จุดกำเนิดของทฤษฎีควอนตัม

จุดกําเนิดของทฤษฎคี วอนตมั บทท ี

( The Origin of the Quantum Theory) 1

Digital Image /the secrets of quantum physics 1.1 การแผ่รังสีของวตั ถดุ าํ
1.2 ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก
1.3 ความจคุ วามร้อนจําเพาะของของแขง็
1.4 ทฤษฎคี วอนตัมของสเปกตรัม
1.5 ปรากฏการณ์คอมป์ ตนั
1.6 สมมตฐิ านของเดอ เบรย
1.7 อนุภาคควอนตัม

เมือปลายศตวรรษที 19 ภายใตค้ วามซับซ้อนของจกั รวาล กฎและทฤษฎีต่าง ๆ ทาง แม็กซ์ พลงั ค์
ฟิ สิกส์กลับดูง่ายดายและสวยงามยิง นักฟิ สิกส์ในยุคนันเชือว่า ปรากฏการณ์ทังหมดใน
เอกภพสามารถอธิบายไดด้ ว้ ยความรู้ทางฟิสิกส์ทีมีอยใู่ นขณะนนั ไมว่ า่ จะเป็น กลศาสตร์ของ นักฟิ สิกส์ชาวเยอรมัน (ค.ศ.1858 -1947)
นิวตนั ทฤษฎีแมเ่ หลก็ ไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ ทศั นศาสตร์ อุณหพลศาสตร์และกลศาสตร์สถิติ พลงั คน์ าํ เสนอแนวคิด “quantum of action”
งานทีเหลือคือการศึกษารายละเอียดของเรืองนนั ๆ (ค่าคงทีของพลงั ค์ , h) ในความพยายามทจี ะ
อธิบายการกระจายแบบสเปกตรัมของการ
แต่จากการทดลองหลาย ๆ อย่าง ในช่วงตน้ ศตวรรษที 20 ชีให้เห็นว่า ความเชือ แผ่รังสีจากวตั ถุดาํ อนั เป็นทีมาของรากฐาน
ดงั กล่าว ยงั ห่างไกลจากความเป็นจริงนกั ฟิ สิกส์แผนเดิมไม่สามารถอธิบายผลการทดลอง ของทฤษฎีควอนตัม ในปี ค.ศ.1918 เขา
เหล่านนั ได้ ได้รับรางวลั โนเบลสาขาฟิ สิกส์จากการ
คน้ พบธรรมชาติของพลงั งานทีถูกควอน
ขณะทีศตวรรษที 20 กาํ ลงั เดินหน้าไป ทฤษฎีสัมพทั ธภาพพิเศษของไอน์สไตน์ ไทซ์ แมว้ ่าพลงั คจ์ ะเคยปรารภเกียวกบั การ
ก็เข้ามาแทนทีกลศาสตร์ของนิวตัน เมือพูดถึงความเร็วของอนุภาคเทียบกบั ความเร็วแสง แบ่งส่วนพลงั งานออกเป็นควอนตาว่า “ มนั
แต่ยงั มีหลายปัญหาทีทงั ทฤษฎีสัมพัทธภาพและฟิ สิกส์แผนเดิมไม่สามารถอธิบายได้ ก็แค่เป็นสิงสมมติขึนมาเท่านัน จริง ๆ แลว้
ตวั อย่างเช่น เราไม่สามารถอธิบายการเปล่งแสงของความยาวคลืนทีกระจดั กระจายของแสง ข้าพเจ้าไม่ได้คิดอะไรกับมนั มากหรอก”
จากอะตอมของกา๊ ซทีมอี ณุ หภมู ิสูงไดโ้ ดยใชก้ รอบความคิดฟิสิกสแ์ ผนเดิม แต่ต่อมา สิงทีเขา "สมมติ" ไดก้ ลายเป็นจุด
กําเนิดของฟิ สิกส์ควอนตัม ทีมีแนวคิด
ขณะทีนกั ฟิ สิกส์หลายคนพยายามคน้ หาแนวทางใหม่ ๆ เพือแกป้ ัญหาเหล่านนั กเ็ กิด แตกตา่ งไปจากฟิสิกส์แผนเดิม
การปฏิวตั ิทางฟิ สิกส์ขึนอีกครังในระหว่างปี ค.ศ.1900 – 1930 เมือนักฟิ สิกส์ผูย้ ิงใหญ่กล่มุ
หนึงมองลึกลงไปในโครงสร้างระดับอนุภาค พวกเขาพบว่า ในมิติของอนุภาคเล็กจิวนี
สิงต่าง ๆอยู่สองทีได้ในเวลาเดียวกัน ความแน่นอนทังหมดหายไป นีคือโลกพิลึก
ของกลศาสตร์ควอนตมั (quantum mechanics)

2

คาํ อธิบายแรกเกียวกบั ปรากฏการณ์เชิงควอนตมั ไดร้ ับการเสนอโดย แมก็ ซ์ พลงั ค์ จากการนาํ เสนอกฎการแผ่รงั สีของ
วตั ถุดาํ ต่อมาคอื ไอน์สไตน์ จากปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก หลงั จากนันก็มีนกั ฟิ สิกส์ทีมีชือเสียงอีกหลายคน เช่น เดบาย
โบร์ คอมป์ ตนั เดอ เบรย ชเรอดิงเงอร์ และไฮเซนเบิร์ก ไดท้ าํ การพฒั นาทางคณิตศาสตร์และได้ตีความตามหลงั ต่อมาจาํ นวน
มาก ทาํ ใหท้ ฤษฎีควอนตมั ประสบความสาํ เร็จอยา่ งใหญ่หลวง

หลกั การพนื ฐานของทฤษฎีควอนตมั คอื ทวภิ าพคลืน-อนุภาค นนั คือธรรมชาติของแสงทีเป็นไดท้ งั คลืนและอนุภาค
ซึงก่อนหนา้ นีเราพบว่าแสงเป็ นคลืนแม่เหล็กไฟฟ้า ผา่ นการทดลองต่าง ๆ ไมว่ ่าจะเป็นหลกั ของฮอยเกนส์ การทดลองช่อง
เปิ ดคู่ของยงั ทฤษฎีแมเ่ หลก็ ไฟฟ้าของแมก็ เวลล์ แสดงใหเ้ ห็นว่า แสงมีสมบตั ิของความเป็ นคลืน และเมือพิจารณาการส่งผ่าน
พลงั งานและโมเมนตมั เป็นกอ้ นอยา่ งตอ่ เนือง แสดงใหเ้ ห็นวา่ แสงมีสมบตั ิความเป็นอนุภาคดว้ ยเช่นกนั

ตวั อยา่ งอนั หนึงทีแสดงถึงความแตกต่างระหว่างกลศาสตร์แผนเดมิ กบั กลศาสตร์ควอนตมั คือ ในทางกลศาสตร์แผน
เดิมถือว่า เราสามารถวดั ปริมาณทงั หมดไดถ้ ูกตอ้ งพร้อมกนั แต่ในกลศาสตร์ควอนตมั เราไม่สามารถวดั ปริมาณเหล่านนั ได้
ถูกตอ้ งแมน่ ยาํ พร้อมกนั แสดงใหเ้ ห็นวา่ กลศาสตร์แผนเดิมเป็นเพยี งค่าประมาณของกลศาสตร์ควอนตมั เทา่ นัน

เนืองจากกลศาสตร์แผนเดิมไม่สามารถอธิบายปรากฏการณ์บางอย่างได้ มีนักฟิ สิกส์หลายท่านไดท้ าํ การทดลอง
เกียวกบั ปรากฎการณ์ต่าง ๆ ซึงพฒั นาเป็นลาํ ดบั ในช่วง 30 ปี แรกของศตวรรษที 20 ซึงสรุปไดด้ งั นี

ตารางที 1.1 การคน้ พบปรากฏการณเ์ ชิงควอนตมั ตงั แตป่ ี ค.ศ.1900-1930

ปี ทคี ้นพบ ผ้คู ้นพบ สิงทคี ้นพบ
การแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ (blackbody radiation)
ค.ศ.1900 พลงั ค์ (Planck) ปรากฏการณ์โฟโตอิเลก็ ตริก (photoelectric effect)
ทฤษฎีความจุความร้อนจาํ เพาะของของแขง็ ของไอนส์ ไตน์
ค.ศ.1905 ไอน์สไตน์ (Einstein) (Einstein theory of Specific heat capacity of solids)
ความจุความร้อนจาํ เพาะของของแขง็ ( Specific heat capacity of solids)
ค.ศ.1907 ไอนส์ ไตน์ (Einstein) ทฤษฎีควอนตมั ของสเปกตรัม (quantum theory of spectra)
ปรากฎการณ์คอมป์ ตนั (Compton effect)
ค.ศ.1912 เดบาย (Debye)
ค.ศ.1913 โบร์ (Bohr) ความเป็นคลืนของวตั ถุ (matter waves)
ค.ศ.1923 คอมป์ ตนั (Compton) หลกั การกีดกนั (exclusion principle)
ค.ศ.1924 กลศาสตร์เชิงเมทริกซ์ (matrix mechanics)
ค.ศ.1925 เดอ เบรย (De Broglie)
ค.ศ.1925 เพาลี (Pauli) กลศาสตร์เชิงคลืน (wave mechanics)
ค.ศ.1926 ไฮเซนเบิร์ก (Heisenberg) การทดลองเพือแสดงสมบตั ิทีเป็นคลืนของอิเลก็ ตรอน
(experiment on wave properties of electrons)
ค.ศ.1927 ชเรอดิงเงอร์ (Schrodinger) การอธิบายความหมายของฟังกช์ นั คลืน (interpretation of the wave fuction)
เดวสิ สันและเจอร์เมอร์ หลกั ความไมแ่ น่นอน (uncertainty principle)
ค.ศ.1927 (Davisson & Germer)
ค.ศ.1927 บอร์น (Born) สมการดิแรค (Dirac Equation)
ค.ศ.1928 ไฮเซนเบิร์ก (Heisenberg)

ดแิ รค (Dirac)

เนืองจากทฤษฎีควอนตมั มีการศึกษาอย่างกวา้ งขวาง ในบทนีจะอธิบายรายละเอียดบางหัวข้อเท่านัน ส่วนทีเหลือ
จะอธิบายในบทตอ่ ไปภายหลงั

3

11..11 การแผ่รังสีของวตั ถุดํา (Blackbody Radiation) Digital Image / www.evopolis.com

จากมุมมองของฟิ สิกส์แผนเดิม วตั ถุทีมีอุณหภูมิสูงกว่า 0 องศาสัมบูรณ์ หรือ 0 รูปที 1.1 ทาํ ไมไส้หลอดไฟจึงเปล่ง Digital Image /https://link.springer.com
เคลวิน จะแผร่ ังสีคลืนแม่เหลก็ ไฟฟ้าออกมา เรียกวา่ การแผร่ ังสีความรอ้ น (thermal radiation) แสงสีสม้ ? ฟิสิกส์แผนเดิมไม่สามารถ
ลกั ษณะพิเศษของการแผ่รังสีนีจะขึนอยูก่ บั อุณหภูมิและชนิดของพืนผิวของวตั ถุ การแผ่รังสี อธิบายเรืองนีได้ Digital Image /www.rmutphysics.com
ความร้อน เกิดจากอนุภาคทีมีประจุเร่งในอะตอม ใกลผ้ ิววตั ถุ อนุภาคทีมีประจุจะปล่อยรังสี
ความร้อนออกมา ในลกั ษณะของการกระจายพลังงาน เกิดเป็ นสเปกตรัมอย่างต่อเนือง กสุ ตาฟ โรเบิร์ต คีร์ชฮอฟฟ์
โดยรังสีความร้อนทีแผอ่ อกมาจากวตั ถุอยใู่ นช่วงความยาวคลืนประมาณ 0.1 µm ถึง 100 µm
ซึงประกอบดว้ ย รังสีความร้อนยา่ นยูวี (UV region) มีช่วงความยาวคลืนประมาณ 0.1 µm ถึง รูปที 1.2 แสดงการแผร่ ังสีของวตั ถดุ าํ
0.3 µm รังสีความร้อนย่านการมองเห็น (visible region) มีช่วงความยาวคลืนประมาณ 0.3 µm
ถึง 0.75 µm และรังสีความร้อนย่านอินฟราเรด (infrared region) มีช่วงความยาวคลืน
ประมาณ 0.75 µm ถึง 100 µm

วตั ถุทีมีอณุ หภูมิอยู่ทีอุณหภูมิหอ้ ง การแผร่ ังสีความร้อนจะมีความยาวคลืนส่วนใหญ่
อยู่ในช่วงอินฟราเรด ซึงเป็ นย่านทีตามองไม่เห็น ตัวเราเองทีกําลังนังอ่านหนังสืออยู่
ก็จะแผ่รังสีคลืนแม่เหล็กไฟฟ้าออกมา เพียงแต่ว่าอยู่ในย่านทีตามองไม่เห็นเช่นกัน สิงที
แผ่รังสีออกมาในย่านทีตามองเห็นเช่น หลอดมีไส้ เมือเราผ่านกระแสเข้าไปยงั ไส้หลอด
เมือไส้หลอดร้อน มนั จะแผค่ ลืนแม่เหลก็ ไฟฟ้าออกมาอยใู่ นย่านทีตามองเห็น คือ แสงสว่าง

อย่างไรกต็ ามช่วงปลายศตวรรษที 19 เป็นทีปรากฎชดั วา่ ทฤษฎีการแผร่ ังสีความร้อน
ยังไม่เพียงพอทีจะให้คําตอบ ปัญหาทีสําคัญ ก็คือ การทําความเข้าใจการกระจาย
ความยาวคลืนในการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ โดยเฉพาะปัญหาจากอุปกรณ์พืน ๆ อย่างหลอดไฟ
วิศวกรรู้ดีว่าเมือทาํ ให้ไส้หลอดร้อน ก็จะเกิดแสงสว่างขึน แต่ฟิ สิกส์แผนเดิมไม่สามารถ
อธิบายเรืองนีได้

ในปี ค.ศ.1860 ครี ์ชฮอฟฟ์ (Gustav Robert Kirchhoff , 1824  1887) นกั ฟิ สิกส์
ชาวเยอรมนั เรียกวตั ถทุ ีดูดกลืนแสงทุกความยาวคลืนวา่ วตั ถดุ ํา (Blackbody)

วัตถุดํา คือ วตั ถุในอุดมคติทีดูดกลืนรังสีคลืนแม่เหล็กไฟฟ้าทุกความยาวคลืน และ
แผร่ ังสีคลืนแมเ่ หลก็ ไฟฟ้าทกุ ความยาวคลืนเชน่ กนั เหตทุ ีเรียกวา่ วตั ถุดาํ กเ็ พราะวา่ สีดาํ เป็นสี
ทีดูดกลืนแสงทุกความยาวคลืน เวลาเราอยู่ทีมืดสนิทเราจะไม่เห็นแสงเลย ก็เพราะวา่ ตรง
บริเวณนนั ไม่มีแสงออกมาทุกความยาวคลืน เราจึงมองเห็นเป็นสีดาํ คือ ความมืด วตั ถุดาํ นี
จะมีค่าสภาพดูดกลืนรังสี(absorptivity) เทา่ กบั 1 ทาํ นองเดียวกนั สภาพเปลง่ รังสี(emissivity)
ก็มีค่าเท่ากับ 1 แต่จริ ง ๆ แล้ว ในธรรมชาติไม่มีวัตถุใดทีสามารถดูดกลืนรังสีคลืน
แมเ่ หลก็ ไฟฟ้าทกุ ความยาวคลืน และแผร่ ังสีคลืนแม่เหลก็ ไฟฟ้าไดท้ กุ ความยาวคลืน รูปที 1.2
แสดงการแผร่ ังสีของวตั ถดุ าํ

4

รูปที 1.3 แสงทีวิงเขา้ ไปในโพรงจะถูก เนืองจากการคาํ นวณหาความเขม้ ของพลงั งานทีแผ่ออกมาจากวตั ถุดาํ ทาํ ได้ยาก
ดูดกลืนทีผิวด้านในของโพรงทังหมด ดงั นนั เราจะพิจารณาวตั ถุดาํ ชนิดพิเศษ ซึงสามารถดูดกลืนและแผร่ ังสีคลืนแม่เหล็กไฟฟ้า
ในทุกความยาวคลืน เรียกวา่ วตั ถุดาํ ในอุดมคติ (ideal blackbody) วิธีการก็คือ ใชก้ ารศึกษา
สิงทีเรียกวา่ การแผร่ ังสีจากโพรง (cavity radiation) เป็นตวั แทนของวตั ถดุ าํ ทาํ ไดโ้ ดยการ
นาํ กอ้ นโลหะมาควา้ นให้เป็ นโพรง และเจาะรูเล็ก ๆ ทีดา้ นนอกหนึงรู เมือเราฉายแสงเขา้
ไปในโพรงนี แสงจะสะทอ้ นกลบั ไปกลบั มาอยู่ภายใน ถา้ รูเปิ ดเป็นช่องเลก็ ๆ โอกาสทแี สง
จะวิงออกมาทีรูเดิมแทบจะเป็นไปไมไ่ ด้ ซึงจะทาํ ให้แสงทีวิงเขา้ ไปถูกดูดกลืนทีผิวดา้ นใน
ของโพรงทงั หมด ดงั รูป 1.3

ดังนันเมือเราให้ความร้อนอย่างสมําเสมอแก่โพรงนี จนกระทังทุก ๆ ส่วนมี
อุณหภมู ิเดียวกนั หรือทีเรียกว่า ระบบอยใู่ นสภาพสมดลุ ทางความร้อน ทีอุณภูมิสูงพอ รังสี
ภายในโพรงจะถกู ปล่อยออกมาผา่ นรูเลก็ ๆ ดงั กล่าว ดงั รูปที 1.4 ซึงเราสามารถสรุปไดว้ า่ รู
เปิ ดนีมีสมบตั ิเป็นวตั ถดุ าํ

ในช่วงปลายศตวรรษที 19 – ตน้ ศตวรรษที 20 มีการทดลองเพือศึกษาการกระจาย
ความยาวคลืนในการแผร่ ังสีจากโพรง ดงั ตอ่ ไปนี

1.1.1 กฎของสเตฟาน-โบลต์ซมนั น์ (The Stefan-Boltzmann law)

รูปที 1.4 ทีอุณหภูมิสูงพอ รังสีภายใน จากการศึกษาการแผร่ ังสีจากโพรง ทาํ ใหม้ ีคาํ ถามเกิดขึนวา่ เราสามารถคาํ นวณหา
โพรงจะถูกปล่อยออกมาผ่านรูเล็ก ๆ ค่าความเข้มของรังสีทีแผ่ออกมาจากโพรง รวมทุกความยาวคลืน ทีอุณหภูมิใด ๆ
ดงั กล่าว ได้อย่างไร ในปี ค.ศ.1879 สเตฟาน ( Jozef Stefan , 1835  1893) นักฟิ สิ กส์ชาว
สโลวีเนีย ได้ทําการวดั ค่าความเข้มของการแผ่รังสีจากโพรง รวมทุกความยาวคลืน
ทีอุณหภูมิใด ๆ ได้ผลการทดลองดังกราฟในรูปที 1.5 จากนันก็คาํ นวณหาค่าอุณหภูมิ
ยกกาํ ลงั สี แลว้ นาํ มาเขยี นกราฟอีกครัง พบวา่ ไดก้ ราฟเสน้ ตรง ดงั รูป 1.6

