว่ ยท่ี 5 สมการกำลงั สองตัวแปรเดยี ว : คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนุชจรยี ์ จำเรญิ โชค ครผู ู้สอน

6.3 การแกส้ มการกำลังสองตัวแปรเดียวโดยวิธีทำเป็นกำลงั สองสมบรู ณ์
ó ถา้ A และ B เป็นพหุนาม จะแยกตัวประกอบของพหนุ ามทเ่ี ป็นกำลังสองสมบรู ณ์ ไดต้ ามสูตรดงั น้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A -B)2
ó ถา้ A และ B เป็นพหนุ าม จะแยกตัวประกอบของพหนุ ามท่เี ป็นผลต่างกำลงั สอง ไดต้ ามสูตรดงั นี้
A2 - B2 = (A + B)(A -B)

ตวั อย่าง 1 จงแกส้ มการ x2 + 2x – 8 = 0

วธิ ีทำ จดั รูปสมการให้อยใู่ นรูปกำลังสองสมบรู ณ์ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

จาก x2 + 2x – 8 = 0
x2 + 2(x)(1) + 12 – 12 – 8 = 0

[x2 + 2(x)(1) + 12] – 12 – 8 = 0
(x + 1)2 – 1 – 8 = 0

(x + 1)2 – 9 = 0

(x + 1)2 – 32 = 0
{(x + 1) – 3}{(x + 1) + 3} = 0

(x – 2)(x + 4) = 0

นน่ั คือ x – 2 = 0 x+4 = 0
x =2 x = –4

ตอบ 2 และ –4 เปน็ คำตอบของสมการ x2 + 2x – 8 = 0 = 0

ตัวอยา่ ง 2 จงแก้สมการ y2 – 6y + 7 = 0

วธิ ที ำ จดั รูปสมการใหอ้ ย่ใู นรูปกำลังสองสมบูรณ์ (A – B)2 = A2 – 2AB + B2

จาก y2 – 6y + 7 =0
y2 – 2(y)(3) + 32 – 32 + 7 = 0

[y2 – 2(y)(3) + 32] – 32 + 7 = 0

(y – 3)2 – 9 + 7 = 0
(y – 3)2 – 2 = 0

(y – 3)2 – 22 = 0

{(y – 3) – 2}{(y – 3) + 2} = 0
(y – 3 – 2)(y – 3 + 2) = 0

นนั่ คือ y – 3 – 2 = 0 y–3+ 2=0
y = 3+ 2 y = 3– 2

ตอบ 3 + 2 และ 3 – 2 เปน็ คำตอบของสมการ y2 – 6y + 7 = 0

6

หน่วยที่ 5 สมการกำลงั สองตวั แปรเดียว : คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรีย์ จำเรญิ โชค ครูผ้สู อน

แบบฝึกหัด 6.3 การแก้สมการกำลงั สองตัวแปรเดียวโดยวธิ ีทำเปน็ กำลังสองสมบูรณ์
จงแยกตวั ประกอบพหนุ ามทกี่ ำหนดให้ตอ่ ไปนี้โดยวิธีทำเป็นกำลงั สองสมบรู ณ์
1. ! + 24 + 140

2. ! − 26 − 155

3. ! + 7 + 9

7

หนว่ ยท่ี 5 สมการกำลงั สองตัวแปรเดียว : คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนุชจรีย์ จำเริญโชค ครูผสู้ อน

6.4 การแกส้ มการกำลังสองตวั แปรเดียวโดยการใช้สูตร

สมการ ax2 + bx + c = 0 เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตัว a ¹ 0 สามารถหาคำตอบของสมการไดจ้ าก

ตัวอย่างที่ 1 x = -b ± b2 - 4ac
จงแกส้ มการ 5x2 + 2x - 3 = 0 2a

วธิ ีทำ จากสมการท่กี ำหนดให้ จะเห็นวา่ a = 5,b = 2 และ c = -3
จะได้ b2 - 4ac = 22 - 4(5)(-3) = 64
b2 - 4ac
จากสูตร x = -b ± 2a

จะได้ x = -2 ± 64
2(5)
-2 ± 8
x = 10

จะได้ x = -2 + 8 = 6 = 3 หรอื x = -2 - 8 = -10 = -1
คำตอบของสมการ 10 10 5 10 10
3
ตอบ คอื 5 และ -1

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 16y2 + 24y + 9 = 0
วิธีทำ จากสมการทกี่ ำหนดให้ จะเห็นวา่ a = 16,b = 24 และ c = 9
จะได้ b2 - 4ac = 242 - 4(16)(9) = 0
b2 - 4ac
จากสตู ร y = -b ± 2a สมการนี้ มี y เปน็ ตวั แปร

จะได้ y = -24 ± 0
2(16)
3
y = - 4
3
ตอบ คำตอบของสมการ คือ -
4
ตวั อย่างท่ี 3 จงแก้สมการ z2 = 4z - 13
วิธที ำ จากสมการท่ีกำหนดให้ จดั รปู ของสมการจะได้ z2 - 4z + 13 = 0
จะเหน็ วา่ a = 1,b = -4 และ c = 13
จะได้ b2 - 4ac = (-4)2 - 4(1)(13)
= -36
b2 - 4ac < 0
เน่ืองจาก

