Buku Matematika Umum SMA Kelas 11

MATRIKS

E. Menyelesaikan Persamaan Matriks

Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan
persamaan matriks. Ada dua macam rumus dasar menyelesaikan persamaan
matriks, yaitu :
(1) Jika A x B = C maka B = A  1 x C
(2) Jika A x B = C maka A = C x B 1
Bukti :
(1) Jika A x B = C maka A 1 x A x B = A 1 x C

I x B = A1 x C
B = A1 x C

(2) Jika A x B = C maka A x B x B 1 = C x B 1
A x I = C x B1
A = C x B1

Untuk lebih memahami rumus diatas, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Diketahui matriks A= 2 3 dan C= 3 1 maka tentukanlah matriks B
3 4 - 2 - 5

jika B x A = C
Jawab
BxA=C

B = C x A1

B= 3 1 x 1 4  3
- 2 - 5 8 - 9  3 2 

B= 3 1 x  4  3
- 2 - 5 1 3 
2 

B= 3 1 x  4 3
- 2 - 5   2
 3

B= 12  3 92 
 8 15  6  10

B =  9 7
 7 4

Matriks 1

2  1 3 2 dan D= 0 4 maka tentukan matriks B
02. Diketahui A = 4  3 , C = 2 1  2 2

jika A x C x B = D

Jawab

AxCxB=D

C x B = A1 x D

B = C1 x A1 x D

B = 1 1  2 x 1  3 1 x 0 4
3  4  2   6  4  4 2  2 2
3 

B =  1  2 x  1  3 1 x 0 4
1 2 3  2  4 2  2 2

B = 1 1  2 x  3 1 x 0 4
2  2   4 2  2 2
3 

B = 1  3  8 14  x 0 4
  2  6  2 2
2  6  12

B = 1 5  3 x 0 4
2  6 4   2 2

B = 1 0  6 20  6 
2 0  8  24  8

B = 1 6 14 
2  8  16

B = 3 7
 4  8

03 Diketahui B=  2 3 dan C= 1  4 . Jika (A 1.B) 1 = C maka matriks A
 0 4 2 2 

adalah …

Jawab

(A 1.B) 1 = C

B 1 x (A  1) 1 = C

B 1 x A = C

B x B 1 x A = B x C
IxA=BxC
A=BxC

A= - 2 3 x 1 - 4
 0 4 2 2 

Matriks 2

A= - 2  6 8  6
 0  8 0  8

A = 4 14
8 8 

04. Jika A = 6 4 , C = 2 1 dan D =  2 0 , serta (A 1x .C) 1( A  1 x B) = D
2 8 5 3  1 4

maka tentukanlah matriks B
Jawab

(A 1x .C) 1( A  1 x B) = D

C 1 (A- 1 )  1 A  1 B = D

C 1 A A1 B = D

C 1 I B = D

C 1 B = D
B=CxD

B= 2 1 x - 2 0
5 3  1 4

B=  41 04
 10  3 0  12

B=  3 4
 7 12

Kegunaan lain dari invers matriks adalah untuk menentukan penyelesaian sistim
persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan persamaan
matriks, yaitu :

Jika a1x + b1y = c1 maka aa12 b1  x = cc12 
a2x + b2y = c2 b2   y 
  

x = ad 1 bc ba22  b1  cc12 
y  a1  
 

Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier

juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah :

Jika matriks A = a b a b = ad – bc. Sehingga
c d maka det(A) = d

c

Matriks 3

a1x + b1y = c1 ab
Jika a2x + b2y = c2 maka D = 1 1 = a1b2  b1a 2
a
b
22

Dx = c1 b1 = c1b2  b1c2
c2 b2

ac
Dy = 1 1 = a1c2  c1a 2

a c
22

Maka x = Dx dan y = D y
D D

Untuk lebih jelanya, ikutolah contoh soal berikut ini:

05. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x – 3y = 8 dan x + 2y = –3

dengan metoda:

(a) Invers matriks (b) Determinan

Jawab maka 2  3  x 8
2x – 3y = 8 1 2   y   3
x + 2y = –3

(a) Dengan metoda invers matriks diperoleh

2  3  x = 8
1     3
2  y 

x = 1 2 3  8 
  4  (3)  1 2  3
 y 

x = 12 3  8 
 y 7  1 2  3

x = 1 16  9 
 y 7  8  6

x = 1 7 
  7  14
 y 

x  1 
 y =  2

Jadi x = 1 dan y = –2

(b) Dengan metoda determinan matriks diperoleh

2  3 = (2)(2) – (–3)(1) = 4 + 3 = 7
D=
12

Dx 8  3 = (8)(2) – (–3)( –3) = 16 – 9 = 7
=
2
3

2 8 = (2)( –3) – (8)(1) = –6 – 8 = –14
Dy =
1 3

Matriks 4

Maka x = Dx = 7 = 1
D7

y = D y =  14 = 2
D7

06. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan y = 1 x + 5 dan x + 6 = 2 y
23

dengan metoda:

