E-book หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์

E-BOOK

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2

ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์

วิชาคณิตศาสตร์ไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์
20000 - 1403

โดย
นายองอาจ หะรินสวัสดิ์
วิทยาลัยเทคนิคกาญจนบุรี

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติและการประยกุ ต์

สาระการเรียนรู้

2.1 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ จิ ากวงกลมหน่งึ หน่วย
2.2 คา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมบนแกน X และแกน Y
2.3 คา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตภุ าคต่างๆ
2.4 ค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุม 360n +  หรอื 2n + 
2.5 ค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมลบ (– )
2.6 เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ิ
2.7 กราฟของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์
2.8 กฎของไซน์และโคไซน์
2.9 การหาระยะทางและความสูงโดยใชต้ รโี กณมติ ิ

สาระสาคญั

1. วงกลมหน่งึ หน่วย คอื กราฟของความสมั พนั ธ์ (x, y)R R  x2 + y2 = 1

ซง่ึ เป็นวงกลมทม่ี จี ุดศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ (0, 0) และรศั มยี าว 1 หน่วย

2. มุมในตาแหน่งมาตรฐาน คอื มมุ ทม่ี จี ุดยอดอยทู่ จ่ี ดุ (0, 0) และดา้ นเรมิ่ ตน้ ของมุม

ทาบไปตามแกน X ทางบวก

3. ถา้  เป็นมุมในตาแหน่งมาตรฐาน และดา้ นสน้ิ สุดของมุม  ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย

ทจ่ี ดุ P(x, y) แลว้ จะได้

x = cos  และ y = sin 

4. ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมบนแกน X และแกน Y หมายถงึ มุม  = 0(0),

90(  ), 180(), 270  3  และ 360(2) และพจิ ารณาคา่ ฟังกช์ นั
 
2 2

ตรโี กณมติ ขิ องมุมเหล่าน้ี จากจดุ P(x, y) ทจ่ี ุด (1, 0), (0, 1), (–1, 0), (0, –1)

และ (1, 0) ตามลาดบั

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4-7

40

5. ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาคตา่ งๆ ทม่ี คี ่าเป็นบวก คอื
จตภุ าค 1 ทุกฟังก์ชนั มคี ่าเป็นบวก จตุภาค 2 มี sine และ cosecant
จตุภาค 3 มี tangent และ cotangent จตภุ าค 4 มี cosine และ secant
สว่ นฟังกช์ นั ทเ่ี หลอื ของแต่ละจตุภาคจะมคี ่าเป็นลบ

6. ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุม 360n +  หรอื 2n +  จะมคี ่าเท่ากบั ฟังก์ชนั

ตรโี กณมติ ขิ องมมุ 
7. ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ลบ (– ) จะมคี วามสมั พนั ธ์ ดงั น้ี

sin (– ) = – sin  และ cos (– ) = cos 
8. เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ิ คอื สมการของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ทิ เ่ี ป็นจรงิ สาหรบั ทุกค่า

ของมมุ ใดๆ ทท่ี าใหห้ าคา่ ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ทิ ป่ี รากฏอยใู่ นสมการนัน้ ได้
9. การเขยี นกราฟของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซน์ ทาได้โดยหาค่าของฟังก์ชนั ไซน์

และโคไซน์ของมุมขนาดต่างๆ กนั แลว้ นาค่อู นั ดบั ไปเขยี นกราฟ โดยใหแ้ กน X
แทนขนาดของมมุ และ แกน Y แทนค่าของฟังก์ชนั กราฟของฟังกช์ นั ไซน์และ
โคไซน์เป็นฟังกช์ นั ทเ่ี ป็นคาบและมแี อมพลจิ ดู
10. รปู สามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B, C
ตามลาดบั จะได้

กฎของไซน์ a =b= c
sin A sin B sin C

กฎของโคไซน์ a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

11. การแก้ปัญหาเก่ยี วกับการวดั ระยะทางและความสูงท่ีไม่สามารถเข้าไปวดั ใน
สภาพจรงิ ได้ สามารถนาอตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ กฎของไซน์ และกฎของโคไซน์
มาช่วยในการคานวณ เพ่อื คาดคะเนระยะทาง ความสูง หรอื ขนาดของมุม จาก
รปู สามเหลย่ี มใดๆ ได้

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4-7

41

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
เมอ่ื นกั เรยี นไดศ้ กึ ษาจบหน่วยการเรยี นรู้น้แี ลว้ นกั เรยี นสามารถ

1. หาค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ จิ ากวงกลมหน่งึ หน่วยได้
2. หาคา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมบนแกน X และแกน Y จากวงกลมหน่งึ หน่วยได้
3. หาคา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาคต่างๆ จากวงกลมหน่งึ หน่วยได้
4. หาขนาดของมมุ เมอ่ื ทราบค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ไิ ด้
5. หาค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ 360n +  หรอื 2n +  ได้
6. หาคา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ลบ (– ) ได้
7. นาเอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ พิ น้ื ฐานไปพสิ จู น์เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ อิ น่ื ๆ ได้
8. เขยี นกราฟของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ได้
9. หาความยาวดา้ นและขนาดของมุมของรปู สามเหลย่ี มใดๆ จากกฎของไซน์

และโคไซน์ได้
10. แกป้ ัญหาเกย่ี วกบั การวดั คาดคะเนระยะทาง และความสงู โดยใชต้ รโี กณมติ ไิ ด้

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4-7

42

หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 2
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติและการประยกุ ต์

การหาค่าอตั ราส่วนตรโี กณมติ จิ ากหน่วยการเรยี นรทู้ ผ่ี ่านมา เป็นการศกึ ษาเฉพาะ
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม (0<  < 90 หรือ 0 <  <  เรเดียน) จากรูป

2

สามเหล่ยี มมุมฉากหรอื จากตารางเท่านัน้ แต่การศกึ ษาตรโี กณมติ ิมิได้จากดั เพยี งเท่าน้ี
เราสามารถท่จี ะหาค่าอตั ราส่วนตรโี กณมติ ขิ องมุมขนาดเท่าใดกไ็ ด้จากวงกลมหน่ึงหน่วย
และเรยี กความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมกับค่าอัตราส่วนตรโี กณมิติท่ีได้ว่าฟังก์ชนั
ตรโี กณมติ ิ

2.1 ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติจากวงกลมหนึ่งหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วย คอื กราฟของความสมั พนั ธ์ (x, y)RR  x2 + y2 = 1
ซง่ึ เป็นวงกลมทม่ี จี ดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จ่ี ุด (0, 0) และรศั มยี าว 1 หน่วย

Y

(0, 1) 1

2

(-1, 0) O (0, 0) (1, 0)
X
3 (0, -1)
4

รปู 2.1
วงกลมหน่งึ หน่วยตดั แกน X และแกน Y ทจ่ี ุด (1, 0), (0, 1), (–1, 0) และ (0, –1)
และถกู แบ่งออกเป็น 4 สว่ น สว่ นละเท่าๆ กนั แตล่ ะสว่ นจะอย่ใู นจตุภาคต่างๆ ของระนาบ
พกิ ดั ฉาก โดยมลี าดบั ทข่ี องจตภุ าคเป็นไปตามรปู 2.1

มมุ ในตาแหน่งมาตรฐาน หมายถงึ มุมทม่ี จี ดุ ยอดอยทู่ ่ี (0, 0) และดา้ นเรม่ิ ตน้ ของ
มมุ ทาบไปตามแกน X ทางบวก และมที ศิ ทางการหมุนได้ 2 ทศิ ทาง คอื

ถา้ หมุนในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกิ า ขนาดของมมุ มคี ่าเป็นบวก
ถา้ หมุนในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ า ขนาดของมมุ มคี ่าเป็นลบ ดงั รปู 2.2

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

มุม  ,  และ  เป็นมุมในตาแหน่งมาตรฐาน 43

YY Y
O (1, 0)
 (1, 0)  (1, 0) X
O X OX

ฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ รปู 2.2

Y

 P(x, y)

