ไพรัช แบบ๊

. . tb

_ . .

. . . . . . .

. . .

iBD.G.BE

0ฅู๋. ะ
. . . .

. . . . . . . .

. .

ตรรกศาสต อ ?

กฎเกณ กฎเกณเ น ชา า วย หนด อเ นสาระ า ญ อความห อการใ เห ผลใน ตประ
และเห ผล การไ มา ของผล ภายใ น

สามารถส างเ น ปแบบ ดเจนจนใ ประโยช ในการส ปความ ความสมเห สมผล เ น ยอม บ นอ างกวางขวาง ตรรกศาสต เ นแ บท

ประ กางๆคของ ตศาสต แขนง
และการ

ประพจ ( Propositionslstatement)
อ ประโยคบอกเ าห อประโยคป เสธ เ นจ งห อเ จอ าใดอ างห งเ า น จใ กษรภาษา งกฤษ วเ กแทนประพจ เ น p.q.ms เ น น
วน อความ ป ง ขอ อง จะอ ใน ปของประโยคบอกเ า ไ เ นพจ

[× 1) 1- 2 ะ 4

,n

จะ เ นประพจ เพราะเ นประโยคบอกเ า เ นเ จ

2) เ ยให เ น งห ดห งของภาคเห อ

ตอบ เ นประพจ เพราะเ นประโยคบอกเ า เ นจ ง

3) ฝากเ อ าว วยนะ

ตอบ ไ เ นประพจ เเพราะ นประโยคขอ อง

4) เ อน มภา น 30 น

ตอบ เ นประพจ เพราะเ นประโยคบอกเ า เ นเ จ

5) ก ณา แ ดใ วย

ตอบ ไ ใ ประพจ เพราะเ นประโยคขอ อง 1 ง

6) 2 หาร วย 4 ไ ผล พ เ าใด

ตอบ ไ ใ ประพจ เเพราะ นประโยค ถาม

ำค็ป์น่ช่ม่ท์ธัล้ด้ด่ัสำค้ร็ป์น่ช่ม้ด้หิผำค้กุร็ท็ป่ีท่ล็ป์น็ปัวีม์ธัพุกืด้ร็ป์น็ป่ม้ด้ข้ืชิร็ป่ีท่ล็ป์น็ปืน่ึนัวัจ็ป่มีป็ท็ป่ีท่ล็ป์น็ปฺด์น็ป่ม่ีท่ลูรู่ย้รำค่ัสำคูร้ข่ส้ต็ป่ช์น็ลัตัอัอ้ช้ัน่ท่ึน่ย่ย็ทืริร็ป่ีทิฏืร่ลืค์น์ตุย่ต์ริณ่ม็ป์ร่ยักัร่ีท็ปุตุร์น้ชัช่ีทูร็ป้รัวำจิวีชุต้หืร้ขัคํส็ปืถำก่ีท์ฑ้ต้ดุต์ฑ้ด่ว่ีทิว็ปืค์ร

เการ อมประพจ

โดยปก เ อก าว ง ขอความ ห อประโยค น กจะ ก ยา มากก าห ง วแสดง าไ เประโยคเมา อม น

มากก า ห งประโยค ง น า ประพจ เมา อม น จะไ ประพจ ให งสามารถ ไบอก าเ นจ ง ห อเ นเ จ

วเ อมประพจ อ 5 ว และ วเ อม ใ นมากใน ตรรกศาสต อ และ ห อ า แ ว× × × อเ อ ไ

เ อม ญ กษ1.
" " p และ q เ า วย น คอย วเ อม ประพจ " " สามารถเ ยนแทนไ วย

และ การ และ

งpnq จะ าความจ ง เ นจ ง (T) เ อ p และ q า ความจ ง เ นจ ง (I ง นอก น าความจ งเ นเ จ (F)

ญ กษเ อม2."ห อ " การ
p และ 9 เ า วย น วย วเ อม ประพจ " ห อ " สามารถเ ยน แทนไ วย

เ อpvq งจะ า จความ ง เ น เ จ(F) p และq าความจ ง เ นเ จ¢-แทง นอก น าความจ งเ นจ ง(1T

เ อม ญ กษเ อมา แ ว3. "
×× × " p และ9 เ า วย น วย ว ประพจ วย" า แ× ×× ว" สามารถเ ยนแทนไ