รูปที 1.5 กราฟความสัมพนั ธ์ระหว่าง รูปที 1.6 กราฟความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง
ความเขม้ ของการแผร่ งั สีจากโพรง ความเขม้ ของการแผร่ ังสีจากโพรง
กบั อุณหภมู ิ กบั อณุ หภมู ิยกกาํ ลงั สี

5

เมือหาความชนั ของกราฟ จะได้ a = 5.67×10-8 W/ m2 K4 แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ 

จากสมการเส้นตรง y = ax+ b

จะไดว้ า่ I(T) =  T4 (1.1.1) กฎของสเตฟาน-โบลตซ์ มนั น์
โจเซฟ สเตฟาน
ในปี ค.ศ.1884 โบลต์ซมันน์ (Ludwig Eduard Boltzmann , 1844  1906) Digital Image /www.sciencephoto.com
นักฟิ สิกส์ทฤษฎีชาวออสเตรีย ไดใ้ ชก้ ารพิจารณาทางเธอร์โมไดนามิกส์ของการแผ่รังสี ลทู วิช เอดูอาร์ท โบลต์ซมนั น์
จากโพรง โดยพิจารณาการอัดและการขยายตามวฏั จกั รคาร์โน (Carnot cycle) ซึงจาก
คุณสมบตั ิของรังสีแบบไอโซทรอปิ กภายในโพรง พบว่า ความเขม้ ของการแผ่รังสี I(T)
สมั พนั ธก์ บั ความหนาแน่นของพลงั งาน  (T) ทีอณุ หภูมิ T ดงั ตอ่ ไปนี

I(T )  c  (T) (1.1.2)
4 (1.1.3)

เมือพิจารณาการอดั และการขยายตามวฏั จกั รคาร์โน

จะไดว้ า่ (T)   T4

แทนสมการที 1.3 ลงในสมการ 1.2

จะไดว้ า่ I(T)  c  T4 Digital Image /https://mgronline.com
กาํ หนดให้ 4
จะไดว้ า่
  c  5.67 108 W/ m2K4
4

I(T) = T4

แสดงให้เห็นว่า กฎของสเตฟานเป็ นจริง และเพือเป็ นการให้เกียรติแก่ทงั 2 จึงเรียกว่า
กฎของสเตฟาน-โบลต์ซมันน์ และเรียก  วา่ ค่าคงทขี องสเตฟาน-โบลต์ซมนั น์

PTR in Berlin : สถานทใี ห้กาํ เนดิ ทฤษฎีควอนตัม

ในปี ค.ศ.1887 รัฐบาลของเยอรมนั ไดล้ งทุนเงินหลายลา้ น Digital Image / https://momentum-magazin.de
สาํ หรับสถาบนั วิจยั เทคนิค Physikalisch – Technische Reichsanstalt
หรือ PTR ทีแห่งนีเป็ นจุดเริมตน้ ของทฤษฎีควอนตมั นักฟิ สิกส์ผูม้ ี รูปที 1.7 Physikalisch – Technische Reichsanstalt
ชือเสียงหลายท่านทําการทดลองที PTR แห่งนี ได้แก่ ลุมเมอร์, หรือ PTR ในปี 1891
พริงส์ฮายม์,เกอรล์บัม,พาสเชน, รูเบนส์,วีน และ พลังค์ ซึงในปี
ค.ศ.1900 พลงั ค์ ไดค้ น้ พบควอนตมั ของพลงั งาน จนในทีสุดนาํ มาซึง
กฎการแผร่ ังสีของวตั ถดุ าํ ซึงตรงกบั ผลการทดลอง

ปัจจุบัน PTR ได้เปลียนชือเป็ น Physikalisch-Technische
Bundesanstalt หรือ PTB

6 Digital Image /www.uni-wuerzburg.de

1.1.2 กฎการกระจัดของวีน (The Wien displacement law) วิลเฮล็ ์ม วนี

ในปี ค.ศ.1893 วีน (Wilhelm Wien ,1864 1928) นักฟิ สิกส์ชาวเยอรมัน ได้
ศึกษากฎของสเตฟาน-โบลต์มนั น์ ซึงอธิบายความเขม้ ของแสงทีแผ่ออกมาจากวตั ถุดาํ
แต่มิได้แสดงว่า ลักษณะการกระจายของความยาวคลืนของรังสีทีเปล่งออกมาจะมี
ความสัมพนั ธ์กับอุณหภูมิของวตั ถุดาํ ในลกั ษณะใด วีนได้ทดลองหาความยาวคลืนสูงสุด
max ทีอุณหภูมิใด ๆ เมือเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ระหว่างอุณหภูมิ T กบั ความยาวคลืน
สูงสุด max จะได้กราฟเส้นโคง้ ดงั รูปที 1.8 และคาํ นวณหาค่าผกผนั ของความยาวคลืน
สูงสุด แลว้ นาํ มาเขียนกราฟอีกครัง พบวา่ ไดก้ ราฟเสน้ ตรง ดงั รูป 1.9

รูปที 1.8 กราฟความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง รูปที 1.9 กราฟความสมั พนั ธร์ ะหว่าง
ความยาวคลืนสูงสุด กบั อณุ หภูมิ ค่าผกผนั ของความยาวคลืนสูงสุด กบั อณุ หภูมิ

เมือหาความชนั ของกราฟ จะได้ a = 2.898×10-3 m  K

จากสมการเส้นตรง y = ax+ b

จะไดว้ า่ T = 2.898103 1 (1.1.4) กฎการกระจดั ของวนี
หรือ max

max T = 2.898103 m K

1.1.3 กฎของวีน (Wien law)

ในเวลาตอ่ มา วนี ไดส้ ร้างฟังกช์ นั คณิตศาสตร์ แสดงกฎการแผ่รังสีของวตั ถดุ าํ ดงั นี

I(, T) = A e-B/ T (1.1.5) กฎของวีน
5

เมือ I(,T) คือ ความเขม้ ของการแผร่ ังสี ทีเป็ นฟังกช์ นั ความยาวคลืน  และอณุ หภูมิ T

ปริมาณ A และ B ไม่สามารถคาํ นวณไดโ้ ดยตรง แตส่ ามารถหาไดจ้ ากการเปรียบเทยี บ

สมการใหเ้ ขา้ กบั ขอ้ มูลจากการทดลอง

จากขอ้ เสนอของวีนนีเอง ทีทาํ ใหพ้ ลงั ค์ หนั มาให้ความสนใจเกียวกบั ลกั ษณะการ

แผ่รังสีของวตั ถุดาํ ในปี ค.ศ.1894 ขณะทีเขาดาํ รงตาํ แหน่งศาสตราจารย์ ในมหาวิทยาลัย

เบอร์ลนิ

หลงั จาก วีน ไดเ้ สนอกฎการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ ทาํ ให้นักฟิ สิกส์เริมให้ความสนใจ 7 Digital Image / www.otto-lummer.de
กับคุณสมบัติของการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ อย่างจริงจงั พวกเขาต้องการวดั ค่าฟลักซ์ของ
พลงั งานของการแผร่ ังสี ทีความยาวคลืน  และอุณหภูมิ T เพือนาํ มาวิเคราะห์ขอ้ มูลอยา่ ง รูปที 1.10 เครืองแผ่รังสีของวตั ถดุ าํ
ละเอียด ในปี ค.ศ.1898 ลุมเมอร์ (Otto Lummer ,1860 1925) นกั ฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั ของลมุ เมอร์และเกอรลบ์ มั
และ เกอรล์บมั (Ferdinand Kurlbaum ,1857 1927) นักฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั เช่นกัน
ไดร้ ่วมกนั ประดิษฐเ์ ครืองแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ ดงั รูปที 1.10

ในปี ค.ศ.1899 ลุมเมอร์ และ พริ งฮายม์ (Ernst Pringsheim ,1859  917)
สองนักฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั ทาํ การวดั ค่าค่าฟลกั ซ์ของพลงั งานของการแผ่รังสี ณ ความยาว
คลืนและอณุ หภมู ิตา่ ง ๆ กนั มากมาย โดยรูปที 1.11 แสดงตวั อย่างการแจกแจงเชิงสเปกตรัม
ของการแผร่ ังสีจากวตั ถุดาํ ทอี ุณหภูมิตา่ งกนั

Digital Image /https://alchetron.com

ออตโต ลมุ เมอร์

 ขอ้ มลู จากการทดลอง Digital Image /https://phaidra.univie.ac.at
O O O ขอ้ มลู จากการคาํ นวณโดยใชก้ ฎของวนี

เฟอร์ดนิ านด์ เกอรล์บมั

รูปที 1.11 แสดงการแจกแจงเชิงสเปกตรัมของการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ ทีอณุ หภูมติ า่ ง ๆ โดยลมุ เมอร์และพริงส์ฮายม์ Digital Image / www.ptb.de

เมือพิจารณาการแจกแจงเชิงสเปกตรัมของการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ ทีอุณหภูมิต่าง ๆ เออเนสต์ พริงส์ฮายม์
ดงั รูปที 1.11 จะเห็นไดว้ า่ เมือความยาวคลืนมาก ๆ ขอ้ มูลทีไดจ้ ากการคาํ นวณจะไม่ตรงกบั
ขอ้ มูลจากการทดลอง นนั คอื กฎของวนี ถูกตอ้ งเฉพาะทีความยาวคลืนนอ้ ย ๆ เทา่ นนั

8

ตัวอย่างที 1.1 จงหาความยาวคลืนสูงสุดของการแผร่ งั สีของวตั ถดุ าํ ทีแผอ่ อกมาจากร่างกายมนุษยท์ ีอณุ หภมู ิผวิ หนงั 35 0C

วิธที าํ ตอ้ งการหา T ; max T = 2.898103 m K

max = 2.898103 m K
(35  273) K

max = 2.898 103 m K
308 K

max = 9.41106 m
max = 9.41  m

การแผ่รังสีนีอยู่ในยา่ นอินฟราเรด ของเปกตรัมซึงตาไม่อาจมองเห็นได้ แต่สัตว์บางประเภท เช่น งูกะบะ สามารถตรวจบั

การแผร่ ังสีของความยาวคลืนนีได้ ดงั นนั จึงสามารถรู้ตาํ แหน่งของเหยอื ทีเป็นสตั วเ์ ลือดอนุ่ แมใ้ นทีมดื ได้

ตัวอย่างที 1.2 จงหาความยาวคลืนสูงสุดของการแผ่รงั สีของวตั ถดุ าํ ทีแผอ่ อกมาจากไส้หลอดไฟทงั สเตนทีอณุ หภูมิ 5000 K

วธิ ีทาํ ตอ้ งการหา T ; max T = 2.898103 m K

max = 2.898103 m K
5000 K

max = 0.58 106 m
max = 0.58  m

การแผร่ ังสีนีอยใู่ นยา่ นทีตามองเห็น คือ แสงสวา่ งนนั เอง

ตัวอย่างที 1.3 ดาวซีรีอสุ มีสมบตั ิเป็นวตั ถุดาํ มีความยาวคลืนสูงสุด 240 นาโนเมตร จงคาํ นวณหา

(A) อุณหภูมิพืนผวิ ของดาวซีรีอสุ (B) ความเขม้ ของการแผร่ ังสีของดาวซีรีอสุ รวมทกุ ความยาวคลืน

วธิ ีทาํ ตอ้ งการหา T ; max T = 2.898103 m K วิธีทาํ หา I(T) ; I(T)   T4

T = 2.898103 m K I(T)  (5.67 108 W/ m2 K4 )(12075 K)4
240 109 K I(T) 1.205109 W/ m2

T = 12075 K

ตัวอย่างที 1.4 จากกฎการแผ่รังสีของวีน I(, T) = A e-B/ T เมื อเปรี ยบเที ยบสมก ารให้เข้ากับข้อมูลจา กการทดลอง
5

พบว่า A = 3.75×10-16 W m2 และ B = 1.44×10-2 m K จงหาความเขม้ ของการแผร่ ังสี ทีความยาวคลืน

1.8 m ทีอณุ หภมู ิ 1500 K

วิธีทาํ ตอ้ งการหา I(,T) ; I(, T) = A e-B/ T
5

(3.75 1016 W m ) e2 -(1.44102 mK)/(1.8106 m)(1500 K)
(1.8106 m)5
I(, T) =

I(, T) = (3.751016 W m2 ) e-5.33
(1.8106 m)5

I(,T) = 9.6×1010 W/ m3

1.1.4 กฎของเรย์ล-ี ยนี ส์ (Rayleigh-Jeans law) 9 Digital Image / www.nobelprize.org

ใ น ปี ค .ศ .1900 เ รย์ลี (Lord Rayleigh ,1842 1919) นัก ฟิ สิ ก ส์ ชา ว อัง ก ฤ ษ ลอร์ด เรย์ลี
พลงั งานเฉลียของตวั กวดั แกวง่
ไดอ้ ธิบายการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ โดยใชท้ ฤษฎีคลืนแม่เหล็กไฟฟ้า และหลกั การแบ่งเท่ากนั ตามกฎของเรยล์ -ี ยีนส์

ของพลงั งาน( equipartition of energy) ค่าตวั เลขของยนี ส์แสดงจาํ นวน
ตวั กวดั แกว่งตอ่ หน่วยปริมาตร
เรยล์ ี พจิ ารณาโพรงโลหะแทนวตั ถดุ าํ ทีผนงั มีอุณหภูมิ T ในสภาวะสมดุลทางความ ทเี ป็นฟังกช์ นั ของความถี
ค่าตวั เลขของยีนส์แสดงจาํ นวน
รอ้ น โดยโพรงนีมีตวั กวดั แกวง่ (oscillators) คลืนแมเ่ หลก็ ไฟฟ้าภายในโพรงจะตอ้ งเป็นคลืน ตวั กวดั แกวง่ ต่อหน่วยปริมาตร
ทเี ป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลนื
นิง ทีมีบพั (node) อยทู่ ีผนงั ของโพรง เรยล์ ีคาํ นวณหาพลงั งานเฉลียของตวั กวดั แกวง่ E ซึง
เซอร์ เจมส์ ฮอพวดู ยนี ส์
พบวา่ มีคา่ เทา่ กบั kBT นนั คอื

E = kBT (1.1.6)

เมือ kB คอื คา่ คงทีของโบลตซ์ มนั น์ เท่ากบั 1.3811023 J/ K

เมือนาํ จาํ นวนตวั กวดั แกวง่ ทีมีความยาวคลืนตา่ ง ๆ คูณกบั พลงั งานเฉลียของตวั กวดั
แกว่ง และหารด้วยปริมาตรของโพรง จะได้ค่าพลังงานต่อหน่วยปริมาตร หรือ ความ
หนาแน่นของพลงั งาน ซึงก็คือสูตรการแผ่รังสีของเรยล์ ี แต่พบว่ายงั มีความผิดพลาดในการ
คาํ นวณทางตวั เลข

ซึ ง ต่ อ ม า ยีน ส์ (Sir James Hopwood Jeans ,1877 1946) นัก ฟิ สิ ก ส์ ช า ว
องั กฤษ ไดศ้ ึกษาสูตรการแผร่ ังสีของเรยล์ ี ซึงพบวา่ มีความผิดพลาดในการคาํ นวณทางตวั เลข
ยนี ส์ไดแ้ กไ้ ขตวั เลขดงั กล่าว เรียกว่า ค่าตวั เลขของยนี ส์ (Jeans’ number)

หาไดจ้ าก 8 2 (1.1.7)
หรือ c3 (1.1.8)
n( ) 

n( )  8
4

สามารถหาความหนาแน่นของพลงั งาน ทีเป็ นฟังกช์ นั ของความถี และอุณหภมู ิ T

ไดด้ งั นี ( , T)  n( ) E

8 2 (1.1.9)
c3
 ( , T)  kBT

และความหนาแน่นของพลงั งาน ทีเป็ นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน  และอุณหภูมิ T

ไดด้ งั นี (,T)  n() E Digital Image / https://alchetron.com

 ( , T)  8 kBT (1.1.10)
4

หรือหาความเขม้ ของการแผร่ ังสี ทีเป็ นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน  และอณุ หภมู ิ T

ไดด้ งั นี I( , T)  c  ( , T)
4

I( , T)  2 c kBT (1.1.11)
4

10

กฎของเรยล์ ี-ยีนส์ อธิบายไดด้ ีทีความยาวคลืนมาก ๆ ส่วนกรณีทีความยาวคลืนนอ้ ย ผลทีไดไ้ ม่ตรงกบั ผลการ
ทดลอง ดงั รูปที 1.12 เอรนั เฟสท์(Paul Ehrenfest ,1880 1933) นกั ฟิ สิกส์ชาวออสเตรียและดตั ช์ ไดเ้ รียกปรากฏการณ์
นีวา่ หายนะจากรังสีอลั ตราไวโอเลต (Ultraviolet catastrophe)

 (nm)

รูปที 1.12 เปรียบเทียบกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์ กบั ผลการทดลอง
พบวา่ ทีความยาวคลนื นอ้ ย ๆ ผลทไี ดไ้ ม่ตรงกบั ผลการทดลอง

เรียกปรากฏการณน์ ีว่า หายนะจากรังสีอลั ตราไวโอเลต

ตัวอย่างที 1.5 ความหนาแน่นของพลงั งานสูงสุดเกิดขึนทีความถี 1.21014 Hz ณ อณุ หภูมิ 2000 K จงคาํ นวณหา
(A) พลงั งานเฉลยี ของตวั กวดั แกวง่ ตามกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์

วิธีทํา ตอ้ งการหา E ; E = kBT

E = (1.3811023)(2000)

E = 2.7621020 J

(B) คา่ ตวั เลขของยนี ส์แสดงจาํ นวนตวั กวดั แกวง่ ต่อหน่วยปริมาตร ทีเป็นฟังกช์ นั ของความถี

วธิ ที าํ ตอ้ งการหา n( ) ; 8 2
c3
n( ) 

n( )  8(3.14)(1.2 1014 )2
(3.0108 )3

n( )  1.34 104 m3 Hz1

(C) ความหนาแน่นของพลงั งานสูงสุด ทีเป็นฟังกช์ นั ของความถี  และอณุ หภูมิ T ตามกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์

วิธีทํา ตอ้ งการหา  ,T ;   ,T  n( ) E
  , T  (1.34104 )(2.7621020 )
  , T  3.7 1016 J/ m3 Hz

11

1.1.5 กฎการแผ่รังสีของพลงั ค์ (Planck radiation law)

พลงั ค์ (Karl Ernst Ludwig Marx(Max) Planck , 1858 1947) นกั ฟิ สิกสช์ าวเยอรมนั ไดม้ ีความสนใจทีจะ

แกป้ ัญหาเกียวกบั การแผ่รังสีของวตั ถุดาํ มาตงั แต่ปี ค.ศ.1894 โดยช่วงแรก พลงั ค์ อาศยั ทฤษฎีทางเธอโมไดนามิกส์เชิง

คลาสสิก จนกระทงั ปี ค.ศ.1899 พลงั คไ์ ดต้ ีพมิ พส์ มการของการกระจายเชิงความถีของค่าความหนาแน่นของพลงั งานของ
การแผร่ ังสีจากโพรง ดงั นี

8 2 (1.1.12)
c3
 ( , T)  E

ในปี ค.ศ.1900 พลงั ค์ ได้เขา้ มาทาํ งานใน PTR งานของเขาก็คือ การคน้ หากฎการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ ทีถูกตอ้ ง เริม
จากการพยายามดัดแปลงกฎการแผ่รังสีของวีน ซึงผิดพลาดเมือความยาวคลืนมาก ๆ พลงั ค์ จึงหาทางลดค่าของฟังก์ชัน
เอก็ ซ์โพเนนเชียล เพือให้ขอ้ มูลตรงกบั ผลการทดลอง ดงั นี