O 

A(1, 0)
QX

รปู 2.3
มมุ  อยใู่ นตาแหน่งมาตรฐาน ดา้ นสน้ิ สดุ ของมุม  ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย
ทจ่ี ุด P(x, y) ดงั รปู 2.3
จากจุด P ลากเสน้ ตรงตงั้ ฉากกบั OA ทจ่ี ดุ Q เกดิ รปู  มุมฉาก OPQ
ดา้ น OP คอื รศั มขี องวงกลมยาว 1 หน่วย
ดา้ น OQ ยาว x หน่วย
ดา้ น PQ ยาว y หน่วย
จะได้ sin  = y = y และ cos  = x = x

11

นนั่ คอื sin  = y และ cos  = x

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

44

เรยี ก y = sin  วา่ ฟังกช์ นั ไซน์
x = cos  วา่ ฟังกช์ นั โคไซน์

และ P(x, y) = (cos , sin )

ดงั นนั้ ถา้ เราทราบพกิ ดั (x, y) ของจุดทด่ี า้ นสน้ิ สุดของมุม  ตดั วงกลมหน่ึงหน่วย
ไม่ว่า  จะมขี นาดเท่าใด หรอื หมุนในทศิ ทางใดกต็ าม เรากจ็ ะสามารถหาค่า cos  จาก
พกิ ดั ตวั หน้า x และ sin  จากพกิ ดั ตวั หลงั y ไดน้ นั่ เอง

สาหรบั ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ อิ ่นื ๆ สามารถหาไดจ้ ากความสมั พนั ธ์ ดงั น้ี

tan  = sin  = y เม่อื x  0
cos  x

cosec  = 1 = 1 เมอ่ื y  0
sin  y

sec  = 1 = 1 เมอ่ื x  0
cos  x

cot  = cos  = x เมอ่ื y  0
sin  y

นอกจากน้ี เมอ่ื พจิ ารณารูป  มุมฉาก OPQ ดงั รปู 2.3 จะมคี วามสมั พนั ธข์ อง
ความยาวดา้ น OP, OQ และ PQ ตามทฤษฎบี ทของพที าโกรสั ไดเ้ ป็น

OP2 = OQ2 + PQ2
นนั ่ คอื 12 = x2 + y2
หรอื x2 + y2 = 1
ซง่ึ สอดคลอ้ งกบั ความสมั พนั ธข์ องกราฟวงกลมหน่งึ หน่วย

และเน่อื งจาก P(x, y) เป็นจุดทด่ี า้ นสน้ิ สุดของมุม  ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย โดยท่ี

x = cos  และ y = sin 

ดงั นนั้ ความสมั พนั ธร์ ะหว่าง sin  และ cos  คอื

(cos )2 + (sin )2 = 1

นิยมเขยี นในรปู

sin2  + cos2  = 1 ……….(1)

จากสมการ (1) หารทงั้ สองขา้ งของสมการดว้ ย cos2  ไดเ้ ป็น

tan2  + 1 = sec2  ………..(2)

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

45

จากสมการ (1) หารทงั้ สองขา้ งของสมการดว้ ย sin2  ไดเ้ ป็น

cot2  + 1 = cosec2  ………..(3)

สรุปความสมั พนั ธก์ าลงั สองของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ

sin2  + cos2  =1
tan2  + 1 = sec2 
cot2  + 1 = cosec2 

ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ดิ งั กลา่ วขา้ งตน้ เป็นฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ซง่ึ แทนมุมดว้ ย 
แต่  นอกจากจะมคี วามหมายเป็นมุมแลว้  ยงั มคี วามหมายเป็นความยาวสว่ นโคง้ ดว้ ย

จากการวดั มมุ  ในหน่วยเรเดยี น

= a เมอ่ื a คอื ความยาวสว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มุม 
และ r คอื ความยาวรศั มขี องวงกลม
r

ดงั นนั้ วงกลมหน่งึ หน่วยจะมี

 = a = a นนั ่ คอื

1

สว่ นโคง้ ของวงกลมหน่งึ หน่วยทร่ี องรบั มุม  เรเดยี น มคี วามยาว  หน่วยเสมอ

และเม่อื พจิ ารณารปู 2.3 จุดปลายของสว่ นโคง้ AP ทย่ี าว  หน่วย คอื จุด P(x, y)
ซง่ึ เป็นจุดเดยี วกนั กบั จดุ ทด่ี า้ นสน้ิ สุดของมุม  เรเดยี นตดั วงกลมหน่งึ หน่วยนนั่ เอง

ดงั นนั้  จงึ มคี วามหมายเป็นไปไดท้ งั้ มุม และความยาวสว่ นโคง้ โดยทค่ี า่ ฟังกช์ นั
ตรโี กณมติ ขิ องจานวนเหลา่ น้จี ะมคี ่าเทา่ กนั เช่น

sin  อาจหมายถงึ sin ของมมุ ทม่ี ขี นาด  เรเดยี น หรอื ขนาด 45 องศา

44

หรอื sin  อาจหมายถงึ sin ของจานวนจรงิ (ความยาวสว่ นโคง้ )  กไ็ ด้

44

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

46

2.2 ค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของมุมบนแกน X และแกน Y

Y

(0, 1)

P(x, y)

(-1, 0)  A(1, 0)
X
O

(0, -1)

รปู 2.4

มมุ บนแกน X และแกน Y หมายถงึ มุมทม่ี ดี า้ นสน้ิ สุดของมุมอย่บู นแกน X และแกน Y

ให้  เป็นมุมในตาแหน่งมาตรฐาน มุมบนแกน X และแกน Y คอื  = 0, 90, 180,
270 และ 360 หรอื 0,  , , 3 และ 2 เรเดยี น ตามลาดบั โดยทด่ี า้ นสน้ิ สดุ ของมุมเหล่าน้ี

22

ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย ทจ่ี ดุ (1, 0), (0, 1), (–1, 0), ( 0, –1) และ (1, 0) ตามลาดบั
จาก sin  = y และ cos  = x

ไดค้ า่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมบนแกน X และแกน Y ดงั น้ี

มมุ () 0(0) 90(  ) 180() 270  3  360(2)
2  
ฟังกช์ นั 0 0 2 0
1 1 –1 1
sin  0 0 0 –1 0
หาคา่ ไมไ่ ด้ หาคา่ ไม่ได้ หาคา่ ไม่ได้ 0 หาค่าไม่ได้
cos  1 1 –1 1
หาค่าไม่ได้ หาคา่ ไมไ่ ด้ หาค่าไมไ่ ด้ หาค่าไม่ได้ หาค่าไม่ได้
tan  = sin  0
cos 

cosec  = 1  –1
sin

sec  = 1  หาคา่ ไม่ได้
cos

cot  = cos  0
sin 

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

47

2.3 ค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุมในจตุภาคต่างๆ

Y

Q(-x, y) B P(x, y)

C  A(1, 0)
O  X

R(-x, -y) S(x, -y)

รปู 2.5

จากรปู 2.5 ให้ P(x, y) เป็นจุดๆหน่ึงบนวงกลมหน่ึงหน่วย ลากเสน้ ตรง PQ ตงั้ ฉาก
กบั แกน Y ตดั วงกลมหน่ึงหน่วยทจ่ี ุด Q จะไดร้ ูป  POB เท่ากนั ทุกประการกบั  BOQ
ดงั นนั้ พกิ ดั ของจดุ Q คอื (–x, y)

ในทานองเดยี วกนั ถา้ ลากเสน้ ตรงจากจุด P และ Q ตงั้ ฉากกบั แกน X ตดั วงกลม
หน่งึ หน่วย ทจ่ี ุด S และ R จะได้ พกิ ดั ของจุด S คอื (x, –y) และพกิ ดั ของจุด R คอื (–x, –y)

ถ้ามุม AOP มขี นาด  แลว้ จะได้มุม QOC., COR และ AOS มขี นาด  ด้วย
จากความรู้ดงั กล่าว สามารถนามาหาค่าฟังก์ชันตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาค 2, 3
และ 4 ซ่ึงเป็นมุมขนาดใหญ่กว่า 90(  เรเดียน) โดยใช้ความสัมพันธ์กับค่าฟังก์ชัน

2

ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาค 1 ซ่งึ เป็นมุมแหลม (0<  < 90 หรอื 0 <  <  เรเดยี น)

2

ไดอ้ ย่างสะดวกดงั น้ี

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

48

ค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุมในจตภุ าค 2

Y

Q(-x, y) P(x, y)

