formulaire proba

: é ~
& &  .

é è  est dit équiprobable si tous les

Soit E un ensemble à n éléments . ∈ ℕ∗ événements élémentaires ont la même
probabilité. Alors :

Type de Successifs Successifs Simultané ( ) = ∑ = ( ) = . Alors : ( ) =
tirages avec remise sans remise
Ordre L’ordre
On tient On tient n’intervient ( ) = ( ) ; ⊂
Un cas compte de compte de
possible pas ( )
l’ordre l’ordre Une partie
Cardinal Un p-uplet =
Un p-uplet de p
avec d’éléments éléments
possibilité
distincts  ( ) =
de  ( ̅ ) = − ( )
répitition = ( ! =  ( ⋃ ) = ( ) + ( ) − ( ⋂ )
− )! !  Si ⋂ = ( A et B sont dits :

incompatibles) .

≤ ≤ Alors : ( ⋃ ) = ( ) + ( )

En utilisant la calculatrice :  Si ( ⋂ ) = ( ) × ( ) (A et B sont
dits :indépendants )

é

On appelle " ℎ " , l’événement
Triangle de Pascal : noté : / ayant comme probabilité :

p 0 1 2 3 4 5… ( / ) = ( ⋂ ) ; ( ) ≠
n ( )

01 +  Remarques :
1 11
2 121 On a ( / ) = ( ⋂ ) Alors :
3 1331
4 1 46 4 1 = ( )
5 1 5 10 10 5 1
.. .. .. .. .. .. .. ( ⋂ ) = ( ) × ( / )

= ( ) × ( / )

Si A et B sont indépendants et ( ) ≠ ,

alors : ( / ) = ( )

 ( / ) =

é  ( ⋃ / ) = ( / ) + ( / )
Avec : et sont incompatibles
Soit l’en ensemble des résultats possibles d’une
expérience aléatoire .  ( ̅ / ) = − ( / )

Loi de probabilité total : Soit ( , P ( ) , ) un espace probabilisé fini .On
appelle aléa numérique ou variable aléatoire toute
… … application : → ℝ .

Notation :

 L’évènement { ∈ ; ( ) = } est

= ⋃ ⋃ … ⋃ noté ( = ).
 L’ensemble ( ) désigne l’ensemble des

valeurs prises par .

= ( ⋂ )⋃( ⋂ )⋃ … ⋃( ⋂ ) Loi de probabilité :

On appelle loi des probabilités totales : Soit ( , P ( ) , ) un espace probabilisé fini et

( ) = ( ⋂ ) + ( ⋂ ) + … + ( ⋂ ) une variable aléatoire sur .
Principe de probabilité totale :
On appelle loi de probabilité de ou distribution
( ) = ( ⋂ ) de l’application :
= ( ⋂ ) + ( ⋂ )
∶ ( ) → [0,1]
↦ ( = )

= ( ) × ( / ) + ( ) × ( / ) Si ( ) = { 1 , 2 , … , } une
Formule de Bayes : variable aléatoire sur alors :

( / ) = ( / ) × ( )
( )
∑ ( = ) =
= ( / )× ( ) Valeur de Total
= =1
( )× ( / )+ ( )× ( / )
( = ) 1 …
Cas d’utilisation : si on a ( / ) et on
1 …

cherche ( / ) 1 1 … = ( )
2 12 1 … 2 = ( 2)
Arbre de choix :
 Cas d’utilisation : si on a deux épreuves

liées.
 La somme des probabilités issues d’un seul

point égale à 1.

Espérance :

On appelle espérance mathématique ou moyenne
de le nombre :



( ) = ∑

=

( ) = ( ) ; ( + ) = ( ) + ( )

é Interprétation : l’espérance de X est la
valeur que l’on peut espérer obtenir

(pour X) en moyenne, sur un grand
nombre d’expériences.

Variance et écart type : , permet de déterminer la probabilité pour qu'une
( ) = (( − ( )) ) = ( ) − ( ( )) valeur de données soit inférieure ou égale à une
certaine valeur, supérieure à une certaine valeur
( ) = √ ( ) ou comprise entre deux valeurs.