การ

งp ะ 9 จะ าความจ งเ นเ จ (F) เ อ p เ นจ ง สา และ 9 เ น เ จ(Fi นอก น า ความจ ง เ นจ ง(I

เ อมประพจ ญ กษ4 "
. .. .. ×
อเ อ เ อม" p และ q เ า วย น วย ว " อเ อ" สามารถ เ ยน แทนไ วย
×× × การ

ง เ อpriq จะ าความ ง เ น ง (T) p และ9 า จความ ง ตรง น และจะ เาความจ ง น จ ง เ น จะ F)

เ อ p และฯ าความจ งตรงขาย น าความ ง ตรง น าม บประพจ นๆ

5. เสธของประพจ "ไ " เสธของ ประพจ ใด ๆ อ ประพจ

และสามารถเ ยนแทน เสธ ของ p ไ วย ~ p

กาย[ X. นอแนนว และ 2 เ น

ตอบ P^9

2) าฝ าแ วกบ อง

หมอบ
p→ q

3) รถจะ ด าฝนตกและ วม
rnttnre การ
rhrnrnene
/
ตอบ p → lqn า

4) ไ ใ Mltlme

ตอบ ~ p

กอบ5) µบนบานเ อเธอ านห ง อ

.mn#pML
g<→

\

ืสัน่อ่ืม่ีท่ช่ม้ข่ทำ้น้ถิต้ร้ลญฺน้ถ่จ็ป่ีค้ด้ดินีขัน์นัก้ขักิล่คีม่ีท์นืค์นิน่ม์นินักิร่คีม่ืม่ีท็ปิร็ปิร่คีมักิร่คีม่ืมิล็ปิว่คีม่ึซ์ณัลัส้ด้ดีข่ืม่ต็ก์น่ืชัต้ดัก้ด้ข่ืช่ืม่ต็กิร็ปิร่คีม้ัน็ท็ปิร็ป่ืม็ท็ปิร่คีม่ึซ์ณัลัส้ด้ดีข้ล้ถ์น่ืชัต้ดัก้ด้ข่ืช้ล้ถิร็ปิร่คีม้ันู่ค็ท็ปิร่คีม่ืม็ท็ปิร่คีม่ึซ์ณัลัส้ด้ดีขืร์น่ืชัต้ดัก้ด้ข่ืชืร็ท็ปิร่คีม้ันู่ค้ัทิร็ปิร่คีม่ืมิร็ปิร่คีม่ึซ์ณัลัส้ด้ดีข์น่ืชัตัก้ด้ข่ืช่ม่ืม่ต็ก้ล้ถืรืค์รัก้ช่ีท่ืชัตัตู่ยีม์น่ืชัต็ท็ปืริร็ป่ว้ด่ึซ่ม์น้ด็กัก่ืช์นำน้ถ้ันัด่ึน่วัก่ืชำน้ด่วัต่ึน่วิรีมัม้ันืรึถ่ล่ืมิต์น่ืช

ประพจ สม ล น

ประพจ 2 จะ สม ล น อเ อ ประพจ งสอง า จความ ง เห อน น กกร ของ จาความ งของประพจ อย

การทดสอบ าประพจ 2 ประพจ สม ล น ไ 2 อ

I. ส าง ตาราง า ความจ ง าความจ ง องตรง น กกร

ป2.ใ แบบประพจ สม ล

ป แบบ ประพจ สม ล น ญ
5.) การ แจง เห
Idempotent1.) การ เ นการ บ วเอง c ง ผล CImplication)

P ^ p Ep , pvp ÷ p pvqp q> - ~
=
2.) การ ส บ c Commutative ง
b.) การ แ ง ส บ c Contrapositive)

pnq ± qnp , pvq ± qvp p q q× ± ~ ง np

ห3.) การ ด c Associative) 7.) เดอมอ แกน c De Morgan )

( pnq) การ ± p ^ Cqnr ) ~ cpnq ) ± - pvnq
Cpvq] Vr ± pvcqvr )
4.) การแจกแจง c Distributive) ~ Cpvq] ± p~ ก nq

p ^ Cqvr) ± cpnq) v Cpnr) 8.) สม ล CEquivalence)
pv Cqnr] ± cpvq) ncpvr )
p < ง q ± Cp → q) ก Cq > p ]