 −  A(1, 0)
X
O

รปู 2.6

OQ เป็นดา้ นสน้ิ สุดของมุม  –  เรเดยี น หรอื 180–  ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย
ทจ่ี ุด Q(–x, y) จะได้

sin ( – ) = y และ cos ( – ) = –x
แต่ y = sin  และ x = cos 

ดงั นนั้ คา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาค 2 มคี วามสมั พนั ธ์ ดงั น้ี

sin ( – ) = sin (180– ) = sin 
cos ( – ) = cos (180– ) = – cos 
tan ( – ) = tan (180– ) = – tan 
cosec ( – ) = cosec (180– ) =
sec ( – ) = sec (180– ) = cosec 
cot ( – ) = cot (180– ) = – sec 
– cot 

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

49

ค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุมในจตภุ าค 3

Y

P(x, y)

+  A(1, 0)
X
O

R(-x, -y)

รปู 2.7

OR เป็นดา้ นสน้ิ สุดของมุม  +  เรเดยี น หรอื 180+  ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย
ทจ่ี ุด R(–x, –y) จะได้

sin ( + ) = –y และ cos ( + ) = –x
แต่ y = sin  และ x = cos 

ดงั นนั้ ค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ในจตุภาค 3 มคี วามสมั พนั ธ์ ดงั น้ี

sin ( + ) = sin (180+ ) = – sin 
cos ( + ) = cos (180+ ) = – cos 
tan ( + ) = tan (180+ ) =
cosec ( + ) = cosec (180+ ) = tan 
sec ( + ) = sec (180+ ) = – cosec 
cot ( + ) = cot (180+ ) = – sec 

cot 

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

50

ค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุมในจตุภาค 4

Y

P(x, y)

2 −   A(1, 0)
O  X

S(x, - y)

รปู 2.8
OS เป็นดา้ นส้นิ สุดของมุม 2 –  เรเดยี น หรอื 360–  ตดั วงกลมหน่ึงหน่วย
ทจ่ี ุด S(x, –y) จะได้

sin (2 – ) = –y และ cos (2 – ) = x
แต่ y = sin  และ x = cos 

ดงั นนั้ คา่ ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาค 4 มคี วามสมั พนั ธ์ ดงั น้ี

sin (2 – ) = sin (360– ) = – sin 
cos (2 – ) = cos (360– ) = cos 
tan (2 – ) = tan (360– ) = – tan 
cosec (2 – ) = cosec (360– ) = – cosec 
sec (2 – ) = sec (360– ) = sec 
cot (2 – ) = cot (360– ) = – cot 

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

51

จะเหน็ ว่าค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาค 2, 3 และ 4 เม่อื หาค่าออกมาแลว้
จะได้เป็นค่าบวกหรือลบของฟั งก์ชนั ตรโี กณมิติของมุมในจตุภาค 1 ซ่ึงเป็นมุมแหลม
(0<  < 90 หรอื 0 <  <  เรเดยี น)

2

สรุปค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาคตา่ งๆ ทม่ี คี ่าเป็นบวก

Y

2 sin 1
cosec
A(1, 0)
tanO
cot cos X
3 sec

4

รปู 2.9

ตวั อยา่ ง 2.1 จงหาค่าตอ่ ไปน้ี

(1) 2 cos 0 sin 270 + 5 tan 360

(2) 3 sec2  – 4 cosec2  2(1)(–1) + 5(0)

2

วิธีทา (1) 2 cos 0 sin 270 + 5 tan 360 =

= –2+0
= –2

(2) 3 sec2  – 4 cosec2  = 3(–1)2 – 4(1)2

2 = 3–4
= –1

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

52

ตวั อย่าง 2.2 จงหาค่าของ cos 120, tan 3 และ sin 2.82 (ให้   3.14)
วิธีทา
4 cos (180– 60)
– cos 60
cos 120 =
Y= −1
2
=
tan ( –  )
4 3 A(1, 0) tan 3 =
4 = 4
X 4
– tan 
O
4
=
–1

รปู แสดงมมุ 3 sin 2.82 = sin (3.14 – 0.32)
 sin 0.32
4  0.3145

ตวั อยา่ ง 2.3 จงหาค่าของ cot 208, sin 4 และ cos 3.78 (ให้   3.14)
วิธีทา
3 cot (180+ 28)
 cot 28
3 cot 208 = 1.8807
= sin ( +  )
Y sin 4 =
= 3
4 3
3 = – sin 
A(1, 0)
O = 3
X
–3

2

รปู แสดงมุม 4 cos 3.78 = cos (3.14 + 0.68)
 – cos 0.68
3  – 0.8021

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

53

ตวั อย่าง 2.4 จงหาค่าของ sec 315, cosec 11 และ tan 5.8 (ให้   3.14)

6

วิธีทา

Y sec 315 = sec (360 – 45)
= sec 45

=2

11 cosec 11 = cosec (2 –  )
6 A(1, 0) 6 6

 X = – cosec 
O6
6

= –2

tan 5.8 = tan (6.28 – 0.48)

 – tan 0.48

รปู แสดงมุม 11  – 0.5206

6

ตวั อยา่ ง 2.5 จงหาขนาดของมุม A เมอ่ื กาหนด

(1) tan A = 3 และ 0 < A < 360

(2) sin A = − 1 และ 0 < A < 2 เรเดยี น

2

วิธีทา (1) เน่อื งจาก tan A = 3 และ 0 < A < 360
จะได้ มุม A อย่ใู นจตภุ าค 1 หรอื 3

และจาก tan 60 = 3
ดงั นนั้ ขนาดของมุม A ในจตภุ าค 1 คอื 60

ในจตภุ าค 3 คอื 180+ 60 = 240
ขนาดของมุม A = 60 หรอื 240

(2) เน่อื งจาก sin A = − 1 และ 0 < A < 2 เรเดยี น

2

จะได้ มุม A อยใู่ นจตภุ าค 3 หรอื 4

และจาก sin  = 1 7

62 6

ดงั นนั้ ขนาดของมุม A ในจตภุ าค 3 คอื  +  = 11 

6 6

ในจตภุ าค 4 คอื 2 –  =

6

ขนาดของมุม A = 7 หรอื 11 เรเดยี น

66

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 4

54

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.1
ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติและการประยุกต์

ชอ่ื – นามสกุล ________________________ ปี/สาขางาน/กลุ่ม______________ เลขท่ี _____

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1. หาค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ จิ ากวงกลมหน่งึ หน่วยได้

2. หาค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ บนแกน X และแกน Y จากวงกลมหน่งึ หน่วยได้
3. หาคา่ ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุมในจตุภาคต่างๆ จากวงกลมหน่งึ หน่วยได้
4. หาขนาดของมุม เม่อื ทราบค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ไิ ด้
1. กาหนดให้ ดา้ นสน้ิ สดุ ของมุม  ในตาแหน่งมาตรฐานตดั วงกลมหน่งึ หน่วยทจ่ี ดุ P(0.6, 0.8)

Y จงตอบคาถามต่อไปน้ี …………
P(0.6, 0.8) sin  = …………
cos  = …………
 A(1, 0) …………
 X sin (180– ) = …………
cos (180– ) = …………
O sin (180+ ) = …………
cos (180+ ) = …………
sin (360– ) =
cos (360– ) =

2. จาก sin 30 = 1 , cos 30 = 3 และจากรูปทก่ี าหนด

22

Y จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี

P พกิ ดั ของจดุ P คอื ( …. , ….)
ขนาดของมุม  = ………… องศา
 30 A(1, 0) ขนาดของมุม  = ………… เรเดยี น
X
O

sin  = ………… , cosec  = …………
cos  = ………… , sec  = …………
tan  = ………… , cot  = …………

วชิ าคณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

55

3. จงหาค่าตอ่ ไปน้ี = ……………………………….
(1) sin2 90 + 3 cos2 180 = ……………………………….
= ……………………………….

(2) 3 tan 0 – 2 sin 3 cos 2 = ……………………………….
2 = ……………………………….
= ……………………………….

4. จงหาค่าของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ติ อ่ ไปน้ี (ให้   3.14) =1
เชน่ (1) sin 150 = sin (180 – 30) = sin 30
2
(2) cos 135 = ……………………… = ………………..
= …………

(3) cosec 5 = ……………………… = ……………….. = …………
 …………
6

(4) sec 2.50 = ………………………  ………………..

