MODUL BUKU AJAR VEKTOR TINGKAT SMA/MA
Vektor Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyusun modul pembelajaran Fisika Tingkat SMA/MA materi Vektor. Tujuan disusunnya modul pembelajaran ini yaitu sebagai salah satu media penyedia bahan ajar untuk peserta didik supaya proses pembelajaran lebih terencana, terarah, bermakna, dan variatif, sehingga peserta didik dapat belajar sendiri secara mandiri. Dengan adanya modul pembelajaran ini, kami harap peserta didik dapat memperoleh kemudahan dan kebermaknaan dalam melaksanakan proses pembelajaran secara mandiri dan terstruktur. Kami menyadari bahwa dalam penyusunan Modul ini masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan adanya kritik dan saran demi perbaikan dan kesempurnaan modul ini. Mataram, 25 Mei 2023 Penyusun Modul Bahan Ajar Vektor i KATA PENGANTAR
Vektor Penyusun Juliana Marsena Monika Adam Malik Desain sampul Juliana Marsena Tahun Ajaran 2022/2023 Modul Bahan Ajar Vektor ii
Vektor COVER KATA PENGANTAR...........................................................................i IDENTITAS MODUL...........................................................................ii DAFTAR ISI.......................................................................................iii PETA KONSEP.................................................................................iv PENGERTIAN VEKTOR....................................................................1 PENJUMLAHAN,PENGURANGAN DAN PERKALIAN.....................3 SATUAN VEKTOR............................................................................9 RANGKUMAN.................................................................................12 DAFTAR PUSTAKA Modul Bahan Ajar Vektor iii DAFTAR ISI
Vektor Modul Bahan Ajar Vektor iv PETA KONSEP Gambar 1: Peta Konsep
Vektor Amatilah bila kita berjalan dari A ke B seperti pada gambar 1.1 (a) di atas kedudukan kita mula-mula di A kemudian di B, maka arah perpindahan kita adalah ke kanan, Sebaliknya, pada gamabar 1.1 (b), bila kita berjalan dari A ke B, maka arah perpindahan kita ke kiri. Pada kedua gambar tersebut terjadi perpindahan. Dengan demikian, perpindahan selalu berarah dari kedudukan awal menuju ke kedudukan akhir. Dari kedua contoh di atas, perpindahan ke arah kanan berbeda dengan perpindahan kearah kiri, meskipun besar perpindahannya sama tetapi arahnya berbeda. Berdasarkan seperti ini disebut besaran vektor. Lalu apa itu vector? 1. Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang atau nilai) dan arah. Contohnya: perpindahan, kecepatan, gaya, medan magnet, medaan listrik dan sebagainya. Sedangkan panjang, massa, suhu, luas, volume, dan sebagainya merupakan besaran skalar. Secara gegrafis sebuah vektor diwakilkan oleh sebuah ruas garis berarah dengan panjang ruas garis berarah dengan panjanng arus menunjukkan besar, sedangkan arahnya menunjukkan arah vektor itu. Vektor dinyatakan dengan huruf kecil yang dicetak tabel, misalnya u atau jika dituliskan dalam vektor diberi tanda panah diatas ⃗ . Jika ⃗ menyatakan ruas garis berarah dari arah A ke B maka dapat di tulis ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ . Panjang (besar) ⃗ dilambangkan dengan || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Modul Bahan Ajar Vektor 1 PENGERTIAN VEKTOR Gambar 2.1 : Ilustrasi berjalan dari A ke B https://books.google.co.id/books/about/Vektor.html?id Gambar 3.1: Contoh bentuk vektor ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ https://books.google.co.id/books/about/Vektor.html?id
