Bab 1 F4

MODUL

Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir
Guru Matematik Tambahan
SMK Dato’ Seth

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

ULANGKAJI [BAB 8 : GRAF FUNGSI] Tarikh : ______________
8.1.1 Menerangkan maksud fungsi.

Hubungan ialah padanan unsur dari set A kepada set B. Hubungan dapat diwakili dengan menggunakan

a) Rajah Anak Panah b) Graf

c) Pasangan Tertib
P = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 6)}

2

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

3

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latihan. [Rujuk buku teks Tingkatan 2 m/s 150]

1. Diberi set P = {1, 2, 3} dan set Q = {4, 5, 6}. Fungsi, f yang memetakan set P kepada set Q ialah
menambah 3. Wakilkan hubungan di atas menggunakan

(a) pasangan tertib (b) jadual

(c) graf

(d) persamaan

2. Diberi set S = {10, 12, 18, 20} dan set R = {2, 4, 10, 12}. Hubungan dari set S kepada set R ialah
tolak 8. Wakilkan fungsi tersebut menggunakan

(a) pasangan tertib (b) jadual

(c) graf

(d) persamaan

4

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

3. Rajah menunjukkan hubungan antara set P dan set Q. Nyatakan
(a) jenis hubungan.

(b) julat hubungan itu.

4. Rajah menunjukkan satu fungsi. Nyatakan nilai b. Tunjukkan perwakilan anda dalam bentuk
persamaan.

5. Tentukan sama ada set pasangan tertib berikut ialah fungsi. (Guna perwakilan : Rajah Anak
Panah)

(a) P = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} (b) Q = {(1, 3), (0, 3), (2, 1), (4, 2)}

(c) R = {(1, 6), (2, 5), (1, 9), (4, 3)} d) S = {(2, 3),(0, 3), (3, 7), (5, 0)}

20

5

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Tarikh : ______________

Standrad Pembelajaran :Menerangkan fungsi menggunakan perwakilan grafik dan tatatanda.

FAHAMKAN : 1) Hubungan objek yang dipetakan kepada imej adalah FUNGSI atau PEMETAAN.
2) Satu FUNGSI itu, SETIAP OBJEK ada unsur yang memetakan HANYA kepada
SATU IMEJ sahaja.
3) OBJEK TIDAK BOLEH memetakan lebih dari SATU IMEJ. Tetapi IMEJ boleh
dipetakan LEBIH DARIPADA SATU OBJEK. (rujuk nota ulangkaji)

Adakah hubungan yang berikut suatu fungsi? Jelaskan. Penyelesaian
Rajah anak panah

6

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Rajah anak panah Penyelesaian

Ujian Garis Mencancang :
1. Garis mencancang memotong graf hanya pada satu titik, maka hubungan itu merupakan fungsi.
2. Garis mencancang itu tidak memotong mana-mana titik pada graf atau memotong lebih
daripada satu titik, maka graf itu bukan fungsi.

Nota: nilai x mewakili objek dan nilai-nilai y mewakili imej.

Antara graf berikut, yang manakah menunjukkan fungsi?

Graf Fungsi Penyelesaian

7

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Graf Fungsi Penyelesaian

Contoh 2(a) .

Graf bagi fungsi ( )

 Dari graf, apabila , x menghampiri 1

sebelah kiri [ nilai negatif]

 () , iaitu nilai f (x) semakin kurang tanpa

sempadan.

 Dari graf, apabila , x menghampiri 1

sebelah kanan[ nilai positif]

 () , iaitu nilai f (x) semakin meningkat

tanpa sempadan.

 Graf menghampiri nilai 1 tetapi tdak menyentuh

garis x = 1.

 Fungsi tidak tertakrif pada x = 1.

