BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK

Kalkulus

Peubah
Banyak

kata pengantar

Segala puji bagi Allah, Tuhan Yang Maha Esa atas
rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan buku ajar berjudul “Kalkulus Peubah
Banyak”. Tak lupa juga mengucapkan salawat serta
salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi
Besar Muhammad SAW, karena berkat beliau, kita
mampu keluar dari kegelapan menuju jalan yang lebih
terang.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada
berbagai pihak yang sudah membantu sehingga
buku ini selesai dengan sangat baik.
Adapun, buku ajar penulis yang berjudul ‘Buku Ajar:
“Kalkulus Peubah Banyak” ini telah selesai penulis
buat secara semaksimal dan sebaik mungkin untuk
membantu pengajar atau dosen dan mahasiswa
yang membutuhkan berbagai materi dan juga
pengayaan tentang Kalkulus Peubah Banyak.
Penulis sadar, masih banyak luput dan kekeliruan
yang tentu saja jauh dari sempurna tentang buku
ini. Oleh sebab itu, penulis mohon agar pembaca
memberi kritik dan juga saran terhadap karya buku
ajar ini agar penulis dapat terus meningkatkan
kualitas buku.
Demikian buku ajar ini penulis buat, dengan
harapan agar pembaca dapat memahami mata
kuliah Kalkulus Peubah Banyak dan juga
mendapatkan wawasan mengenai bidang ini serta
dapat bermanfaat bagi masyarakat dalam arti
luas. Terima kasih.

DAFTAR ISI

BAB I TURUNAN 4
BAB II INTEGRAL 14
BAB III TURUNAN PARSIAL 24

DUA PEUBAH ATAU LEBIH

BAB IV TURUNAN PARSIAL 30

TINGKAT TINGGI

BAB V INTEGRAL LIPAT DUA &
39
TIGA

BAB VI INTEGRAL PERMUKAAN
46
PENUTUP



52

BAB I

TURUNAN

TUJUAN
PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu
memahami konsep dan
prinsip Turunan serta
menunjukkan sikap yg baik
dan aktif

A. Pendahuluan

Turunan merupakan salah satu cabang diferensial
kalkulus, maka sejarah perkembangannya juga
berhubungan erat dengan perkembangan
kalkulus. Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi
lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi
menjadi yang mempunyai nilai tidak beraturan.
Konsep turunan sebagai bagian utama dari
kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan
oleh Sir Isaac Newton ahli matematika dan fisika
bangsa ingris dan Gottifred Wilhelm Leibniz (1646
– 1716), ahli matematika bangsa Jerman. Sejarah
perkembangan kalkulus dibagi menjadi beberapa
zaman:

1.Pada zaman kuno, pemikiran integral kalkulus
sudah muncul, tetapi belum dikembangkan
dengan cara yang baik dan lebih teratur.
Fungsi utama dari integral kalkulus adalah
perhitungan volume dan luas yang ditemukan
kembali pada Papirus Moskwa Mesir.

2. Pada zaman pertengahan, matematikawan
yang berasal dari India, bernama Aryabhata,
menggunakan konsep kecil tak terhingga
pada tahun 499 dan menunjukkan masalah
astronomi dalam bentuk persamaan
diferensial dasar. Persamaan ini kemudian
membawa Bashkara II pada abad ke-12
melakukan pengembangan terhadap bentuk
awal turunan.
3. Pada abad ke-12, seorang Persia bernama
Sharaf al-Din al- Tusi menemukan turunan dari
fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam
kalkulus diferensial. Leibniz dan Newton
mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama
sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang
tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus
secara terpisah dalam waktu yang hamper
bersamaan.

B. Definisi Turunan

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang
terbuka yang memuat . Turunan pertama
fungsi f di ditulis f’(a) didefinisikan
dengan:

f’ disebut fungsi turunan pertama dari
fungsi asal f, nilai dari f’ untuk sebarang x
dalam I adalah f’ (x) dengan

Domain dari fungsi f’ adalah semua nilai x
dimana limit diatas ada.

Contoh :
Tentukan turunan pertama dari fungsi
dengan menggunakan definisi limit.

