เอกสาร

E-BOOK

เร่ือง เวกเตอร์

จดั ทำโดย
นำย อนนั ตชยั ศรีพรรณลำ เลขที่42
นำย อนนั ตชยั ศรีพรรณลำ เลขที4่ 3

ชนั้ มธั ยมศกึ ษำปีท่ี 5/1

นำเสนอ
อำจำรย์นงลกั ษณ์ อำ่ สพุ รรณ

สารบัญ

เวกเตอร์และสมบตั ขิ องเวกเตอร์ 3
ระบบพิกดั ฉำกสำมมติ ิ 10
เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉำก 13
ผลคณู เชิงสเกลำร์ 18
ผลคณู เชิงเวกเตอร์ 21

เวกเตอร์และสมบตั ขิ องเวกเตอร์

เวกเตอร์ ปริมำณมี 2 แบบ คอื สเกลำร์ กบั เวกเตอร์

สเกลำร์ เป็นปริมำณท่ีมีแต่ขนำด เชน่ พนื ้ ที่ อณุ หภมู ิ ควำม
ยำว เป็นต้น เวกเตอร์ เป็น ปริมำณที่มีทงั้ ขนำดและทิศทำง
เชน่ ควำมเร็ว แรง เป็นต้น เรำสำมำรถแทนเวกเตอร์ในเชิง
เรขำคณิตได้ด้วยส่วนของเส้นตรงและลกู ศร โดยท่ที ศิ ทำง
ของลกู ศรแทนทิศทำงของเวกเตอร์ และควำมยำวของลกู ศร
แทน ขนำดของเวกเตอร์ หำงลกู ศรเรียกว่ำ จดุ เร่ิมต้นของ
เวกเตอร์ หวั ลกู ศร เรียกว่ำ จดุ สนิ ้ สดุ ของเวกเตอร์

บทนิยาม 1

ถ้ำเวกเตอร์ u และ v เป็นเวกเตอร์ทไี่ ม่ใชเ่ วกเตอร์ศนู ย์
แล้ว ผลบวกของเวกเตอร์ u และ v เขยี นแทนด้วยเวกเตอร์
u + v หำได้จำกให้ตำแหนง่ เวกเตอร์ v มจี ดุ เริ่มต้นอย่ทู ่ี
จดุ สนิ ้ สดุ ของเวกเตอร์ u เวกเตอร์ u + v จะแทนด้วย
ลกู ศรจำกจดุ เร่ิมต้นของเวกเตอร์ u ไปยงั จดุ สนิ ้ สดุ ของ
เวกเตอร์ v ดงั รูปท่ี 2

บทนิยาม 2

ให้เวกเตอร์ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศนู ย์ และ k
เป็นจำนวนจริงใดๆ ท่ีไม่ใชศ่ นู ย์ แล้ว เวกเตอร์ kv หมำยถึง
เวกเตอร์ทม่ี ขี นำดเทำ่ กบั |k| เทำ่ ของเวกเตอร์ v เมื่อ k>0
เวกเตอร์ kv จะมที ศิ ทำงเดยี วกบั v และเม่ือ k<0 เวกเตอร์
kv มที ศิ ตรงข้ำมกบั เวกเตอร์ v และให้เวกเตอร์ kv =0
เมื่อ k =0

จำกรูปท่ี 3 ได้วำ่ เวกเตอร์ v กบั เวกเตอร์ Kv เป็นเวกเตอร์
ทข่ี นำนกนั

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากในปริภูมสิ ามมิติ

ให้เวกเตอร์ v เป็ นเวกเตอร์ในปริภมู ิ 3 มติ ิ

ในระบบพกิ ดั ฉำก ซง่ึ มจี ดุ เร่ิมต้นอยทู่ ี่จดุ กำเนิด และ
จดุ สนิ ้ สดุ อย่ทู ี่จดุ (x1,y1,z1) ดงั รูปท่ี 5 เรียกพิกดั
x1,y1และ z1วำ่ สว่ นประกอบเวกเตอร์ และเขยี นแทน
ด้วย





ขนาดของเวกเตอร์

ขนำดของเวกเตอร์ u เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ จะได้
ว่ำ ‖u‖ ขนำดของเวกเตอร์ u เรียกอกี อยำ่ งวำ่ ค่ำประจำ

ของเวกเตอร์ u

ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

กำหนดเส้นตรง XX’ , YY’ และ ZZ’ เป็นเส้นตรงที่
ผำ่ นจดุ O และตงั้ ฉำกซง่ึ กนั และกัน โดยกำรกำหนดทศิ ทำง
ของเส้นตรงทงั้ สำมนนั้ เป็นไปได้ 2 ระนำบ คอื ระบบมือขวำ
หรือระบบมอื ซ้ำย

แกน X แกน Y และแกน Z จะกำหนดระนำบขึน้ 3
ระนำบ เรียกวำ่ ระนาบอ้างองิ

- ระนำบที่กำหนดด้วยแกน X และแกน Y ว่ำ ระนำบอ้ำงอิง
XY
- ระนำบทก่ี ำหนดด้วยแกน Y และแกน Z วำ่ ระนำบอ้ำงอิง
YZ
- ระนำบท่ีกำหนดด้วยแกน X และแกน Z วำ่ ระนำบอ้ำงองิ
XZ

เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก

1.การเขียนเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก
ในกำรเขยี นเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉำกนนั้ สำมำรถเขยี นได้
โดยกำรบอกทิศทำงในแนวนอนและแนวตงั ้

ตำมลำดบั ซงึ่ ถ้ำให้ a คอื ทศิ ทำงในแนวนอน และ b เป็น
ทศิ ทำงในแนวตงั้ และ U เป็นเวกเตอร์ในระนำบ จะได้วำ่

U = A/B โดยท่ี a และ b เป็นจ ำนวนจริงใดๆ และ
สำมำรถบอกทิศทำงของเวกเตอร์ดงั นี ้

A > 0 แนวนอนไปทำงขวำ และ a < 0 แนวนอนไป
ทำงซ้ำย

B > 0 แนวตงั้ ขนึ ้ ด้ำนบน และ b < 0 แนวตงั้ ลงด้ำนล่ำง

2.สมบตั ขิ องเวกเตอร์