BAB 3

BAB

3

ALJABAR BOOLE
DAN PETA KARNAUGH

Sasaran / Kompetensi :
- Dapat mengetahui Hukum – hukum Aljabar Boole
- Dapat memahami Hubungan – hubungan Aljabar dengan Gerbang Logika
Dan Penyederhanaan secara aljabar
- Dapat memahami Peta Karnaugh dan Penyederhanaan Karnaugh

PENDAHULUAN
Perancangan rangkaian digital biasanya dimulai dengan menentukan spesifikasi

keluaran yang diinginkan dengan menggunakan tabel kebenaran. Aljabar boole dan Peta
Karnaugh merupakan sarana yang digunakan untuk melakukan transformasi dari tabel
kebenaran menjadi rangkaian logika praktis.

Aljabar Boolean merupakan sebuah persamaan yang menyatakan hubungan antara
input dan output dari sebuah rangkaian logika, Aljabar Boolean hanya memiliki dua nilai
yaitu 1 atau 0. Variabel Boolean sering digunakan untuk menyatakan level tegangan
tinggi atau rendah dari sebuah rangkaian.
3. 1 Hukum – hukum dasar dalam Aljabar Boole

a) Hukum Komutatif
=> Contoh pada gambar berikut

copyrigh@ Eka Budi

b) Hukum Asosiatif
=> Contoh pada gambar berikut

c) Hukum Distributif
=> Contoh pada gambar berikut

3.2 Hubungan Persamaan Boole terhadap Operasi logika
a) Operasi OR

copyrigh@ Eka Budi

b) Operasi AND

3.3 Metode jumlah dari hasil kali (Sum-of-product)
=> Perancangan digital seringkali berawal dari penyusunan tabel kebenaran dengan
keluar yang diinginkan (0 atau 1) untuk setiap keadaan masukan, metode jumlah dari
hasil kali (sum-of-product) merupakan suatu cara untuk menyusun rangkaian logika
berdasarkan tabel kebenaran
Contoh 3.(a) : Pada gerbang AND 2 masukan, kemungkinan ada empat cara untuk
melakukan operasi AND dan komplemen – komplemennya , seperti gambar
berikut

 Hasil kali fundamental merupakan suatu cara untuk merancang keluaran tinggi
berdasarkan masukan khusus yang bersesuaian

copyrigh@ Eka Budi

Dalam gagasan yang sama pada contoh 3.(a) dapat juga diterapkan untuk sinyal tiga
masukan baik dalam bentuk komplemen maupun tampa komplemen, seperti pada tabel tiga
variabel berikut.

Tabel 3.1 Tiga Variabel

3. 4 Penyusunan Rangkaian Logika
=> Untuk menyusun rangkaian logika yang ekivalen dengan suatu tabel logika tertentu,
dapat dilakukan dengan operasi OR dari hasil kali fundamental untuk setiap keadaan
masukan yang memberikan keluaran tinggi.

Contoh. 3(b) Persamaan aljabar boole terhadap operasi OR berdasarkan Tabel 3.1

Dari persamaan diatas dapat diartikan sebagai hasil operasi dari empat gerbang AND
yang menggerakan sebuah gerbang OR. Rangkaian yang memenuhi persamaan
tersebut untuk menghasilkan keluaran 1 dapat digambarkan seperti berikut.

copyrigh@ Eka Budi

 Contoh 1 :
Dari persamaan aljabar boole berikut, bagaimana bentuk rangkaian yang
memenuhi persamaan tersebut.
Pembahasan :

3. 5 Penyederhanaan secara Aljabar
=> Penyederhanaan yang mungkin pada rangkaian diperoleh dari persamaan jumlah
hasil kali (sum-of-product), persamaan boole yang lebih sederhana berarti rangkaian
logika yang lebih sederhana pula.
Contoh :
Dari persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi,

Latihan 1 :
1) Dari persamaan berikut :

Ditanya :
a) Bagaimana bentuk rangkaian logika dari persamaan tersebut
b) Bagaimana bentuk penyederhanaan dari persamaan tersebut dan buatkan rangkaian

logikanya

copyrigh@ Eka Budi

2) Dari persamaan boole berikut :