[ X. 1) p → lq → r ) บ q → lp → r )

Sol " lqp → pv)→ r ± ~ ( ~qvr )

± ~qv ( ~ pvr )

Eq → lp → r )

Eqi. p → lq → r) lp→ → r )

lp2) ~ → ~ 9) บ pnlp →9)

Sol" pnlp → g) ± pnkpv g)

± lpn ~ p) vlpnql

E f v ( p^9)

Epnq

± (~ ~ pv ~ 9)

g)( p± ~
→~

i. ~ lp → ~ g) ± pnlp → g) x

ักักูม์รู่มัจ่ีทัล้ย่ีทัลู่สุตัตักินำดัคำส่ีทักูม่ีท์นูรูม่ีท์นูร้ชีณุทัก้ติร่คิร่ค้รืคีธิว้ดำทักูม์น์น่ว่ย์นิร่คีณุทักืมิร่คีม้ัท์น่ืม่ต็กักูม์นักูม่ีท์น

ประพจ เ น เสธ น

ประพจ 2 ประพจ เ น เสธ น อเ อ ประพจ งสอง าความจ ง ตรง น าม น กกร ของ าความจ งของประพจ อย
วอ างประพจ เ น เสธ น ควรทราบ ง

1) ~ ( pn g) ± ~pv ~ q

2) ~ ( pv g) ± ~ pn ~q

3) ~ Cp → g) ± pn ~q

Cp g)4) ~<→Cp 9) Cq p)±
<→ ~ v <→ ~

5) (p~ <→ g) ± lp ^ ~9) v Cqn ~ p )

[ 1)X. จง จารณาประพจ p → lrms ) บ pmlrms) เ น เสธ นห อไ

Sol " ± p → lrnns )

± ~ pv ( rn ~ 5)

| *[± ~ pn ~ lrn ~ 5)
± ~ p ^ ~ lrn ~ 5)

จ นด ilautdogy)

ปอ แบบประพจ า ความจ ง เ นจ ง กกราน

เการ ตรวจสอบการ น จ นด 3

1. ส าง ตาราง าความจ ง

ป2. แบบประพจ สม ล เนย ใ " อเ อ " )

3. หา อ ดแ ง บ

c Contradiction )

[ X. 1) [ lp → g) np]→ p

nSol" ( lp → g) np ] → p

T Flp )

a

T Tcp

/\

Tlp) T(9)

i. Lcp → opnp] → p เ น จ นด
*

2) llp → g) np] → q

Sol " [ lp→ g) np] → q ± ~ [ lp →g) np] vq

= ~ [ (~ pv g) np ]vq

_

± ~ (~ pv g) v ~ pvq

E ~ (~ pv g) v (~ pv g)
±T

i. Llp → g) np] → q เ นสจ นด *

์รัริน็ป์รัรินัส็ป้ยัข้ข่ืม่ต็กัก้ชูม่ีท์นูริร่ค้รีธิวีม์รัรินัส็ปุทิร็ปิร่คีม่ีท์นูรืค์รัรินัส่มืรักิน็ปัก์นิพ้ีนัดีม่ีทักิน็ป่ีท์น่ยัต่ย์นิร่คีณุทัก้ขักิร่คีม้ัท์น่ืม่ต็กักิน็ป์น์นักิน็ป่ีท์น

ประโยคเ ด

อ อความ อ ใน ปประโยคบอกเ าห อป เสธ อว แปรและ แทน า ของ วแปร น

ญ กษจะไ าความ จ ง แ นอนห อเ นประพจ ยมใ Rn Rx แ Qcx,yา แทน
, ,

ประโยคเ ด วแปรระ ในวงเ บ

[X. 1) านเ น ศาสนา

ตอบ เ นประโยคเ ด เเพราะ นประโยคบอกเ า าน เ น วแปร
2) เธอเ น ก องเพลงไทยสากลขอโรงเ ยน

ตอบ เ นประโยคเ ด เพราะเ นประโยคบอกเ า เธอ เ น วแปร

เ น3) × เ น ว แปร
5" × -4 = (5×+4) (x -เ )