Contoh 2 (b)

Graf bagi fungsi nilai mutlak f (x) = |x + 1|. Ungkapan nilai mutlak |x| ialah nilai berangka bagi x dan
ditakrifkan oleh:

 Fungsi yang ditakrifkan oleh f (x) = |x|
mempunyai graf berbentuk V dengan
bucu pada (0, 0)

 |x| dibaca sebagai “modulus bagi x”.

8

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Berdasarkan rajah di sebelah, tulis hubungan bagi fungsi g
menggunakan tatatanda fungsi

Penyelesaian:

Latih Diri 1.1.
1. Nyatakan sama ada hubungan yang berikut ialah fungsi atau bukan. Beri alasan anda.

9

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

2. Tentukan sama ada graf yang berikut ialah fungsi atau bukan dengan menggunakan ujian garis
mencancang.

3. Dengan menggunakan tatatanda fungsi, ungkapkan h dalam sebutan x bagi setiap gambar rajah
anak panah yang berikut.

10

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Tarikh : ______________

Standard Pembelajaran : Menentukan domain dan julat bagi suatu fungsi

INKUIRI 1 Tips :
Tujuan: Meneroka domain dan julat suatu fungsi diskret dan selanjar  Tuliskan persamaan linear dua
Situasi I:
pemboleh ubah.
 Gantikan nilai x dalam persamaan.
 Ingat f(x) adalah paksi-y dalam

persamaan garis lurus y =mx + c

Fungsi y = 18x mewakili harga tiket, dalam RM, bagi x
keping tiket yang dibelioleh sebuah keluarga untuk
menonton tayangan fi lem. Lukiskan graf fungsi untuk
pembelian 1 hingga 5 keping tiket.

x
f(x)
(x, y)

Situasi II:
Sebungkus bertih jagung mengandungi 60 kalori. y kalori
adalah fungsi bagi bilangan x bungkus bertih jagung yang
dimakan. Lukiskan graf bagi fungsi untuk pembelian 1
hingga 4 bungkus bertih jagung.

x
f(x)
(x, y)

11

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Situasi III: Tips :
Hilal berbasikal sejauh 100 m dari rumah rakannya dengan  Formula
laju 10 m s–1. Dengan laju yang sama, Hilal ke rumah
rakannya semula untuk mengambil buku yang tertinggal.
Lengkapkan graf jarak-masa bagi perjalanan Hilal.
Laju =

x
f(x)
(x, y)

Nota: Titik-titik pada graf fungsi diskret adalah nyata dan terpisah serta tidak bersambung dengan garis
 atau lengkung.
Pada graf fungsi selanjar pula, titik-titik disambungkan dengan garis lurus atau lengkung dalam
 selang tertentu.
Jadi, Situasi I mewakili fungsi diskret manakala Situasi II dan III mewakili fungsi selanjar.


 Domain bagi suatu fungsi ialah set nilai x yang mungkin, yang membuatkan suatu fungsi tertakrif
 Julat pula ialah set nilai y yang diperoleh selepas menggantikan semua nilai x yang mungkin itu.

12

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

 Nilai-nilai x yang boleh digantikan ke Domain = {1, 2, 3, 4}
dalam f dinamakan domain. Kodomain = {3, 5, 7, 9, 11}
Julat = {3, 5, 7, 9}
 Set unsur dalam Y, iaitu nilai-nilai yang
mungkin muncul bagi fungsi f
dinamakan kodomain.

 Set unsur dalam Y yang dipetakan dari
X, iaitu nilai-nilai yang sebenarnya
muncul bagi fungsi f dinamakan julat.

Tentukan domain, kodomain dan julat bagi setiap fungsi f yang berikut.

Domain Domain Domain
Kodomain Kodomain Kodomain

Julat Julat Julat

Fungsi f ditakrifkan oleh . Lakarkan graf bagi f untuk domain dan

nyatakan julat f yang sepadan untuk domain itu.

Penyelesaian

x
y = f(x) =

(x, y)

13

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih Diri 1.2.
1. Tentukan domain, kodomain dan julat bagi setiap fungsi yang berikut.