I(, T) = A(eB/ T 1)1 (1.1.13)
5

แต่ปริมาณ A และ B ก็ยงั คงเป็ นปริศนาต่อไป คือ ไม่สามารถคาํ นวณไดโ้ ดยตรง แต่สามารถหาไดจ้ ากการเปรียบเทียบ
สมการใหเ้ ขา้ กบั ขอ้ มลู จากการทดลองเช่นเดิม

พลงั ค์ ไดพ้ ยายามต่อไป โดยพิจารณาสิงทีเขาคน้ พบเมือปี ค.ศ.1899 ซึงคลา้ ยกบั กฎของเรยล์ ี-ยนี ส์ แตพ่ ลงั คไ์ ม่เชือ

ในหลกั การแบ่งเฉลียพลงั งานแบบเสมอภาค ตามกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์ ดงั นนั พลงั ค์ จึงตงั สมมติฐานทีไม่ธรรมดาวา่ พลงั งาน

ทีดูดกลืนหรือเปล่งออกมาจากวตั ถุดาํ จะตอ้ งมีค่าทีไม่ต่อเนือง กล่าวคือ เป็ นค่าควอนตมั ของพลงั งาน หรือ ควอนตา

(quanta) พลงั ค์ คน้ พบวา่ ควอนตมั ของพลงั งานเป็นปฏิภาคโดยตรงกบั ความถีของรังสี คอื

E = nh (1.1.14)

เมือ n คือ เลขควอนตมั (quantum number) ซึงเป็ นจาํ นวนเตม็ นนั คือ n  1, 2,3,...

h คอื ค่าคงทีของพลงั ค์ ตอนแรกยงั ไมท่ ราบคา่

ผลอนั นีสร้างความประหลาดใจให้กับนักฟิ สิกส์ยุคนัน เพราะขดั แยง้ กับฟิ สิกส์แผนเดิม ซึงบอกว่า พลังงาน
ไม่ขึนกบั ความถีแตจ่ ะขึนกบั แอมพลิจดู ของการสันเท่านนั

เนืองจากพลังงานของแต่ละตัวกวดั แกว่งมีค่าไม่ต่อเนือง เราอาจพูดว่าพลงั งานนีถูกควอนไทซ์ (quantized)

พลงั ค์ ไดห้ าพลงั งานเฉลียทงั หมดของตวั กวดั แกว่ง โดยอาศยั สมมติฐานของเขาเอง และความน่าจะเป็ นทีสามารถพบ

อนุภาคในสถานะพลงั งาน E ใด ๆ ซึงเป็ นไปตามการแจกแจงของแมก็ ซเ์ วลล-์ โบลตซ์ มนั น์ คอื

P(E)  Ae-E/kBT (1.1.15)

หาพลงั งานเฉลียทงั หมดของตวั กวดั แกวง่ ไดด้ งั นี


 E P(E)
E  n0 (1.1.16)

 P(E)
n0

12

 กาํ หนดให้ u = 1+ ex + e2x + ...

 nh Aenh /kBT
E  n0
 จากสูตร  lnu = 1  u
 Aenh /kBT x u x
n0

  lnu = 1  (1+ ex + e2x + ...)
x u x
 nh enh /kBT
E  n0
  1  1  ex  e2x + ...
 enh /kBT x u x x 
lnu =   x + +

n0

E  (0) h e(0)h /kBT  (1) h e(1)h /kBT  (2) h e(2)h /kBT  ... ใชส้ ูตร c = 0 ,  ex = ex และ  eu  ex u
x x x x
(2) h /kBT
e  e  e  ...(0)h /kBT
(1) h /kBT

E  0  h e h /kBT 2 h e2h /kBT  ...  lnu = 1 0 + ex + e2x 2 x + ...
1  eh /kBT  e2h /kBT  ... x u x

กาํ หนดให้ x =  h  lnu = 1 ex + 2 e2x + ...
kBT x u

E  h ex  2 h e2x  ...  ln ln(1 + ex + e2 x + ...) = ex + 2 e2x + ...
1 ex + e2x  ... x 1+ ex + e2x + ...

E  h (ex + 2 e2x + ...)
1 ex + e2x  ...

จากการพจิ ารณาพบวา่ ex + 2 e2x + ...   ln(1+ ex + e2x + ...) กาํ หนดให้ u = (1- ex )-1
1+ ex + e2x + ... x
จากสูตร  1 u
E = h  ln(1+ ex + e2x + ...) x lnu = u x
x
 lnu = 1  (1- ex )-1
E = h  ln(1+ ex + e2x + ...) x u x
x
กาํ หนดให้ v = 1- ex
เนืองจาก (1+ ex + e2x + ...)(1- ex ) = 1 หรือ 1 + e x + e2 x + ... = 1
- ex
1 ใชส้ ูตร  vn = nvn-1 v
x x
E = h  ln  1 
x  1 -e x   lnu = 1 (-1)(1- ex )-2  (1- ex )

E = h  ln(1- ex )-1 x u x
x
 lnu = 1 (-1)(1- ex )-2  1 -  ex 
x u  x 
E = h ex   x 
1- ex
 lnu = 1 (-1)(1- ex )-2 0 - ex 
ex x u
E = h 1- ex
 ex
เนืองจาก ex 1 x ln(1- ex )-1 = 1- ex
1- ex e-x -1
=

E = h พลงั งานเฉลยี ของตวั กวดั แกว่ง
e-x -1 ทีเป็นฟังกช์ นั ของความถี
ตามกฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์
E = h 1 (1.1.17)
eh / kBT

จาก 8 2
c3
 ( , T)  E ความหนาแน่นของพลงั งาน

จะไดว้ า่ 8 2  h  (1.1.18) ทีเป็นฟังกช์ นั ของความถี 
c3  eh /kBT 1
( , T)  และอณุ หภมู ิ T

13

หรือเขียนอยใู่ นรูป (,T) ไดด้ งั นี

จาก c  

หรือ c พลงั งานเฉลยี ของตวั กวดั แกวง่

ทเี ป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลนื 
จะได้ E hc 1 (1.1.19) ตามกฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์
  (ehc/ kBT 1)

ดงั นนั (, T)  8  hc 1 (1.1.20) ความหนาแน่นของพลงั งาน
4   (ehc/ kBT 1)  ทีเป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลนื 
(1.1.21) และอุณหภมู ิ T
หรือเขียนอยใู่ นรูปของความเขม้ ของการแผร่ ังสี I(,T) ไดด้ งั นี (1.1.22)
ความเขม้ ของพลงั งาน
จาก I(, T)  c  (, T) ทเี ป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน 
4 และอุณหภมู ิ T

I( , T)  2 hc2 1
5  (ehc/ kBT 1) 

สมการที 1.1.18 , 1.1.20 และ 1.1.22 เรียกวา่ กฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์

สามารถแสดงการแจกแจงเชิงสเปกตรัมของการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ ซึงเปรียบเทียบระหว่างกฎการแผ่รังสีของ

พลงั ค์ กฎของวนี กฎของเรยล์ -ี ยนี ส์ และผลการทดลอง ซึงจะเห็นไดว้ า่ กฎการแผร่ งั สีของพลงั ค์ เขา้ กบั ขอ้ มลู การทดลองได้

เป็นอยา่ งดีดงั รูปที 1.13

รูปที 1.13 เปรียบเทียบกฎ
การแผร่ ังสีของพลงั ค์ กฎ
ของวนี กฎของเรยล์ ี- ยนี ส์
และผลการทดลอง

พลงั ค์ ไดเ้ สนอกฎการแผ่รังสีของเขาในทีประชุมสมาคมฟิ สิกส์เยอรมนั เมือวนั ที 19 ตุลาคม ค.ศ.1900 และไดร้ ับ
การตีพิมพใ์ นปี ค.ศ.1901 มนั สร้างความประหลาดใหแ้ ก่ทุกคนทีไม่ค่อยจะเขา้ ใจว่า พลงั คก์ าํ ลงั เสนอแนวคดิ อะไร แต่จาก
ผลลพั ธ์ของขอ้ เสนอนี พลงั คย์ งั สามารถแสดงสูตรซึงตรงกบั ผลการทดลองพอดี ทาํ ใหน้ กั ฟิ สิกส์ตอ้ งยอมรับแนวคดิ ดงั กลา่ ว
โดยเฉพาะอย่างยงิ หลงั จาก ไอน์สไตน์ ไดแ้ สดงแนวคิดเพิมเติมอืน ๆ

14

สิงทีน่าสนใจเป็นอย่างยิงกค็ ือ กฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์ สามารถยอ้ นกลบั ไปยงั กฎตา่ ง ๆก่อนหนา้ นีไม่ว่าเป็น กฎ
ของสเตฟาน-โบลตซ์ มนั น์ กฎการกระจดั ของวนี กฎของวนี และกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์ เมือเรากาํ หนดเงือนไขต่าง ๆ ดงั ตอ่ ไปนี

1. กฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์ จะลดลงสู่กฎของสเตฟาน-โบลตม์ นั น์ ทาํ ใหเ้ ราทราบคา่ ของค่าคงทีของพลงั ค์

จาก I(, T)  2 hc2 1 
5  
 (e hc/  k BT 1) 

ใชก้ ารอินทิเกรตเพือหาคา่ ของความเขม้ ของการแผ่รงั สีรวมทุกความยาวคลืน ดงั นี

 

I(T)   I(, T) d 
0

I(T)    2 hc2  (e hc/  1  1)  d 
 0 5  
kBT

กาํ หนดให้ x = hc หา d ในเทอมของ dx เมือ x  hc
 kBT kBT


hc2   1  1 โดย x  hc
I(T)  2  0 5  (ex -1)  d      kBT

hc2  1 1   2 kBT  x  hc   1
I(T) 2  0 5  (ex -1)   hc  dx  kBT 

 xn
hc2  1 1   2 kBT  dx ใชส้ ูตร x  nxn-1
I(T)  2  0 5  (ex -1)   hc 

x hc (1) 2
ck BT   1 1    kBT
I(T) 2  0 3  (ex -1)  dx


เนืองจาก x x x   hc
 2 kBT
 f x dx    f(x) dx
x0 x0 2 kBT
d   hc dx
  1 1 
2 ck BT  0 3 
I(T)   (ex - 1)  dx


จาก x = hc    hc  1  xk BT   1 3   xkBT 3  1  x 3k B3T3
 kBT xk BT  hc     hc  3 h3c3

I(T) x x 3k B3T3 1 การหาค่าคงทพี ลงั ค์ h
 2 ck B T x0 h3c3  (ex -1)  dx

2 kB4T4 x x3 จาก   2 5 k 4
h3c2 x0 (ex -1) 15 h B
I(T) dx
 3c2

x x3 4 h3  2 5 k 4
x0 (ex -1) 15 15  B
เนืองจาก
dx  c2

2 (3.14)5 (1.381023)4
15 5.67 108 3.0 108 2
2 k 4 T4 4   h3
B 15
I(T) 
h3c2

2  5 kB4T 4 h3 = 2.892528×10-100
15 h3c2 h  6.626 1034 J s
I(T) 

แสดงวา่ ค่า 2  5 k 4 คอื ค่าคงทีของสเตฟาน-โบลตซ์ มนั น์ 
B

15 h3c2

ดงั นนั I(T)   T4 ซึงก็คอื กฎของสเตฟาน-โบลตซ์ มนั น์ นนั เอง

15

2. กฎการแผร่ งั สีของพลงั ค์ จะลดลงสู่กฎการกระจดั ของวนี ในขีดจาํ กดั ทีความยาวคลืน  มีค่านอ้ ย

จาก (, T)  8  hc 1
4   (ehc/ kBT 1) 

เนืองจาก เมือ  1 หรือ  เขา้ ใกล้ 0 ทาํ ให้ ehc/ kBT  1

ดงั นนั 11 หา  e5 hc/ kBT
นนั คือ ehc/ kBT 1  ehc/ kBT

 ( , T)  8  hc 1
4   (ehc/ kBT )  ให้ u =  5 และ v  ehc/ kBT

(, T)  8 hc e hc/ kBT แลว้ ใชส้ ูตร  uv  u  v  v  u
5 x  x  x

หาอนุพนั ธ์เทียบกบั     e   e  e 5 hc/ kBT
5  hc/ kBT  hc/ kBT 5

  8 hc   
  5
 ( , T)  e hc/ kBT   5 e hc/ kBT   5 e hc/ kBT  hc  ehc/ kBT (5) 6
   kBT

  (, T)  8 hc   e5 hc/ kBT   5 ehc/ kBT   5 ehc/ kBT   hc    1  ehc/ kBT (5) 6
    kBT  
 

 hc 5    5 ehc/ kBT   5 e hc/  kBT  - hc  (1) 2  ehc/ kBT (5) 6
6    kBT 
(, T)  8 hc e hc/ kBT  e hc/ kBT   
  7 k BT
  hc 5
  e5 hc/ kBT  7 kBT e hc/ kBT 6 ehc/ kBT

  ( , T)  8 h2c2 e  hc/ kBT 40 hc e hc/ kBT
 7 kBT 6

หา max เมือจดั ให้  (, T)  0


40 hc e hc/  k BT  8 h2c2 e hc/ kBT
6 7 kBT

max T  hc
5kB

max T  (6.626 1034 )(3.0 108 )
5(1.38 1023 )

max T  2.89103 m K ซึงก็คอื กฎการกระจดั ของวนี นนั เอง

3. กฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์ จะลดลงสู่กฎของวีน ในขีดจาํ กดั ทีความยาวคลืน  มีค่านอ้ ย

จาก I(, T)  2 hc2 1 
5  
 (e hc/  k BT 1) 

เนืองจาก เมือ  1 หรือ  เขา้ ใกล้ 0 ทาํ ให้ ehc/ kBT  1

ดงั นนั 11
ehc/ kBT 1  ehc/ kBT
จะไดว้ า่
ดงั นนั I( , T)  2 hc2 1 
5  ehc/ kBT 

A  2 hc2  3.751016 W m2 และ B = hc  1.44 102 m K
kB

I( , T)  AeB/ T ซึงก็คือกฎของวีน นนั เอง
5

16

4. กฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์ จะลดลงสู่กฎของเรยล์ ี-ยนี ส์ ในขดี จาํ กดั ทีความยาวคลืน  มคี า่ มาก

จาก  (, T)  8  hc 1
4  
  (ehc/  kB T  1) 

กาํ หนดให้ x = hc
 kBT

จาก Digital Image / www.lesa.bizex = 1+ x+ x2 + ...
Digital Image / www.bloggang.com2!

ehc/ kBT 1  hc  1  hc 2  ...
kBT 2 !  kBT 


ถา้  มีค่ามาก ๆ

ehc/ kBT 1 hc
 kBT


 
จะได้ (, T) 8  hc 1  รูปที 1.14 ปรอทวดั ไขท้ างหูอนั หนึง ขณะวดั อณุ หภมู ิของผูป้ ่ วย
 4 hc โดยการตรวจวดั ความเขม้ ของการแผร่ ังสีอินฟราเรด
  ทีปลอ่ ยออกมาจากแกว้ หู
 (1  kBT 1) 


 ( , T)  8  hc  kBT 
4   hc 

ดงั นนั  ( , T)  8 kBT ซึงกค็ อื กฎของเรยล์ ี-ยนี ส์ นนั เอง
4

กว่า 100 ปี แลว้ PTR ยงั คงทาํ แบบเดียวกนั ในการวดั ค่าการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ เพียงแต่แม่นยาํ กว่าเป็ นอย่างมาก ด้วย
อุปกรณ์ทีทันสมัยมากกว่าเดิม และสามารถทดลองทีอุณหภูมิสูง ๆ ได้อย่างง่ายดาย รูปที 1.15 แสดงการแจกแจงเชิง
สเปกตรัมของการแผร่ ังสีของวตั ถดุ าํ ทีอณุ หภูมิสูง ๆ ซึงเป็นการยนื ยนั ความถกู ตอ้ งของกฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์

รูปที 1.15
การแจกแจงเชิงสเปกตรัม
ของการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ
ทีอุณหภูมติ ่างกนั

17

ตวั อย่างที 1.6 วตั ถุมวล 1.00 kg ตอ่ อยกู่ บั สปริงเบา ทีมคี ่าคงที 20.0 N / m สปริงถูกยดื ใหห้ ่างออกจากจุดสมดลุ ของ
มนั เป็นระยะ 0.200 m และถกู ปล่อยจากจุดหยดุ นิง จงหา
(A) พลงั งานและความถีของระบบเมือคาํ นวณโดยใชฟ้ ิ สิกสแ์ ผนเดิม

วธิ ที าํ ตอ้ งการหา E และ f

E  1 kA 2  1 (20.2)(0.200)2  0.404 J
2 2

f  1 k  1 20.0  0.318 Hz 
2 m 2 5.00

(B) สมมติใหพ้ ลงั งานของวตั ถุสันแบบควอนไทซ์ จงหาเลขควอนตมั ของระบบทีสันดว้ ยแอมพลิจูดนี

วิธีทํา ตอ้ งการหา n ; E  nh

หรือ n  E
h

n  (6.626 0.404
1034 )(0.318)

n  1.921034

เลขควอนตมั ทีไดน้ ีมีคา่ มาก ซึงเป็ นค่าปกตขิ องระบบมหภาค

ตวั อย่างที 1.7 ความหนาแน่นของพลงั งานสูงสุดเกิดขึนทีความถี 1.21014 Hz ณ อุณหภูมิ 2000 K จงคาํ นวณหา

(A) h และ h / kBT

วธิ ีทํา h  (6.626 1034 )(1.41014 )  9.31020 J

h  (9.31020 )  3.4
kBT (1.3811023 )(2000)

(B) พลงั งานเฉลียของตวั กวดั แกวง่ ตามกฎการแผ่รงั สีของพลงั ค์

วธิ ีทํา ตอ้ งการหา E ;E = h 1
eh / kBT

E = (9.31020 )
e3.4 1

E = (9.31020 )
30 1

E = 3.21021 J

(C) ความหนาแน่นของพลงั งานสูงสุด ทีเป็นฟังกช์ นั ของความถี  และอุณหภมู ิ T ตามกฎการแผ่รังของพลงั ค์

วิธีทํา ตอ้ งการหา 8 2 จากตวั อยา่ งที 1.5 (B) 8 2  1.34 104 m-3 Hz-1
ดงั นนั c3 c3
 ( , T)  E

 ( , T)  (1.34 104 )(3.2 1021)

( , T)  4.9 1017 J/ m3 Hz

18

Digital Image / https://horowhenua.kete.net.nz 11.2 ปรากฏการณ์โฟโตอเิ ลก็ ตริก (The Photoelectric effect)

ในปี ค.ศ.1887 เฮิรตซ์ (Heinrich Rudolf Hertz ,1857 1894) นักฟิ สิ กส์ชาว

เยอรมนั ซึงกาํ ลงั ทดลองอยกู่ บั เครือง Spark-Gab generator ซึงเป็นอุปกรณ์ยคุ แรกๆทีใชใ้ นการ

ส่งสัญญาณวิทยุ เฮิรตซส์ ังเกตพบว่า เมือมีแสงกระทบผิวโลหะ อาจมีอิเล็กตรอนหลุดออกมา

จากผวิ โลหะได้ อิเลก็ ตรอนทีเกิดขึนเรียกวา่ โฟโตอิเลก็ ตรอน (photoelectron) ต่อมาพบวา่ เมือ