Ditanya :
a) Bagaimana bentuk rangkaian logika dari persamaan tersebut
b) Bagaimana bentuk penyederhanaan dari persamaan tersebut dan buatkan rangkaian

logikanya
3. 6 Peta Karnaugh

Peta Karnaugh (K-map) adalah sebuah metode penyederhanaan secara grafis
berdasarkan tabel yang menunjukkan level keluaran dari persamaan Boole untuk setiap
kemungkinan yang dikehendaki. Setiap level keluaran ditempatkan pada sel-sel dari
peta karnaugh. Keluaran yang dikehendaki ditandai dengan 1. Sisanya ditandai dengan
0. Banyak jumlah sel dalam peta karnaugh mengikuti aturan biner, yaitu untuk 2 variabel
diperlukan 22 = 4 sel. Jika 3 variabel diperlukan 23 = 8 sel.

Metode Peta Karnaugh ditemukan Maurice Karnaugh pada tahun 1953. Peta
karnaugh terbentuk dari kotak-kotak, yang mana tiap kotak merepresentasikan /mencari
minterm yang berbeda di satu variabel. Peta Karnaugh dapat dibentuk dari fungsi boolean
yang dispesifikasikan dengan ekspresi boolean maupun fungsi yang dipresentasikan dengan
tabel kebenaran.

Catatan : Minterm merupakan suku dalam persamaan yang memiliki hubungan
operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku
dihubungkan dengan OR.

a) Peta Karnaugh Dua Variabel
 Untuk peta karnaugh 2 variabel, diperlukan 4 sel kotak seperti berikut :

Contoh 1 : dari tabel dibawah berikut, bagaimana cara penyelesaian dengan peta
karnaugh

copyrigh@ Eka Budi

AB Y

00 0

01 0

10 1

11 1

 Pembahasan :

Contoh 2 : dari tabel dibawah berikut, bagaimana cara penyelesaian dengan peta

karnaugh

ABY  Pembahasan :
000
011
101
110

b) Peta Karnaugh Tiga Variabel
 Pada K-Map tiga variabel urutan variabel – variabel dan komplemennya ditandai
oleh AB, AB, AB, AB atau dengan urutan 00, 01, 11, 10, cara penulisan ini
dimaksudkan dari bentuk komplemennya menjadi bentuk bukan komplemennya
(dan sebaliknya).
Langkah – langkah dalam penggunaan K-Map merupakan metode dari Sum-of-
product (SOP), yang merancang keluar – keluar bernilai 1 yang memberikan hasil
kali fundamental.

 Contoh 3: misalkan tabel berikut ,
Bagaimana bentuk penyelesaian
Dengan peta karnaugh

copyrigh@ Eka Budi

 Pembahasan

c) Peta Karnaugh Empat Variabel

 Rangkaian – rangkaian logika sering dirancang untuk menggarap empat variabel
(atau komplemen – komplemennya)
 contoh : Jika kita memiliki tabel logika seperti berikut, bagaimana
penyusunan peta empat variabelnya.
Tabel . empat variabel

AB C D Y
00 0 0 0
00 0 1 1
00 1 0 0
00 1 1 0
01 0 0 0
01 0 1 0
01 1 0 1
01 1 1 1
10 0 0 0
10 0 1 0
10 1 0 0
10 1 1 0
11 0 0 0
11 0 1 0
11 1 0 1
11 1 1 0
 Pembahasan :

copyrigh@ Eka Budi

3. 7 Penyederhanaan Peta Karnaugh
=> Peta Karnaugh dapat digunakan dalam penyederhanaan rangkaian logika, dengan
penerapan pasangan, kuad dan octet.
1) Pasangan
 berisi satu pasangan angka 1 yang saling berdekatan dalam arah horizontal dan
vertikal, yang mana hanya satu variabel yang mengalami perubahan (hapuslah
variabel yang mengalami perubahan tersebut) dari bentuk komplemen menjadi
variabel semula) seperti berikut

Gambar. Penyederhanaan berdasarkan pasangan – pasangan pada peta Karnaugh
Misal : Peta Karnaugh 4 variabel pada gambar (a), bagaimana bentuk rangkaian logika

nya sebelum dan sesudah penyederhanaan.

