อสมการเชิงเส้นตัวเเปรเดียว

อสมการเชิงชิเส้น ส้ ตัว ตั แปรเดีย ดี ว อสมการเชิงชิเส้น ส้ ตัว ตั แปรเดีย ดี ว เสนอ คุณครูศุภวรรณ รูปงาม

คำ นำ งานเล่มนี้จัดขึ้นเพื่อเป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา คณิตศาสตร์เพื่อให้ได้ศึกษาความรู้ในเรื่องอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวโดยศึกษาผ่านแหล่งความรู้ต่างๆเช่นหนังสืออินเทอร์เน็ตและแหล่งความรู้เว็บไซต์ต่างๆโดยรายงานเล่มนี้ต้องมีเนื้อหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวผู้จัดทำ หวังว่าสมุดเล่มเล็กนี้จะเป็นประโยชน์กับผู้อ่านหรือผู้ที่กำ ลังศึกษาเกี่ยวกับเรื่องนี้หากมีข้อผิดพลาดประการใดขออภัย ณ ที่นี่ด้วยคณะผู้จัดทำ สารบัญ เรื่อง หน้าคำ นำ กสารบัญ ขการแก้โจทย์ปัญหาทบทวนความรู้ก่อนเรียน 1อสมการคืออะไรคำ ตอบของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวกราฟแสดงคำ ตอบของอสมการการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว4691316

1 2 1 1 พหุนามเป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการ บวกของเอกนามตั้งแต่ 2 เอกนามขึ้นไป และดีกรีสูงสุดของพหุ นามที่อยู่ในรูปผลสำ เร็จที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน เรียกว่า ดีกรีของ พหุนาม เช่น -3x⁹ เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 9 4x³y² + y³ เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 5 สมบัติของการเท่ากันของจำ นวนจริง 1 ) สมบัติสมการ ถ้า a = b แล้ว b = a เมื่อ a และ b แทนจำ นวนจริงใดๆ 2 ) สมบัติถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c เมื่อ a, b และ c แทนจำ นวนจริงใดๆ 3 ) สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เมื่อ a, b และ c แทนจำ นวนจริงใดๆ 4 ) สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ ถ้า a = b แล้ว a × c = b × c เมื่อ a, b และ c แทนจำ นวนจริงใดๆ นิพจน์เป็นจำ นวนที่อยู่ในรูปค่าคงตัวหรือตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปการ ดำ เนินการต่างๆ เช่น 10,3x, 2x + 4, x - 5 และ 2_x 5 นิพจน์พีชคณิตเป็นนิพจน์ที่ประกอบไปด้วยค่าคงตัวและตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปการดำ เนินการต่างๆ เช่น -5x, -x - 4, 4x + 9 และ x_ 3 เอกนามเป็นนิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคง ตังกับตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป และเลขชี้กำ ลังของตัวแปรแต่ละ ตัวเป็นศูนย์หรือจำ นวนเต็มบวก โดยส่วนที่เป็นค่าคงตัวเรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และผลบวกของเลขชี้กำ ลังของตัวแปร แต่ละตัวในเอกนามเรียกว่า ดีกรีของเอกนาม เช่น 4x⁵ เป็นเอกนามที่สัมประสิทธิ์เท่ากับ 4 และดีกรีเท่ากับ 5 - _ a²b เป็นเอกนามที่มีประสิทธิ์เท่ากับ และดีกรีเท่ากับ 3 3 - _ 3 นิพจน์ นิพจน์พีชคณิต เอกนาม พหุนาม ทบทวนความรู้ก่อนเรียน

3 4 > แทนความสัมพันธ์ น้อยกว่า< แทนความสัมพันธ์ มากกว่า ≤ แทนความสัมพันธ์ น้อยกว่าหรือเท่ากับ ≥ แทนความสัมพันธ์ มากกว่าหรือเท่ากับ ≠ แทนความสัมพันธ์ ไม่เท่ากับเครื่องหมายเส้นจำ นวนจำ นวนจริงถูกจำ นวนสามารถเขียนแทนด้วยจุดบนเส้นจำ นวนได้ อสมการคืออะไร อสมการ คือ ประโยคแสดงความสัมพันธ์ของ จำ นวน โดยใช้สัญลักษณ์ <, >, ≤, ≥ หรือ ≠ เช่นตัวอย่างที่ 1จงเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนประโยคเกี่ยวกับจำ นวนในแต่ละข้อต่อไปนี้1) จำ นวนจำ นวนหนึ่งไม่เท่ากับ 15 2) สามเท่ากับของอายุของเก่งมากกว่า 10 ปี3) ผลบวกของจำ นวนจำ นวนหนึ่งเท่ากับห้าน้อยกว่าแปด4) ระยะทางจากบ้านไปโรงเรียนไม่เกิน 30 กิโลเมตร5) สี่เท่าของจำ นวนจำ นวนหนึ่งรวมกับเจ็ดมีค่าไม่น้อยกว่าห้าวิธีทำ 1) ให้ x แทนจำ นวนจำ นวนหนึ่งจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ x ≠ 15 2) ให้ x แทนอายุของเก่งจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ 3x > 10 3) ให้ x แทนจำ นวนจำ นวนหนึ่งจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ x + 5 < 8 4) ให้ x แทนระยะทางจากบ้านไปโรงเรียนจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ x ≤ 30 5) ให้ x แทนจำ นวนจำ นวนหนึ่งจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ 4x + 7 ≥ 5 ตอบ