ไฮน์ริช รูดอล์ฟ เฮริ ตซ์ มีแสงอลั ตราไวโอเลต มาตกกระทบบนอุปกรณ์ เครืองส่งสัญญาณนีจะทาํ งานดีขึน ซึงสร้าง

ฟิ ลปิ ป์ เลนาร์ด ความแปลกใจให้กับเฮิรตซ์เป็ นอย่างมาก เฮิรตซ์อธิบายว่าปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริกจะ

อลั เบิร์ต ไอน์สไตน์ เกิดขึนไดส้ ําหรับแสงทุกความถีหรือทุก ๆ ความยาวคลืนทีมีความเขม้ สูงพอ และถา้ เพิมความ
นักฟิ สิกส์ชาวเยอรมัน (ค.ศ.1879 -1955)
Digital Image / http://www0.tint.or.thซึงเป็นทียอมรบั กนั อย่างกวา้ งขวางว่าเป็น เขม้ แสง พลงั งานจลนข์ องโฟโตอิเลก็ ตรอนจะเพิมขึนดว้ ย
นกั วิทยาศาสตร์ทียิงใหญ่ทีสุดในศตวรรษ
ที 20 ในปี ค.ศ.1905 เขาตีพิมพเ์ อกสารทาง ในปี ค.ศ.1900 เลนาร์ด (Philipp Lenard ,1862 1947) นกั ฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั ซึง
วิทยาศาสตร์ 4 ฉบบั ซึงปฏิวตั ิแนวคิดทาง
ฟิสิกส์ โดยที 2 ฉบบั ในนนั เป็นผลงานทีมี ขณะนนั เขาเป็นผชู้ ่วยของเฮิรตซ์ พบวา่ พลงั งานจลน์ของโฟโตอิเลก็ ตรอน ไมข่ ึนกบั ความเขม้
ความสําคญั มาก คือ ทฤษฎีสัมพทั ธภาพ
พิเศษ และปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก ของแสง ซึงขดั แยง้ กบั ฟิ สิกส์แผนเดิม เพราะฟิ สิกส์แผนเดิมอธิบายว่า ความเขม้ คือ พลงั งาน
จนกระทังเขาได้รับรางวัลโนเบลสาขา
ฟิ สิกส์ใน ค.ศ. 1921 จากการอธิ บาย งานตอ่ หนึงหน่วยพืนที และอีกปริศนา ทีสร้างความสับสนใหก้ บั เลนาร์ด กค็ อื ถา้ แสงมีความถี
ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก และจากการ
ทาํ ประโยชน์แกฟ่ ิสิกส์ทฤษฎี ตาํ กว่าค่าหนึงแล้ว จะไม่มีอิเล็กตรอนหลุดออกมาเลย แต่เมือแสงทีตกกระทบแผ่นโลหะ

มีความถีมากกว่าค่าดังกล่าว ก็จะมีอิเล็กตรอนบางตวั ทีสามารถถูกผลกั ให้หลุดออกมาได้

ภายหลงั ค่าความถีนีถกู ตงั ชือวา่ ความถีขีดเริม (cutoff frequency) และอิเลก็ ตรอนทีหลดุ ออกมา

Digital Image / www.nobelprize.org นี กลบั มีพลงั งานเป็นสัดส่วนโดยตรงกบั ความถี ทงั ทีทฤษฎคี ลืนของแสง ทาํ นายวา่ ไม่วา่ คลืน

แสงความถีเท่าใด กน็ ่าจะมีพลงั งานพอ ทีจะถ่ายทอดให้อิเลก็ ตรอนหลุดออกจากโลหะได้

ในปี ค.ศ.1905 ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ,1879 1955) นกั ฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั

สามารถอธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริกได้สําเร็จ โดยอาศยั สมมติฐานของพลังค์

ไอนส์ ไตนส์ มมติวา่ แสงประกอบดว้ ยพลงั งานของควอนตา ซึงมีความสมั พนั ธก์ บั ความถี ดงั นี

E = h (1.2.1)

แสงทีมีพลงั งาน h จะมีสมบตั ิเป็ นอนุภาค คือมีการส่งผ่านพลงั งานเป็ นกอ้ นอยา่ ง

ต่อเนือง โดยทีอนุภาคของแสงนี ไอน์สไตน์ เรียกว่า โฟตอน (photon) ดงั นัน โฟตอน 1 ตวั

จะมีพลงั งาน h , โฟตอน 2 ตวั จะมีพลงั งาน 2 h และ โฟตอน n จะมพี ลงั งาน nh

เมือแสงทีมีความถีค่าหนึงตกกระทบแผ่นโลหะ จะถ่ายเทพลังงานทงั หมดให้แก่

อิเล็กตรอนในผิวโลหะ ซึงผิวโลหะนีทาํ หนา้ ทีเป็นโฟโตแคโทด (photocathode) พลงั งานส่วน

หนึงจะใช้ในการทาํ ให้อิเล็กตรอนหลุดออกมาจากผิวโลหะทนั ทีทีแสงตกกระทบ พลงั งาน

ส่วนนีเรียกวา่ ฟังก์ชนั งาน (work function)  ส่วนพลงั งานทีเหลือจะถ่ายเทให้แก่อิเลก็ ตรอน

ในรูปของพลงั งานจลน์ ซึงก็คอื พลงั งานจลนส์ ูงสุด Tmax เพือใชใ้ นการวิงเขา้ หาแอโนด(anode)
หรือแผน่ ขวั รวบรวม (collecting plate) เป็นไปตามกฎอนุรักษพ์ ลงั งาน ดงั นี

h    Tmax (1.2.2)

อย่างไรก็ตามหลายคนในยุคนัน ไม่เชือการคาํ นวณบนกระดาษ และหลายคน 19Digital Image /www.nobelprize.org
พยายาม ทาํ การทดลอง เพือพิสูจน์ขอ้ เสนอของไอน์สไตน์ ในปี ค.ศ.1916 มิลิแกน โรเบริ ์ต แอนดริวส์ มลิ ลแิ กน
(Robert Andrews Millikan , 1868 1953) นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน ไดท้ าํ การ
ทดลองเพือทดสอบสิงทีไอน์สไตน์เสนอ ซึงพบว่าสิงทีไอน์สไตน์ไดเ้ สนอไวก้ ่อนหน้า
นีเป็ นจริ ง

อุปกรณ์การทดลองปรากฏการณ์โฟโตอิเลก็ ตริก แสดงไวด้ งั รูปที 1.16 โดยตอน
แรกเราต่อเซลล์ไฟฟ้า ให้แผน่ ขวั รวบรวมเป็ นบวก และแผ่นโลหะเป็นลบ เมือเราฉาย

แสงลงมากระทบกบั ผิวโลหะ จะทาํ ให้อิเลก็ ตรอนหลุดออกมา เนืองจากสนามไฟฟ้ามี
ทิศจากแผน่ ขวั รวบรวมไปยงั แผน่ โลหะ ดงั นนั อิเล็กตรอนซึงมีประจุลบจะเคลือนทีมายงั
แผ่นขัวรวบรวม และเกิดกระแสทีเรียกว่า กระแสโฟโต (photocurrent)i ซึงวดั ได้

แอมป์ มิเตอร์ และสามารถวดั ความต่างศกั ยร์ ะหวา่ งขวั ทงั สองโดยใชโ้ วลตม์ ิเตอร์

ถา้ ให้ศักย์ V เพิมขึน จาํ นวนอิเล็กตรอนทีวิงเขา้ หาแผ่นรวบรวมจะเพิมขึน
กระแสโฟโตก็จะเพิมขึนเรือย ๆ จนกระทงั ถึงจุดหนึง ไม่ว่าจะเพิมค่าศกั ย์ V มากขึน
เท่าใดก็ตาม กระแสโฟโตก็จะไม่เพิมอีกเลย เรี ยกกระแสทีจุดนีว่า กระแสอิมตัว

(saturation current) ดงั รูปที 1.17

รูปที 1.16 อุปกรณ์การทดลองปรากฏการณ์
โฟโตอิเล็กตริก โดยแผน่ ขวั รวบรวมเป็นบวก
และแผน่ โลหะเป็นลบ

รูปที 1.17 กราฟแสดงความสมั พนั ธ์ระหวา่ งศกั ย์ V กบั กระแสโฟโต i
สาํ หรับแสงทีมีความถคี ่าหนึง

เมือทาํ การวดั กระแสโฟโต ทีศกั ย์ V ตา่ ง ๆ จาก 0 ถึง +V ใด ๆ แลว้ จากนนั ก็ รูปที 1.18 อปุ กรณ์การทดลองปรากฏการณ์
ทาํ การกลบั ขวั ศกั ย์ V ให้แผ่นขวั รวบรวมเป็ นลบและแผ่นโลหะเป็ นบวก ดงั รูปที 1.18 โฟโตอเิ ล็กตริก โดยแผน่ ขวั รวบรวมเป็นลบ
ค่อย ๆ เพิมศกั ย์ V จนกระทงั อิเล็กตรอนทุกตวั ไม่สามารถวิงไปยงั ขวั รวบรวมได้ หรือ และแผน่ โลหะเป็นบวก
กระแสหยุดไหลนันเอง ค่าศกั ยซ์ ึงน้อยทีสุดทีสามารถหยุดอิเล็กตรอนได้ทุกตวั เรียกว่า
ศกั ยห์ ยุดยงั (stopping potential) Vs จากรูปที 1.17 จะเห็นไดว้ ่า ขณะทีกลบั ทางศกั ย์ V
ใหเ้ ป็ นลบมากขึนเรือย ๆ กระแสโฟโตก็จะลดลงเรือย ๆ จนเป็ นศูนย์ นนั คอื ถา้ V > Vs
ก็จะเกิดกระแสโฟโต แตถ่ า้ V  Vs ก็จะไมเ่ กิดกระแสโฟโตเลย

20

เมือฉายแสงทีมีความถีเดียวกันลงกระทบผิวโลหะ แต่ความเขม้ ของแสงตา่ งกนั ค่าศกั ยห์ ยุดยงั ก็ยงั คงเท่ากนั ดงั รูปที
1.19 นันคือ ค่าพลังงานจลน์สูงสุด Tmax จะไม่ขึนกับความเข้มของแสงทีตกกระทบ ความสัมพนั ธ์ระหว่าง Tmax กับ Vs

เขียนไดด้ งั นี Tmax = eVs (1.2.3)

แต่เมือฉายแสงทีมีความเขม้ เดียวกนั ลงกระทบผวิ โลหะ แตค่ วามถีของแสงตา่ งกนั เช่น แสงจากไฟฉาย แสงเลเซอร์

แสงอลั ตราไวโอเลต คา่ ศกั ยห์ ยดุ ยงั ทีไดจ้ ะตา่ งกนั ดงั รูปที 1.20

รูปที 1.19 กราฟแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งศกั ย์ V กบั กระแสโฟโต i รูปที 1.20 กราฟแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งศกั ย์ V กบั กระแสโฟโต i
สาํ หรับแสงทีมีความถเี ดียวกนั แตค่ วามเขม้ ต่างกนั พบว่า Vs มีคา่ เทา่ กนั สาํ หรับแสงทีมคี วามเขม้ เดียวกนั แตค่ วามถีต่างกนั พบวา่ Vs มคี า่ ไม่

เมือเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ระหว่างความถี  กบั พลงั งานจลน์สูงสุดของอิเล็กตรอน Tmax จะไดก้ ราฟเส้นตรง
ดงั รูปที 1.21

รูปที 1.21 กราฟแสดงความสัมพนั ธ์
ระหว่างความถี  กบั พลงั งานจลน์

สูงสุดของอิเลก็ ตรอน Tmax

เมือหาความชนั ของกราฟจะได้ a  4.1411015 eVs  6.6261034 Js คือ คา่ คงทีของพลงั ค์ h นนั เอง

จากสมการเสน้ ตรง y = ax+ b

จะไดว้ า่ Tmax = h   ซึงตรงกบั ทีไอนส์ ไตนไ์ ดเ้ สนอ
หรือ h    Tmax

จากกราฟในรูปที 1.21 จะเห็นไดว้ า่ อิเลก็ ตรอนจะหลุดออกมาจากผิวโลหะ หรือ อเิ ลก็ ตรอน 21

จะมีพลงั งานจลน์สูงสุด ก็ตอ้ งมคี วามถีค่าหนึง คอื ความถีขดี เริม c จากการพิจารณา ตาตงารราางงทที 1ี 1.1.2
ค่าฟังก์ชันงานของโลหะบางชนิด
ความชนั ของกราฟ พบวา่ h
c โลหะ  (eV)
Na 2.46
หรือ c   (1.2.4) Al 4.08
h Fe 4.50
Cu 4.70
และจากการทดลองใชโ้ ลหะต่างชนิดกนั พบวา่ ความถีขีดเริมเปลียนไปเมือโลหะตา่ ง Zn 4.31
Ag 4.73
ชนิดกนั และกราฟทงั หมดมีความชนั เทา่ กนั ดงั รูปที 1.22 Pt 6.35
Pb 4.14

รูปที 1.22 กราฟแสดงความสมั พนั ธ์ Digital Image /www.nacwf4o5.w1.mweweb.com
ระหวา่ งความถี  กบั พลงั งานจลน์

สูงสุดของอิเลก็ ตรอน Tmax สาํ หรับ
โลหะต่างชนิดกนั

ปรากฏการณ์โฟโตอิเลก็ ตริกไดร้ ับการตีพมิ พค์ รังแรกเป็นภาษาเยอรมนั โดยมกี าร รูปที 1.23โซลาร์เซลลผ์ ลติ กระแสไฟฟ้า
แปลเป็นภาษาองั กฤษในภายหลงั และนาํ เผยแพร่อีกครังบนวารสารวิทยาศาสตร์ทีมีชือวา่ จากพลงั งานแสงอาทิตย์ โดยใชห้ ลกั การ
American Journal of Physics ในปี ค.ศ.1965 ของปรากฏการณ์โฟโตอเิ ลก็ ตริก

ตวั อย่างที 1.8 ไฟฉายทีมีกาํ ลงั 2 W ใหแ้ สงทีมคี วามถี 6.0×1014 Hz จงหา
(A) พลงั งานของโฟตอน 1 ตวั
วิธที าํ ตอ้ งการหา E ; E = h

E  (6.626 1034 Js)(6.0 1014 s-1)

E = 4 1019 J

(B) จาํ นวนโฟตอนทงั หมดใน 1 s

วธิ ที าํ กาํ ลงั ของไฟฉาย 2 W ใหพ้ ลงั งาน 2 J/ s

โดยการเทยี บบญั ญตั ิไตรยางค์

พลงั งาน 41019 J คือ พลงั งาน ของโฟตอนจาํ นวน 1 ตวั

พลงั งาน 2 J คอื พลงั งานของโฟตอนจาํ นวน 2 J×1 ตวั
4×10-19 J

 0.5 1019 ตวั

 5 1018 ตวั

22

ตัวอย่างที 1.9 ในการทดลองปรากฏการณ์โฟโตอิเลก็ ตริก โดยใชโ้ ลหะทองแดง ซึงมีฟังกง์ าน 4.70 eV
กาํ หนดให้ hc  1240 eV nm จงหา

(A) ความถีขดี เริมสาํ หรับโลหะทองแดงนี

วิธีทาํ ตอ้ งการหา c ; c  
h

c  4.70 eV J s
6.626 1034

c  (4.70 eV)(1.6 1019 )
6.626 1034 eVs

 c  1.13 Hz

(B) พลงั งานจลนส์ ูงสุดของโฟโตอิเลก็ ตรอน เมือใชแ้ สงความยาวคลืน 220 nm

วธิ ีทาํ ตอ้ งการหา Tmax ; Tmax = h  

Tmax  hc 


Tmax  1240 eV nm  4.70 eV
220 nm

Tmax  0.94 eV

(C) ศกั ยห์ ยดุ ยงั สาํ หรับกรณีนี

วิธีทาํ ตอ้ งการหา Vs ; Vs  Tmax
e

Vs = 0.94 eV
e

Vs = 0.94 V

ตัวอย่างที 1.10 ศกั ยห์ ยดุ ยงั สาํ หรบั อเิ ล็กตรอนทีปลกปล่อยออกมาจากผิวโลหะโซเดียม แสดงไดด้ งั ตารางต่อไปนี

ความยาวคลืนแสงทีสาดส่อง  (nm) 155 310 400
ศกั ยห์ ยดุ ยงั Vs (V) 5.7 1.7 0.8

จงหาฟังกช์ นั งานของโซเดียม

วธิ ที าํ ศกั ยห์ ยดุ ยงั ในหน่วยโวลตใ์ หค้ า่ พลงั งานจลนส์ ูงสุด ในหน่วยอิเลก็ ตรอนโวลต์

ดงั นนั จึงใชส้ ูตร Tmax  h   หรือ Tmax  hc   นนั คือ hc  1240 eV nm
จากขอ้ มลู ชุดที 1 

5.7 eV  hc   …… (1) แทน คา่ hc  1240 eV nm ลงในสมการที 2
155 nm
1240 eV nm
จากขอ้ มูลชุดที 2 1.7 eV  hc   ….… (2) จะได้ 1.7 eV  310 nm  
310 nm

นาํ สมการที 1 - สมการที 2 ดงั นนั   4.0 eV1.7 eV
  2.3 eV
จะได้ hc
4.0 eV  310 nm

11..33 ความจุความร้อนจาํ เพาะของของแขง็ (Specific heat capacity of Solid) 23
ปิ แอร์ หลยุ ส์ ดลู อง
ของแข็ง เกิดจากอนุภาคทีเป็ นองค์ประกอบ ซึงอาจจะเป็ นไอออน อะตอม หรือ อเล็กซ์ เธอเรส เปอตีต Digital Image / www.britannica.com
โมเลกุลมาจดั เรียงกนั เป็นรูป 3 มิติ มีระยะห่างกนั เป็นช่วง ๆ เรียกวา่ แลตทิซ (lattice) โดยมี
แรงยึดเหนียวกันเป็ นแลตทิซผลึก (crystal lattice) อนุภาคทีประกอบดว้ ยแลตทิซนีมีการ

เคลือนทีไดเ้ พยี งอยา่ งเดียว คอื การสนั (vibration) ในแตล่ ะแลตทิซหนึง ๆ อะตอมจะอยู่กบั ที
ยกเวน้ อะตอมศูนย์กลางของแลตทิซจะกวดั แกว่งเป็ นฮาร์มอนิก (harmonic oscillator) ดว้ ย
ความถีใด ๆ ก็ได้ นันคือ แต่ละตวั กวดั แกว่งมี 3 ระดบั ขนั ความเสรี (mode) ดงั นนั จะมีการ
กวดั แกว่งได้ 3 NA ซึงต่อไป เราจะไดศ้ ึกษาพลงั งานทงั หมดของแต่ละแลตทิซผลึกต่อโมล
และ ความจุความร้อนจาํ เพาะของของแขง็ ดงั ตอ่ ไปนี

1.3.1 กฎของดูลองและเปอตีต (Dulong and Petit law)

ใ น ปี ค .ศ .1819 ดู ล อ ง (Pierre  Louis Dulong , 1785 1838) แล ะ เป อ ตี ต
(Alexis  theres Petit ,17911820) สองนักฟิ สิกส์ชาวฝรังเศส ได้ศึกษาสมบัติของ
ของแขง็ พบวา่ พลงั งานทงั หมดของแตล่ ะแลตทิซผลึกตอ่ โมล หาไดจ้ าก

U = 3NA E (1.3.1)