Domain Domain Domain
Kodomain Kodomain Kodomain

Julat Julat Julat

Contoh:
Bina satu jadual nilai bagi fungsi y = 2x2 – 1, bagi nilai x = –1 hingga 2.

INGAT
Nilai Mutlak merujuk kepada jarak nombor dari 0, jarak positif sebagai nilai mutlak nombor
tidak boleh negatif.
Nilai mutlak adalah sejauh mana dari 0 angka itu tanpa mengira arah.

14

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

2. Lakarkan graf fungsi yang berikut untuk domain . Seterusnya, nyatakan julat yang
sepadan dengan domain yang diberi.

a)

x 2 10 1
y = f(x) = 234

(x, y)

x
y = f(x) =

(x, y)

b) 2 10 1
234
x
y = f(x) = 2 10 1
234
(x, y)

x
y = f(x) =

(x, y)

c)
x

y = f(x) =
(x, y)

x
y = f(x) =

(x, y)

15

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Tarikh : ______________

Standard Pembelajaran : Menentukan imej suatu fungsi apabila objek diberi dan sebaliknya

, ,

Jika x = 0, f (x) adalah tidak Andaikan nilai-nilai yang mungkin
tertakrif. bagi x.

Pembuktian: x 3 2 10 1

f (x) = 3x + f(x) 2 1 2

f (0) = 3(0) + [sila semak jawapan anda
menggunakan kalkulator]
[sila semak jawapan anda
menggunakan kalkulator] Maka nilai k = 3 yang menghasilkan
f (x) tidak tertakrif.

Fungsi f ditakrifkan oleh . Cari
(a) f (5),
(c) nilai-nilai x yang mungkin apabila imejnya
ialah 8.

(b) imej bagi di bawah f,

16

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada graf f (x) = | 2x – 3 |, cari
(a) nilai bagi f (–2) dan f (4),

(b) nilai-nilai x dengan keadaan f (x) = 5, (c) nilai-nilai x yang memetakan kepada diri
sendiri,

(d) domain bagi f (x) < 1, (e) domain bagi f (x) 3.

Contoh latih diri 1.3 6 INGAT!!!
4. Diberi g(x) = |6 – 2x|, cari nilai-nilai x jika g(x) = x. 6 Nilai mutlak tiada
sempadan. Jika hasil suatu
Penyelesaian: fungsi adalah negatif, maka
Andaikan nilai-nilai yang mungkin bagi x. jawapan akhir fungsi
tersebut adalah positif.
x012345
g(x) 6 4 2 0 2 4 g(6) = | – 6 |
g(6) = 6
Pengiraan Pengiraan
g(x) = | 6 – 2x | g(x) = | 6 – 2x | 17
g(2) = | 6 – 2(2) | g(6) = | 6 – 2(6) |
=|6–4| = | 6 – 12 |
=|–6|
=|2|
=6
=2

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih Diri 1.3 ,
1. Fungsi g ditakrifkan oleh
(b) Diberi imej bagi b ialah 2b, cari nilai-nilai
(a) Cari nilai bagi – 5, – 2 dan yang mungkin bagi b.

2. Fungsi g ditakrifkan oleh , . Cari nilai k dengan keadaan
(a) h(2) = 5 (b) h(3) = k (c) h(k) = k

3. Fungsi f ditakrifkan oleh f : x | 4x – 3 |, hitung

(a) f (–2) dan f ( ) (b) nilai-nilai x dengan keadaan f (x) = 1

(c) domain bagi f (x) < 1 (d) domain bagi f (x) > 5

18

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

5. Fungsi f ditakrifkan oleh f : x mx + c. Diberi f (2) = 7 dan f (4) = –1, cari

(a) nilai m dan nilai c [tip: Persamaan serentak] (b) imej bagi 2 di bawah f [tip: guna persamaan (a)]

(c) nilai x yang tidak berubah di bawah
pemetaan f. [tip: guna persamaan (a)]

Latihan Intensif 1.1

19

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

20

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Tarikh : ______________

Standard Pembelajaran : Memerihalkan hasil gubahan dua fungsi
Menentukan fungsi gubahan

Bagaimana percantuman fungsi-fungsi yang diberi?
Katakan fungsi f mengambil x dan menjadikan f(x) manakala fungsi g mengambil x dan menjadikan g(x).
Kesan dua fungsi bertindak bersama dikenali sebagai fungsi gubahan.