(5) sin 250 = ……………………… = ……………….. = …………

(6) tan 5 = ……………………… = ……………….. = …………
= ………………………  ………………..  …………
4

(7) cot 3.46

(8) cosec 300 = ……………………… = ……………….. = …………

(9) sin 5 = ……………………… = ……………….. = …………
 …………
3

(10) cos 6.12 = ………………………  ………………..

วชิ าคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

56

5. จงหาขนาดของมุม A ทส่ี อดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขทงั้ สอง และตอบหน่วยของมมุ ตามเงอ่ื นไข 2

เงอ่ื นไข 1 เงอ่ื นไข 2 มมุ A ขนาดของมุม A
0 < A < 2 อย่ใู นจตภุ าค  หรอื  −  = 5
เช่น sin A = 1 0 < A < 360
0 < A < 2 1 หรอื 2 6 66
2 0 < A < 270
………………… ………………………………………….
cos A = 3
………………… ………………………………………….
2
………………… …………………………………………
tan A = –1

cosec A = –1.589

sec A = –2 0 < A <  ………………… ………………………………………….
cot A = 1 180 < A < 360 ………………… ……………………………………………

3

6. จงหาค่าตอ่ ไปน้ี
(1) 3 sin 210 + 2 cos 300

วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

(2) tan2 2 − cos ec2 7

36

วิธีทา …………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

57

2.4 ค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมิติของมุม 360n +  หรือ 2n + 

Y

P(x, y)

 A(1, 0)

OX

รปู 2.10
ให้  เป็นมมุ ในตาแหน่งมาตรฐาน ดา้ นสน้ิ สดุ ของมุม  หรอื OP ตดั วงกลมหน่งึ หน่วย
ทจ่ี ุด P(x, y)
ถา้ ให้ OP หมุนเพม่ิ จากมุม  ตอ่ ไปอกี

1 รอบ ขนาดของมุมทเ่ี กดิ ขน้ึ คอื 360+  หรอื 2 +  เรเดยี น

n รอบ ขนาดของมุมทเ่ี กดิ ขน้ึ คอื 360n +  หรอื 2n +  เรเดยี น

มมุ 360n +  หรอื 2n +  เรเดยี น เม่อื n เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ (แทนจานวน
รอบของการหมุน) ต่างกม็ ดี า้ นสน้ิ สุดของมุมเหลา่ น้ี กลบั มาอย่ใู นตาแหน่งเดมิ

ดงั นนั้ ค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ 360n +  หรอื 2n +  เรเดยี น จะเทา่ กบั
ค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมุม  สรปุ ไดด้ งั น้ี

sin (360n + ) = sin (2n + ) = sin 
cos (360n + ) = cos (2n + ) = cos 
tan (360n + ) = tan (2n + ) = tan 
cosec (360n + ) = cosec (2n + ) = cosec 
sec (360n + ) = sec (2n + ) = sec 
cot (360n + ) = cot (2n + ) = cot 

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

58

ตวั อยา่ ง 2.6 จงหาค่าต่อไปน้ี (2) sin 1000
(1) cos 420 (4) cosec 31
(3) tan 17
4
6
cos (360+ 60)
วิธีทา (1) cos 420 = cos 60
=
= 1
2

(2) sin 1000 = sin (720+ 280)
= sin 280
= sin (360– 80)
= – sin 80
= – 0.9848

(3) tan 17 = tan (2 + 5 )

6 6

= tan 5

6

= tan ( –  )

6

= – tan 

6

= –1

3

(4) cosec 31 = cosec (6 + 7 )

4 4

= cosec 7

4

= cosec (2 –  )

4

= – cosec 

4

= –2

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

59

2.5 ค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมมุ ลบ (– )

Y

P(x, y)

 E A(1, 0)

O − X

Q(x, -y)

รปู 2.11

จากรปู 2.11  EOP เทา่ กนั ทกุ ประการกบั  EOQ

ดงั นนั้ เม่อื OP เป็นดา้ นสน้ิ สุดของมมุ  ตดั วงกลมหน่ึงหน่วยทจ่ี ดุ P(x, y)
OQ ซง่ึ เป็นดา้ นสน้ิ สดุ ของมุม –  กจ็ ะตดั วงกลมหน่งึ หน่วยทจ่ี ดุ Q(x, – y)

จะได้ sin (– ) = – y และ cos (– ) = x
แต่ y = sin  และ x = cos 

ดงั นนั้ ค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ –  มคี วามสมั พนั ธ์ดงั น้ี

sin (– ) = – sin 
cos (– ) = cos 
tan (– ) = – tan 
cosec (– ) = – cosec 
sec (– ) = sec 
cot (– ) = – cot 

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

60

ตวั อยา่ ง 2.7 จงหาค่าตอ่ ไปน้ี (ให้   3.14)
(1) sin (– 225)
(2) cos  − 5 
 3 

(3) tan  − 7  (4) cot (– 6.92)
 6 

วิธีทา (1) sin (– 225) = – sin 225
= – sin (180+ 45)
= – (– sin 45)

= 1

2

(2) cos  − 5  = cos 5
 3 
3

= cos (2 –  )

3

= cos 

3

=1

2

(3) tan  − 7  = – tan 7
 6 
6

= – tan ( +  )

6

= – tan 

6

= –1

3

(4) cot (– 6.92) = – cot 6.92
= – cot (6.28 + 0.64)
 – cot 0.64
 – 1.3432

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

61

2.6 เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ

เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ิ หมายถงึ สมการของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ทิ เ่ี ป็นจรงิ สาหรบั ทุก
ค่าของมุมใดๆ หรอื จานวนจรงิ ใดๆ ทท่ี าใหห้ าคา่ ของฟังกช์ นั ทป่ี รากฏอย่ใู นสมการนนั้ ได้

เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ พิ ้นื ฐาน ได้กล่าวมาแล้วในสาระการเรยี นรูท้ ่ผี ่านๆ มา เป็น
การกล่าวถงึ ความสมั พนั ธ์ระหว่างฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ 2 ฟังก์ชนั จงึ ขอสรุปความสมั พนั ธ์
ระหว่างฟังก์ชนั ตรโี กณมติ เิ หล่าน้ี เพอ่ื นาไปใชพ้ สิ จู น์เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ หิ รอื เพ่อื นาไปใช้
ในการศกึ ษาเร่อื งอ่นื ๆ ดงั น้ี

เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติพ้นื ฐาน

1. sin  cosec  = 1 หรอื sin  = 1 หรอื cosec  = 1
cosec  sin 

2. cos  sec  = 1 หรอื cos  = 1 หรอื sec  = 1
s ec  cos 

3. tan  cot  = 1 หรอื tan  = 1 หรอื cot  = 1
cot  tan 

4. tan  = sin 

cos 

5. cot  = cos 

sin 

6. sin2  + cos2  = 1 หรอื sin2  = 1 – cos2  หรอื cos2  = 1 – sin2 

7. sec2  – tan2  = 1 หรอื sec2  = 1 + tan2  หรอื tan2  = sec2  – 1

8. cosec2  – cot2  = 1 หรอื cosec2  = 1 + cot2  หรอื cot2  = cosec2  – 1

จากเอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ พิ น้ื ฐานขา้ งตน้ สามารถนาไปพสิ จู น์เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ิ
อน่ื ๆ ไดด้ งั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ ง 2.8 จงพสิ จู น์ว่า (1) sin  sec  cot  = 1
(2) cosec  – cosec  cos2  = sin 
(3) (1 + tan2 )(1 – sin2 ) = 1

วิธีทา (1) sin  sec  cot  = sin  1  cos 
 cos   sin  

=1

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

62

(2) cosec  – cosec  cos2  = cosec (1 – cos2 )
= cosec  sin2 
=
 1   sin2 
=  sin 
 

sin 

(3) (1 + tan2 )(1 – sin2 ) = sec2  cos2 

= 1  cos2 
 
 cos2  

=1

2.7 กราฟของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์

กราฟของฟั งก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะกราฟของฟั งก์ชันไซน์และโคไซน์
มคี วามสาคญั ต่อวชิ าคณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ วศิ วกรรมศาสตร์ และศาสตร์สาขาอ่นื ๆ
เพราะสามารถนากราฟของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ ไปอธบิ ายปรากฏการณ์ต่างๆ ไดอ้ ย่าง
หลากหลาย จงึ ควรศกึ ษาลกั ษณะและการเขยี นกราฟของฟังกช์ นั ทงั้ สอง