D. Aturan Turunan Fungsi Aljabar

1. Turunan Fungsi Konstan:

2. Turunan Fungsi Linear

3. Turunan Fungsi Pangkat

4. Turunan Fungsi Kelipatan Konstanta
5. Turunan Fungsi Jumlah

6. Teorema Turunan Fungsi Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensiasikan, maka:

ini harus dihafalkan dalam kata-kata sebagai
berikut:
"Turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi
pertama dikalikan turunan fungsi kedua ditambah
fungsi kedua dikalikan turunan fungsi pertama"

7. Teorema Turunan Fungsi Hasil Bagi

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang
terdiferensiasikan dengan g(x) ≠ 0, maka:

"Turunan suatu hasil bagi sama dengan
penyebut dikalikan turunan dari pembilang
dikurangi dengan pembilang yang dikalikan
dengan turunan dari penyebut dan seluruhnya
dibagi dengan penyebut yang dikuadratkan"

BAB II

INTEGRAL

TUJUAN
PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu
memahami konsep dan
prinsip Integral serta
menunjukkan sikap yg baik
dan aktif

A. Pendahuluan

Sejarah sistematis, istilah integral adalah
menentukan suatu fungsi yang turunannya
atau diferensial diberikan. Dengan kata
lain integral atau pengintegralan
merupakan operasi invers dari diferensial
atau pendiferensialan. Integral dapat
diaplikasikan dalam menentukan luas
wilayah yang dibatasi oleh kurva kurva
fungsi, volume benda padat, dan
beberapa aplikasi lainnya. lambang
integral menyatakan operasi integral,
diperkenalkan pertama kali oleh ilmuwan
bangsa Jerman bernama Gottfried
Wilhelm leibniz (1646-1716).

B. Definisi Integral

Integral merupakan kebalikan (invers) dari
turunan (differensial), sehingga integral
disebut juga anti turunan. Integral dibedakan
menjadi dua yaitu integral tak tentu dan
integral tentu.

Bentuk Umum Integral

Keterangan:
k: koefisien
x: variabel
n: pangkat/derajat dari variabel
c: konstanta

untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh
grafik f(x) maka dapat ditentukan dengan a dan
b yang merupakan garis vertikal atau batas
luasan daerah yang dihitung dari sumbu x.

Misalkan integral dari f(x) disimbolkan dengan
F(x) atau dituliskan

Maka

Keterangan :
a, b: batas atas dan batas bawah integral
f (x): persamaan kurva
F (x): luasan dibawah kurva f(x)

C. Penerapan Integral

Integral dimanfaatkan dalam berbagai
bidang. Pada bidang matematika dan
teknik, integral digunakan untuk
menghitung volume benda putar dan
luasan pada kurva. Pada bidang fisika,
integral digunakan untuk menghitung dan
menganalisis rangkaian arus listrik, medan
magnet dan lainnya. Sedangkan bidang
ekonomi, integral digunakan untuk
menentukan persamaan dan fungsi yang
berkaitan dengan ekonomi, konsumsi,
marginal, dan sebagainya.

D. Sifat-Sifat Integral

1. Integral Tak Tentu

2. Integral Tentu

3. Integral Eksponensial

4. Integral Substitusi
Menentukan integral dengan cara
substitusi yaitu dengan mengubah bentuk
integral kebentuk lain yang lebih
sederhana. Cara ini digunakan jika suatu
bagian ada kaitan turunannya dari suatu
bagian yang lain.
Rumus Integral substitusi:

5. Integral Trigonometrii

Integral fungsi trigonometri yaitu kebalikan
dari turunan trigonometri. Dimana, integral
tersebut juga memuat fungsi trigonometri.

Rumus dasar pengintegralan trigonometri
adalah sebagai berikut.

Dari rumus integral dari fungsi trigonometri
diatas dapat diperluas lagi menjadi
rumus-rumus berikut.

Contoh soal:

BAB III

TURUNAN PARSIAL
DUA PEUBAH BANYAK

ATAU LEBIH

TUJUAN
PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu
menentukan turunan
parsial dua peubah atau
lebih dengan definisi
,Turunan Parsial Tingkat
Tinggi dan menunjukkan
sikap yg baik dan aktif

B. Turunan Parsial Fungsi Dua
Peubah atau Lebih

Misal z=F (x,y) adalah fungsi dengan
variable bebas x dan y. Karena x dan y
variable bebas maka terdapat beberapa
kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x
berubah-ubah.

