อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม.3 ebook

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 4

อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

วชิ าคณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน
ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3

นางสาวนุชจรีย์ จำเริญโชค
ครผู สู้ อน

ชื่อ ........................................
ชน้ั ม.3/………….. เลขที่ .........

โรงเรยี นสธุ ีวิทยา

หน่วยที่ 4 อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ : คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ม.3 ค23102
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรีย์ จำเรญิ โชค ครูผูส้ อน

4.1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ
อตั ราส่วนตรโี กณมิติ (trigonometric ratio) หมายถึง อัตราสว่ นของความยาวของดา้ นของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก
ถ้าให้ r ABC เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ท่มี ี Aˆ เปน็ มุมแหลม และ Cˆ เป็นมุมฉาก

โดยมี a , b , c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ Aˆ Bˆ และ Cˆ ตามลำดับ ดงั น้ี

B
จากรูป เราจะเรียกดา้ นต่าง ๆ ของรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ได้ดังนี้
c
a AB เรียกว่า ด้านตรงขา้ มมุมฉาก จะเรยี กดา้ นน้ียอ่ ๆ ว่า “ฉาก”
BC เรยี กว่า ด้านตรงข้ามมมุ A จะเรียกด้านน้ยี ่อ ๆ วา่ “ข้าม”

A b C AC เรยี กว่า ดา้ นประชดิ มมุ A จะเรียกด้านนี้ยอ่ ๆ ว่า “ชดิ ”

จงเติมชอื่ ยอ่ ลงบนดา้ นของรูปสามเหล่ยี มมุมฉากทก่ี ำหนดให้ ตามตำแหBน่งมมุ หลัก
1. 2.

F

…ฉาก…. …ข้าม…. …ชิด…. …ฉาก….

D …ชดิ …. E CA
C
3. …ข้าม….
…ข้าม….
4. N
B
…ฉาก…. 60o …ฉาก….

A 30o …ชดิ ….

…ชดิ …. M …ขา้ ม…. O

จากรปู สามารถหาอตั ราส่วนตรโี กณมิติ ซ่งึ มี Aˆ เปน็ มมุ แหลม ได้ดงั น้ี

B บทนิยาม ความยาวด้านตรงขา้ มมุม " = ข้าม
ความยาวดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก
c a ไซนข์ องมุม A = sin A = ฉาก = a
c
โคไซน์ของมมุ A ความยาวดา้ นประชิดมุม " = ชดิ
= cos A = ความยาวดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = b
ฉาก c
bA C
แทนเจนต์ของมุม A = tan A = ความยาวดา้ นตรงข้ามมุม " = ข้าม = a
ความยาวดา้ นประชดิ มมุ " ฉาก b

2

หน่วยท่ี 4 อัตราสว่ นตรโี กณมิติ : คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน ม.3 ค23102
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรยี ์ จำเรญิ โชค ครผู สู้ อน

แบบฝึกทักษะ 4.1 อตั ราส่วนตรีโกณมิติ

ตอนท่ี 1 : จงเขยี นอัตราสว่ นต่อไปน้ี
1. P r Q
sin P = ............ sin R = ............
q p cos P = ............ cos R = ............

K R tan P = ............ tan R = ............
2. c f
sin K = ............ sin C = ............
Fk C cos K = ............ cos C = ............
tan K = ............ tan C = ............

ตอนท่ี 2 : กำหนดรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉากที่มคี วามยาวของดา้ นดังรูป จงตอบคำถามต่อไปนี้
1. X
8 17 sin X = ............ sin Z = ............
cos X = ............ cos Z = ............

Y 15 Z tan X = ........... tan Z = ............

ตอนท่ี 3. กำหนดให้ r ABC เป็นรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก ที่มี Aˆ เป็นมุมแหลม และ Cˆ เป็นมมุ ฉาก 5sin A = 3

จงแสดงรูปสามเหลีย่ ม ABC พร้อมทั้งตอบคำถามต่อไปนี้

A

54 sin A = ............ sin B = ............
cos A = ............ cos B = ............
B3C tan A = ............ tan B = ............

4.2 อัตราส่วนตรโี กณมิติของมมุ ขนาดตา่ ง ๆ

3

หน่วยที่ 4 อัตราส่วนตรโี กณมิติ : คณติ ศาสตรพ์ นื้ ฐาน ม.3 ค23102
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรีย์ จำเริญโชค ครูผ้สู อน

แบบฝึกทกั ษะ 4.2 อัตราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ ขนาดต่าง ๆ

จงหาค่าของอัตราสว่ นตรโี กณมิตใิ นแตล่ ะขอ้ โดยการเปดิ ตารางในหนังสือเรยี นสาระการเรียนรู้พ้นื ฐานคณิตศาสตร์