(a) Invers matriks (b) Determinan

Jawab

y = 1 x + 5 (2) 2y = x + 10 –x + 2y = 10
2

x + 6 = 2 y (3) 3x + 18 = 2y 3x – 2y = –18
3

–x + 2y = 10
3x – 2y = –18

Maka

1 2 = (–1)(–2) – (2)(3) = 2 – 6 = –4
D=
3 2

Dx 10 2 = (10)(–2) – (2)( –18) = –20 – (–36) = 16
=
2
18

Dy 1 10 = (–1)(–18) – (10)(3) = 18 – 30 = –12
=
18
3

Maka x = Dx = 16 = –4
D 4

y = D y = 12 = 3
D 4

(3) Sistem persamaan linier tiga variabel
a1x + b1y + c1z = d1

Jika a2x + b2y + c2z = d2 diperoleh nilai determinan :
a3x + b3y + c3z = d3

a1 b1 c1
D = a2 b2 c2 = a1.b2.c3 + b1.c2.a3 + c1.a2.b3 – c1.b2.a3 – a1.c2.b3 – b1.a2.c3

a3 b3 c3

d1 b1 c1
Dx = d2 b2 c2 = d1.b2.c3 + b1.c2.d3 + c1.d2.b3 – c1.b2.d3 – d1.c2.b3 – b1.d2.c3

d3 b3 c3

a1 d1 c1
Dy = a2 d2 c2 = a1.d2.c3 + d1.c2.a3 + c1.a2.d3 – c1.d2.a3 – a1.c2.d3 – d1.a2.c3

a3 d3 c3

Matriks 5

a1 b1 d1
Dz = a2 b2 d2 = a1.b2.d3 + b1.d2.a3 + d1.a2.b3 – d1.b2.a3 – a1.d2.b3 – b1.a2.d3

a3 b3 d3

Sehingga nilai x = Dx , y = Dy dan z = Dz
DD D

Untuk lebih jelanya, ikutolah contoh soal berikut ini:

07. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier

x + 2y + z = 2

x – y – 2z = –1 dengan menggunakan metoda determinan
x+ y– z = 3

Jawab

12 1 12 112
D = 1 1  2 = 1 1  2 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

D = (1)(–1)(–1) + (2)(–2)(1) + (1)(1)(1) – (1)(–1)(1) – (1)(–2)(1) – (2)(1)(–1)
D = 1–4+1+1+2+2
D=3

22 1 221 22

Dx = 1 1  2 = 1 1  2 1 1

3 1 1 3 1 1 3 1

Dx = (2)(–1)(–1) + (2)(–2)(3) + (1)(–1)(1) – (1)( –1)(3) – (2)(–2)(1) – (2)(–1)(–1)
Dx = 2 – 12 – 1 + 3 + 4 – 2
Dx = –6

12 1 12 112

Dy = 1 1  2 = 1 1  2 1 1
1 3 1 1 3 1 1 3

Dy = (1)(–1)(–1) + (2)(–2)(1) + (1)(1)(3) – (1)(–1)(1) – (1)(–2)(3) – (2)(1)(–1)
Dy = 1 – 4 + 3 + 1 + 6 + 2

Dy = 9

12 2 12 212

Dz = 1 1 1 = 1 1 1 1 1

11 3 11 311

Dz = (1)(–1)(3) + (2)(–1)(1) + (2)(1)(1) – (2)(–1)(1) – (1)(–1)(1) – (2)(1)(3)
Dz = –3 – 2 + 2 + 2 + 1 – 6
Dz = –6
Jadi x = Dx =  6 = –2

D3

Matriks 6

y = Dy =9 =3
D 3

z = Dz =  6 = –2
D 3

08. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier
x – 2y = –3

y+ z = 1 dengan menggunakan metoda determinan

2x + z = 1

Jawab

1 2 0 1 2 0 1 2

D =0 1 1= 0 1 1 0 1

2 0 1 2 0 12 0

D = (1)(1)(1) + (–2)(1)(2) + (0)(0)(0) – (0)(1)(2) – (1)(1)(0) – (–2)(0)(1)
D = (1) + (–4) + (0) – (0) – (0) – (0)
D = 1–4+0+0+0+0
D = –3

3 2 0 3 2 0 3 2

Dx = 1 1 1 = 1 1 1 1 1

1 01 1 011 0

Dx = (–3)(1)(1) + (–2)(1)(1) + (0)(1)(0) – (0)(1)(1) – (–3)(1)(0) – (–2)(1)(1)
Dx = (–3) + (–2) + (0) – (0) – (0) – (–2)
Dx = –3 – 2 + 0 – 0 – 0 + 2
Dx = –3