การเขยี นกราฟของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซน์ มวี ธิ กี ารดงั น้ี คอื หาค่าฟังก์ชนั ไซน์และ
โคไซน์ของมุมขนาดต่างๆ กนั แลว้ นาคอู่ นั ดบั ไปเขยี นกราฟ โดยใหแ้ กน X แทนขนาดของมุม
และแกน Y แทนคา่ ของฟังกช์ นั ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่าง 2.9 จงเขยี นกราฟของ y = sin  และ y = cos 
เมอ่ื 0    360 หรอื 0    2

วิธีทา กาหนดค่า  และหาคา่ ของ y = sin  และ y = cos 

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

 0    2 5  7 4 3 5 11 2
y= sin  6 3 23 6
6323 6

0 0.5 0.87 1 0.87 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.5 0

y= cos  1 0.87 0.5 0 -0.5 -0.87 -1 -0.87 -0.5 0 0.5 0.87 1

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

63

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = sin  มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

Y

1 • ••

0.5 • •

0• 30 60 ••

90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 X ()

-0.5 • •

-1 • • •

กราฟของ y = sin  เม่อื 0    360

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = cos  มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

Y

1• • •
•
0.5 • •

0 ••
-0.5 ()   2 5  7 4 3 5 11 2 X
6 3 2 3• 6 6 3• 2 3 6
-1
•••

กราฟของ y = cos  เมอ่ื 0    2

การเขยี นกราฟของฟังก์ชนั ไซน์และโคไซน์ ไม่จาเป็นตอ้ งหาค่าฟังก์ชนั ของมมุ
หลายๆ คา่ อาจกาหนดเฉพาะมมุ ทฟ่ี ังกช์ นั มคี ่าต่าสดุ สงู สุด และจุดทก่ี ราฟตดั แกน X
เท่านัน้ กส็ ามารถเขยี นกราฟของ y = sin  และ y = cos  ได้

นอกจากนนั้ เราทราบแลว้ ว่า sin (2n + ) = sin  และcos (2n + ) = cos 
เมอ่ื n เป็นจานวนเตม็ บวกใดๆ (จานวนรอบของการหมุน) ทาใหก้ ราฟของฟังกช์ นั ไซน์และ
โคไซน์ซ้ากนั เป็นช่วงๆ ซง่ึ ช่วยใหก้ ารเขยี นกราฟงา่ ยขน้ึ

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

64

ดงั นนั้ จากตวั อยา่ ง 2.9 เราสามารถเขยี นกราฟของ y = sin  และ y = cos 
เมอ่ื 0    720 หรอื 0    4 ไดด้ งั น้ี

Y

1 ••
0.5 ••• •

0• 90 180 270 360 450 540 630 720 X ()
-0.5
••
-1

กราฟของ y = sin  เมอ่ื 0    720
รปู 2.12

Y

1• ••

0.5

0 • • ••
-0.5 7 4 X ()
 3 2 5 3

2 22 2

-1 • •

กราฟของ y = cos  เม่อื 0    4
รปู 2.13

จากกราฟของฟังก์ชนั y = sin  และ y = cos  ขา้ งตน้ จะเหน็ ว่าทกุ ๆ ช่วง 360
หรอื 2 เรเดยี น กราฟในแตล่ ะช่วงมลี กั ษณะเหมอื นกนั ฟังกช์ นั ของกราฟลกั ษณะน้เี ป็น
ฟังกช์ นั ทเ่ี ป็นคาบ (period function) กล่าวคอื

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

65

ถ้าแบ่งแกน X ออกเป็นช่วงย่อย (sub interval) โดยท่คี วามยาวของแต่ละช่วงย่อย
เท่ากนั แลว้ จะทาให้กราฟของแต่ละช่วงมลี กั ษณะเหมอื นกนั ความยาวของช่วงย่อยท่สี นั้
ทส่ี ุดดงั กลา่ ว เรยี กวา่ คาบ (period)

ดงั นัน้ y = sin  และ y = cos  เป็นฟังก์ชนั ท่ีเป็นคาบ และคาบของฟังก์ชนั
ทงั้ สองเท่ากบั 360 องศา หรอื 2 เรเดยี น

และจะเห็นว่าระยะห่างจากแกน x ถึงจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดของกราฟของ
y = sin  และ y = cos  เท่ากบั 1 หน่วย เรยี กระยะห่างน้วี า่ แอมพลจิ ดู (amplitude)

ดงั นนั้ ฟังกช์ นั y = sin  และ y = cos  มแี อมพลจิ ดู เทา่ กบั 1 หน่วย

ตวั อยา่ ง 2.10 จงเขยี นกราฟเฉพาะคาบท่ี 1 และหาแอมพลจิ ดู และคาบของฟังก์ชนั ต่อไปน้ี

(1) y = 3 sin 2 (ให้  มหี น่วยเป็นเรเดยี น)

(2) y = 2 cos 3 (ให้  มหี น่วยเป็นองศา)

วิธีทา (1) กาหนดค่า  และหาค่า y = 3 sin 2

 0   3 

424

2 0   3 2

22

y = 3 sin 2 0 3 0 – 3 0

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = 3 sin 2 มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

Y

y = 3 sin 2

3•

2

1

0•  •• X()
4
-1  3 

24

-2

-3 •

จากกราฟของ y = 3 sin 2
จะได้ แอมพลจิ ดู เทา่ กบั 3 หน่วย
และ คาบเทา่ กบั  เรเดยี น หรอื 180 องศา

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

66

(2) กาหนดค่า  และหาคา่ y = 2 cos 3

 0 30 60 90 120
3 0 90 180 270 360
y = 2 cos 3 2 0 – 2 0 2

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = 2 cos 3 มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

Y y = 2 cos 3

2• •

1 • • X ()
30 60 90 120
0
-1 •
-2

จากกราฟของ y = 2 cos 3
จะได้ แอมพลจิ ูดเทา่ กบั 2 หน่วย
และ คาบเท่ากบั 120 องศา หรอื 2 เรเดยี น

3

ขอ้ สงั เกต จากกราฟของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์
1. ถา้ อยใู่ นรปู y = sin  หรอื y = cos  แลว้

จะมคี าบ = 2 เรเดยี น หรอื 360 องศา
และแอมพลจิ ดู = 1 หน่วย
2. ถา้ อย่ใู นรปู y = a sin k หรอื y = a cos k เมอ่ื a, k > 0 แลว้

จะมคี าบ = 2 เรเดยี น หรอื 360 องศา

kk

และแอมพลจิ ดู = a หน่วย

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 5

67

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.2
ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติและการประยุกต์

ชอ่ื – นามสกุล ________________________ ปี/สาขางาน/กลมุ่ ______________ เลขท่ี _____

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ 1. หาค่าฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมุม 360n +  หรอื 2n +  ได้

2. หาค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ลบ (– ) ได้
3. นาเอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ พิ น้ื ฐานไปพสิ จู น์เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ อิ ่นื ๆ ได้
4. เขยี นกราฟของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ได้

1. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ติ อ่ ไปน้ี (ให้   3.14)

เชน่ (1) cos 8 = cos  2 + 2  = cos 2 = cos   − 
 3   3 
3 3

(2) sin 8.94 = – cos 

3

= −1

2

= ………………………  ……………  ....................................

 ....................................
 ....................................

(3) tan 570 = ……………………… = …………… = ....................................

(4) cosec 13 = ....................................
= ....................................
4
= ……………………… = …………… = ....................................

= ....................................
= ....................................

(5) cot 1045 = ……………………… = …………… = ....................................

(6) sec 29 = ....................................
= ....................................
6
= ……………………… = …………… = ....................................

= ....................................
= ....................................