เมือ E คอื พลงั งานเฉลียของตวั กวดั แกวง่ ซึงหาไดจ้ าก E = kBT

NA คือ เลขอาโวกาโดร (Avogadro’s number) มีคา่ เท่ากบั 6.0221023 อะตอม/โมล
kB คอื คา่ คงทีของโบลตซ์ มนั น์ มีค่าเท่ากบั 1.381×10-23 J/ K

U = 3NAkBT (1.3.2)

จากความสัมพนั ธ์ kB = R หรือ R  NAkB Digital Image / https://pantheon.world
จะไดว้ า่ NA

U = 3RT (1.3.3)

เมือ R คอื ค่าคงทีของแก๊ส (gas constant) มีคา่ เท่ากบั 8.314 J/ mol K

หาความจุความร้อนจาํ เพาะของของแขง็ เมือปริมาตรคงตวั cV ไดด้ งั นี

cV = 1 U
n T

เมือ พจิ ารณา n = 1 mol

จะได้ cV = U
ดงั นนั T

cV = 3 RT
T

cV = 3R (1.3.4)

สมการที 1.3.4 เรียกวา่ กฎของดูลองและเปอตีต

24

เมือแทนคา่ R  8.314 J/ mol K จะไดว้ ่า cV = 24.92 J/ mol K
หมายความว่าของแข็งส่วนใหญ่ทีอุณหภูมิห้อง จะมีค่าความจุ
ความรอ้ นจาํ เพาะประมาณ 25 J/ mol K ดงั ตารางที 1.3

ตารางที 1.3 ความจคุ วามร้อนจาํ เพาะของของแขง็ ตามมมุ มองของฟิสิกส์แผนเดิม

ของแขง็ cV (J/ mol K) ของแขง็ cV (J/ mol K)

ทองแดง 24.5 สังกะสี 25.4

เงิน 25.5 อะลูมเิ นียม 24.4

ตะกวั 26.4 ดีบกุ 26.4

แต่จากการทดลองทีอุณหภูมิตาํ ๆ พบว่า ค่าของความจุ รู ปที 1.24 กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
ความจุความร้อนจาํ เพาะของของแข็งกับอุณหภูมิ
ความรอ้ นจาํ เพาะจะลดลงอย่างรวดเร็ว ดงั รูปที 1.24 แสดงว่าความ จากกฎของดูลอง-เปอตีต และผลการทดลอง

จุความร้อนจาํ เพาะของของแข็ง เป็นอีกตวั อย่างหนึงทีไมส่ ามารถ

อธิบายโดยใชฟ้ ิ สิกส์แผนเดิม

1.3.2 ความจคุ วามร้อนจาํ เพาะของไอน์สไตน์ (Einstein’s specific heat capacity)
ในปี ค.ศ.1907 ไอน์สไตน์ ได้พิจารณาถึงขอ้ ผิดพลาดทีอุณหภูมิตาํ ๆ จากกฎของดูลองและเปอตีต โดยได้ผนวก

กลศาสตร์ควอนตมั เขา้ กบั กลศาสตร์สถิติไดอ้ ยา่ งสวยงาม ไอน์สไตน์มองว่า เหตุทีเมืออุณหภมู ิลดลง พลงั งานจะลดลงไดย้ าก
จนอุณหภูมิเขา้ สู่ศูนย์ ปรากฏวา่ พลงั งานไม่อาจจะลดลงไดอ้ ีก เป็ นผลมาจากการทีพลงั งานซึงกกั เก็บอยูใ่ นรูปความยืดหยุ่น

ของพนั ธะเคมีในสสารนัน มีลกั ษณะเป็ นขนั บนั ได เป็นกอ้ น ๆ โดยแต่ละอะตอมของของแขง็ เป็นฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์
(harmonic oscillator) ดงั รูปที 1.25 ซึงอะตอมแต่ละตวั กวดั แกวง่ ดว้ ยความถีเชิงมุม  เท่ากนั หมด ทาํ ใหม้ ีพลงั งานดงั นี

En =   n 1  (1.3.5)
 2 

หาพลงั งานทงั หมดของแต่ละแลตทิซผลึกตอ่ โมล ไดจ้ าก Digital Image / www.thespectrumofriemannium.com

U = 3NA E

In the Canonicle ensemble

E    ln Z (1.3.6)


เมือ Z เรียกวา่ Partition Function Z

 (1.3.7)

Z  e En รูปที 1.25 พลงั งานของควอนตมั ฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์
n0

จะได้ Z  e -    n  1 
2 

n0



Z = e-  /2 e-n  
n0

Z = e- /2   n
e 

n0

Z  e   / 2
1
e  

25

Z  1 
e  /2  e  /2  
หา  ln  1 

ดงั นนั Z  1 (1.3.8)   2 sinh     
   2  
2 sinh   
2  ใชส้ ูตร  1  u
x lnu  u  x
แทนสมการที 1.3.8 ลงในสมการ 1.3.6

  
   
  1   ln  1   1   1 
            1
จะได้ E   ln   2   2 sinh  2       2 sinh     
       2  
2 sinh   
      
 2 sinh  2  

       
 2  2    
E     coth   ln  1   2 sinh     1  sinh 1    
    2  2   2 
 2 sinh     
 2 

E   coth     ใชส้ ูตร  un = nun-1  u
2  2  x x

เมือ 1 
kBT  
 =  ln  1   2 sinh     1 (1) sinh2      sinh    
     2  2  2    2 
 2 sinh    
2 

จะได้ E =  coth    (1.3.9) ใชส้ ูตร  sinhu = coshu u
2  2 kBT  x x
 

 
ดงั นนั     (1.3.10)  ln  1   2 sinh     1 (1) sinh 2     cosh       
2  2 kBT     2  2  2   2   2
U = 3 NA coth   2 sinh     
  2 

 
 
หาความจุความร้อนจาํ เพาะของของแข็ง เมือปริมาตรคงตวั cV  ln  1   sinh     (1) sinh 2     cosh     
      2   2   2  2
 2 sinh  2  
 
1 U
ไดจ้ าก cV = n T     cosh     
    2  
 ln  1     
   2  
เมือ พิจารณา n = 1 mol  2 sinh       2 sinh     
 2   2 

U 
T  
จะได้ cV =  ln  1      coth    
       2  2 
 2 sinh  2 

cV   3 NA  coth   
T 2  2 kBT 
 
หา    
cV  3 NA   coth    T coth  2 kBT 
2 T  2 kBT   
 
ใชส้ ูตร   u
cV  3 NA  cosech2     x cotu   cosec2 u  x
2  2 k BT  2 k BT2
   coth      cosech2   
T  2 kBT  2 k BT T 2 kBT
kB  
 cosech 2     kB
cV = 3 NA 2  2 k BT  2 k BT2 ×       
  T  2 kBT  2 k BT 2kB T
coth    cosech2 T 1

2 

cV  3R    cosech 2    ใชส้ ูตร d xn = nxn-1
 2 kBT  2 k BT  dx
  

cV  3R   2 1 (1.3.11)  coth      cosech 2     (1) T -2
 2 kBT  T  2 kBT   2 k BT  2kB
     
  
sinh 2    coth     cosech 2    
  T  2 kBT   2 kBT  kB T
2 k BT     2 2

26

กาํ หนดให้ E  
2kB

โดย E คือ อณุ หภมู ิของไอนส์ ไตน์

จะได้ cV  3R  E 2 1 (1.3.12)
 T
 sinh 2  E 
  T 

กาํ หนดให้ x  T

E

ดงั นนั cV = 3R  1 2 1
 x 
sinh 2  1 
 x 

หรือ cV =  1 2 1 (1.3.13)
3R  x 
sinh 2  1 
 x 

จากงานวิจัยของไอน์ส ไตน์ ซึ งตีพิมพ์ใน วารสาร

Ann. Physik ในปี ค.ศ.1907 โดยทดลองวัดค่าความจุความร้อน

จาํ เพาะของเพชร จากอุณหภูมิเริมตังแต่ 132 K จากนันร้อนขึน

เรือย ๆ จนถึงเกือบ 1300 K ไอน์สไตน์ไดท้ าํ การ “Fit Curve” ให้

เขา้ กบั จุดของการทดลอง จนกระทงั ไดค้ า่ E 1320 K

ซึงจากกราฟความสัมพันธ์ระหว่าง cV / 3R กับค่า
T/ E พบว่าทีอุณหภูมิสูงกว่า E  1320 K มาก ๆ ความจุ
ความร้อนจําเพาะจะมีค่า 3R เท่ากันกับฟิ สิกส์แผนเดิม แต่เมือ

รูปที 1.26 กราฟแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง cV / 3 R อุณหภูมิลดลงเรือย ๆ ความจุความร้อนจาํ เพาะเริมลดลง จนเป็ น
กบั T/ E จากทฤษฎีของไอนส์ ไตน์ และผลการทดลอง
ศูนย์ ดงั รูปที 1.26 ซึงจะเห็นไดว้ ่า ทีอุณหภูมิตาํ ๆ ผลทีไดใ้ กลเ้ คียง

กบั ผลการทดลอง

ตัวอย่างที 1.11 กาํ หนดอุณหภูมิไอนส์ ไตน์ E ของเพชร เท่ากบั 1320 K จงคาํ นวณหา
(A) ความถีของการกวดั แกวง่ ของอะตอมเพชรรอบตาํ แหน่งสมดุลในผลกึ

วธิ ีทาํ ตอ้ งการหา  ; E  
2kB

หรือ E  h
นนั คอื 2kB

  2 kB E
h

  2(1.381023 J/ K)(1320 K)
(6.6261034 J s)

ดงั นนั   5.4981013 Hz

27

(B) ความจุความร้อนจาํ เพาะของเพชร ทีอุณหภูมิ 1320 K

วิธที าํ ตอ้ งการหา cV ; cV  3R  E 2 1
 T 
sinh 2  E 
 T 

cV  3(8.314)  1320 2 1 
 1320   1320 
sinh2  1320

cV  3(8.314) 12 1 1
sinh2

cV  3(8.314) 12 1 2
e1  e1

 
 2 

4
e1  e1
 cV  3(8.314) 12 2

cV  18.06 J/ mol K

(C) ความจุความรอ้ นจาํ เพาะของเพชร ทีอุณหภูมิ 13200 K

วธิ ที ํา ตอ้ งการหา cV ; cV  3 R  E 2 1
 T
 sinh 2  E 
  T 

cV  3(8.314)  1320 2 1 
 13200   1320 
sinh 2  13200

cV  3(8.314)  0.12 1

sinh2 0.1

cV  3(8.314) 0.12 1 2
e0.1  e0.1
 
 
 2

4
e0.1  e0.1 2
 cV  3(8.314) 0.12

cV  24.86 J/ mol K

จะเหน็ ไดว้ า่ ทีอณุ หภูมสิ ูงมาก ๆ คา่ ความจุความร้อนจาํ เพาะของเพชรมีคา่ ใกลเ้ คียง 3R

1.3.3 ความจคุ วามร้อนจําเพาะของเดบาย (Debye’s specific heat capacity)

ในปี ค.ศ.1912 เดบาย (Peter Joseph Wilhelm Debye ,1884 1966) นักฟิ สิ กส์และนักเคมีกายภาพชาว
ดตั ช์-อเมริกา ไดแ้ กไ้ ขขอ้ ผิดพลาดของไอน์สไตน์ในเรืองนี โดยแทนทีตวั กวดั แกว่งทุกตวั มีความถีเดียวกนั หมดเดบาย
สมมติวา่ ตวั กวดั แกวง่ แตล่ ะตวั มีความถีต่างกนั คอื 1,2,3,... และค่าความถีสูงสุดของการกวดั แกวง่ ไม่ใช่คา่ อนนั ต์ แต่
มคี ่าจาํ กดั คา่ หนึง แทนดว้ ย m

28

เนืองจากในของแขง็ มีแรงยดึ เหนียวระหวา่ งอนุภาคแข็งแรงมาก เมืออนุภาคใด

อนุภาคหนึงเกิดการสันก็จะส่งผลให้อนุภาคอืน ๆ สันไปดว้ ยทวั ทงั ก้อน การสันแบบนี Digital Image / www.nobelprize.org

เรียกวา่ การสันแลตทซิ (lattic vibration) และให้การสนั แบบฮาร์มอนิก มีความถีเชิงมุม 

โดยที   2 พลงั งานของการสันแต่ละขนั ความเสรี ในของแข็งมีค่าเป็ นผลคูณของ

 หรือ h สําหรับ 1 ควอนตัม พลงั งานจากการสันของแลตทิซทีมีค่า 1 ควอนตมั

เรียกวา่ โฟนอน (phonon)

จากกฎการแจกแจงของโบส-ไอนส์ ไตน์

gi (1.3.14) ปี เตอร์ โจเซฟ วิลเฮล์ม เดบาย
e  Ei  1
 ni  นกั ฟิ สิกส์และเคมีกายภาพชาวดตั ช์-อเมริกนั
ผูค้ น้ พบสูตรการหาความจุความร้อนจาํ เพาะ
โดยที  0 ,  = 1 Ei  h ของของแข็งซึงตรงกับผลการทดลอง และ
kBT ในปี ค.ศ.1930 เดบายไดร้ ับรางวลั โนเบลสาขา
เคมี สาํ หรบั ผลงานเกียวกบั โครงสร้างโมเลกุล
gi โดยการศึกษาไดโพลโมเมนต์ และการ
eh /kBT -1 เลยี วเบนของรงั สีเอก็ ซแ์ ละอิเล็กตรอนในแกส๊
 ni =

และ 9 NA 2
m
gi 

ดงั นนั g( ) d  9 N 2 d (1.3.15)
m

กฎการแจกแจงจึงเขยี นไดเ้ ป็น หา 

9 NA 2 (1.3.16) T (eh / kBT  1) 1
 m3 eh /kBT -1
 dn= d

ดงั นนั ในชว่ งความถี d จะมีพลงั งานรวมของการสัน ดงั นี กาํ หนดให้ u  eh /kBT 1

m (1.3.17) ใชส้ ูตร  un = nun-1  u
x x
U   h dn
0  (eh /kBT 1)1  (1)(eh /kBT 1)2  (eh /kBT 1)
T T
m 9 NA 2
h eh /kBT 1 d   
  U  3 ใชส้ ูตร x f(x) - g(x) = x f(x) - x g(x)
m
0

  U 1  (  1 
m 9 NA h 3 eh /kBT  1 T (eh /kBT 1)1  (1)(eh /kBT  1) 2 T eh /kBT )  T 
 m3
 d

0 ใชส้ ูตร  eu = eu  u และ c =0
x x x
หาความจุความร้อนจาํ เพาะ เมือปริมาตรคงที cV ไดจ้ าก
 (eh /kBT  kBT)  0
cV = 1 U T (eh /kBT 1)1  (1)(eh /kBT 1)2 T h /
n T
 (eh /kBT (1)(eh /kBT (eh / kBT h  
เมือ พิจารณา n = 1 mol T  1) 1   1) 2  kB T T 1 


จะได้ cV = U ใชส้ ูตร  xn = nxn-1
T x

cV =  m 9 NAh 3 (eh /kBT 1)1  (eh /kBT 1)1  (1)(eh /kBT 1)2 (eh /kBT h (-1) T -2 
T 0 T  kB 
 3 
m
h eh /kBT
cV m 9 NAh 3  (eh /kBT -1)-1  (eh /kBT 1)1  kBT2 (eh /kBT 1)2
T T
=  3
m
0

29

cV m 9 NAh 3 h eh /kBT ตารางที 1.4
 m3 kBT2 (eh /kBT 1)2
= อณุ หภูมิเดบายของของแขง็ บางชนิด

0

9 NA h2 m  e4 h /kBT d สาร D (K)
0 eh /kBT -1 เงนิ 225
  cVnk T2  3 2
m
B

ให้ h x kBT x4 kB4T4 ทอง 165
kBT h h4
x       4  เพชร 1860

จาก x kBT kBT เจอร์มาเนยี ม 366
h h
   d  dx โซเดียม 159

นิเกิล 456

9 NAh2 D /T x 4 k 4 T 4 ex kBT แพลทินัม 229
0 B ex -1 h
  cV= dx
nk T 2  3 h4 2
m
B

9 NAkB4T3 D /T x4ex
h3 m3 0 ex -1
  cV= 2 dx

9 NA kB kB3T3 D /T x4ex
h3 m3 0 ex -1
  cV= 2 dx

9 NA kB (T)3 D /T x4ex dx
  cV 0 ex -1
h m 3 2
 kB
 
 


ให้ D  h m
kB

D คอื อณุ หภูมิของเดบาย

  cV9 R  T 3 D /T x4ex 2 dx (1.3.18)
 D  0 ex -1
 

สมการที 1.3.18 คือ ความจุความร้อนจาํ เพาะของเดบาย

ซึงเมอื พิจารณาทีอณุ หภมู ิสูง ๆ T  D รูปที 1.27 กราฟแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง cV / 3 R
จะไดว้ า่ cV  3R ซึงตรงกบั กฎของดูลองและเปอตีต กบั T/ D จากทฤษฎีของเดบายและผลการทดลอง
เมือเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ระหว่าง cV / 3R กบั คา่ T/ D
ก็จะไดด้ งั รูปที 1.27 ซึงผลทีไดต้ รงกบั ผลการทดลอง

ตัวอย่างที 1.12 กาํ หนดอณุ หภูมิเดบาย D ของเงิน เทา่ กบั 225 K จงคาํ นวณหาความถีสูงสุดของการกวดั แกว่ง

วิธที าํ ตอ้ งการหา m ; D  h m
นนั คือ kB

ดงั นนั m  kB D
h

m  (1.381023 J/ K)(225 K)
(6.626 1034 J s)

 m  4.691012 Hz

30

ตวั อย่างที 1.13 จงแสดงใหเ้ ห็นว่าทีอุณหภมู ิสูง ๆ คือ T  D คา่ ความจุความร้อนของเดบายตรงกบั กฎของดูลอง-เปอตีต

วิธีทาํ เมือ T  D จะทาํ ให้ ex -1 = x

  ดงั นนั จาก cV  9 R  T 3 D /T x4ex 2 dx
 D  0 ex -1
 

จะได้ cV  9 R  T 3 D /T x4ex dx cV  9 R  T 3  x3 D /T
 D  0 x2  D   3 
     0

cV  9 R  T 3 D /T dx cV  9R  T 3  (D / T)3  0 
 D   D   3 
  x2ex    

0

เมือ T  D จะทาํ ให้ D  0 นนั คือ e0 = 1 cV  9 R  T 3  D 3 1
T  D   T 3
  
3 D /T 

จะได้ cV  9 R  T  x2 dx ดงั นนั cV  3R ซึงตรงกบั กฎของดูลอง-เปอตีต
 D
 0

1.44 ทฤษฎีควอนตมั เชิงสเปกตรัม (Quantum Theory of Spectra)

ปรากฏการณ์เชิงสเปกตรัมไดร้ ับการสังเกตมาตงั แต่ตน้ ศตวรรษที 19 มาแลว้ แต่

ความพยายามทีจะไดม้ าซึงสมการอนั หนึงทีใหค้ ่าความยาวคลืนของอนุกรมใด ๆ ของธาตุ
Digital Image / https://en.wikipedia.org
Digital Image / www.rmutphysics.comยงั ไมป่ ระสบความสาํ เร็จ

จนกระทังในปี ค.ศ.1885 บัลเมอร์ (Johann Jakob Balmer,1825 1898)

นักคณิตศาสตร์และนักฟิ สิกส์ชาวสวิส ได้ศึกษาสเปกตรัมของแสงเรืองออกจากก๊าซ

ไฮโดรเจนในช่วงความยาวคลืน ซึงมองเห็นด้วยสายตา โดยมีช่วงความยาวคลืนตังแต่

โจฮานน์ จาค็อบ บลั เมอร์ ประมาณ 6, 500 0 ถึงประมาณ 3, 500 0 ดงั รูปที 1.28 โดยบลั เมอร์เรียกเส้นสเ ปกตรัม