1. Fungsi f bertindak dahulu, diikuti fungsi g; maka
Gambarajah anak panah;

2. Fungsi g bertindak dahulu, diikuti fungsi f; maka
Gambarajah anak panah;

21

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Rajah anak panah bagi suatu fungsi gubahan
Secara algebra, fungsi gubahan fg(x) boleh ditentukan seperti berikut:

Dua fungsi ditakrifkan oleh f : x 2x dan g : x x2 – 5. Tentukan fungsi gubahan yang berikut.

(a) fg (b) gf

(c) f 2 (d) g2

22

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih diri 1.4

1. Dalam gambar rajah anak panah di sebelah,
fungsi f memetakan set P kepada set Q dan
fungsi g memetakan set Q kepada set R.
Tentukan

(a) fungsi f, (b) fungsi gf.

2. Untuk setiap pasangan fungsi berikut, dapatkan ungkapan dalam bentuk tatatanda fungsi bagi fg, gf,
f 2 dan g2.

(a) f : x → 3x, g : x → 3 – x iii) f 2
i) fg

ii) gf iv) g 2

23

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

(b) f : x → 4 + 2x, g : x → x2 iii) f 2
i) fg

ii) gf iv) g 2

(c) f : x → x + 4, g : x → , x ≠ 0 iii) f 2
i) fg

ii) gf iv) g 2

24

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

(d) f : x → x – 5, g : x → ,x≠1 iii) f 2
i) fg

ii) gf iv) g 2

3. Dua fungsi f dan g ditakrifkan oleh f : x → 3x + 4 dan g : x → x2 + 6. Cari ungkapan bagi fg dan gf,
kemudian cari nilai-nilai x apabila

fg(x) gf(x)

(a) f = g (b) fg = gf

25

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Standard Pembelajaran : Menentukan imej atau objek bagi suatu fungsi gubahan

Jika f : x → x – 1 dan g : x → x2 – 3x + 4, cari (b) nilai-nilai x apabila fg(x) = 7
(a) fg(2) dan gf (1),

Latih diri 1.5 , x ≠ 1, cari fg(3). (b) f : x → 5x + 6 dan g : x → 2x – 1, cari gf ( )
1. Diberi dua fungsi f dan g.
(a) f : x → 2x + 1 dan g : x →

(c) f : x → , x ≠ 3 dan g : x → , x ≠ 2, (d) f : x → x2 – 4 dan g : x → , x ≠ 2,
cari f 2(4) dan g2 ( ) cari f 2(–1) dan g2(1).

26

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Standard Pembelajaran : Menentukan suatu fungsi apabila fungsi gubahan dan salah satu fungsinya
diberi

Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → x – 2. Cari fungsi g dalam setiap yang berikut.

(a) fg : x → 8x – 7 (b) gf : x → x2 + 3x – 5

Latih Diri 1.6

1. Diberi fungsi f dan fungsi gubahan fg, tentukan fungsi g bagi setiap yang berikut.

(a) f : x → x – 3, fg : x → 2x2 – 4x + 7 (b) f : x → x2 + 1, fg : x → x2 + 4x + 5

2. Diberi fungsi f dan fungsi gubahan gf, tentukan fungsi g bagi setiap yang berikut.

(a) f : x → x + 1, gf : x → x2 – 2x – 3 (b) f : x → x2 + 3, gf : x → 2x2 + 3

27

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Standard Pembelajaran : Menyelesaikan masalah melibatkan fungsi gubahan

Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → , x ≠ 0.