วชิ าคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

68

2. จงหาค่าฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ติ ่อไปน้ี

(1) tan (– 38) = …………………… = ………………
= …………………… = ………………
(2) cos  −   = …………………… = ………………
 4  = …………………… = ………………

(3) sin  − 3 
 2 

(4) sec (– 2)

(5) tan (– ) = …………………… = ………………

(6) cosec (–130) = …………………… = ………………

(7) cot  − 5  = ………………
 6  = ………………
= …………………… = ………………

= ………………
= ………………

3. จงหาค่าต่อไปน้ี

(1) 2 sin  −   + 4 cos  −   = ………………………….………
 6   3 
= ……………………………….…
= …………………………….……

(2) tan (−45 ) sec (−60 ) = ………………………………….
= ………………………..………...
cosec2 (−30 ) = ……….…………………………

(3) 5 sin2  −   – 3 cos2 (–) = ………………………..…………
 2  = …………………………………..
= …………………………………..

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

69

4. จงพสิ จู น์เอกลกั ษณ์ตรโี กณมติ ติ ่อไปน้ี =1
(1) sin2  + sin2  cot2  = ………………………………….
= ………………………………….
วิธีทา sin2  + sin2  cot2  = ………………………………….
= ………………………………….

(2) cos  (tan  + cot ) = cosec 
วิธีทา cos  (tan  + cot ) = ………………………………….
= ………………………………….
= ………………………………….
= ………………………………….
= ………………………………….

(3) cos ec2  = cot2 
วิธีทา 1+ tan2 
= ………………………………….
cos ec2  = ………………………………….
1+ tan2  = ………………………………….
= ………………………………….
. = ………………………………….

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

70

5. จงเขยี นกราฟ เฉพาะคาบท่ี 1 และหาแอมพลจิ ดู และคาบของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี
(1) y = 2 sin 3 (ให้  มหี น่วยเป็นเรเดยี น)

วิธีทา
 ……. ……. ……. ……. …….
3 ……. ……. ……. ……. …….

y = 2 sin 3 ……. ……. ……. ……. …….

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = 2 sin 3 มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

Y

จากกราฟของ y = 2 sin 3
จะได้ แอมพลจิ ดู = ……. หน่วย
และ คาบ = ……. เรเดยี น
0 X () หรอื = ……. องศา

(2) y = 3 cos 2 (ให้  มหี น่วยเป็นองศา)
วิธีทา

 ……. ……. ……. ……. …….
2 ……. ……. ……. ……. …….
y = 3 cos 2 ……. ……. ……. ……. …….

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = 3 cos 2 มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

Y

จากกราฟของ y = 3 cos 2
จะได้ แอมพลจิ ูด = ……. หน่วย
และ คาบ = ……. องศา
0 X () หรอื = ……. เรเดยี น

วชิ าคณิตศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

71

(3) y = 3 sin  (ให้  มหี น่วยเป็นองศา)

2

วิธีทา

 ……. ……. ……. ……. …….

 ……. ……. ……. ……. …….

2

y = 3 sin  ……. ……. ……. ……. …….

2

นาคอู่ นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = 3 sin  มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

2

Y

จากกราฟของ y = 3 sin 

2

จะได้ แอมพลจิ ดู = ……. หน่วย

0 X () และ คาบ = ……. องศา

หรอื = ……. เรเดยี น

(4) y = 2 cos  (ให้  มหี น่วยเป็นเรเดยี น)
วิธีทา
2

 ……. ……. ……. ……. …….
 ……. ……. ……. ……. …….

2

y = 2 cos  ……. ……. ……. ……. …….

2

นาค่อู นั ดบั (, y) ของฟังกช์ นั y = 2 cos  มาเขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

2

Y

จากกราฟของ y = 2 cos 

2

จะได้ แอมพลจิ ดู = ……. หน่วย

0 และ คาบ = ……. เรเดยี น

X()
หรอื = ……. องศา

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

72

2.8 กฎของไซน์และโคไซน์

กฎของไซน์และโคไซน์ เป็นกฎทางคณิตศาสตรท์ น่ี ามาใชห้ าความยาวของดา้ นหรอื
ขนาดของมุมของรูปสามเหลย่ี มใดๆ ซง่ึ จะกลา่ วถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างความยาวของดา้ น
ขนาดของมุมและฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ ของรปู สามเหลย่ี ม ดงั น้ี

2.8.1 กฎของไซน์

กฎของไซน์ รปู สามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ ม
มุม A, B และ C ตามลาดบั จะได้

a =b= c
sin A sin B sin C

พสิ จู น์กฎของไซน์ C

C

b ha b
ah

A cD BA c BD
(2)
(1)

รปู 2.14

ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มใดๆ รปู 2.14 (1) มุม B เป็นมมุ แหลม
รปู 2.14 (2) มุม B เป็นมุมป้าน

พจิ ารณารปู  มุมฉาก ACD จากรูป 2.14 (1) และ 2.14 (2)

จะได้ h = b sin A (เพราะว่า sin A = h )
พจิ ารณารปู  มุมฉาก BCD
b

จากรปู 2.14 (1) จะได้ h = a sin B (เพราะว่า sin B = h )
จากรปู 2.14 (2) จะได้
a
นนั่ คอื จะได้
h = a sin CBD (เพราะว่า sinCBD = h )

a

h = a sin (180– B)

h = a sin B

h = a sin B ทงั้ สองรปู

ดงั นนั้ a sin B = b sin A

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

73

หรอื a = b
sin A sin B

ในทานองเดยี วกนั ถา้ ลากเสน้ ตรงจากจดุ B ไปตงั้ ฉากกบั ดา้ น AC

จะได้ a = c

sin A sin C

สรปุ ไดว้ า่ a =b= c
sin A sin B sin C

กฎของไซน์ ใชห้ าสว่ นตา่ งๆ ของรปู สามเหลย่ี มเมอ่ื
1. กาหนดความยาวของดา้ นหน่งึ ดา้ น และขนาดของมมุ สองมุม
2. กาหนดความยาวของดา้ นสองดา้ น และขนาดของมุมตรงขา้ มกบั ดา้ น
ทก่ี าหนดใหห้ น่งึ มมุ

ตวั อยา่ ง 2.11 รปู สามเหลย่ี ม ABC มดี า้ น b ยาว 10 หน่วย มมุ A และมุม B มขี นาด
30 และ 70 องศาตามลาดบั จงหาขนาดของมมุ C และความยาวของดา้ น
ทเ่ี หลอื

วิธีทา

C

b = 10 a

A 30 70
B

c

C = 180– (30+ 70)
= 80 องศา
ขนาดของมุม C

โจทยก์ าหนดคา่ A, B และ b หาความยาว a

จากกฎของไซน์ a =b
sin A
sin B
a
sin 30 = 10

sin 70

a = 10.sin 30

sin 70

= 10  1
2

0.9397

ดงั นนั้ a  5.32 หน่วย

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

74

หาความยาว C c =b
จากกฎของไซน์ sin C
sin B
c
sin 80 = 10

c sin 70

ดงั นนั้ c = 10.sin 80

sin 70

= 10  0.9848

0.9397

 10.48 หน่วย

ตวั อยา่ ง 2.12 รปู สามเหลย่ี ม ABC มดี า้ น b และ c ยาว 5 และ 5 3 หน่วย ตามลาดบั
ถา้ มมุ B เท่ากบั 30 จงหาขนาดของมมุ A และมุม C

วิธีทา โจทยก์ าหนดคา่ b, c และ B หาขนาดของ C

จากกฎของไซน์ b =c
sin B sin C

5 = 53
sin 30 sin C

เน่อื งจาก sin C = 5 3 sin 30
จะได้
5

= 31

2

sin C = 3

2

sin 60 = sin 120 = 3

2

C = 60 หรอื 120

C

b=5 C/
b=5
A 30
B
c=5 3

ดงั นนั้ ถา้ C = 60 แลว้ A = 180– (30+ 60) = 90
หรอื ถา้ C = 120 แลว้ A = 180– (30+ 120) = 30

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

75

ตวั อย่าง 2.13 ABC เป็นรปู สามเหลย่ี ม ถา้ a = 2 6 หน่วย , b = 4 หน่วย
และ A = 60 จงหาขนาดของมุม B และ มมุ C