คำ ตอบของ อสมการ เชิงเส้นตัวแปรเดียว พิจารณาอสมการ x + 1 < 3 โดยอสมการจะมีคำ ตอบได้ 3 ลักษณะ คือ มีจำ นวนจริงบางจำ นวนเป็นคำ ตอบ มีจำ นวนจริงทุกจำ นวนเป็นคำ ตอบ ไม่มีจำ นวนจริงใดเป็นคำ ตอบ 5 6 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ อสมการ ที่มีตัวแปร เพียงค่าเดียว(มีหลายจุดได้แต่ต้องเป็นตัวแปรเดียวกัน)และ เลขชี้กำ ลังของตัวแปรนั้นเป็น 1 ดังตัวอย่างต่อไปนี้ อสมการเชิงเส้น ตัวแปรเดียว 2x - 3 > 0 √2x ≥ 2 - 3 -_1 ≤ y - 2y 2 ไม่เป็น อสมการเชิงเส้น ตัวแปรเดียว x² ≤ 1 3 > 2x - y 0.1 + _1 ≤ 0.001 2 x _

7 8 ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำ ตอบของอสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) x < 4 3) x ≥ 2 5) x - 5 > x 2) x ≠ -1 4) x + 1 > x 6) -3 < x ≤ 4 วิธีทำ 1) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่น้อยกว่า 4 ในอสมการ x < 4 จะทำ ให้อสมาการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ x < 4 คือ จำ นวนจริงทุกจำ นวน ที่น้อยกว่า 4 2) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่ไม่เท่ากับ -1 ใน อสมการ x ≠ -1 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดั้งนั้น คำ ตอบของอสมการ x ≠ -1 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่ไม่เท่ากับ -1 3) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 ในอสมการ x ≥ 2 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ x ≥ 2 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ2 4) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงใดๆ ในอสมการ x + 1 > x จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ x + 1 > x คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวน 5) เนื่องจากไม่มีจำ นวนจริงใดๆ ที่แทนค่า x แล้วทำ ให้ อสมการ x - 5 > x เป็นจริง ดังนั้น อสมการ x - 5 > x ไม่มีคำ ตอบ 6) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่มากกว่า -3 แต่น้อยกว่าหรือ เท่ากับ 4 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ -3 < x ≤ 4 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่มากกว่าแต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 4 ตอบ

9 10 กราฟแสดงคำ ตอบของอสมการ วงกลมโปร่ง หมายถึง จำ นวนนั้นไม่เป็นคำ ตอบ วงกลมทึบ หมายถึง จำ นวนนั้นเป็นคำ ตอบด้วย เส้นทึบที่ลากเชื่อม หมายถึง จำ นวนที่ถูกลากเส้นผ่านเป็นคำ ตอบ ตัวอย่าง กราฟแสดงคำ ตอบของอสมการ -3 ≤ x < 2คือ วงกลมทึบที่ -3 หมายถึง -3 เป็นคำ ตอบของอสมการ เส้นทึบที่ลากผ่าน หมายถึง จำ นวนจริงทั้งหมดที่มีค่าระหว่าง -3ถึง 2 เป็นคำ ตอบของอสมการ วงกลมโปร่งที่ 2 หมายถึง 2 ไม่เป็นคำ ตอบของอสมการ ตัวอย่างที่ 3 จงหาคำ ตอบของสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียน กราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวน 1) x > 2 2) x ≠ 0 3) x ≤ 5 วิธีทำ 1) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่มากกว่า 2 ใน อสมการ x > 2 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดั้งนั้น คำ ตอบของอสมการ x > 2 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่มากกว่า 2 เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้ 2) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 ใน อสมการ x ≠ 0 ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ x ≠ 0 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่ไม่เท่ากับ 0 เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้

แสดงจำ นวนจริงทุกจำ นวนที่น้อยกว่า 2เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์x < 2แสดงจำ นวนจริงทุกจำ นวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ -1เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์x ≥ -1แสดงจำ นวนจริงทุกจำ นวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์x ≤ 3แสดงจำ นวนจริงทุกจำ นวนยกเว้น -2เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ x ≠ 2 11 12 3) เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5ในอสมการ x ≤ 5 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอดังนั้น คำ ตอบของสมการ x ≤ 5 คือ จำ นวนที่น้้อยกว่าหรือเท่ากับ 5เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้ตอบ