1. sin 34o = ……………………………………… 6. sin 40o = ………………………………………

2. cos 52o = ……………………………………… 7. tan 55o = ………………………………………

3. tan 87o = ……………………………………… 8. sin 6o = ………………………………………

4. tan 14o = ……………………………………… 9. cos 65o = ………………………………………

5. cos 29o = ……………………………………… 10. sin 76o = ………………………………………

จงหาขนาดมุมในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี เมอ่ื กับหนดคา่ ของอตั ราสว่ นตรีโกณมิติให้
1. tan A = 0.425 จะได้ A =………………………… 6. cos H = 0.326 จะได้ H =………………………

2. cos B = 0.53 จะได้ B =………………………… 7. cos R = 0.99 จะได้ R =………………………

3. sin X = 0.07 จะได้ X =………………………… 8. tan K = 1.111 จะได้ K =…………………………

4. cos D = 0.515 จะได้ D =……………………… 9. sin P = 0.174 จะได้ P =………………………

5. tan G = 11.43 จะได้ G =……………………… 10. sin O = 0.5 จะได้ O =…………………………

4.3 การประยกุ ต์ใช้

มือซา้ ยทำนายคา่ อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ

ตัวอย่าง จงหาคา่ ของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ติ อ่ ไปน้ี

1) จงหาคา่ ของ 3sin 30! - 5cos60! 2) จงหาค่าของ sin 45! cos 45! - sin 30! cos60!

วธิ ที ำ 3sin 30! - 5cos 60! = 3æç 1 ÷ö - 5æç 1 ö÷ วิธีทำ sin 45! cos 45! - sin 30! cos60! = 2 æçèç 2 ÷øö÷ - 1 çæ 1 ÷ö
è 2 ø è 2 ø 2 2 2 è 2 ø

= 3 - 5 = 2 - 1
2 2 4 4

= - 2 = -1## = 1 ##
2 4

4

หน่วยที่ 4 อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ : คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน ม.3 ค23102
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรยี ์ จำเริญโชค ครูผสู้ อน

แบบฝกึ ทกั ษะ 4.3 การประยุกต์ใช้

1) จงหาคา่ ของ 2sin 30! cos30! tan 30! 2) จงหาคา่ ของ tan2 60! + 2 tan2 45!

วธิ ีทำ วิธที ำ

3) จงหาค่าของ ( ) ( )3 tan 30! 2 + sin 45! 2 4) จงหาคา่ ของ sin 45! + tan 45!
cos 45!
วธิ ที ำ
วิธีทำ

5) จงหาค่า x จากสมการ x × sin 30! cos2 45! = tan 2 60! tan 45!
sin 30! cos 60!

วธิ ที ำ

4.4 การนำความรเู้ ก่ียวกับตรโี กณมิติไปใช้
ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดรูป r ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก ถ้าดา้ น AC ยาว 10 ซม. และมมุ A
มีขนาด 60o จงหา

ความยาวของด้าน AB และ BC

วธิ ที ำ C เน่ืองจาก cos 60° = AB
10 AC

A 60o ดังน้นั 1 = AB

2 10

AB = 10 = 5 ซม.
2
B
และ sin 60° = BC
AC

ดังนนั้ 3 = BC

2 10

BC = 10 ´ 3 = 8.66 ซม.

2

ดังนัน้ AB ยาว 5 ซม. และ BC ยาว 8.66 ซม.

5

หนว่ ยที่ 4 อัตราสว่ นตรีโกณมิติ : คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน ม.3 ค23102
รวบรวมโดย นางสาวนชุ จรยี ์ จำเริญโชค ครูผ้สู อน

แบบฝกึ ทกั ษะ 4.4 การนำความร้เู กยี่ วกบั ตรโี กณมติ ิไปใช้
1. กำหนดรปู r MNO มมี มุ N เป็นมุมฉาก ถ้าด้าน MN ยาว 1.414 เมตร และด้าน NO ยาว 2 เมตร

จงหาขนาดของมุม M

วธิ ีทำ O …………………..………………………………………………………………………………………
2 …………………………………………………………………………….…………………………………

1.414 ………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
M N ………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

2. จากรปู กำหนดให้ ………………………………………………………………………………………………
และ BC DABC และ DABD เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก AB = 10 ซม. จงหา ความยาวของ AD

D …………………..…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….…………………………………………
30o

C ……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………

A 45o ……………………………………………………………………………………………………………………
B ……………………………………………………………………………………………………………………

3. ดวงอาทิตย์ทำมุม 60 องศา กบั พืน้ สนาม…ก…ฬี …าแ…ห…่ง…หน…ึง่……ท…ำใ…ห…ค้ …วา…ม…ยา…วข…อ…งเ…ง…าเส…า…ไฟ…ฟ…้า…ส่องสนามกฬี าเทา่ กับ 11.5 เมตร

เสาไฟฟ้าสอ่ งสนามกีฬาต้นนสี้ ูงกีเ่ มตร

…………………..…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….…………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….…………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………6…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………