ตอบ ไม่มจี ำนวนจรงิ ใดเปน็ คำตอบของสมการ

8

หนว่ ยท่ี 5 สมการกำลังสองตวั แปรเดียว : คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรีย์ จำเริญโชค ครผู ู้สอน

แบบฝึกหัด 6.4 การแก้สมการกำลังสองตวั แปรเดยี วโดยการใช้สูตร

จงแกส้ มการโดยใชส้ ตู ร x = -b ± b2 - 4ac
2a
1. ! + 6 − 40 = 0

2. 6 ! − 12 + 6 = 0

3. 14 ! + 5 + 200 = 0

9

หน่วยท่ี 5 สมการกำลังสองตวั แปรเดียว : คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน ม.3 ค23101
รวบรวมโดย นางสาวนุชจรยี ์ จำเรญิ โชค ครูผสู้ อน

6.5 การนำความรู้เก่ียวกับสมการกำลงั สองตวั แปรเดียวไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

1. จงหาจำนวนค่ีบวกสองจำนวนทผี่ ลบวกของกำลังสองของแต่ละจำนวนมคี ่าเท่ากับ 130

วิธที ำ กำหนดให้จำนวนแรกเปน็ x อกี จำนวนเป็น x + 2

จะได้ x2 + (x + 2)2 = 130
x2 + x2 + 4x + 4 = 130

2x2 + 4x + 4 – 130 = 0

2x2 + 4x – 126 = 0
(x – 7)(x + 9) = 0

ดงั นัน้ x = 7 หรือ x = –9

ตรวจสอบ 1) ถา้ x = 7 อีกจำนวนคอื 7 + 2 = 9
ผลบวกของ 72 + 92 = 49 + 81 = 130 เป็นจรงิ

2) x = –9 ไมใ่ ช่คำตอบท่ตี ้องการเพราะเปน็ จำนวนลบ

ตอบ จำนวนคี่บวกสองจำนวนทเ่ี ป็นคำตอบคอื 7 และ 9

2. ใหผ้ ลคณู ของจำนวนเตม็ จำนวนหนงึ่ กับจำนวนเต็มที่อยตู่ ดิ กนั เทา่ กบั 156 จงหาจำนวนเต็มท้งั สองน้นั

วธิ ที ำ กำหนดให้ x แทน จำนวนเต็มบวกหนง่ึ ท่ีมากกว่า
และ x – 1 แทน จำนวนเตม็ บวกหน่งึ ที่น้อยกวา่

จะได้ x(x -1) = 156 หรือ x -13 = 0
x2 - x = 156

x2 - x - 156 = 0
(x + 12)(x -13) = 0
ดงั น้ัน x + 12 = 0
จะได้ x = -12 หรือ x = 13
เน่อื งจาก x เป็นจำนวนเตม็ ดังนั้น x จงึ เปน็ ไดท้ ั้งจำนวนเต็มบวกและจำนวนจริงลบ

ถา้ จำนวนท่มี ากกวา่ คอื -12 จำนวนเต็มทน่ี อ้ ยกว่าและอยตู่ ิดกนั คือ -13
ถ้าจำนวนที่มากกวา่ คอื 13 จำนวนเตม็ ทนี่ ้อยกวา่ และอยู่ติดกันคอื 12

ตอบ จำนวนเตม็ ทงั้ สองน้นั มี 2 ชุด คอื -12 กบั -13 และ 13 กบั 12

3. ชายคนหน่ึงมีอายุปจั จบุ ันเป็น 5 เท่าของบตุ รชาย เม่ือสป่ี ที แ่ี ล้วผลคณู ของอายุของคนทัง้ สองเทา่ กับ 52 จงหาอายุ

ปจั จุบันของคนทง้ั สอง

วิธที ำ สมมตุ ใิ ห้ปจั จุบนั บตุ รชายมอี ายุ x ปี

จะไดว้ ่า ชายคนนมี้ ีอายุ 5x ปี

เมอ่ื 4 ปีที่แล้ว บตุ รชายมีอายุ x – 4 ปี

ชายคนนอ้ี ายุ 5x – 4 ปี
จะได้ (x – 4)(5x – 4) = 52

5x2 – 24x + 16 = 52

5x2 – 24x + 16 – 52 =0
5x2 – 24x + 36 = 0

(5x + 6)(x 65–ป65ี 6) = 0
นน่ั คือ x = – หรอื x = 6
เปน็ จำนวนเต็มลบจงึ เปน็ อายุไม่ได้
เนอ่ื งจาก x=–
และพอ่ มีอายุ 30 ปี
ดงั นน้ั บุตรชายต้องมอี ายุ 6

ตรวจสอบ เม่อื 4 ปที ี่แลว้ บุตรมอี ายุ 2 ปี พ่อมอี ายุ 26 ปีผลคณู 2 × 26 = 52 เปน็ จรงิ

10