A A

แรกว่า H ซึงจะเป็ นสีแดง ส่วนเส้นถดั ไปคือ H ซึงจะมีสีนาํ เงินปนเขียว ถดั ไปคือ H ,
H , H , H จะมีสีม่วง ส่วนเส้น H จนกระทังถึง H จะอยู่ในช่วงเหนือม่วง หรือ
อลั ตราไวโอเลต ซึงเกือบมองไมเ่ หน็ ดว้ ยตาเปลา่

รูปที 1.28 เส้นสเปกตรัมของไฮโดรเจน บลั เมอร์ สามารถสร้างสูตรสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจนจากการพิจารณา 4-5
ในช่วงความยาวคลืนทีสายตามองเห็น
เส้นแรก ดงั นี n = 364.56  n2  nm เมือ n  3, 4,5... (1.4.1)
0  n2- 4 

1 A  1010 m
หรือ  n2  0 เมือ n  3, 4,5... (1.4.2)
n = 3645.6  n2- 4 
 A



สูตรของบลั เมอร์ให้ผลถูกตอ้ งทุกความยาวคลืนของอนุกรมนี สําหรับรูปแบบเชิง 31 Digital Image / http://mathshistory.st-andrews.ac.uk
คณิตศาสตร์ทีมีความคล้ายคลึงกับสูตรของบลั เมอร์ ได้รับการพัฒนาในปี ค.ศ.1888
โดยริดเบิร์ก (Johannes Robert Rydberg, 1854 1919) นักฟิ สิกส์ชาวสวีเดน ดังนี โยฮันเนส โรเบริ ์ต ริดเบิร์ก

1  R  1  1  เมือ n  3, 4,5... (1.4.3) เฟรดริช พาส์เชน
  22 n2 
นลี โบร์
เมือ R คา่ คงทีของริดเบิร์ก  1.097107 m-1 นกั วิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ผูม้ ีส่วนสาํ คญั
ในการพฒั นากลศาสตร์ควอนตมั ช่วงเริมตน้
ดงั นนั ความยาวคลืนทีไดจ้ ะมีหน่วยเป็น m และมีส่วนอย่างมากในการกําหนดกรอบ
ความคิดเชิงปรัชญาของกลศาสตร์ควอนตมั
ในปี ค.ศ.1908 พาส์เชน (Friedrich Paschen ,1865 1947) นักฟิ สิกส์ชาว โบร์ได้รับรางวลั โนเบลสาขาฟิ สิกส์ในปี
เยอรมนั เชือสายออสเตรีย ไดค้ น้ พบ อนุกรมพาร์เชน ซึงเป็นอนุกรมทีมีความยาวคลืนสูง ค .ศ .1922 สํ า ห รั บ ก า ร สํา ร ว จ ค้น ค ว้า
กวา่ อนุกรมบลั เมอร์ ซึงมีสูตรดงั นี โครงสร้างอะตอมและการแผ่รังสีทีกระจาย
ออกมาจากอะตอม
1  R  1  1  เมือ n  4,5, 6... (1.4.4)
  32 n2 

หลงั จากพลงั ค์ ตงั สมมติฐานการควอนไทซ์ของพลงั งาน คือ E = nh ซึงเป็นจุด Digital Image / www.vle.lt
กํา เ นิ ด ข อ ง ท ฤ ษ ฎี ค ว อ น ตัม ใ น ปี ค .ศ .1913 โ บ ร์ (Niel Bohr ,1885 1962)
นักวิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ได้เสนอทฤษฎีทีอธิบายสเปกตรัมแบบเส้นของอะตอม Digital Image / www.onthisday.com
ไฮโดรเจนไดส้ ําเร็จ ซึงเป็ นการผสมผสานกนั ระหว่างทฤษฎีแผนเดิมกบั การควอนไทซ์
ของพลังงานตามความคิดของพลังค์ ทฤษฎีของโบร์จึงเป็ นทฤษฎีกึงแผนเดิม
(semiclassical theory)

สมมติฐานเกียวกบั อะตอมไฮโดรเจนของโบร์สรุปไดด้ งั นี

1. อิเล็กตรอนในอะตอมเคลือนทีโคจรเป็นวงกลม รอบนิวเคลียสภายใตแ้ รงดึงดูดคูลอมบ์
ระหวา่ งอิเล็กตรอนกบั นิวเคลียส
2. อิเลก็ ตรอนจะอยู่ในวงโคจรโดยมีโมเมนตมั เชิงมุมวงโคจร (orbital angular momentum)
ของอิเลก็ ตรอนเทา่ กบั เลขจาํ นวนเต็มบวกคูณกบั ค่า 

3. อิเล็กตรอนซึงกาํ ลงั เคลือนทีในวงโคจรเสถียร (stable orbit) จะไมแ่ ผ่รังสีคลืนแม่เหล็ก
ไฟฟา้ ออกมา ดงั นนั พลงั งานทงั หมดจะคงที

4. ถา้ อิเลก็ ตรอนมีการเปลียนยา้ ย (transition) จากวงโคจรหนึงไปยงั วงโคจรอืน ๆ จะมีการ
แผห่ รือดูดกลืนรังสีแมเ่ หลก็ ไฟฟ้า

จากสมมติฐานข้อแรก พิจารณาอะตอมไฮโดรเจน ซึงมีอิเล็กตรอนหนึงตวั วิง
รอบประจุบวกหนึงตวั ในนิวเคลียส รัศมีวงโคจรคือ r อิเล็กตรอนมีมวล m เคลือนทีดว้ ย
อัตราเร็วคงที v ในแนวสัมผสั กับวงโคจร แรงดึงดูดคูลอมบ์ ก่อให้เกิดความเร่งสู่
ศนู ยก์ ลาง ดงั รูปที 1.29 สมการการเคลือนทีของอิเลก็ ตรอนเป็นดงั นี

32

จาก FE = FC รูปที 1.29 แบบจาํ ลองของโบร์สําหรับ
อะตอมไฮโดรเจน ซึงมี Z  1
1 e2 = mv2 (1.4.5)
4 0 r2 r ความสัมพนั ธ์ระหว่างแรงคูลอมบ์
(1.4.6) กบั แรงสู่ศูนยก์ ลาง
พลงั งานจลน์ของอิเล็กตรอน หาไดจ้ าก (1.4.7)
พลงั งานจลน์ของอิเล็กตรอน
T = 1 mv2 พลงั งานศกั ยข์ องอิเลก็ ตรอน
2
พลงั งานทงั หมดของอิเลก็ ตรอน
จากสมการที 1.47 จดั รูปใหมไ่ ดเ้ ป็น
โมเมนตมั เชิงมุมของอิเลก็ ตรอน
mv2  1 e2
4 0 r

ดงั นนั T = 1 e2
40 2 r

พลงั งานศกั ยข์ องระบบกค็ อื พลงั งานศกั ยค์ ูลอมบ์ หาไดจ้ าก

V  1 e2
 40 r

ดงั นนั พลงั งานทงั หมดของระบบ เป็นดงั นี

E = T V

E = 1 e2  1 e2
4 0 2r 4 0 r

E =  1 e2 (1.4.8)
4 0 2r

ค่าพลงั งานรวมเป็นลบหมายถึง อเิ ลก็ ตรอนถูกโปรตอนดึงดูดไวใ้ หโ้ คจรในทีจาํ กดั

(bound system)
จากสมมตฐิ านขอ้ ที 2 วงโคจรทีเสถียรกาํ หนดโดยขนาดของโมเมนตมั เชิงมุม L

โดย L  n  (1.4.9)

เมือ  คอื คา่ คงทีของพลงั คแ์ บบลดค่า ซึง   h  1.054 1034 J s
2

n คือ เลขควอนตมั หลกั (principal quantum number) โดย n  1, 2,3,...

เมือพจิ ารณาหน่วยของโมเมนตมั เชิงมมุ จากสมการที 1.4.9 จะได้ Js หรือ kgm2 / s

ซึงตรงกบั กลศาสตร์แผนเดิม

จากสมมติฐานข้อที 3 การเคลือนทีของอิเล็กตรอนในวงโคจรเสถียรจะไม่ 33
แผ่รังสีคลืนแม่เหล็กไฟฟ้า ซึงเรียกว่า สถานะคงที (stationary state) โบร์สรุปว่า
สถานะคงทีนี เป็ นสถานะทีโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรของอิเล็กตรอนต้องคงที อตั ราเร็วในแนวสัมผสั วงโคจร
ดงั นนั พลงั งานทงั หมดในแต่ละวงโคจรจะคงทีดว้ ย ของอเิ ลก็ ตรอน

จากสมมติฐานขอ้ ที 2 L  n  รัศมโี บร์

และจากฟิ สิกสแ์ ผนเดิม L  mvr รัศมวี งโคจรของอเิ ลก็ ตรอน
ค่าคงทีของคลู อมบ์
ดงั นนั mvr = n 
1.6 1019 J  1 eV
หรือ v = n (1.4.10)
mr (1.4.11) พลงั งานของอิเล็กตรอนทีวงโคจรใด ๆ
(1.4.12)
แทนสมการที 1.4.10 ลงในสมการที 1.4.5 จะไดว้ า่
(1.4.13)
1 e2 = m  n  2
4 0 r2 r  mr 

rn  4 0 n2 2
me2

ให้ a0 คือ รัศมีโบร์ (Bohr radius)

โดย a0  4 0 2
me2

เมือ 0 คอื สภาพยอมในสุญญากาศ  8.851012 C 2 / N m2

 คือ ค่าคงทีของพลงั คแ์ บบลดค่า  1.0541034 Js

m คือ มวลของอิเลก็ ตรอน  9.1091031 kg

e คือ ประจุของอิเลก็ ตรอน  1.6021019 C

ดงั นนั a0  5.29 1011 m
หรือ a0  0.0529 nm
ดงั นนั rn = a0n2

จากสมการที 1.4.13 จะเห็นว่า ค่ารัศมี r เป็ นควอนไทซ์(quantize) ซึงหมายถึงรัศมี
วงโคจรของอิเล็กตรอนตอ้ งมีค่าแน่นอนโดยเฉพาะเท่านัน เช่น อาจเป็ น a0 , 4a0 ,
9a0 เป็นตน้ ไมเ่ คยปรากฏวา่ มีค่าเป็น 3a0 หรือ 3.5a0

กาํ หนดให้ kc  1 (1.4.14)
4 0

แทนสมการที 1.4.13 และสมการที 1.4.14 ลงในสมการ 1.4.8 จะไดว้ า่

En =  kc e2
2 a0n2

En =  2.177 1018 J
n2

En = 13.6 eV เมอื n  1, 2,3,... (1.4.15)
 n2

34

รูปที 1.30 แสดงระดบั พลงั งานของแต่ละวงโคจรของอะตอมไฮโดรเจน
Digital Image /https://mgronline.com

เจมส์ ฟรังค์ รูปที 1.30 ระดบั พลงั งานของแต่ละวงโคจร
กุสตาฟ ลูวิค เฮิรตซ์ ของอะตอมไฮโดรเจน

ธโี อดอร์ ไลมาน ใ น ปี ค .ศ .1914 ฟ รั ง ค์ (James Franck , 1882 1964) แ ล ะ เ ฮิ ร ต ซ์
(Gustav Ludwig Herrtz ,1887 1975) สองนกั ฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั ไดท้ าํ การทดลองที
สนับสนุนทฤษฎีอะตอมของโบร์วา่ อะตอมมีระดบั พลงั งานเป็นขนั ๆ

Digital Image/https://www.bookofproofs.org จากสมมติฐานข้อที 4 เมืออิเล็กตรอนมีการเปลียนย้ายจากวงโคจร n = ni
ไปยงั วงโคจร n = nf โดย ni > nf จะมีการปล่อยรังสีคลืนแม่เหล็กไฟฟ้าออกมาดว้ ย
พลงั งานเทา่ กบั h ซึงก็คือผลต่างของระดบั พลงั งาน นนั คือ

Ei - Ef = h (1.4.16)

h =  kce2  kce2 
 2a0ni2  2a0 nf 2 
  

  kce2  1 - 1 
2a0 h  nf 2 ni2 
 

  kce2  1 - 1 
c 2 a0 hc  nf 2 ni2 
 

เมือ R  kce2  1.097 107 m-1  1.097 102 nm-1 เรียกวา่ คา่ คงทีของริดเบริ ์ก
2 a0 hc

ดงั นนั 1  R  1 - 1  (1.4.17)
  nf 2 ni2 
 

จะเห็นไดว้ า่ สมการที 1.4.17 คลา้ ยกบั สูตรของริดเบิร์ก เพยี งแต่มนั ใชไ้ ดก้ บั อนุกรมอืน ๆ

แสดงวา่ สูตรของริดเบิร์กเป็นจริง ตามสมมติฐานของโบร์

Digital Image / www.sciencephoto.com ใ น ปี ค .ศ .1914 ไ ล ม า น (Theodor Lyman , 1874 1954) นั ก ฟิ สิ ก ส์ ช า ว
อเมริกนั คน้ พบอนุกรมไลมาน ซึงมีความยาวคลืนนอ้ ยกวา่ อนุกรมบลั เมอร์

ใ น ปี ค .ศ .1922 แ บ ร ค เ ค็ ท (Frederick Sumner Brackett ,1896 1988)
นักฟิ สิกส์ชาวอเมริ กัน ค้นพบอนุกรมแบรคเค็ท ซึงมีความยาวคลืนสูงกว่าอนุกรม
พาส์เชน

และในปี ค.ศ.1924 ฟันด์ (August Herman Pfund ,1879 1949) นักฟิ สิกส์
ชาวอเมริกนั คน้ พบอนุกรมฟันด์ ซึงมีความยาวคลืนสูงกวา่ อนุกรมแบรคเคท็

สูตรในการคํานวณหาความยาวคลืนเมืออเิ ลก็ ตรอนมีการเปลยี นย้าย 35
เฟรเดอริค ซัมเนอร์ แบรคเคท็
วงโคจรของอนุกรมเส้นสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจนต่าง ๆ Digital Image / www.fanphobia.net

อนุกรมไลมาน 1  R  1  1  เมือ n  2,3, 4,... (1.4.18)
อนุกรมบลั เมอร์   12 n2  (1.4.19)
อนุกรมพาสเ์ ชน (1.4.20)
อนุกรมแบรคเคท็ 1  R  1  1  เมือ n  3, 4,5... (1.4.21)
อนุกรมฟันด์   22 n2  (1.4.22)

1  R  1  1  เมือ n  4,5, 6...
  32 n2 

1  R  1  1  เมือ n = 5, 6, 7...
  42 n2 

1  R  1  1  เมือ n = 6, 7,8...
  52 n2 

Digital Image /https://alchetron.com

ออกัสท์ เฮอร์แมน ฟันด์

รูปที 1.31 การเปลยี นระดบั พลงั งานของอิเลก็ ตรอน
ทีสมั พนั ธ์กบั สเปกตรัมไฮโดรเจนอนุกรมต่าง ๆ

สําหรับทฤษฎีอะตอมไฮโดรเจนของโบร์ สามารถประยุกต์ใชก้ บั อะตอม
ใด ๆ ทีมีอิเล็กตรอนตวั เดียวได้ เช่น He+ , Li++ , Be++ เป็ นตน้ ซึงตอ้ งพิจารณา
เลขอะตอม(atomic number) Z เพิมเติม ดงั นี

rn = a0n2 (1.4.23)
Z (1.4.24)

En =  13.6 Z2 eV เมือ n  1, 2,3,...
n2

ตัวอย่างที 1.14 อิเลก็ ตรอนตวั หนึงอยทู่ ีระดบั พลงั งาน ni = 2 จงหา
(A) พลงั งานทงั หมดในแตล่ ะวงโคจร

วิธีทํา ตอ้ งการหา En ; En = 13.6 eV
 n2

E2 =  13.6 eV
22

E2 = 3.39 eV

36

(B) ถา้ อิเลก็ ตรอนตวั นีเปลียนระดบั พลงั งานไปที nf = 1 จะปลดปล่อยโฟตอนทีมคี วามถีเทา่ ใด

วธิ ีทาํ ตอ้ งการหา  ; c
หา  ; 

จะได้   3.00 108 m/ s


1  R  1  1 
  12 n2 

1  (1.097 107 m-1 )  1  1 
  12 22 

1  (1.097 107 m1 )  3
  4 

 = 4 m 1 )
3(1.097 107

  1.22 107 m

ดงั นนั   3.00108 m/ s
1.22107 m

 = 2.47×1015 Hz

ตัวอย่างที 1.15 โฟตอนทีมีความยาวคลืนมากทีสุดจากสเปกตรัมในอนุกรมบลั เมอร์ มีพลงั งานเท่าใด

วธิ ที ํา ตอ้ งการหา E ; E  hc



E  (4.1411015 eVs)(3.0 108 m/ s)


หา  ; 1  R  1  1 
  22 n2 

ความยาวคลืนมากทีสุดเมือ n  3

นนั คือ 1  R  1  1 
จะได้   22 32 

1  R  1  1 
  4 9 

1  R  5 
  36 

  36
5R

  36 m1)
5(1.097 107

  6.56107 m

ดงั นนั E  (4.1411015 eVs)(3.0 108 m/ s)
(6.56 107 m)

E  1.89 eV

37

ตัวอย่างที 1.16 He มเี ลขอะตอม Z  2 จงคาํ นวณหา
(A) รัศมวี งโคจรที n = 1

วธิ ที ํา ตอ้ งการหา rn ; rn = a0n2
Z

rn = (5.29 1011)(1)2
2

rn = 2.645×10-11 m

(B) พลงั งานทงั หมดในวงโคจรที n = 1 และ n = 2

วิธที ํา ตอ้ งการหา E1 ; E1 =  13.6 (2)2 eV
12

E1 = -54.4 eV

ตอ้ งการหา E2 ; E2 =  13.6 (2)2 eV
22

E2 = -13.6 eV

(C) ความยาวคลืนทียาวทีสุดของอนุกรมไลมานสาํ หรบั He กาํ หนดให้ hc = 1240 eV nm

วิธที าํ ตอ้ งการหา  ; hc  E2- E1


  1240 eV nm eV)
(-13.6 eV) - (-54.4

  30.39 nm

ตวั อย่างที 1.17 ในอวกาศระหวา่ งดวงดาว อะตอมไฮโดรเจนทีถูกกระตุน้ อย่างสูงทีเรียกวา่ อะตอมริดเบิร์ก ถกู สงั เกตเห็น
จงหา
(A) รัศมีวงโคจรของอเิ ล็กตรอนของอะตอมริดเบิร์ก เมือ n = 273