copyrigh@ Eka Budi

2) Kuad
 Merupakan kelompok yang terdiri dari empat buah angka 1 yang tersusun
berdampingan dari ujung ke ujung atau kelompok yang membentuk susunan segi
empat yang dapat disederhakanan
Contoh 1 :

Gambar. Penyederhanaan berdasarkan kuad pada peta Karnaugh
 Misal : Peta Karnaugh 4 variabel pada gambar (a), bagaimana bentuk rangkaian

logika nya sebelum dan sesudah penyederhanaan.

copyrigh@ Eka Budi

Contoh 2 : Jika kita memiliki peta Karnaugh sebagai berikut
Ditanya :
a) Bagaimana bentuk persamaan dari penyederhanaan dari peta Karnaugh tersebut
b) Bagaimana bentuk rangkaian logikanya
 Pembahasan :

copyrigh@ Eka Budi

Latihan 2 :
a) Jika kita memiliki Peta Karnaugh seperti berikut :

Ditanya :
a) Bagaimana bentuk persamaan dari
penyederhanaan dari peta Karnaugh tersebut

b) Bagaimana bentuk rangkaian logikanya

b) Jika kita memiliki tabel 4 variabel seperti berikut :

A BCD Y
0000 1
0001 1
0010 0
0011 0
0100 0
0101 0
0110 0
0111 1
1000 0
1001 0
1010 0
1011 1
1100 1
1101 0
1110 1
1111 1

Ditanya :
a) Buatlah bentuk grafis dalam bentuk Peta Karnaugh
b) Buat persamaan berdasarkan penyederhanaan Peta Karnaugh tersebut, dan buatlah

rangkaian logikanya

copyrigh@ Eka Budi

 Pembahasan Latihan :
Latihan 1 :

1) Dari persamaan berikut :

Ditanya :
a) Bagaimana bentuk rangkaian logika dari persamaan tersebut
b) Bagaimana bentuk penyederhanaan dari persamaan tersebut dan buatkan
rangkaian logikanya

 Pembahasan :
a) Rangkaian logika berdasarkan persamaan awal

b)

3) Dari persamaan boole berikut :

Ditanya :
a) Bagaimana bentuk rangkaian logika dari persamaan tersebut
b) Bagaimana bentuk penyederhanaan dari persamaan tersebut dan buatkan
rangkaian logikanya

copyrigh@ Eka Budi

 Pembahasan :
a) Rangkaian logika dari persamaan awal

Latihan 2 :
Jika kita memiliki Peta Karnaugh seperti berikut :
Ditanya :
a) Bagaimana bentuk persamaan dari
penyederhanaan dari peta Karnaugh tersebut
b) Bagaimana bentuk rangkaian logikanya

 Pembahasan :

copyrigh@ Eka Budi

 Jika kita memiliki tabel 4 variabel seperti berikut :

A BCD Y
0000 1
0001 1
0010 0
0011 0
0100 0
0101 0
0110 0
0111 1
1000 0
1001 0
1010 0
1011 1
1100 1
1101 0
1110 1
1111 1

Ditanya :
a) Buatlah bentuk grafis dalam bentuk Peta Karnaugh
b) Buat persamaan berdasarkan penyederhanaan Peta Karnaugh tersebut, dan buatlah

rangkaian logikanya
 Pembahasan :

copyrigh@ Eka Budi

Daftar Referensi :
Program Studi D3 Teknik Elektronika Universitas Halu Oleo Kendari .” Modul Pratikum

Elektronika Digital “
Tim Dosen. Universitas Mercu Buana. “ Modul perkulihan sistem digital “
Albert Paul Malvino. Edisi Kedua.1994. ”Elektronika Komputer Digital Pengantar

Mikrokontroler.” Penerbit Erlangga
Firmansyah, STMIK STIKOM BALIKPAPAN. “ Modul 6 Aljabar Boolean “
Eko Didik Widianto(http://didik.blog.undip.ac.id). 2011. “ Sistem Digital Kuliah4 - KMap”
Nelly Indriani Widiastuti S.Si., M.T. 2011.”Modul Perkuliahan Edisi 1 Logika

Matematika.” UNIKOM - BANDUNG

copyrigh@ Eka Budi