วิธีทา โจทยก์ าหนดค่า a, b และ A หาขนาดของ B

จากกฎของไซน์ a =b
sin A sin B

26 =4
sin 60
sin B

sin B = 4.sin 60

26

= 2 3

62

sin B = 1

2

เน่อื งจาก sin 45 = sin 135 = 1

2

จะได้ B = 45 หรอื 135

แต่ถา้ B = 135 แลว้ A + B = 60+ 135 = 195 ซง่ึ มากกวา่ 180

ทาใหห้ า C ไมไ่ ด้

ดงั นนั้ B = 45 และ C = 180– (60+ 45) = 75

2.8.2 กฎของโคไซน์

กฎของโคไซน์ รปู สามเหลย่ี ม ABC ใดๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ น
ตรงขา้ มมุม A, B และ C ตามลาดบั จะได้

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

พสิ จู น์กฎของโคไซน์ C

C

b ha b
ah

A cD BA c BD
(2)
(1)

รปู 2.15

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

76

พจิ ารณารปู  มมุ ฉาก BCD และรปู  ABC จากรปู 2.15 (1) ( AD = b cos A)
จะได้ a2 = h2 + DB2
= h2 + (c – AD)2

= h2 + c2 – 2cAD + AD2

= (h2+AD2) + c2– 2cb cos A
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

พจิ ารณารปู  มุมฉาก BCD และรปู  ABC จากรปู 2.15 (2)

จะได้ a2 = h2 + BD2
= h2 + (AD – c)2

= h2 + AD2 – 2cAD + c2

= (h2+AD2) + c2– 2cb cos A ( AD = b cos A)

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
ดงั นนั้ สรุปไดว้ า่ a2 = b2 + c2 – 2bc cos A ทงั้ สองรปู

และ ในทานองเดยี วกนั b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

กฎของโคไซน์ ใชห้ าสว่ นต่างๆ ของรูปสามเหลย่ี ม ดงั น้ี
1. หาความยาวของดา้ น เม่อื กาหนดความยาวของดา้ นสองดา้ น และขนาดของมุม

ระหวา่ งดา้ นทงั้ สอง
2. หาขนาดของมมุ เม่อื กาหนดความยาวของดา้ นสามดา้ น

ตวั อยา่ ง 2.14 รปู สามเหลย่ี ม ABC ถา้ a = 10 หน่วย , b = 8 หน่วย และ C = 60
จงหาความยาว c

วิธีทา

b=8 C
60 a = 10

Ac B

โจทยก์ าหนดค่า a, b และ C หาความยาว c

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

77

จากกฎของโคไซน์ c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

= 102 + 82 – 2(10)(8) cos 60

= 100 + 64 – 160  1 
 2 

= 164 – 80

c2 = 84

c= 84

ดงั นนั้ c  9.17 หน่วย

ตวั อย่าง 2.15 รปู สามเหลย่ี ม ABC มดี า้ น a, b, c ยาว 7, 13 และ 15 หน่วยตามลาดบั
จงหาขนาดของมุม B

วิธีทา

C

b = 13 a=7

A c = 15 B

โจทยก์ าหนดค่า a, b และ c หาขนาดของ B
จากกฎของโคไซน์ b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

จะได้ cos B = a2 + c2 − b2

2ac

= 72 + 152 − 132

2(7)(15)

= 49 + 225 − 169
210
=
cos B = 105
เน่อื งจาก cos 60 = 210
ดงั นนั้ B = 1
2
1
2

60

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

78

ตวั อยา่ ง 2.16 แรงสองแรงขนาด 6 นิวตนั และ 10 นวิ ตนั กระทาต่อวตั ถุ โดยทแ่ี รงทงั้ สอง
ทามุม 60 องศา จงหาขนาดของแรงลพั ธ์ และมุมระหวา่ งแรงลพั ธก์ บั แรง 6 นิวตนั

วิธีทา แรงเป็นปรมิ าณเวกเตอร์ จงึ สามารถเขยี นรปู แสดงแรงลพั ธจ์ ากแรงทงั้ สอง
ในลกั ษณะรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ไดด้ งั น้ี

DC

10 N

120 60

A 6N B

หาขนาดของแรงลพั ธ์ AC จากรปู  ABC
จากกฎของโคไซน์ AC2 = AB2 + BC2 – 2ABBC cos B

cos 120 = – cos 60 = 62 + 102 – 2(6)(10) cos 120
= 36 + 100 + 120 cos 60

= 136 + 120  1 
 2 
=
AC2 = 136 + 60
AC =
ดงั นนั้ แรงลพั ธม์ ขี นาด = 196

14

14 นิวตนั

หาขนาดของมมุ ระหว่างแรงลพั ธก์ บั แรง 6 นวิ ตนั จากรูป  ABC

จากกฎของไซน์ BC = AC

sin A sin B

10 = 14

sin A sin 120

sin A = 10 sin 120
sin 120 = sin 60 = 14

10 sin 60
14

= 10  3 ( 3  1.732)
sin A  14 2

0.6186

เน่อื งจาก A เป็นมุมแหลม จะได้ A  38 10

ดงั นนั้ แรงลพั ธท์ ามุม 38 10 กบั แรง 6 นวิ ตนั

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 6

79

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.3
ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติและการประยุกต์

ชอ่ื – นามสกลุ ________________________ ปี/สาขางาน/กลมุ่ ______________ เลขท่ี _____

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 1. หาความยาวดา้ นและขนาดของมุม ของรูปสามเหลย่ี มใดๆ จากกฎของไซน์
และโคไซน์ได้

1. จงใชก้ ฎของไซน์ หาความยาวดา้ นและขนาดของมมุ ของรปู สามเหลย่ี มใดๆ ต่อไปน้ี

รปู สามเหลย่ี มใดๆ กฎของไซน์

หาขนาดของมมุ B

………………………………………….

………………………………………….
C ………………………………………….

b=2 3 a = 6 ………………………………………….
………………………………………….

A 60 B ………………………………………….
………………………………………….

………………………………………….

C a=4 หาขนาดของมุม A
30 ………………………………………….
c=2 2 ………………………………………….
A ………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….

B ………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

80

รปู สามเหลย่ี มใดๆ กฎของไซน์
หาความยาว a
b=8 C
A 30 a ………………………………………….
45 B ………………………………………….
………………………………………….
C ………………………………………….
30 ………………………………………….
b ………………………………………….
………………………………………….
A c=3 120 B …………………………………………

หาความยาว b
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….
………………………………………….

2. ABC เป็นรปู สามเหลย่ี มใดๆ จงหาขนาดของ B และ C

เม่อื กาหนด a = 10 หน่วย, c = 18.2 หน่วย และ A = 30

วิธีทา ……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...
……………………………………………………………………………………...

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ุตสาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

81

3. จงหาพน้ื ทร่ี ปู  ABC โดยท่ี A = 63, B = 30 และ c = 18 หน่วย

วิธีทา เขยี นรปู  ABC

C

b a จากจุดยอด C ลากเสน้ ตรงตงั้ ฉากกบั
h ฐาน AB ทจ่ี ดุ D

63 ให้ CD มคี วามสงู = h
A D c = 18
30 B

หาความสงู h จากรูป  มุมฉาก BCD

…………………………………………………………………………..…………..
………………………………………………………………………….….………..
…………………………………………………………………….……….………..
……………………………………………………………………….……………...
……………………………………………………………………….……………...

หาความยาว a จากรปู  ABC

……………………………………………………………………….………….…..
……………………………………………………………………….…….………..
…………………………………………………………………….………………...
……………………………………………………………………….……………...
……………………………………………………………………….………….…..
………………………………………………………………………….……….…..
………………………………………………………………………….……….…..
………………………………………………………………………….……….…..
…………………………………………………………………………….…….…..

ดงั นนั้ ความสงู h = …………………………………………………….... หน่วย

พน้ื ทร่ี ูป  ABC = …………………………………….……..…..
= ……………………………………..…….…..
= ……………………………………………….. ตารางหน่วย

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

82

4. จงใชก้ ฎของโคไซน์ หาความยาวดา้ นและขนาดของมมุ ของรปู สามเหลย่ี มตอ่ ไปน้ี

รปู สามเหลย่ี มใดๆ กฎของโคไซน์

หาความยาว a

C ………………………………………………….
………………………………………………….

b=5 b=5 a ………………………………………………….

………………………………………………….

A 60 c=8 B ………………………………………………….
………………………………………………….