Vektor Perhatikan gambar 2.1 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili ⃗ ) ⃗ dibaca “vektor u” ⃗⃗⃗⃗⃗ dibaca “vektor AB” || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = panjang ⃗⃗⃗⃗⃗ vektor ⃗ diwakili oleh garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ . Titik A disebut titik pangkal (titik asal) dan titik B disebut titik ujung vektor ⃗ 2. Vektor Secara Geografis Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari perbedaan gerafis ruang mempelajari perbedaan geografis ruang berdimensi 2 dengan ruang dimensi 3. Seperti yang kita tahu, contoh ruang berdimensi dua anarata lain bidang datar sedangkan contoh benda berdimensi tiga antara lain adalah kubus dan balok. Dalam mempelajari vektor, kita juga akan mempelajari vektor yang terletak di ruang dimensi dua (R-2) dan merupakan vektor yang terletak pada bidang datar. Sedangkan vektor di R-3 suatu vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada sebuah ruang. Pada gambar 4.1 (a) diiperlihatkan ruang garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ yang dilukiskan pada bidang datar. Sedangkan pada Gambar 5.2 (b) diperlihatkan ruas garis berarah AF⃗⃗⃗⃗ pada ruang. Dari contoh tersebut dapat dikatakan, vektor di R-2 merupakan vektor yang terletak pada bidang datar. Sedangkan vektor di R-3 suatu vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah yang terletak pada sebuah ruang. Vektor ⃗ sama dengan vektor ⃗ . Sedangkan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tidak sama dengan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ karena mempunyai arah yang berbeda. Dapat dikatakan berlawanan dengan vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Modul Bahan Ajar Vektor Dua vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai besar dan arah yang sama. 2 Kesamaan Vektor Gambar 4.1 : Vektor di (a) R-2 dan (b) R-3 https://books.google.co.id/books/about/Vekt or.html?id Gambar 4.2 : vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . vektor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ https://books.google.co.id/books/abo ut/Vektor.html?id
Vektor 1. 2. 1. Penjumlahan Dua Vektor Hasil penjumlahan dua vektor merupakan resultan vektor. Misalnya jumlah dari vektor ⃗ dan vektor ⃗ adalah vektor ⃗ . Maka vektor ⃗ disebut resultan vektor dari a dan vektor ⃗ . Penjumlahan dua vektor secara geometris dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu : a. Metode segitiga Jika terdapat dua vektor, yaitu ⃗ dan ⃗ , maka penjumlahan (resultan) dari ⃗ dan ⃗ adalah vektor ⃗ + ⃗ atau vektor ⃗ . Dengan metode segitiga vektor ⃗ didapat dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor ⃗ dengan titik ujung vektor ⃗ . b. Metode Jajargenjang Dengan metode jajargenjang jumlah vektor ⃗ dan ⃗ ditentukan adalah dengan memindahkan vektor ⃗ (tanpa mengubah besarnya), sehingga arah dan titik pangkal vektor ⃗ berimipit dengan titik pangkal vektor ⃗ . c. Metode Poligon Metode poligon adalah cara meresaltankan vektor dengan cara menggambar. Salah satu vektor menjadi acuan dan vektor lain disambungkan dengan pangkal tepat pada ujung vektor sebelumnya. Resultan vektor dapat dibentuk dengan menggambar anak panah dari awal hingga akhir. Dilihat pada gambar 6.3 dibawah ini Modul Bahan Ajar Vektor Gambar 7.3 : Penjumlahan vektor dengan metode poligon https://images.app.goo.gl/uh9GZQCNPzQUAVn48 PENJUMLAHAN,PENGURANGAN, DAN PERKALIAN VEKTOR 3 Gambar 5.1 : Penjumlahan vektor dengan metode segitiga https://books.google.co.id/books/about/Vektor.html?id Gambar 6.2 : : Penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang https://books.google.co.id/books/about/Vektor.html?id
Vektor d. Metode Analisis Metode yang paling baik (tepat) untuk menentukan resultan beberapa vektor dan arahnya adalah metode analisis. Metode ini, mencari resultan dengan cara perhitungan bukan pengukuran, yaitu menggunakan rumus kosinus dan mencari arah vektor resultan dengan menggunakan rumus sinus. 1. Menentukan Resultan Vektor Menggunakan Rumus Kosinus Untuk menentukan vektor resultan secara matematis dapat anda gunakan rumas kosinus, yaitu sebagai berikut. Keterangan: R: resaltan vektor : vektor pertama : vektor kedua : sudut apit antara kodus vektor 2. Menentukan Arah Resultan Vektor Menggunakan Rumus Sinus Untuk menentukan arah dari vektor resultan terhadap salah satu vektor komponennya dapat digunakan persamaan simas. Perhatikan gambar dibawah Modul Bahan Ajar Vektor = √1 2 + 2 2 + 21 2 . 2 2 . cos Diketahui daa baah vektor, masing-masing besarnya & N dan 6 N. Tentukan nilai revoltan kedaa vektor tersebut, jika titik pangkalnya berimpit dan membentuk sudut 60 Diketahui: 1= 8 N 1 =6 N =60⃘⃘⃘ ° Ditanyakan: R = ......? Jawab: = √1 2 + 2 2 + 21 2 . 2 2 . cos = √8 2 + 6 2 + 2. 8 2. 6 2. cos 60⃘⃘⃘⃘⃘⃘° = √(64 + 36) + 48 = √148 , ℎ √148 CONTOH SOAL 4