×-

ตอบ เ นประโยคเ ด เพราะเ นประโยคบอกเ า × เ น ว แปร

4) จงแ สม การ ×ำ 3×+2

ตอบ ไ เ นประโยคและเ นประพจ เเพราะ นประโยค ง 1 ถาม

ำค่ัสำค็ป์น็ป็ป่ม้กัต็ปีม่ีท่ล็ปิป็ปัต็ปีม็ปัต็ปีม่ีท่ล็ปิป็ปีร้รัน็ปัต็ป่ทีม่ีท่ล็ปิป็ปำนู้ผ็ป่ท็ลุบัตีม่ีทิป์ณัลัส้ชิน์น็ปืร่นิร่ค้ด้ันัต่ค่ืสัตีม่ีทิฏืร่ลูรู่ย่ีท้ขืคิป

ว ง ปOมาณ

ญ กษว งป มาณ อ ห อ อความ เ อ เรา เอาไป เ " ประโยค เ ด" แ ว จะ ใ ประโยค เนกลาย นประพจ

มใน

ประโยคเ ด อ ประโยคบอกเ าห อป เสธ ด า วแปร ง ไ" าเ นจ งห อเ จ " โดย วแปร นเ นสมา กของเอกภพ ม ท ( Universe : U )

ประโยค เ ด งไ ใ ประพจ เพราะ เรา งไ า เ นจ งห อเ จ

เรา จะ หนดใ Plx ) เ นประโยคเ ดใด ๆ เราสามารถ ประโยคเ ดใ เ น " ประพจ ไ" 2

อสมา กในเอกภพ ม น แทน า ว แปรลงไป

เ น x มากก า 3 โดยเอกภพ ม ท อ นวนเ ม

อ• เ ม " ว งป มาณ" ง 2 ช ด อ

2. 1) Yxlforall ) ใ แทน " " ความหมาย เ ยว บ Yx เเรา น น อย ๆ
เรา กเจอ และ ความหมาย เห อน ] ×
า หบ× ก ว

เ น าห บ × ใด ๆ , าห บ × แ ละ ว

2. 2) txlforsomex ) ใ แทน า " ว× บาง "

เ น × อ าง อย 1 ว

การ เ ยน ว งป มาณ

ใเรา จะ Mx) ใแทน × แยะ และ UER

เ อ R เ น เซตของ นวนเ ม

จะไ Vxlxn >. 2 ] าน า ห บ × ก ว × +2 ยา
และ จะไ txlx+2 >. 2 ] าน า × บาง ว × +272

⑤ า x จะ มา จารณาไ อ เลขใด ไ เ น นวนจ ง

แ แ า ความจ ง จะเ นจ งห อ เ จ กเ อง

ำน่ืรีอ็ก็ทืริร็ปิร่ค่ติรำจ็ป่ีท้ด็กืค้ดิพำน่ีท่ค่ีทัตีม่ว่อ้ด่ีทัตุทัรำส่ว่อ้ด็ตำจ็ป่ืม้ห้หิร่บัตีขีธิวัต้น่ยีม่ชืมีมัม่ีทำคัตีม่วำค้ชัต่ตัรํสัรํส่ช่บัก็ห่ีทักีดีม่ีทำคัตุทัรำส่วำค้ชืคินู่ยีม่ึซิร่บัติต็ตำจืค์ธัพัส่ว่ชัต่ค์ธัพัสิชำนืคีธิว้ด์น็ป้หิปำทิป็ป้หำก็ทืริร็ป่วู้ร่มัย์น่ช่มัยิป์ธัพัสิช็ป้ันัต็ทืริร็ป่วู้ร่มัย่ีทัต่คิต่ีทิฏืร่ลืคิป์น็ป้ัน้หำท้ลิปิต่ืม่ีท้ขืร์ณัลัสืคิร่บัติร่บัต

า ความจ งของประพจ ว งป มาณ

1) Vx [PC× ) ] เ อาความจ ง เ นจ ง × ก ในเอกภพ ม ท ใ PC×) เ นจ ง

2) × [ PCN] า ความจ ง เ นเ จ เ อ × อ าง อย 2 ว ใ Plx) เ น เ จ
3) ]× [ 1ำ× ง]
าความจ ง เ นจ ง เ อ × อ าง อย 1 ว ใ Pk) เ นจ ง

