สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

วิ ช า ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 บ ท ที่ 1 เ ล ข ย ก กำ ลั ง
ร า ก ที่ ส า ม เ เ ล ะ ร า ก ที่ N
สรุปเนื้อหา
บ ท ที่ 2
จัดทำโดย ก า ร เ เ ย ก ตั ว ป ร ะ ก อ บ ข อ ง พ หุ น า ม
ด.ญ.มนัสวี เกตุเเก้ว เลขที่30
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่3/6 บ ท ที่ 3
อ ส ม ก า ร ตั ว เ เ ป ร เ ดี ย ว

บทที่1
เลขยกกำลัง รากที่สอง รากที่ n

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

เลขยกกําลัง a", เรียก 4 ว่าฐานของเลขยกกำลัง และเรียก ก ว่าเลขชี้กำลัง
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ความหมายของ a”
เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจํานวนเต็มบวก

ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง โดยที่ a = 0, b = 0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม





เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจํานวนเต็มศูนย์ aº = 1, a = 0

เมื่อเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ a-n= _1an




สัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็นวิธีการหนึ่งในการเขียนจำนวนในรูป a

≤× 10n เมื่อ a มากกว่าหรือเท่ากับ 1 แต่น้อยกว่า 10 (1 a < 10)
เช่น 63,000 = 6.3 × 10n

บทที่1
เลขยกกำลัง รากที่สอง รากที่ n

เลขยกกำลัง

ตัวอย่างโจทย์

รากที่สอง

ร า ก ที่ ส อ ง ข อ ง จํ า น ว น จ ริ ง

นิยาม ถ้า x, y เป็นจำนวนจริง แล้ว y เป็นรากที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ y = x จะมีสองคำตอบ คือ

√ √x และ — x
√ √ตัวอย่างเช่น รากที่สองของ 9 คือ 9 และ – 9 หรือ 3 และ -3 นั่นเอง 3
√ข้อควรระวัง ต้องแยกความแตกต่างของ 2 โจทย์นี้ให้ได้ จงหารากที่สองของ 9 คำตอบคือ 3 และ

-3 จงหาค่าของ จงหาคาของ 9 คำตอบคือ 3

สมบัติของรากที่สอง

√ ≥ ≥สมบัติข้อที่ 1aa_102เมื่อa0

√สมบัติข้อที่ 2a

√สมบัติข้อที่ 3 a 2= |a|=
√ √สมบัติข้อที่ 4 ( a) 2และ (- a) 2 = a
√√_aab x√ √ √ ≥สมับัติข้อที่ 5 0
√ ≥สมบัติข้อที่ 6
_a b = ab เมื่อ a, b

b เมื่อ a, b 0




ผลบวกและผลต่างของรากที่สอง

กรณฑ์ที่มีอันดับเดียวกันและจำนวนภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นจำนวน

เดียวกัน ถึงจะบวก,ลบกันได้

ผลคูณและผลหารของรากที่สอง

√ √ √การคูณและหารของกรณฑ์ในกรณีที่อันดับไม่เท่ากันต้องเท่าให้เท่าก่อนถึงจะ

สามารถคูณและหารกันได้ ในรูปเเบบดังนี้ a b x c a = ac bd

รากที่ n

ความหมายของรากที่ N



รากที่ n คือ รากที่เป็นจำนวนเต็มมากกว่า 2 ความหมายซึ่งจะแตกต่างกัน
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ

คือ เลขยกกำลังที่ไม่ได้มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถเปลี่ยนรูปแบบได้ดังตัวอย่างนี้
รากที่ n ของจำนวนจริง คือจำนวนจริงตัวหนึ่งยก
กำลัง n แล้วเท่ากับ x เมื่อ n > 1 เราสามารถตรวจสอบ

รากที่ n ได้ง่ายๆ โดยนิยามดังนี้
นิยาม

ให้ x, y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 เราจะบอกว่า y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ
เช่น 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือไม่

จากที่เรารู้ว่า 5×5×5 = 125 ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 5 เป็นรากที่ 3 ของ 125 หรือสามารถพูดได้อีกแบบ
คือ รากที่ 3 ของ 125 คือ 5 เขียนให้สั้นลงได้เป็น นั่นเอง
ในกรณีที่ x = 0 จะได้ว่า = 0
แต่ถ้า x > 0 จะได้ว่า n จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้

**เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่า รากที่ n ของ x เป็นได้ทั้งจำนวนบวกและจำนวนลบ
เช่น -2, 2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 เพราะ และ

ในกรณีที่ x < 0 ในระบบจำนวนจริง n ควรจะเป็นเลขคี่
สมมติว่า n เป็นเลขคู่

จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลัง 4 แล้วได้ -16 เพราะปกติแล้วยกกำลังคู่ต้องได้จำนวนบวก ดังนั้น
จึงไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง (แต่มีคำตอบในจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งน้องๆจะได้เรียนในบท
จำนวนเชิงซ้อน)
สมมติว่า n เป็นเลขคี่
= -5 เพราะ (-5)×(-5)×(-5) = (-5)³ = -125

รากที่ n

สมบัติที่ควรรู้
ให้ a, b เป็นจำนวนจริง และ m, n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

บทที่2
การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

บทที่2
การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม



การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีมากกว่าสอง โดยอาศัยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
มีขั้นตอนดังนี้
1. จัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยการเพิ่มพจน์กลางเข้า แล้วลบออก
2. แยกตัวประกอบ โดยวิธีผลต่างกำลังสอง




(น– ล)(น+ ล)
น2 - ล2= น2 + 2นล +ล2
ล)2 = น2 - 2นล + ล2
(น + ล)2 =
(น -

บทที่3รายได้
อสมการตัวแปรเดียว

การแก้อสมการ คือ บทนิยาม อสมการ คือ ประโยคที่
การหาเซตคำตอบของสมการ แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวน
ที่จะทำให้สมการเป็นจริงได้
ซึ่งเซตคำตอบของสมการอาจ ≤ ≥โดยมีสัญลักษณ์ < , > , ,
พิจารณาจากเซตของจำนวน ≠หรือ แสดงความสัมพันธ์

ช่วง คือ เซตของจำนวนทุกจำนวน สัญลักษณ์แทนความสัมพันธ์
ที่มีค่า ตั้งเเต่/ ระหว่าง จำนวนที่ ระหว่างจำนวนสองจำนวน ได้แก่ <
ระบุ โดยจะมีระบบสัญลักษณ์ แทนความความสัมพันธ์ น้อยกว่า >
แทนความความสัมพันธ์ มากกว่า

รวมแนวคิด
สำคัญที่นี่

เครื่องหมาย

∈ แทน เป็นสมาชิกของเซต
⊂ เป็นสับเซต
∪ยูเนียน
∩ อินเตอร์เซคชั่น

- ผลต่าง

, คอมพลีเมนต์

บทที่3

บทที่3รายได้
อสมการตัวแปรเดียว

≤ ≤ช่วงเปิด{x : a x b}

≤ช่วงปิด{x : a < x b}

รวมแนวคิด
สำคัญที่นี่

≤ช่วงครึ่งปิด{x : a x < b}

รวมแนวคิด
สำคัญที่นี่

∞ช่วง (a, ) {x : x > a} ∞ช่วง(- , a) {x : x < a}

บทที่3