C หาความยาว b
………………………………………………….
b a=5 2 ………………………………………………….
………………………………………………….
A c=2 135 B ………………………………………………….
C ………………………………………………….
………………………………………………….
a=7
หาขนาดของมมุ A
A B ………………………………………………….
c=3 ………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….
………………………………………………….

หาขนาดของมุม C

C ………………………………………………….

………………………………………………….

b=5 a=4 ………………………………………………….
………………………………………………….

A ………………………………………………….
B ………………………………………………….
c = 21

วชิ าคณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

83

5. รปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD มดี า้ น AB และ AD ยาวเทา่ กบั 10 และ 8 หน่วยตามลาดบั มุม A มี
ขนาด 60 องศา จงหาผลรวมของความยาวเสน้ ทแยงมุมทงั้ สองของรปู สเ่ี หลย่ี ม

วิธีทา เขยี นรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน ABCD C

D

8

60 10 B
A

จากสมบตั ขิ องรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน
จะได้ A = C = …………..
และ B = D = …………..

หาความยาวเสน้ ทแยงมมุ BD จากรปู  ABD

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

หาความยาวเสน้ ทแยงมุม AC จากรปู  ABC

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

ดงั นนั้ ผลรวมของความยาวเสน้ ทแยงมุมสองเสน้ เท่ากบั ………………. = …………. หน่วย

วชิ าคณติ ศาสตรอ์ ตุ สาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

84

6. แรงสองแรงขนาด 16 นวิ ตนั และ 10 นวิ ตนั กระทาตอ่ วตั ถุ ทาใหเ้ กดิ แรงลพั ธ์ 14 นิวตนั
จงหาขนาดของมุมระหวา่ งแรงทงั้ สอง

วิธีทา เขยี นรปู สเ่ี หลย่ี มดา้ นขนาน แสดงแรงลพั ธท์ เ่ี กดิ จากแรงขนาด 16 นิวตนั และ 10 นิวตนั

DC

10 N 14 N

 

A 16 N B

ให้  เป็นมุมระหวา่ งแรงขนาด 16 นิวตนั และ 10 นวิ ตนั

หาขนาดของมุม 

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

ดงั นนั้ ขนาดของมุมระหวา่ งแรงขนาด 16 นิวตนั และ 10 นวิ ตนั เท่ากบั …………… องศา

วชิ าคณิตศาสตรอ์ ุตสาหกรรม (20000-1402) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

85

2.9 การหาระยะทางและความสงู โดยใช้ตรโี กณมิติ

ปัญหาเก่ยี วกบั การวดั ในเร่อื งระยะทางและความสูง บางครงั้ เราไม่สามารถท่จี ะนา
เคร่อื งมอื ไปวดั โดยตรงได้ เช่น การหาความสูงของภูเขา การหาระยะทางระหว่างอาคาร
สองหลงั ท่มี ีเนินเขากนั้ กลาง เป็นต้น จงึ ต้องนาความรู้เร่อื งตรีโกณมติ ิมาช่วยแก้ปัญหา
โดยใชห้ ลกั ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความยาวของดา้ นและขนาดของมุมจากรปู สามเหลย่ี ม

กรณีทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การสงั เกตวตั ถุ จะมมี มุ อยู่ 2 มุม คอื มุมก้ม และมุมเงย โดยมี
เสน้ ระดบั สายตาเป็นดา้ นเรม่ิ ตน้ ของมุม

•

รปู 2.16

ถา้ วตั ถุอย่ใู ตเ้ สน้ ระดบั สายตา มุมทไ่ี ดเ้ รยี กวา่ มุมกม้
ถา้ วตั ถุอย่เู หนือเสน้ ระดบั สายตา มุมทไ่ี ดเ้ รยี กวา่ มุมเงย
ขนาดของมุมกม้ และมุมเงย จะเป็นจานวนบวกเสมอ

ในเบอ้ื งตน้ จะเป็นการใชม้ ุมกม้ มุมเงย และอตั ราสว่ นตรโี กณมติ จิ ากรูปสามเหลย่ี ม
มมุ ฉาก มาประยุกตใ์ ชห้ าระยะทางและความสงู ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่าง 2.17 วริ ตั น์ยนื ห่างจากเสาธง 30 เมตร มองขน้ึ ไปยงั ยอดเสาธงเป็นมุมเงย

40 องศา จงหาความสงู ของเสาธง โดยไมค่ ดิ ความสงู ของวริ ตั น์

วิธีทา ให้ B เป็นจุดทว่ี ริ ตั น์ยนื มองยอดเสาธง
AC แทนความสงู ของเสาธง
C
จากรปู  มมุ ฉาก ABC

จะได้ tan 40 = AC

30

40 AC = 30 tan 40

A 30 . B AC = 30  0.8391
AC  25.17

ดงั นนั้ เสาธงมคี วามสงู ประมาณ 25.17 เมตร

วชิ าคณิตศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

86

ตวั อยา่ ง 2.18 นกั สารวจตอ้ งการทราบความกวา้ งของแม่น้า จงึ ใชต้ น้ ไมร้ มิ ฝัง่ ตรงขา้ ม
ในแนวตงั้ ฉากกบั จุดทต่ี นเองยนื อยเู่ ป็นจุดสงั เกต แลว้ เดนิ เรยี บรมิ ฝัง่ หา่ ง
จากจดุ เดมิ 40 เมตร มองไปยงั ต้นไมต้ น้ เดมิ วดั มุมระหว่างรมิ ฝัง่ กบั ตน้ ไม้
ได้ 65 องศา นกั สารวจจะประมาณความกวา้ งของแม่น้าได้เทา่ ใด

วิธีทา

ให้ A เป็นจดุ ทน่ี กั สารวจยนื ตรงขา้ มกบั จุด C (ตน้ ไม)้
C B เป็นจุดทน่ี กั สารวจยนื ครงั้ หลงั

AC แทนความกวา้ งของแมน่ ้า

65 จากรปู  มุมฉาก ABC

A 40 . B

จะได้ tan 65 = AC

40

AC = 40 tan 65

AC = 40  2.1445

AC  85.78

ดงั นนั้ นกั สารวจประมาณความกวา้ งของแม่น้าได้ 85.78 เมตร

ตวั อยา่ ง 2.19 จากหน้าผาซง่ึ สงู 68 3 เมตรเหนอื ระดบั น้าทะเล สมชายมองเหน็ เรอื

สองลาทอดสมออยใู่ นทะเลเป็นมุมกม้ 60 และ 30 จากเสน้ ระดบั
สายตาเดยี วกนั จงหาว่าเรอื ทงั้ สองลาอย่หู ่างกนั กเ่ี มตร
วิธีทา

C
30 60

68 3

A DB

ให้ C เป็นจุดทส่ี มชายยนื บนหน้าผา
AD แทนระยะหา่ งของเรอื ทงั้ สอง

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนิกส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7

87

เน่อื งจาก AB ขนานกบั เสน้ ระดบั สายตา
ดงั นนั้ CAB = 30 และ CDB = 60

จากรปู  มุมฉาก ABC
จะได้ tan A = 68 3

AB

tan 30 = 68 3

AB

1 = 68 3

3 AB

AB = 68 3  3
AB = 204

จากรปู  มมุ ฉาก BCD
จะได้ tan D = 68 3

DB

tan 60 = 68 3

DB

3 = 68 3

DB

DB = 68 3
DB
และ AD 3

AD = 68
= AB – DB
= 204 – 68
= 136

ดงั นนั้ เรอื สองลาอย่หู ่างกนั 136 เมตร

จากตัวอย่างดงั กล่าวข้างต้น เป็นการประยุกต์ใช้อัตราส่วนตรโี กณมิติ เพ่ือหา
ระยะทางและความสูงจากรูปสามเหล่ยี มมุมฉากเท่านัน้ แต่ในตวั อย่างต่อไป จะเป็นการ
ประยุกต์ใช้กฎของไซน์และโคไซน์ เพ่อื หาระยะทางและความสูงจากรูปสามเหล่ยี มใดๆ
ดงั น้ี

วชิ าคณติ ศาสตรไ์ ฟฟ้าและอเิ ลก็ ทรอนกิ ส์ (20000-1403) ครอู งอาจ หะรนิ สวสั ดิ ์ ประจาสปั ดาหท์ ่ี 7