1 3 0 1 3 0 1 3

Dy = 0 1 1 = 0 1 1 0 1

2 1 1 2 1 12 1

Dy = (1)(1)(1) + (–3)(1)(2) + (0)(0)(1) – (0)(1)(2) – (1)(1)(1) – (–3)(0)(1)
Dy = ( 1) + (–6) + (0) – (0) – (1) – (0)
Dy = 1 – 6 + 0 + 0 – 1 – 0
Dy = –6

1 2 3 1 2 3 1 2

Dz = 0 1 1 = 0 1 1 0 1

20 1 20 120

Dz = (1)(1)(1) + (–2)(1)(2) + (–3)(0)(0) – (–3)(1)(2) – (1)(1)(0) – (–2)(0)(1)
Dz = (1) + (–4) + (0) – (–6) – (0) – (0)
Dz = 1 – 4 + 0 + 6 – 0 – 0
Dz = 3
Jadi x = Dx =  3 = 1

D 3

Matriks 7

y = Dy = 6 =2
D 3 = –1

z = Dz =3
D 3

Matriks 8

SOAL LATIHAN 05

E. Menyelesaikan Persamaan Matriks

01. Diketahui A = 3 5 dan C = 2 0 . Jika A.B = C maka matriks B = …..
- 1 - 2 4 - 1

A. - 24 5 B.  24 - 5 C. 24 - 14
 14 - 3 - 14 3  - 5 3 

D. 12 - 7 E. 12 - 6
- 5 2   5 1 

02. Diketahui B = 3 5 dan C = 2 4 . Jika A.B = C maka matriks A = …..
2 4 0 6

A. 0 3 B. 0 3 C. 0 1
- 6 12 2 1 - 6 9

D. 2 3 E. 2 3
- 6 1 5 4

03. Jika 2  3 x =  5 maka nilai x + y = ..
1 2  y  8 

A. 2 B. 3 C. 4

D. 5 E. 6

04. Diketahui A= 2 5 , B = 3 - 4 dan D= 2 0 . Jika A . B . C = D maka
1 2 2 - 2 - 4 6

matriks C adalah

A.  39 - 18 B.  39 - 48 C. 44 - 54
- 44 25  - 42 26  39 - 48

D. 24 - 36 E. 44 - 34
21 24  32 48 

05. Diketahui A= 2  1 , C= 1 2 dan D = 3 0 . Jika A . B . C = D maka
 3 3  2 5 6 9

matriks B adalah

A. 21 5 B. 19 - 7 C. 4 - 7
18 - 8 23 - 8 18 8 

D. 5 - 6 E. 10 8
20 18 - 7 15

Matriks 9

06 Diketahui A= 5 - 3 dan C= 3 2 . Jika (A 1.B) 1 = C maka matriks B adalah
0 1  2 1

A. - 11 19 B. 10 12 C. - 11 19
 2 - 3  5 3   12 8 

D. 10 15 E. - 10 10
 2 - 3  5 6 

07. Diketahui A = 2 0 , C= 0 - 1 dan D = 4 - 2 . Jika [(A 1.B) 1.C] 1 = D
1 3 2 1  0 1 

maka matriks B adalah …

A. 0 -2 B. 0 -4 C. 8 - 24
24 - 10 18 - 12 24 7 

D. 0 - 4 E. - 12 10
20 6   8 6 

08. Diketahui matriks A = 1 3 dan B = 5 7 . Jika A. (B.A)–1.X = A, maka matriks X
2 4 6 8

adalah ...

48 18 24 12 C. 30 18
A. 16 24 B. 18 32  12
 8
25 32
19 43 E. 36 40
D. 22 50

4 8 , Q = 5x 12 dan R = - 10 8 Jika P – Q = R-1, maka
09. Diketahui P = 3   1 3   6x .
- 4x   - 4

nilai dari 6x = …..

A. -3 B. -1/2 C. 1/2

D. 3 E. 6

1 2 3 1
10. Diketahui matriks A = 2 3 dan B = 1 0 . Maka matriks X yang memenuhi

persamaan X = (A x B) -1 x B -1 adalah …

- 2 5  -1 1 1 -1
A.  8 - 2 B.  5 9 C. 4 3 

1 - 3 E. -1 5 
D. 2   - 24
1   5

Matriks 10

11. Nilai 2x – y dari persamaan matriks 5 3x – 7 1 2y = 6 2  0 3 adalah
 y  1 2  2x 6   4 8  1 1

A. –7 B. –1 C. 1

D. 7 E. 8

12. Diketahui matriks K= k 1 , A= 2 ,B= 8 , C= 1 dan D = 6 . Jika KA = B,
m n 0  2 1 2

 2
KC = D nilai dari K  1  adalah ...

 6 5 6
A.  5  B.  4 C.  15

D. 12  E.  14
 5  7 

13. Diketahui matriks A= 1 2 dan B= 4 1 . Matriks C berordo 2 x 2 memenuhi
1 3 1 3

AC = B, determinan matriks C adalah ...

A. 12 B. 11 C. 9

D. 6 E. 1

Matriks 11