Fonction de répartition : Exemple :
Soit ( , P ( ) , ) un espace probabilisé fini et On considère la représentation graphique d’une
une variable aléatoire sur . fonction de répartition de . Déterminer la loi
On appelle fonction de répartition de , toute de probabilité de .
application :
F(x)
∶ ℝ ⟶ [ , ]
1

5/7

⟼ ( ≤ ) 3/7

Propriétés : 2/7

 F est croissante sur ℝ . -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

∈ ]−∞ , [

 .... ∈ [ , [

= {

+ + … + ∈ [ , + [ En effet :

∈ [ ,+∞[ 2
1 = −4 ; 1 = 7
Avec : < + ( = ) = ; ≤ ≤
3 31
( ) 2 = −2 ; 1 + 2 = 7 ⟺ 2 = 7 − 1 = 7

52
3 = 1 ; 1 + 2 + 3 = 7 ⟺ 3 = 7
+ + ⋯ +
+ + 2
+ 4 = 2 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 1 ⟺ 4 = 7
On aura :

( ) ≤ ≤ − −

+ ( ) ≤ ≤


Aussi : ( ) = ∑ ≤ ; il s’agit d’une fonction
en escaliers.
Soit une expérience aléatoire constituée de > 0
Interprétation : épreuves identiques , indépendantes et n’ayant
que deux issues ; succès ou échec.
La fonction de répartition indique pour la valeur
donnée prise par une variable aléatoire , un
cumule de probabilités . En effet : elle calcule la
probabilité cumulée d'une valeur de x donnée

Si X la variable aléatoire associée à cette Propriétés :
expérience le nombre de succès réalisés au cours
de > 0 épreuves . Alors : ([ , ]) = ( ≤ ≤ ) = ∫ ( )
([ , ]) = ( ] , [ ) = (] , ] ) = ( [ , [ )

( = ) = ( − ) − ; ∈ { , … , } ⟺ ( ≤ ≤ ) = ( < < )

On dit que X suit une loi binomiale de paramètre = ( < ≤ )
( , ) , on note : ( , ).
= ( ≤ < )
 ( ) = ×  ( ) = × × ( − )
= ∫ ( )
 ( ) = √ × × ( − )
( = ) = 0 ; ∀ ∈ ℝ .
Cas particulier : Si = 1 , on dit que X suit une
loi de Bernoulli . ([̅̅ ̅,̅̅ ̅ ̅]) = 1 − ([ , ]) = 1 − ∫ ( )



é

Une variable aléatoire qui peut prendre comme Soit = [ , ]
valeurs tous les nombres réels d’un certain
intervalle I de ℝ est dite : continue . ( ) = : densité de la loi de probabilité

é é −

uniforme sur [ , ].

Représentation graphique :

On appelle densité de probabilité sur un intervalle
I toute fonction f continue positive sur I , telle
que :

∫ ( ) = 1 ; = [ , ]

lim ∫ ( ) = 1 ; = [ , +∞[
⟼ +∞

lim ∫ ( ) = 1 ; =] − ∞, ]
⟼ −∞

lim ∫0 ( ) + lim ∫ 0 ( ) = 1
⟼ +∞ ⟼ −∞

Si [ , ] ⊂ [ , ] , alors :

= ℝ . ( ≤ ≤ ) = −
−
Reflexe :
( ≥ ) = ( ≤ ≤ ) = −
Pour montrer que f est une densité de probabilité −

sur un intervalle = [ , ] , il suffit de montrer ( ≤ ) = ( ≤ ≤ ) = −
−
que :

f continue sur [ , ] .

f positive sur [ , ] .
∫ ( ) = 1 .

Fonction de répartition : ( ≤ ≤ ) = ∫ − = − − −
( ≤ ) = ∫ − = − − ; >
; < ( > ) = − ( ≤ ) = −
−
( ) = { ( ≤ ≤ ) = − ; ∈ [ , ]

; >

( ) =



( ) =




Soit >

( ) = − : densité de probabilité de la
loi exponentielle sur [ , +∞[ .On dit que :
X suit la loi exponentielle de paramètre .

Représentation graphique :

Si [ , ] ⊂ [ , +∞[ , alors :



([ , ]) = ∫ −



Si [ , +∞[⊂ [ , +∞[ , alors :

([ , +∞[) = −