วธิ ที ํา ตอ้ งการหา r273 ; rn = a0n2
r273 = (0.0529 nm) 2732

r273 = 3, 942 nm
r273 = 3.942  m

(B) ความเร็วของอิเลก็ ตรอนของอะตอมริดเบิร์ก เมือ n = 273

วิธที าํ ตอ้ งการหา v ; FE = FC v = kce2
mer
1 e2 = mv2
4 0 r2 r   8.99 109 N  m2 / C2 1.601019 C 2
  v = 9.111031 kg 3.94106 m
kce2 = mv2
r v = 8.01103 m / s

v2 = kce2
mer

Digital Image /www.azquotes.com38 ใ น ปี ค .ศ .1916 ซ อม เ ม อร์ เ ฟล ด์ (Arnold Sommerfeld ,1868 1951)
อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ นักฟิ สิกส์ชาวเยอรมนั ไดศ้ ึกษาเพิมเติมจากผลงานของโบร์ ทีกาํ หนดให้วงโคจรของ
อิเล็กตรอนเป็ นวงกลมนนั เขาพบวา่ วงโคจรของอิเล็กตรอนอาจเป็นวงรีได้ เช่น n = 3
จะให้วงกลมและวงรีร่วมแกนยาวร่วมกนั โดยพลงั งานของระบบขึนกบั แกนยาวเพียง
อย่างเดียว ทาํ ใหว้ งทงั สามมีพลงั งานเท่ากนั แต่มีโมเมนตมั เชิงมุมต่างกนั โดยวงกลมมี
โมเมนตมั เชิงมุมเท่ากบั กับ 3 และวงรีอีก 2 วง มีโมเมนตมั เชิงมุมเป็ น 2 และ 
และไดแ้ สดงถึงผลทางสัมพทั ธภาพทีตอ้ งนาํ มาเกียวขอ้ ง ทาํ ให้ชันพลงั งานไม่ขึนกับ
แกนยาวเพียงอย่างเดียวแต่ยงั ขึนกบั แกนสัน ดงั นนั ชนั พลงั งานจะไม่ขึนกบั ค่าตวั เลข
ควอนตมั หลกั (n) อย่างเดียว แต่ตอ้ งขึนกบั เลขควอนตมั เชิงมุม (n ) ของชนั นัน การ
คิดตามแบบซอมเมอร์เฟลดส์ ามารถอธิบายโครงสร้างอยา่ งละเอียดของเส้นสเปกตรัม
ได้ ขณะเดียวกนั โบร์ก็ไดน้ าํ ผลงานของซอมเมอร์เฟลดแ์ ละแบบจาํ ลองแบบดาวเคราะห์
มาพิจารณาการจดั เรียงของธาตุในตารางธาตุ แต่อย่างไรก็ตามการพฒั นาทฤษฎีของ
โบร์และซอมเมอร์เฟลด์ เพือใหส้ ามารถใชใ้ นการอธิบายปรากฎการณ์ของอะตอมทีมี
อิเลก็ ตรอนมากกวา่ หนึงตวั แมจ้ ะใชเ้ วลาลว่ งเลยไปกวา่ 10 ปี กย็ งั ไมป่ ระสบผลสาํ เร็จ

รูปที 1.32 วงโคจรรูปวงรีบางวงโคจร
ตามทฤษฎีของซอมเมอร์เฟลด์

และในปี ค.ศ. 1920 โบร์ ไดเ้ สนอ หลกั การสมนยั (correspondence princicle)
ซึงกล่าวว่า กลศาสตร์ควอนตัมสอดคลอ้ งกบั กลศาสตร์แผนเดิม เมือความแตกต่าง
ระหว่างระดับการควอนไทซ์มีขนาดเล็กมาก ตวั อย่างเช่น เมือพิจารณาอิเล็กตรอนที
โคจรรอบอะตอมไฮโดรเจน เมือ n  10,000 กรณีที n ดังกล่าวมีค่ามาก ความ
แตกต่างระหว่างระดับพลังงานทีอยู่ติดกันมีค่าเข้าใกล้ศูนย์ ดังนันระดับพลังงาน
ดงั กล่าวเกือบมีความต่อเนืองกนั ดว้ ยเหตุนีแบบจาํ ลองในกลศาสตร์แผนเดิมจึงมีความ
ถกู ตอ้ งสมเหตุสมผลในการอธิบายระบบทีมีคา่ n ขนาดใหญ่

ถึงแมว้ า่ หลกั การสมนยั ของโบร์ จะใชอ้ ธิบายปรากฎการณต์ ่าง ๆ ไดเ้ ป็นอยา่ งดี
แต่หลักการนี จะมีความถกู ตอ้ งเฉพาะเมือ n มีค่ามากเท่านนั ถา้ หาก n มีค่าน้อยแลว้
หลกั การนีจะใชไ้ มไ่ ดเ้ ลย

ผูท้ ีประสบความสําเร็จในการขยายทฤษฎีเพือให้ใช้ได้กบั กรณีที n มีค่าน้อย
เป็ นคนแรกคือ ไฮเซนเบิร์ก (Werner Karl Heisenberg , 1901  1976) นักฟิ สิกส์
ชาวเยอรมนั ในปี ค.ศ.1925 ซึงเป็นจุดเริมตน้ ของทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตมั ยคุ ใหม่

39

1.55 ปรากฏการณ์คอมป์ ตนั (The Compton effect)

จากความสําเร็จของไอน์สไตน์ ในการอธิบายปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก Digital Image / https://www.npg.org.uk

ไอน์สไตน์ได้ขยายความคิดของเขาเกียวกับแสงหรือโฟตอนออกไปอีกว่า ไม่ใช่เฉพาะ
พลงั งานเท่านนั ทีส่งไปเป็นกอ้ น แต่แสงหรือโฟตอนยงั ส่งโมเมนตมั เป็นกอ้ นไปในทิศทาง

เดียว คาํ อธิบายนีเกิดขึนในปี ค.ศ.1919 โดยโฟตอนแตล่ ะตวั มีโมเมนตมั ดงั นี

จาก P = mv  P = mc  P = E  P = h
c c

ซึงจะไดว้ า่ P= h (1.5.1) โจเซฟ อเล็กซานเดอร์ เกรย์

อาร์เธอร์ ฮอลลี คอมป์ ตนั
ในปี ค.ศ.1920 เกรย์ (Joseph Alexander Gray ,1884 1966) นักฟิ สิกส์ชาว นักฟิ สิกส์ชาวอเมริกัน (ค.ศ.1892-1962)
เป็ นหัวหน้าห้องปฏิบตั ิการวิจัยเกียวกับ
ออสเตรเลีย ไดร้ ายงานให้สาธารณชนทราบวา่ เมือลาํ รังสีเอก็ ซ์หรือรังสีแกมมาถูกกระเจิง ปฏิกิริยาลูกโซ่นิวเคลียร์ ทีมหาวิทยาลัย
รังสีทีถูกกระเจิงจะมีความสามารถในการทะลุทะลวงน้อยกว่ารังสีในตอนแรก และยงิ มุม ชิคาโก งานของเขามีความสําคัญมาก
ต่อการสร้างอาวุธนิวเคลียร์รุ่นแรก ในปี
การกระเจงิ มากขึนเท่าใด ความสามารถทะลทุ ะลวงยงิ นอ้ ยลงเท่านนั ค .ศ .1923 เ ข า ค้น พ บ ป ร า ก ฏ ก า ร ณ์
คอมป์ ตนั ซึงทาํ ใหเ้ ขาไดร้ บั รางวลั โนเบล
ซึงต่อมาในปี ค.ศ.1923 คอมป์ ตัน (Arthur Holly Compton ,1898 1962) สาขาฟิสิกส์ในปี ค.ศ.1927

นักฟิ สิกส์ชาวอเมริกัน ได้อธิบายว่า การกระเจิงในลกั ษณะดังกล่าวเป็ นการกระเจิงที Digital Image / www.findagrave.com
สอดคลอ้ งกบั กฎการอนุรักษพ์ ลงั งานและโมเมนตมั คอมป์ ตนั อธิบายปรากฏการณ์นีโดย

การต่อยอดแนวคิดของไอน์สไตน์ทีว่า คลืนแม่เหล็กไฟฟ้าจะส่งพลงั งานและโมเมนตมั
เป็นกอ้ น ทีเรียกวา่ โฟตอน นนั เอง

คอมป์ ตนั ไดท้ ดลองการกระเจิงของรังสีเอ็กซ์ โดยให้มนั กระเจิงกับอิเล็กตรอน

ซึงผลทีไดแ้ ตกต่างจากฟิ สิกสแ์ ผนเดิม คือ พบว่า รังสีเอ็กซ์ทีกระเจิงออกมา จะมีค่าความ

ยาวคลืนแตกต่างไปจากความยาวคลืนของรังสีตกกระทบ คือ จะมีความยาวคลืนเพิมขึน
แบบจาํ ลองควอนตมั ของรังสีเอก็ ซ์ทีกระเจงิ จากอิเลก็ ตรอน แสดงดงั รูปที 1.33

รูปที 1.33 แบบจําลองควอนตัมของ
รังสีเอก็ ซท์ ีกระเจิงจากอเิ ลก็ ตรอน

40

เราสามารถหาสมการทีอธิบายความสัมพนั ธ์ระหว่าง  กบั  ไดโ้ ดยการสมมติให้โฟตอนประพฤติเหมือนกบั

อนุภาคและชนกนั แบบยดื หยนุ่ กบั อิเลก็ ตรอนอิสระทีอยนู่ ิง โดยตอนแรกโฟตอนมีพลงั งาน E = h ส่วนอิเลก็ ตรอนขณะ
อยู่นิงมีพลงั งานจลน์เป็ นศูนย์ Ke  0 หลงั จากเกิดการกระเจิง โฟตอนมีพลงั งาน E  h  ส่วนอิเลก็ ตรอนมีพลงั งาน
จลนท์ ีถอยกลบั ออกมา Ke ดงั นนั จากกฎการอนุรักษพ์ ลงั งาน จะไดว้ า่

 E   Ee = 0

(E  E ) + (Ke - Ke ) = 0

(h   h ) + (Ke - 0) = 0 (1.5.2)
h = h   Ke

เนืองจากอิเลก็ ตรอนทีถอยกลบั ออกมาจะมีอตั ราเร็วเทยี บเท่ากบั แสง เราจงึ ตอ้ งใชส้ มการของทฤษฎีสมั พทั ธภาพ คือ

Ke   1 mec2 (1.5.3)
(1.5.4)
แทนสมการที 1.69 ลงในสมการที 1.68 จะไดว้ า่

h = h   ( 1) mec2
h = h    mec2  mec2

โดย  = 1 u2  h  mec2 = h    mec2
 c2 
  เมือ u คือ อตั ราเร็วของอิเลก็ ตรอนทีถอยกลบั ออกมา

1-

พิจารณาโมเมนตัมของการชน ซึงตอนแรกโฟตอนมีโมเมนตมั เชิงเส้น P = h ส่วนอิเล็กตรอนอยู่นิงจึงมี
c

โมเมนตมั เชิงเส้น Pe = 0 หลงั จากเกิดการกระเจิง โฟตอนมีโมเมนตมั เชิงเสน้ P = h  เคลือนทีในทิศทางทาํ มุม  เทียบ
c

กบั ทิศทางเดิมของโฟตอนทีตกกระทบ ส่วนอิเลก็ ตรอนมีโมเมนตมั เชิงเส้นทีถอยกลบั ออกมาจึงมีสมการสัมพทั ธภาพของ

โมเมนตมั คอื Pe   meu เคลือนทใี นทิศทางทาํ มุม  เทียบกบั ทิศทางเดมิ ของโฟตอน และสามารถแตกเวกเตอร์โมเมนตมั

เขา้ สู่แกน x และแกน y ไดด้ งั รูปที 1.34

จากกฎการอนุรักษโ์ มเมนตมั จะไดว้ า่

ในแนวแกน x ; Px1 = Px2

P = Pe cos + Pcos

Pe cos  P  Pcos (1.5.5)

(Pe cos)2  (P  Pcos )2

ในแนวแกน y ; Py1 = Py2

0 = Pe sin   Psin 

รูปที 1.34 โมเมนตมั ตอนแรกและตอนหลงั ของโฟตอนและอิเลก็ ตรอน Pe sin   Psin (1.5.6)
และการแตกเวกเตอร์โมเมนตมั เขา้ สู่แกน x และแกน y (Pe sin)2  (Psin )2

41

นาํ สมการที 1.5.5 + สมการที 1.5.6 จะไดว้ า่ จจาากก  = 1

(Pe cos)2  (Pe sin )2  (P  Pcos )2  (P sin )2 1-  u2 
 c2 
Pe2 (cos2  2  sin2 )  P2  2 P Pcos  (Pcos )2  (P sin )2  

 2 = 1

Pe2 (1)  P 2  2 P Pcos  P(cos2   sin2  ) 1-  u2 
 
Pe2 (1)  P 2  2 P Pcos  P2 (1)  c2 

 2 = 1
c2- u2
Pe2  P 2  2 P Pcos  P2  
 
(1.5.7)  c2 

Pe2  P 2  P2  2 P Pcos c2
c2 - u2
  2 =

คูณสมการ 1.73 ดว้ ย c2 ทงั สองขา้ ง จะไดว้ า่   2 c2 - u2 = c2

Pe2c2 = P 2 c2  P2 c2  2 c2 P P cos คูณดว้ ย me2c4 ทงั สองขา้ ง

จาก h   2 me2c2 c2 - u2 = c2 me2c2
c
P =  2 me2c4   2 me2c2u2 = me2c4
 2 me2c4 =  2 me2c2u2  me2c4
และ P = h  จะไดว้ า่ ( mec2 )2 = ( meuc)2  (mec2 )2
c

Pe2c2 = h 2  h 2  2 h h  cos (1.5.8) จาก  mec2 = ( meuc)2  (mec2 )2
จะไดว้ ่า Pe   meu
จาก  = 1 u2
 c2   mec2 = (Pe c)2  (mec2 )2
 
1-  

จะไดค้ วามสมั พนั ธเ์ ชิงสมั พทั ธภาพระหวา่ งพลงั งานกบั โมเมนตมั ดงั นี

  me c2 = Pec2  mec2 2 (1.5.9)

แทนสมการที 1.5.9 ลงในสมการที 1.5.4 จะไดว้ า่

 h + me c2 = h  + Pec2  mec2 2

 h  h  + me c2 = Pec2  mec2 2 (1.5.10)
(1.5.11)
ยกกาํ ลงั สองสมการที 1.76 ทงั 2 ขา้ ง จะไดว้ า่

 (h  h  + me c2 )2 = Pec2  mec2 2

Pe2c2  (h  h  + me c2 )2  m 2 c4
e

Pe2c2  ((h  h ) + me c2 )2  me2c4

Pe2c2  (h  h )2  2(h  h ) me c2 + (me c2 )2  me2c4

Pe2c2  (h  h )2  2(h  h ) me c2

Pe2c2  h 2  2 h h   h 2  2 h me c2  2 h  me c2

จบั สมการที 1.5.11 มาเทา่ กบั และสมการที 1.5.8 จะไดว้ า่

h 2  2h h   h 2  2h  mec2  2h  mec2  h 2  h 2  2h h  cos
2h h   2h  mec2  2h  mec2  2h h  cos
2h  mec2  2h  mec2  2h h   2h h  cos

42 2h  mec2  2h  mec2  2h h  (1 cos )

รูปที 1.35 กราฟความเขม้ แสงรังสีเอ็กซ์ 2 h mec2  2 h  mec2  2 h2 (1 cos ) (1.5.12)
ทีกระเจิงออกมากบั ความยาวคลนื สําหรับ (1.5.13)
การกระเจิงคอมป์ ตนั ทีมมุ ต่าง ๆ หารสมการที 1.5.12 ดว้ ย 2 h mec2 ทงั สองขา้ ง จะไดว้ า่

c c  h (1 cos )
  mec

ดงั นนั     h (1  cos )
mec

สมการที 1.5.13 เรียกว่า สมการเลือนของคอมป์ ตนั (Compton shift equation)โดย

ค่า h/ mec ถูกเรียกวา่ ความยาวคลืนของคอมป์ ตนั (Compton wavelength) ของอิเลก็ ตรอน

แทนด้วยสัญลักษณ์ c ซึงปัจจุบันมีค่าทียอมรับกัน คือ 0.00243 nm หรือ 0.0243 o

A

จากการทดลองของคอมป์ ตนั โดยใชร้ ังสีเอ็กซ์ทีมีความเขม้ ต่าง ๆ กนั มากมายและ

ให้ความยาวคลืนตอนแรก   0.709 o แล้ววดั ควา มย าว คลืน ขอ งรังสี เ อ็ก ซ์ทีกร ะ เจิง

A

ออกมา ณ มุมกระเจิง (scattering angle) ต่าง ๆ กนั ได้ ผลปรากฏดงั รูปที 1.35

เมือเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ระหว่าง (1 cos ) กบั ความยาวคลืนทีกระเจิง 
จะไดก้ ราฟเสน้ ตรงดงั รูปที 1.36

รูปที 1.36 กราฟความยาวคลืน
ข อ ง รั ง สี เ อ็ก ซ์ ที ก ร ะ เ จิ ง อ อ ก ม า
ณ มมุ กระเจิงตา่ ง ๆ

เมือหาความชนั ของกราฟ จะได้ a  2.43×10-12 m ค่านีคือ h/ mec นนั เอง
จากสมการเส้นตรง y = ax+ b

 = h (1  cos ) +
mec

นนั คือ   = h (1 cos )
mec

ปรากฏการณ์คอมป์ ตนั เกิดขนึ กบั การกระเจิงของคลืนแม่เหลก็ ไฟฟ้าในทุกย่านความ

ยาวคลืน อย่างไรก็ตามทีความยาวคลืนมาก เช่น คลืนแสงทีตามองเห็นค่า  มีค่าน้อยมาก

เมือเทียบกบั  ความยาวคลืนทีเปลียนไปจึงสังเกตไดย้ าก หากใชเ้ ครืองมือวดั ความยาวคลืน

แสงตามปกติ

43

ตัวอย่างที 1.18 โฟตอนทีตกกระทบมีพลงั งาน 10.39 keV ถูกทาํ ให้กระเจิงแบบคอมป์ ตนั ทีมมุ กระเจิง 450 จงหา
(A) ความยาวคลืนของโฟตอนทีกระเจงิ ออกไป

วธิ ีทํา ตอ้ งการหา  ;     h 1  cos 
mec

     h c 1  cos 
me

  hc  h 1 cos 
E mec

1240 eV nm
10.39103 eV
 
   (0.00243 nm) 1 cos 450

  0.1201 nm

(B) พลงั งานของโฟตอนทีกระเจิงออกไป (C) พลงั งานจลนข์ องอิเลก็ ตรอนทีถูกกระเจงิ ออกไป

วิธที าํ ตอ้ งการหา E ; E  hc วธิ ีทํา ตอ้ งการหา Ke ; E = E  Ke

Ke  E  E
E  1240 eV nm Ke  E  E
 Ke  10.39 10.33
Ke  0.06 keV
E  1240 eV nm
0.1201 nm

E  10.33103 eV
E  10.33 keV

11.6 สมมตฐิ านของเดอ เบรย (The De Broglie Hypothesis)

จากความสาํ เร็จในการอธิบายวา่ แสงแสดงสมบตั ิความเป็นอนุภาค ดงั ทีแสดงให้เห็น Digital Image / https://quantum-reality.net

แล้วจากปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริกและปรากฏการณ์คอมป์ ตัน ซึงในทีนีอนุภาค

คือโฟตอน พลงั งานของโฟตอนทีมีความถี  คือ E = h และโมเมนตมั คอื P= h  h
c 

ในปี ค.ศ.1924 เดอ เบรย (Louis Victor de Broglie , 1892  1987) นักฟิ สิ กส์

ชาวฝรังเศส ไดเ้ สนอในวิทยานิพนธ์ระดบั ปริญญาเอก โดยเขาเสนอว่า อิเล็กตรอนอาจมี

สมบตั ิความเป็ นคลืน โดยคลืนชนิดใหม่นี เรียกว่า คลืนสสาร (matter waves) ซึงไม่ใช่ หลุยส์ วคิ เตอร์ เดอ เบรย