Vektor Diketahui dua buah vektor, dan membentuk sudut . Sudut antara vektor resultan (R) dengan vektor F, adalah 8, sedangkan sudut antara resultan (R) dan vektor adalah − . Secara matematis persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut. Modul Bahan Ajar Vektor sin = 1 sin ( − ) = 2 sin ( − ) Diketahui dua buah vektor masing-masing panjangnya 8 cm dan 6 cm. Jika kedua vektor berimpit dan saling tegak laras, maka tentukan arah resultan vektor tersebut terhadap kedua vektor tersebut? Diketahui: 1 = 8 cm 2 = 6cm = 90° (tegak lunas) Ditanyakan: a. … . ? b.( − ) = ⋯ ? Jawab: Anda cari terlebih dahulu resultan kedua vektor CONTOH SOAL = √1 2 + 2 2 + 21 2 . 2 2 . cos = √8 2 + 6 2 + 2. 8 2. 6 2. cos 90⃘⃘⃘° = √(64 + 36) + 0⃘⃘⃘ = √10⃘⃘⃘0⃘⃘⃘ = 10⃘⃘⃘ a.Arah vektor resultan (R) terhadap vektor 1 = 2 sin → sin = 2 sin = 8 sin 90⃘⃘⃘° 10⃘⃘⃘ = 8 1 10⃘⃘⃘ sin = 0⃘⃘⃘,8 = 53° b.Arah resultan vektor (R) terhadap vektor 1 ( − ) = 90⃘⃘⃘° − 53° = 37° Gambar 8:Arah resultan vektor menggunakan rumus sinus https://online.flipbuilder.com/wpba/jayd/ 5
Vektor 3. Pengurangan Vektor Menguramgi menjumlahkan vektor dengan lawannya. Misalnya vektor ⃗ =⃗ -⃗ dapat ditulis ⃗ =⃗ +(-⃗ .)Perhatikan gambar berikut! Perhatikan contoh berikut! Contoh: Secara geometri, tentukan pengurangan vektor berikut: a. b. Jawab: 1. Ubah arah vektor à sehingga vektor resultannya adalah ⃗ =⃗ +(−⃗ .). 2. Ubah arah vektor b sehingga vektor resultannya adalah ⃗ =⃗ +(-⃗ .) Modul Bahan Ajar Vektor 6 Gambar 9.1 : (a) Vektor ⃗ (b) vektor ⃗ dan (c) vektor ⃗ =⃗ - ⃗ https://books.google.co.id/books/about/Vektor.html?id
Vektor 4. Perkalian vektor Misalkan ⃗ adalah sebuah vektor,maka vektor 2⃗ adalah suatu vektor yang panjangnya 2 kali panjang vektor ⃗ dengan arah yang sama dengan vektor ⃗ . Sedangkan vektor (-4⃗ ) adalah vektor yang panjangnya 4 kali panjang dengan vektor arah berlawanan vektor ⃗ . Perhatikan gambar 8.1 secara umum perkalian vektor dengan bilangan real. a. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik antara dua vektor A dan vektor B merupakan besaran skalar yang besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor tehadap cosinus sudut apitnya. Perkalian titik dua vektor disebut juga sebagai perkalian skalar. b. Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang dua buah vektor A x B menghasilkan vektor yang arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh dua buah vektor tersebut dan besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor dengan sinus sudut apitnya. Modul Bahan Ajar Vektor = sin sin = − sin = . = cos cos = cos . = . 7 Gambar 8.1 : Perkalian vektor dengan bilangan real https://books.google.co.id/books/about/Vektor.html?id
Vektor Sebuah vektor A sebesar 10 satuan mengarah ke timur dan vektor B sebesar 5 satuan berarah ke utara bekerja pada titik yang sama. Hitungkah: a. Resultan vektor A dan B b. Perkalian titik vektor A dan B c. Perkalian silang vektor A dan B Modul Bahan Ajar Vektor Diketahui vektor a, b, dan e seperti gambar berikut. Besar vektor- vektor tersebut masingmasing 3, 4, dan 5 satuan. Tentukanlah: a. a . b b. a . c c. b . c d. a x b e. a x c f. b x c Jawab: a. a . b = a b cos y = (3) (4) cos 90°=(3) (4)(0) = 0 b. a. c = a c cos ( 180°- ) = a c (- cos ) = (3) (5) (− 3 5 ) = −9 c. b . c = b c cos ( 180°- ) = b c (- cos ) = (4) (5) (− 4 5 ) = −16 d. a x b = a b sin y = (3) (4) sin 90°=(3) (4)(1) = 12 e. a x c = a c (sin ) = (3) (5) ( 3 5 ) = 9 f. b x c = b c (sin ) = (4) (5) ( 4 5 ) = 16 CONTOH SOAL Uji Pemahaman 1 8