ถ้า a < b แล้ว ac bc ถ้า a ≤ b แล้ว ac bc ถ้า a > b แล้ว ac bc ถ้า a ≥ b แล้ว ac bc < ≥ 13 14 การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ใช้สมบัติของการไม่เท่ากัน (properties of inequality) ใน การหาคำ ตอบ ถ้า a < b แล้ว a+c < b+c ถ้า a ≤ b แล้ว a+c ≤ b+c สมบัติการ ของการไม่เท่ากัน ให้ a และ b แทนจำ นวนจริงใดๆ บวก ถ้า a > b แล้ว a+c > b+c ถ้า a ≥ b แล้ว a+c ≥ b+c สมบัติการ ของการไม่เท่ากัน ถ้า a < b แล้ว ac bc ถ้า a ≤ b แล้ว ac bc ถ้า a > b แล้ว ac bc ถ้า a ≥ b แล้ว ac bc ให้ a, b แทนจำ นวนจริงใดๆ และ c แทนจำ นวนจริงบวก คูณ ให้ a, b แทนจำ นวนจริงใดๆ และ c แทนจำ นวนจริงลบ < > ≥ > ≤ ≤ ตัวอย่างที่ 4 1) x + 4 < 7 จงแก้สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนกราฟแสดงคำ ตอบ บนเส้นจำ นวน 2) -8 + x ≤ 7 วิธีทำ 1) จาก x + 4 < 7 นำ -4 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการ จะได้ x + 4 + (-4) < 7 + (-4) หรือ x < 3 ตรวจสอบคำ ตอบ เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่น้อยกว่ส 3 เช่น 2.5, 2, 1 ในอสมการ x + 4 < 7 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ x + 4 < 7 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่น้อยกว่า 3 เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้

15 16 2) จาก -8 + x ≤ 7 นำ 8 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการ จะได้ -8 + x + 8 ≤ 7 + 8 หรือ x ≤ 15 ตรวจสอบคำ ตอบ เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 15 เช่น 15, 14.5, 13.2 ในอสมการ -8 + x ≤ 7 จำ ทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ -8 + x ≤ 7 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 15 เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้ ตอบ การแก้โจทย์ปัญหา การแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว สามารถทำ ได้ ในทำ นองเดียวกับการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว โดยมีขั้น ตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์กำ หนดอะไรมาให้ และ ให้หาอะไร ขั้นที่ 2 กำ หนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หา หรือแทนสิ่งที่ เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา ขั้นที่ 3 เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย์ ขั้นที่ 4 แก้อสมการเพื่อหาคำ ตอบที่โจทย์ต้องการ ขั้นที่ 5 ตรวจสอบคำ ตอบที่ได้กับเงื่อนไขในโจทย์ ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาอสมการเชิงเส้น ตัวแปรเดียว

17 18 ตัวอย่างที่ 5 จงแก้อสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ พร้อมทั้งเขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวน 1) 3x ≥ -9 2) -4x > 24 วิธีทำ 1) จาก 3x ≥ -9 นำ 1 มาคูณทั้งสองข้างของอสมการ จะได้ (3x) ≥ (-9) หรือ x ≥ -3 _ 3 1 (_ 3 ) (_ 3 ) 1 ตรวจสอบคำ ตอบ เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ -3 เช่น -2.5, -1, -0.4 ในอสมการ 3x ≥ -9 จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ 3x ≥ -9 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ -3 2) จาก -4x > 24 นำ มาคูณทั้งสองข้างของอสมการ จะได้ (-4x)( 1 - _ 4 ตรวจสอบคำ สอบ - _ 4) 1 < (24)(- _ 4) 1 หรือ x < -6 เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนจริงทุกจำ นวนที่น้อยกว่า -6 เช่น -6.2, -7, -8 ในอสมการ -4x >24 จะทำ ให้อสมการเป็ยจริงเสมอ ดังนั้น คำ ตอบของอสมการ -4x > 24 คือ จำ นวนจริงทุก จำ นวนที่น้อยกว่า -6 เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้ เขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้ ตอบ

จงแก้อสมการ ≥ พร้อมทั้งเขียนกราฟแสดงคำ ตอบจากนำ ค.ร.น. 12 และ 8 คือ 24 มาคูณทั้งสองข้างของอสมการจะได้หรือ (5x + 14)(2) ≥ (3x)(3) 10x + 28 ≥ 9xนำ -9x มาบวกทั้งสองข้างของอสมการจะได้ 10x + 28 + (-9x) ≥ 9x + (-9x)หรือ x + 28 ≥ 0นำ -28 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการจะได้ x + 28 + (-28) ≥ 0 + (-28) x ≥ -28เมื่อแทนค่า x ด้วยจำ นวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ -28 เช่น-25.4, -20, -17ในอสมการ จะทำ ให้อสมการเป็นจริงเสมอดังนั้น คำ ตอบของอสมการ คือ จำ นวนทุกจำ นวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ -28 5x + 14 12 _8 5x + 14 3x 12 ≥ 5x + 14 12 _8 5x + 14 3x 12 ≥ _8 5x + 14 3x 12 ≥ 19 20ตัวอย่างที่ 6วิธีทำตรวจสอบคำ ตอบเขียนกราฟแสดงคำ ตอบบนเส้นจำ นวนได้ ดังนี้ตอบ_3x8 ( )(24)≥ (_83x )(24)รายชื่อผู้จัดทำกันยากร ลอดวงษ์ เลขที่24ชั้นม.3/7