(a) Ungkapkan f 2 (x), f 3 (x) dan f 4 (x) dalam bentuk yang paling ringkas.

f 2 (x) f 3 (x) f 4 (x)

(b) Seterusnya, cari f 22(x) dan f 33(x).

Jumlah pengeluaran barangan sehari, q, oleh sebuah kilang bergantung kepada bilangan pekerja, n, dan
fungsinya dimodelkan oleh q(n) = 10n – n2. Jumlah pendapatan sehari, r, dalam RM, yang diterima
daripada jualan q barangan pula dimodelkan oleh fungsi r(q) = 40q. Tentukan jumlah pendapatan kilang
itu dalam masa sehari jika bilangan pekerja ialah 20 orang.
Salin melaksanakan strategi

28

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih Diri 1.7

(a) Ungkapkan f 2 (x), f 3 (x) dan f 4 (x) dalam bentuk yang paling ringkas.

f 2 (x) f 3 (x) f 4 (x)

(b) Seterusnya, tuliskan fungsi bagi f 20dan f 23.

(a) Ungkapkan f 2 (x), f 3 (x) dan f 4 (x) dalam bentuk yang paling ringkas.

f 2 (x) f 3 (x) f 4 (x)

(b) Seterusnya, tuliskan fungsi bagi f 40(2) dan f 43(2).

29

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Standard Pembelajaran : Memerihalkan songsangan suatu fungsi

Dalam gambar rajah anak panah, fungsi f memetakan x kepada y. Tentukan
(a) f –1 ( )

(b) f –1(5)

Suatu fungsi ditakrifkan sebagai f (x) = , x ≠ 4. Tentukan
(a) imej bagi 2 di bawah f,

(b) f –1(3).

30

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih Diri 1.8

1. Dalam gambar rajah anak panah di sebelah, fungsi f memetakan x kepada y. Cari

(a) f (4) (b) f –1(–1)

(c) f –1(2) (d) f –1(–5)

(a) g(12) (b) g –1(4)
(c) h(–1) (d) h–1(9)

31

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Standard Pembelajaran : Membuat dan mengesahkan konjektur berkaitan sifat-sifat fungsi songsang

32

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Tentukan sama ada setiap fungsi f berikut mempunyai fungsi songsang atau tidak. Berikan sebab bagi
jawapan anda.

Sahkan kebenaran bahawa fungsi f (x) = 3 – 2x mempunyai fungsi songsang, g(x) = .
33

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Fungsi f ditakrifkan oleh f : x → x2 – 6 untuk domain 0 x 4. Pada satah yang sama, lakarkan graf bagi
f dan f –1. Seterusnya, nyatakan domain bagi f –1.

Rajah di sebelah menunjukkan graf y = f (x) yang melalui titik P(1, 0) dan Q(3, 6). Pada rajah yang sama,
lakarkan graf y = f –1(x) dengan menunjukkan titik-titik yang sepadan dengan titik P dan titik Q.

34

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih Diri 1.9

2. Adakah fungsi f dan g berikut ialah fungsi songsang antara satu sama lain? Sahkan kebenarannya
dengan menggunakan hubungan fg(x) = gf (x) = x.

3. Fungsi f ditakrifkan sebagai f : x → x 3 untuk domain –1 x 2. Pada satah yang sama, lakarkan
graf bagi f dan f –1. Seterusnya, nyatakan domain dan julat bagi f –1.
35

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Standard Pembelajaran : Menentukan fungsi songsang

Jika f : x → 5x + 2, cari (b) f –1(7)
(a) f –1(x)

36

Disediakan oleh : Cikgu Nor Shafarina Binti Sakir Matematik Tambahan Tingkatan 4

Latih Diri 1.10
1. Cari f –1 bagi setiap fungsi satu dengan satu yang berikut.

37