Vektor 1. Pengertian Vektor Satuan Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu satuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x, sumbu y dan sumbu z. vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j, dan vektor satuan pada sumbu z adalah k nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan. 2. Penjumlahan dan Pengurangan Sebuah vektor F terletak pada nang lalu diproyeksikan menjadi komponen-komponen vektor , dan . Secara matematis, vektor F pada gambar dibawah dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari tiga buah vektor yaitu: Besar vektor F dapat dihitung dengan menentukan komponen-komponen vektor yang saling tegak lurus satu sama lain melalui persamaan Modul Bahan Ajar Vektor VEKTOR SATUAN = + + √ 2 + 2 + 2 9 Gambar 10: vektor satuan https://online.flipbuilder.com/wpba/j ayd/ Gambar 11: Penjumlahan dan Pengurangan https://online.flipbuilder.com/wpba/j
Vektor Dalam analisis vektor satuan, jika dua buah vektor sama, besar komponen- komponen juga harus sama. Misalnya, Besar resultan penjumlahan dan pengurangan vektor tersebut dapat dinyatakan dengan aturan sebagai berikut 5. Perkalian a. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik antara daa vektor satuan akan bernilai satu jika kedua vektor tersebut sejenis dan bernilai nol jika kedua vektor tersebut tidak sejenis, Secara matematis, perkalian titik vektor A dan B dapat diperoleh sebagai berikut: Modul Bahan Ajar Vektor + + = + + Diketahui dua buah vektor berikut. = 3 − 6 + 2 B = + 3 − 5 Tentukan: a. A + B dan A – B b. Besar vektor A + B dan A - B Jawab : a. Resultan penjumlahan dan pengurangan + = (3 − 6 + 2) + ( + 3 − 5) = (3 + 1) + ( −6 + 3) + (2 − 5 ) = 4 − 3 − 3 − = (3 − 6 + 2) − ( + 3 − 5) = (3 − 1) + ( −6 − 3) + (2 + 5 ) = 2 − 9 + 7 b. Besar vektor A + B dan vektor A – B + = √4 2 + (−3) 2 + (−3) 2 = √34 − = √2 2 + (−9) 2 + 7 2 = √134 CONTOH SOAL 10 . = . = . = 1 . = . = . = 0⃘⃘⃘ . = + +
Vektor b. Perkalian Silang (Cross Produc Perkalian silang antara dua vektor satuan akan bernilai nol jika kedua vektor tersebut sejenis dan jika dua vektor yang berbeda akan menghasilkan vektor yang pula. Seperti berikut ini: Secara matematis, perkalian Vektor silang A dan B dapat diperoleh sebagai berikut: Jika ada dua buah vektor satuan yaitu = + 2 + 3 = 3 + 2 − Hitunglah: a. Perkalian titik vektor A dan B b. Perkalian silang vektor A dan B Modul Bahan Ajar Vektor = (− ) + (− ) + (− ) = = = 0⃘⃘⃘ = = − = = − = = − 11 Tentukan hasil perkalian titik (A . B) dan perkalian silang (A x B) antara dua vektor berikut = 2 + 3 + 5 B = 4 + 2 − Jawab : . = + + . = (2)(4) + (3)(2) + (5)(−!) . = 8 + 6 − 5 = 9 = (2 + 3 + 5)(4 + 2 − ) = (− ) + (− ) + (− ) = (3(−1) − 5(2)) + (5(4) − 2(−1)) + (2(2) − 3(4)) = (−3 − 10⃘⃘⃘) + (20⃘⃘⃘ + 2) + (4 − 12) = −13 + 22 − 8 CONTOH SOAL Uji Pemahaman 2
Vektor 1. Vektor adalah besaran yang memiliki besar/nilai dan arah. 2. Sebuah vektor terdiri atas pangkal vektor, panjang vektor, dan arah vektor. 3. Penjumlahan dan pengurangan vektor dapat menggunakan metode jajargenjang, metode poligon dun metode analisis. 4. Untuk mencari resultan vektor dengan metode analisis dapat dilakukan dengan cara yaitu menggunakan rumus kosinus dan rumus sinus 5. Perkalian vektor ada dua jenis yaitu perkalian titik dan perkalian silang. 6. Perkalian titik (dot product) suatu vektor dirumuskan dengan A . B = B . A dan untuk vektor satuan yaitu . = + + 7. Perkalian silang (cross product) suatu vektor dirumuskan dengan A x B = A B sin dimana A x B = -B x A dan untuk vektor satuan yaitu = (− ) + (− ) + (− ) Modul Bahan Ajar Vektor 12 RANGKUMAN
Vektor Indrajit, Dudi. 2009. Mudah dan Aktif Belajar Fisika 1: untuk Kelas X Sekolah Menengah Aus/Madrasah Aliyah Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Saroji. 2020. Modul Pembelajaran SMA Fisika Kelas X. Semarang: Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN Subagya, Hari dan Insih Wilujeng 2019. Buku Sirwa Fisika SMA/MA Kelompok Peminatan MIPA. Jakarta: Bumi Aksara. Suparmo dan Tri Widodo. 2009, Panduan Pembelajaran Fisika untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta:Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Modul Bahan Ajar Vektor DAFTAR PUSTAKA