2.x dianggap tetap, sedangkan y
berubah-ubah

3.x dan y berubah bersama-sama
sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan
fungsinya menjadi fungsi satu peubah,
sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan
dengan menggunakan definisi turunan
pertama yang telah dipelajari pada
kalkulus diferensial.

Definisi
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah
yang terdefinisi pada interval tertentu,
turunan parsial pertama z terhadap x dan
y dinotasikan dengan

didefinisikan oleh

dan

Contoh :
Tentukan turunan parsial pertama dari

Penyelesaian

Lanjutan Penyelesaian

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah
atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n,
untuk n ≥ 2 turunan parsialnya dinamakan
turunan parsial tingkat tinggi.
Dengan menggunakan analogi fungsi satu
peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat
2, 3 dan seterusnya.

BAB IV

TURUNAN PARSIAL
TINGKAT TINGGI

TUJUAN
PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu
menentukan turunan
parsial dua peubah atau
lebih dengan definisi
,Turunan Parsial Tingkat
Tinggi dan menunjukkan
sikap yg baik dan aktif

A. PENDAHULUAN

Secara umum, jika turunan parsial suatu x
dan y adalah fungsi lain dari dua peubah
yang sama, turunan tersebut dapat
diturunkan secara parsial terhadap x
atau y untuk memperoleh empat buah
turunan parsial kedua fungsi f. Turunan
Parsial sebuah fungsi matematika
peubah banyak adalah turunannya
terhadap salah satu peubah (variabel)
dengan peubah lainnya dipertahankan
(konstan). Ini di bedakan dengan turunan
total, yang di peroleh semua variabelnya
untuk berubah. Misalkan f(x,y) adalah
fungsi dua peubah x dan y.

Turunan parsial dilambangkan dengan
dengan ∂ (dapat dilafalkan dengan "de",
"de parsial", atau "doh") adalah huruf
bundar, diturunkan namun berbeda
dengan huruf Yunani delta, dan dibedakan
dengan notasi turunan total d (dan dari
huruf ð).

Turunan parsial berguna dalam bidang
kalkulus vector dan geometri differensial.
Turunan parsial sebuah fungsi f terhadap
variabel x dituliskan oleh berbagai sumber
rujukan sebagai

B. Turunan Tingkat Tinggi

Turunan dari fungsi f adalah suatu fungsi yang
dinamakan turunan pertama dari f, yaitu f'
jika fungsi f' ini dihitung lagi turunannya
dengan aturan atau definisi turunan, maka
diperoleh fungsi baru yang dinamakan
turunan kedua dari fungsi f, dan ditulis dengan
lambang f'' (dibaca “f dua aksen”). Secara
umum turunan ke-n dari fungsi f, ditulis f^((n)),
adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan
cara menghitung turunan dari fungsi f^((n-
1)),n=1,2,3,…., dengan f^((0)) (x)=f(x). Sebagai
contoh sebagai berikut :

maka

Kita telah memperkenalkan tiga cara
penulisan untuk turunan (sekarang disebut
turunan pertama) dari y = f(x). Notasinya
adalah

masing-masing disebut notasi aksen, notasi D,
dan notasi Leibniz. Terdapat suatu variasi dari
cara penulisan aksen yakni y’ yang kadang
kala akan kita gunakan juga. Semua cara
penulisan ini mempunyai perluasan untuk
turunan-turunan tingkat tinggi, seperti
diperlihatkan dalam tabel yang menyertai.
Khususnya perhatikan notasi Leibniz, yang
walaupun rumit kelihatannya paling cocok
untuk Leibniz. Yang, menurutnya lebih wajar
daripada menuliskan

Lambang turunan ke– n dari fungsi f dapat
ditulis dengan berbagai cara, yaitu
sebagai berikut:

Contoh soal:

BAB V

INTEGRAL
LIPAT DUA DAN

LIPAT TIGA

TUJUAN
PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu
menghitung integral lipat
dua dan integral lipat tida
dalam bangun ruang serta
menunjukkan sikap ilmiah
serta keaktifan belajar

A. PENDAHULUAN

Pada program studi Matematika, kalkulus

merupakan mata kuliah yang sering dijumpai

permasalahan integral, khususnya integral lipat

dua, integral lipat tiga dan integral garis.