ใน4) ]× [ Pcx ) ] าความจ งเ นเ จ เ อไ ×ใด เอกภพ ม ท ทใ Plx) เ นจ ง

เสธ ของประพจ ว งป มาณ

Ex. 1) V × [ × 2+3>0 ]> × < 0

SoF ~ ④ × [ ×2+3>0 ) ] []> × < 0 ]v × < 0 Itmplication)
± × ×ำ 3K o
c De Margan)
=] [× × 2+3 > อ ^ × 70]

[] ]o"

..
เสธ ×- ×2+3> อก × 70

]] [2.)
2
× × =×

Sok ] ] )[rl 2. × = tx [ ×ำ ×] cDe Morgan)
× × -
_

]i. เสธ อ ษ × [ × 21= ×

3.) ] × Vyl Pcxy) > Qcx ,yง]
> Qcxiy D) ± ษ ×]yn [Pcx,y ) ง Qcxiy D
Sol" ~ ( ]- xty [ Pcx ,y) c De Morgan)
Itmplicationา
ynk= V × ] Pcx,yา V Qcx ,yง]
cDe Morganง
ะ Vx ]y[Pcxiy) ^ n Qcxiyi]

_

i. อย อ Vx]y [Pcxig) N ~ Qc x. yง]

4.) นวนจ งบาง นวน เ น นวนเ ม

SoF เป ยน เอความ น ญ กษ

JXER [ × EZ ]

หา เสธ ~ ( ]× ER [xez ] ± Vxe R [ × ¢ 2) d)e Morgari

i. เสธ อ าห บ นวน ก วไ เ น นวนเ ม

5.) KxVyltz [ xyz ะ 0 ]> ( × = 0 Vy:O)

nltxltytzSot × y z ~ [ xyzi 0
[ xyz = 0 ] ]] ]Vyง ( × = 0 ]Vyะ ( x.-0 c De Morgan7
:O) ± . 07

.

] ] [ xyz ovy ]y]E a-~ [tmplication )
2~ v Cอ. x .- อ).
.
.

]± ] × y]2 [ xyz อ. ^ cx.to ny.to D l De Morgan)
.

[]เสธ อ
]] ] xyzi. N
y× - z- อ. (×¥ 0 ^ y =เอา

.

ืคิน็ตำจ็ป่มัตุทำจัรํสืคินิน์ณัลัส็ป้ข่ีล็ตำจ็ปำจิรำจีมืค้นืคิน่ัคินิร่บัตีม่ีท์นินิร็ป้ห่ีท์ธัพัสีม่ม่ืม็ท็ปิร่คีมิร็ป้หำท่ีทัต้น่ยีม่ืมิร็ปิร่คีม็ท็ป้หำท่ีทัต้น่ยีม่ืม็ท็ปิร่คีม้ปิร็ป้ห่ท์ธัพัสัตุท่ืมิร็ปิร่คีมิร่บัตีม่ีท์นิร่ค

การ าง เห ผล "

อ การ าง า " ห บ เห การ การ
ส ป เ นห งและp ต Pn
อสอบใน เ อง ตรรกศาสต
ด, . ,. . .
สามารถ ไผล ตามมา c าง เห ผล ไ บเ อก ว แทนของ

การ าง เห ผลประกอบ วย 2 วน

• เห ห อ ง หนดใ

ง⑨ ผล ห อ ตาม มา

การ าง เห ผลสมเห สมผลห อไ

1) เห 1. p → q

2 p~

ผล wq

ปด อความใน lcp → qmwp ] → nq

โดยใ ตาราง าความจ ง

| rny
HtttttrlF T
kpqp • g) ^ wpD mnq
qp •- np qp q )( •-
^~p ~

TT T F F F T

T 1 T F F

FF T T TT

-

ปแบบประพจ สม ล หา อ ดแ ง

llp ]น 4) ^ ~ p • nq ± lwpvqmp] → nq l Imlicatiom llp → g) Mp] นะ nq

± ~ llnpvqmnp] vnql Imlicationl F

÷ KUPV4) Vplwq l Demorgan ) TF

÷ llpmqlvp] vnq l Demorgan ) TT โ
÷ llpvp) Nnqvp ] vnql Distributivei (g)
FlpF T
± lpnlvqvp) ] vnq l Idempotent ,
± cpvnnnknqvpmq] IDistributivei '" ""
± Ipvnqinkqvnplvp ] l Commutative ,
i. llparq) nnplamq ไ เ น น นด

น า ดแ ง จะเ น จ นด
.

÷ lpvnq ) ^ eqvp ) l Idempotent )

± lpvng) ^ lnqvpl ICommutative)
÷ lpvnqlnlpvnq) ( Commutative)

± pvnq l Idempotent ) นด

เ นไ งเ จ และ จ ง

i. kp → qmnp] → ~ q ไ เ น จ

การ าง เห ผลไ สมเห สมผล

ุต่มุต้อ์รัรินัส็ป่มิร็ท้ัท้ด็ป์รัรินัส็ป้ยัข้ถ์รัริน้ัส็ป่ม้ยัข้ขูม่ีท์นูรืร่ืนิร่ค้ชูร้ขัขำทีธิวุต่มืรุตุต้อ่ีท่ิสืร้หำก่ีท่ิสืรุต่ส้ดุต้อ์ร่ืร้ขัต็ปืลัร้ด้ีนุต้อ้ด่ีทุร่ึนุช์ณุตัรำส่ว้อืคุต้อ๋ืฅ

tx 1) เห ip → q

2. ~ q

ผล vp

llpSol " → g) nvq ] → p~

f.
T
F
/\
\

I

0Ipา kop FCg)

llp นด] ไ เ น๚ q pi. จ
→ n~ →~ *

2) เห ip → q
2. p

ผล q

Sd " llp→ g) np] → q

F

④T 5
%T Tlp)
T#0๚ เง น

lcpi. → 9) np ] → q เ นจ นด

*

์รัรินัส็ปักัยุต์รัรินัส็ป่มุต

า ความจ งของปะโยค ว งป มาณ วเ ยว

1) × [ Plx)) าความจ งเ นจ ง เ อแทน × ก วใน plx) แ วไ ประพจ เ นจ ง
2) Vxlplx)) าความจ งเ นเ จ เ อแทน × อ าง อย 1 วใน Plx) แ วไ ประพจ เ นเ จ

3) ]×[ Plx) ] าความจ งเ นจ ง เ อแทน × อ าง อย 1 วใน Plx) แ วไ ประพจ เ นจ ง

4) ]× [ Plx)) เ อาความจ งเ นเ จ แทน × ก วใน 1ำ×) แ วไ ประพจ เ นเ จ

V อ forall ] อ

Forsomeforall,
จ ง องจ ง ก ว krall เ จ ขอแ บาง ว เ นเ จ

forsome จ ง ขอ แ บาง ว Forsome เ จ องเ จ ก ว

[ ] { } ][2,3× e
เ × + 2-- ×
,.

501 " แทน × ะ | จไ แ2 n เ นเ จ
แทน × ะ 2 จะไ เ นเ จ
_ 2+2 ะ 2 เ นเ จ

_

ไแทน X ะ 3 จะ 3+2 ะ 3

i. ประโยค า ความ จ ง เ น เ จ *

าความจ งของประโยค ว งป มาณสอง ว

[ X. Yxe R ]y EIR [ xyn ]
,

5 Yx ER ty ER อ นวนจ ง × ก ว จะ นวน เ ม y
, เ นจ ง
i. ใ G) G) ะเ
แทน × ะเ จะ yn เ นจ ง
ใ (2) (;' ) ะ |
×ะ2 จะ yg ใ ( อ) y ะ 1

× ะ0 ไจะ y

ประโยค าความจ ง เ นเ จ *

็ท็ปิร่คีม้ีน้หำท่ีทีม่มิร็ป้หำท่ีทีมิร็ป้ห่ท่ีทีม็ตำจีมัตุทิรำจืคัติร่บัตีม่ีทิร่ค็ท็ปิร่คีม้ีน็ท็ป้ด็ท็ป้ด็ท็ป้ดัตุท็ท้ต็ทัต่คิร็ท็ป็กัต่ค็ทัตุทิร้ติรืคืค็ท็ป่ีท์น้ด้ลัตุท่ืม็ท็ปิร่คีมิร็ป่ีท์น้ด้ลัต้น่ย่ืมิร็ปิร่คีม็ท็ป่ีท์น้ด้ลัต้น่ย่ืม็ท็ปิร่คีมิร็ป่ีท์น้ด้ลัตุท่ืมิร็ปิร่คีม้ขีดัติร่บัตีม่ีทิร่ค

ๆ ๆ$ £

¥