Di dalam suatu perhitungan matematika yang

bisa digunakan salah satunya dengan

menggunakan suatu metode perhitungan apa

yang namanya integral, di mana suatu integral

ini dibagi menjadi beberapa bagian-bagian

yaitu integral tentu dan tak tentu yang di

dalam kehidupan kita sehari hari dengan

menggunakan metode integral tadi dengan

menghitung luas dan volumenya. Integral juga

adalah salah satu bagian dari suatu kalkulus

yang disebut sebagai anti differensial.

Hitung Integral merupakan metode

matematika yang memiliki latar belakang

sejarah penemuan dan pengembangan yang

agak unik. Metode ini banyak diminati oleh

ilmuwan matematika maupun ilmuwan lain di

luar bidang matematika.

B. INTEGRAL LIPAT DUA

Misalkan sebuah z merupakan fungsi dari

(x,y) atau dari dua peubah yang dapat

kita tuliskan z = f(x,y) yang artinya z dia

terdefinisi pada R yang merupakan suatu

persegi panjang tertutup, Jika kita

notasikan menggunakan notasi

matematika R itu adalah himpunan x dan y

dimana x nya lebih besar dari a dan

kurang dari b, dapat dilihat pada gambar

bahwa X itu dari a sampai b dan Y itu dari

c sampai d, jadi terdefinisikannya seperti

ini R = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Integral lipat dua merupakan integral
biasa atau tunggal yang hasilnya
diintegralkan kembali (lakukan iterasi
integral sebanyak dua kali). Notasi dari
integral lipat dua adalah sebagi berikut




Contoh soal

C. INTEGRAL LIPAT TIGA

Integral lipat tiga (triple integrals)
merupakan integral biasa atau tunggal
yang hasilnya diintegralkan dan
kemudian diintegralkan kembali (lakukan
iterasi integral sebanyak 3x). Notasi dari
integral lipat tiga adalah sebagi berikut

Bentuk di atas adalah bentuk tak tentu
dari integral lipat tiga. Selanjutnya
terdapat bentuk tentu dari integral lipat
tiga dan dapat dinotasikan sebagai
berikut:

Contoh Soal:

Selesaikan Integral lipat tiga dari fungsi berikut:

Penyelesaian:

BAB VI

INTEGRAL
PERMUKAAN

TUJUAN
PEMBELAJARAN

Mahasiswa mampu
menentukan, menghitung
dan memahami integral
permukaan dan teorema
integral serta menunjukkan
sikap ilmiah serta
keaktifan belajar

A. PENDAHULUAN

Dalam matematika, permukaan integral
adalah generalisasi dari beberapa
integral untuk integrasi di atas permukaan.
Ini dapat dianggap sebagai analog
integral lipat dari integral garis. Dengan
adanya suatu permukaan, seseorang
dapat mengintegralkan bidang skalar
(yaitu, fungsi posisi yang mengembalikan
skalar sebagai nilai) di atas permukaan,
atau bidang vektor (yaitu, fungsi yang
mengembalikan vektor sebagai nilai). Jika
suatu daerah R tidak datar, maka itu
disebut permukaan seperti yang
diperlihatkan dalam ilustrasi.

B. INTEGRAL PERMUKAAN

Definisi permukaan integral bergantung
pada pemisahan permukaan menjadi
elemen permukaan kecil.

Ilustrasi elemen permukaan tunggal.
Elemen-elemen ini dibuat sangat kecil,
dengan proses pembatas, sehingga
mendekati permukaan.

Definisi: Perhatikan gambar dibawah ini!

Satuan n di sebarang titik dari S disebut
satuan normal positif jika arahnya ke atas

Berkaitan dengan permukaan kecil
dari permukaan S dapat dibayangkan
adanya vector yang besarnya sama
dengan dan arahnya sama dengan n.
Maka: =

C. Teorema yang melibatkan
Integral Permukaan

1. Teorema Divergensi Gauss

Misalkan = + + berupa medan vektor
sedemikian sehingga M,N, dan P mempunyai
turunan-turunan parsial pertama yang kontinu
pada benda pejal S dengan perbatasan . Jika
n menyatakan normal satuan sebelah luar
terhadap , maka :

Dalam perkataan lain, fluks F yang melewati
perbatasan suatu daerah tertutup di ruang- tiga
adakah integral lipat tiga dari divergensinya
atas daerah tersebut.