คลืนแม่เหลก็ ไฟฟ้า โดยอนุภาคตา่ ง ๆ ทีมโี มเมนตมั P จะมีความยาวคลืน ดงั นี นักฟิ สิกส์ชาวฝรังเศส (ค.ศ.1892-1987)
ผูต้ งั สมมติฐานว่าทุก ๆ อนุภาค มีสมบตั ิ
  h (1.6.1) ค ว า ม เ ป็ น ค ลื น (wave-particle duality)
P ซึงกลายเป็ นหัวใจของทฤษฎีควอนตัม
เขาได้รับรางวลั โนเบลสาขาฟิ สิกส์ในปี
สมการที 1.6.1 เรียกวา่ ความยาวคลืนเดอ เบรย (De Broglie wavelength) ค.ศ.1929 จากผลงานดงั กลา่ ว

สมมติฐานนีตงั อยู่บนพนื ฐานของความสมมาตรทีเกิดขึนในธรรมชาติ เนืองจากเป็น
ทีทราบกันดีว่าแสงมีสมบัติทังคลืนและอนุภาค ดังนันจึงเป็ นไปไดว้ ่าอิเล็กตรอน อาจมี
คุณลกั ษณะของคลืนและอนุภาคเช่นกนั แต่ในขณะนนั ไม่มีการทดลองหรือปรากฏการณ์ใด
ทีแสดงให้เห็นวา่ อิเลก็ ตรอนมีสมบตั คิ วามเป็นคลืน

44

สมการของเดอ เบรย คาดกันว่าสามารถนําไปประยุกต์ใช้กับสสารได้ทุกชนิด แต่อย่างไรก็ตามสําหรับวตั ถุ
มหาทรรศน์ เช่น ลูกบอล กอ้ นหิน เม็ดทราย เป็ นตน้ ความยาวคลืนทีคาํ นวณได้มีค่าน้อยมาก จนไม่สามารถตรวจวดั ด้วย
เครืองมือใด ๆ แมก้ ระทงั อนุภาคทีมีขนาดเล็ก 1  g ก็ยงั มีมวลมากเกินกว่าทีคุณลกั ษณะความเป็นคลืนจะปรากฏใหส้ ังเกต
ได้ แมว้ า่ อนุภาคนนั จะเคลือนทีดว้ ยอตั ราเร็วนอ้ ยมาก ๆ ก็ตาม ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี

ตัวอย่างที 1.19 จงคํานวณหาความยาวคลืนเดอ เบรย ของอนุภาคทีมีมวล 2×10-6 g ซึงกาํ ลังเคลือนทีด้วยอัตราเร็ว

5×106 m/ s

วิธีทาํ ตอ้ งการหา  ;   h
P

 = h
mv

 = (6.626 1034 J s) s)
(2 109 kg)(5106 m/

 = 6.626 1020 m

นอกจากนียงั สามารถพจิ ารณาทฤษฎีสมั พทั ธภาพ ในการหาพลงั งานจลนท์ ีใชใ้ นการเลียวเบนของอนุภาค ดงั นี (1.6.2)

T = (Pc)2 + (m0c2 )2 - m0c2

ตวั อย่างที 1.20 เพือศึกษานิวเคลียสอะตอม เรามกั ทดลองการเลียวเบนของอนุภาคซึงมีความยาวคลืนเดอ เบรย คือ มีขนาด
เท่ากบั เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของนิวเคลียส คือ ประมาณ 14 fm จงหาพลงั งานจลนท์ ีควรใชถ้ า้ การเลียวเบนของ
อนุภาคอิเลก็ ตรอน

วิธีทาํ ตอ้ งการหา T ; T = (Pc)2 + (m0c2 )2 - m0c2

หา Pc ; Pc  hc


Pc = 1240 eV nm
14 ×10-9 ×10-6 m

Pc = 1240 eV nm
14×10-6 nm

Pc = 88.571 eV

กรณีการเลียวเบนของอิเลก็ ตรอน m0c2  0.511 MeV

จะไดว้ า่ Te = (Pc)2 + (m0c2 )2 - m0c2

Te = (88.571)2 + (0.511)2 - 0.511

ดงั นนั Te = 88.1 MeV

สมมติฐานของเดอ เบรย นาํ มาประยกุ ตใ์ ชก้ บั ทฤษฎีอะตอมไฮโดรเจนของโบร์ เกียวกบั โมเมนตมั เชิงมมุ L ของ

อิเลก็ ตรอนในวงโคจรทีมีรศั มี r ดงั นี

จาก L = Pr

และ L = n 

ดงั นนั Pr  n  (1.6.3)

จาก P h 45
และ  รูปที 1.37 คลืนนิงในวงโคจรของอะตอม
จะไดว้ า่ ไฮโดรเจน
ดงั นนั   h
2 คลินตัน โจเซฟ เดวิสสัน

hr  nh เลสเตอร์ ฮลั เบิร์ต เจอร์เมอร์
 2

2 r  n  เมือ n  1, 2,3,... (1.6.4)

จะเห็นได้ว่า วงโคจรเสถียรในทฤษฎีของโบร์ เป็ นเลขจาํ นวนเต็มบวกคูณด้วย Digital Image / https://www.britannica.com
ความยาวคลืน ซึงเป็ นคลืนนิง (standing wave) ทีเข้าได้กับเส้นวงโคจร ดังรูปที 1.37
ดงั นนั สมมติฐานของเดอ เบรย สามารถใชอ้ ธิบายรัศมีวงโคจรในทฤษฎีของโบร์ได้เป็ น
อยา่ งดี

ใ น ปี ค .ศ.1927 เดวิ สสัน (Clinton Joseph Davisson ,18811958) แล ะ
เจอร์เมอร์ (Lester Halbert Germer , 1896 1971) สองนักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน
ไดย้ ืนยนั สมบตั ิความเป็นคลืนของอิเลก็ ตรอน โดยการทดลองทีเกิดขึนโดยบงั เอิญ ขณะที
พวกเขากาํ ลังศึกษาการกระเจิงของอิเล็กตรอนจากเป้าซึงทาํ จากนิเกิล ณ ห้องทดลอง
โทรศพั ท์เบลล์ หลังจากให้ความร้อนแก่เป้าเพือดึงเอาออกไซด์ทีเคลือบผิวนิกเกิลออก
ปรากฏว่าชินส่วนของระบบสุญญากาศเสียหาย อิเลก็ ตรอนทีเกิดการกระเจิงจากผิวนิกเกิล
นีเกิดความเขม้ แสงสูงสุดและตาํ สุดทีค่ามุมเฉพาะต่าง ๆ ในทีสุดพวกเขาจึงตระหนักว่า
นิกเกิลเกิดการเรียงตวั กนั เป็ นผลึกขนาดใหญ่เพราะไดร้ ับความร้อน และมีช่องว่างของ
ระนาบของอะตอมในบริเวณดงั กล่าว ประพฤติตวั เป็นเกรตติงเลียวเบนสาํ หรับอิเลก็ ตรอน

ไม่นานหลงั จากนันเดวิสสัน และเจอร์เมอร์จึงไดว้ ดั การเลียวเบนของอิเลก็ ตรอน
ทีกระเจิงจากเป้าทีมีผลึกเดียวอย่างครอบคลุม ผลการทดลองแสดงให้เห็นว่า อิเล็กตรอน
มีธรรมชาติความเป็นคลืนทีสามารถยนื ยนั สมมติฐานของเดอ เบรย

ลาํ สะทอ้ นทีเกิดการแทรกสอดเสริม ทีเป็ นไปตามเงือนไขแบร็กก์ ซึงสามารถ

คาํ นวณหาความยาวคลืน  ไดจ้ ากสมการ

n   2d sin เมือ n  1, 2,3,... (1.6.5)

สมการที 1.6.5 เรียกวา่ กฎของแบร็กก์ (Bragg’s law)

เมือ  คือ มุมทีวดั จากระนาบการกระเจิงของอะตอมถึงลาํ ตกกระทบ Digital Image / http://nuclphys.sinp.msu.ru

และ d คอื ระยะห่างระหวา่ งระนาบอะตอมทีเกิดการกระเจิง ซึงหาไดจ้ าก

d  asin( / 2) (1.6.6)

เมือ a คือ ระยะห่างระหวา่ งอะตอมในผลึก

และ  คอื มุมกระเจิงทีวดั จากลาํ ตกกระทบถึงลาํ กระเจิง

โดย  และ  มีความสมั พนั ธ์กนั ดงั นี

  900  ( / 2) (1.6.7)

46

จากการทดลองเมือใช้ความต่างศกั ย์ V = 54 V ลาํ สะทอ้ นของอิเล็กตรอนทีมุม
  500 เกิดการแทรกสอนเสริมขึนและพบวา่ ความเขม้ สูงสุดทีจุดนี โดยระยะห่างระหว่าง
อะตอมของผลึกนิกเกิล a = 0.215 nm สมมติทีจุดนีสมั พนั ธก์ บั n = 1

ดงั นนั d = asin( / 2)  (0.215 nm) sin 250  0.0909 nm
และ   2 d sin  2(0.0909 nm)sin 650  0.165 nm

รูปที 1.38 ภาพการกระเจิงจากระนาบผลึก เราสามารถเปรียบเทียบค่าความยาวคลืนนีกับความยาวคลืนทีคาดไวใ้ นสมมติฐาน

ของเดอ เบรย อิเลก็ ตรอนถูกเร่งผ่านความต่างศกั ย์ V = 54 V มีพลงั งานจลน์ T = 54 eV

ดงั นนั สามารถหาความยาวคลืนเดอ เบรย ไดด้ งั นี

  hc
Pc

หา Pc ; P = m0c (1.6.8)
(1.6.9)
และ T = 1 m0c2
2

หรือ c = 2T
m0

แทนสมการที 1.6.9 ลงในสมการ 1.6.8 จะไดว้ า่

P = m0 2T
m0

P = 2m0T (1.6.10)
(1.6.11)
Pc = c 2 meT

Pc = 2 mec2T

กรณีอิเล็กตรอน mec2 = 0.511 MeV

Pc = 2(0.511×106 eV)(54 eV)

Pc = 7430 eV

ดงั นนั   1240 eV nm
7430 eV
Digital Image / https://www.polyu.edu.hk
  0.167 nm

จะเห็นว่าค่าความยาวคลืนทงั สองกรณีใกลเ้ คียงกนั มาก ซึงสนบั สนุนสมมติฐานของเดอ เบรย

รูปที 1.39 กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน ปัญหาในการเขา้ ใจธรรมชาติความเป็นคู่ของสสารและการแผ่รังสีนันมีความยงุ่ ยาก
เป็ นอุปกรณ์ทีอาศัยลักษณะเฉพาะของ ในเชิงแนวคิด เพราะดูเหมือนว่าทงั สองแบบจาํ ลองมีความขดั แยง้ กันเอง ในเรืองนี โบร์
ความเป็นคลนื ของอเิ ลก็ ตรอน ได้เสนอ หลักการของการเติมเต็ม (principle of complementarity) ซึ งมีใจความว่า
แบบจาํ ลองเชิงคลืนและแบบจาํ ลองเชิงอนุภาคของสสารหรือของการแผ่รังสีอย่างใดอย่าง
หนึงจะเติมเตม็ ซึงกนั และกนั นนั คือเราไม่สามารถแสดงสมบตั ิในเทอมของอนุภาคหรือคลืน
ไดพ้ ร้อมกนั

ต่อมาในปี ค.ศ.1928 จี พี ทอมสัน (Sir George Paget Thomson ,1892 1975) 47Digital Image / https://www.sciencephoto.com
นักฟิ สิกส์ชาวอังกฤษผูซ้ ึงเป็ นบุตรของ เจ เจ ทอมสัน ได้สังเกตพบการเลียวเบนของ เซอร์ จอร์จ พาเกต ทอมสัน
อิเล็กตรอนเช่นกนั หากแต่พบในการทดลองใหล้ าํ อิเล็กตรอนทะลุทะลวงผ่านโลหะแผน่ บาง
ซึงทาํ ใหเ้ ขาไดร้ ับรางวลั โนเบลสาขาฟิ สิกส์ร่วมกบั เดวิสสันในปี ค.ศ.1937 และนับตงั แต่การ
ทดลองของ จี พี ทอมสัน ต่อมายงั พบว่า อนุภาคอืน ๆ เช่น นิวตรอน โปรตอน เกิดการ
เลียวเบนเช่นเดยี วกบั อิเลก็ ตรอน

11.7 อนุภาคควอนตัม (quantum particle)

ในกลศาสตร์แผนเดิม แบบจาํ ลองของอนุภาคและคลืนมีความแตกต่างกันอย่าง
ชดั เจน แต่จากหัวขอ้ ทีผ่านมาทาํ ให้เรารู้ว่าแสงและอนุภาคต่างก็มีสมบตั ิของความเป็ นคลืน
และอนุภาค การยอมรับธรรมชาติของความเป็ นคู่คลืน-อนุภาค (duality) นี ทาํ ให้เกิด
แบบจาํ ลองใหมท่ ีเรียกวา่ อนุภาคควอนตัม (quantum particle)

เมือคลืนจาํ นวนมากเขา้ มารวมกนั จะเกิดการแทรกสอดกนั โดยบริเวณหนึงทีมีการ
แทรกสอดแบบเสริมกนั ผลลพั ธ์ทีไดเ้ รียกว่า ห่อคลืน (wave packet) ดงั รูปที 1.40 ซึงมัน
ประพฤติตวั เป็นอนุภาค แต่มนั มีสมบตั ิความเป็ นคลืน เพราะมนั ถูกสร้างมาจากคลืนหลาย ๆ
คลืน

สาํ หรับคลืนใดคลืนหนึงในห่อคลืน อตั ราเร็วเฟส (phase speed) จะเป็น รูปที 1.40 ถา้ มีคลนื จาํ นวนมากหลายคลนื เขา้
ม ารว ม กัน ผลลัพ ธ์ที ได้ก็ คือห่ อ ค ลื น
v phase   ซึงประพฤติตวั เป็นอนุภาค
K
(1.7.1)
โดยที K  2 (1.7.2)
และ  (1.7.3)

  2 (1.7.4)

สาํ หรับห่อคลนื โดยองคร์ วม จะมี อตั ราเร็วกลุ่ม (group speed) คือ

vg  d
dK

48

คูณดว้ ย  ทงั เศษและส่วน จะได้ vg  d ()
d (K )
จาก
จะได้ vg  dE (1.7.5)
dp (1.7.6)

E  p2 (1.7.7)
2m

vg  d p2 
 
dp  2m 

vg  1 2p
2m

vg  u

ดงั นนั อตั ราความเร็วกลุม่ ของห่อคลืน จะเหมอื นกบั อตั ราความเร็วของอนุภาคทีมนั ถูกจาํ ลองเพือแทนค่า ทาํ ใหเ้ รามี
ความเชือมนั เพมิ ขึนวา่ ห่อคลืนเป็นวธิ ีการทีสมเหตุสมผลเพือทาํ ให้เกิดอนภุ าค

ตัวอย่างที 1.21 พิจารณาอนุภาคมวล m เคลือนทีอยา่ งอสิ ระและมีอตั ราเร็ว u อนุภาคนีมีพลงั งานคอื E  1 mu 2
2

จงหาอตั ราเร็วเฟสของอนุภาคควอนตมั นี

วิธที ํา ตอ้ งการหา vphase ; v phase  
K

คณู ดว้ ย  ทงั เศษและส่วน

จะได้ v phase  
K

จาก E  

และ p  K

จะได้ v phase  E
p

จาก E  1 mu 2
2

และ p  mu

จะได้ v phase  u
2

ซึงจะเห็นไดว้ า่ อตั ราเร็วเฟส แตกตา่ งจากอตั ราเร็วทีอนุภาคขนยา้ ยมวลและพลงั งาน ซึงมีคา่ เทา่ กบั u

49

แบบฝึ กหดั ท้ายบท
บทที 1 จุดเริมต้นของทฤษฎีควอนตัม

1. จากตารางบนั ทึกผลการทดลองวดั ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งอณุ หภูมิ และ ความเขม้ ของการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ
รวมทุกความยาวคลืน

T(K) I(T) W/ m2  T4 (K4 )
0.9 106
2000 4.6 106
3000 14.5 106
4000 35.4 106
5000 73.5 106
6000

1.1 จงเขยี นกราฟความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งอณุ หภมู ิ และ ความเขม้ ของการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ รวมทุกความยาวคลืน
1.2 จงหาค่าอณุ หภมู ิยกกาํ ลงั สี และเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ระหว่างอณุ หภูมิยกกาํ ลงั สี และความเขม้ ของการแผ่รังสี

ของวตั ถุดาํ รวมทกุ ความยาวคลืน
1.3 จงหาความชนั ของกราฟในขอ้ 1.2
1.4 จงเขยี นสมการเอมพิริกลั แสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งอณุ หภูมิ และ ความเขม้ ของการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ รวมทุก

ความยาวคลืน

2. จากตารางบนั ทกึ ผลการทดลองวดั ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความยาวคลืนสูงสุดของการแผ่รังสีของวตั ถุดาํ และ อณุ หภูมิ

T(K) max (m) 1 (m1)
max
2000 1.45
3000 0.97
4000 0.72
5000 0.58
6000 0.48

2.1 จงเขยี นกราฟความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งความยาวคลืนสูงสุดของการแผร่ ังสีของวตั ถุดาํ และ อณุ หภูมิ
2.2 จงหาคา่ ผกผนั ของความยาวคลืนสูงสุด และเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ระหวา่ งค่าผกผนั ของความยาวคลืนสูงสุด

และอณุ หภูมิ
2.3 จงหาความชนั ของกราฟในขอ้ 2.2
2.4 จงเขยี นสมการเอมพิริกลั แสดงความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งคา่ ผกผนั ของความยาวคลืนสูงสุด และอณุ หภูมิ

3. ดวงอาทิตยม์ ีสมบตั ิเป็นวตั ถุดาํ มคี วามยาวคลืนสูงสุด 500 นาโนเมตร จงคาํ นวณหาความเขม้ ของการแผ่รังสีของ
ดวงอาทิตย์

50

4. ความเขม้ ของการแผร่ ังสีสูงสุดเกิดขึนทีความยาวคลืน 1.5  m ณ อณุ หภมู ิ 2000 K จงคาํ นวณหา
4.1 พลงั งานเฉลียของตวั กวดั แกวง่ ตามกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์
4.2 ค่าตวั เลขของยีนส์แสดงจาํ นวนตวั กวดั แกวง่ ตอ่ หน่วยปริมาตร ทีเป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน
4.3 ความหนาแน่นของพลงั งานสูงสุด ทีเป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน  และอุณหภมู ิ T ตามกฎของเรยล์ ี-ยนี ส์
4.4 ความเขม้ ของการแผ่รังสีสูงสุด ทีเป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน  และอุณหภมู ิ T
5. ความเขม้ ของการแผร่ งั สีสูงสุดเกิดขึนทีความยาวคลืน 1.5  m ณ อุณหภูมิ 2000 K จงคาํ นวณหา
5.1 hc /  และ hc / kBT
5.2 พลงั งานเฉลียของตวั กวดั แกว่ง ตามกฎการแผร่ ังสีของพลงั ค์
5.3 ความหนาแน่นของพลงั งานสูงสุด ทีเป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน  และอณุ หภูมิ T ตามกฎการแผ่รังของพลงั ค์
5.4 ความเขม้ ของการแผ่รงั สีสูงสุด ทีเป็นฟังกช์ นั ของความยาวคลืน  และอุณหภมู ิ T ตามกฎการแผร่ ังของพลงั ค์

6. พืนผิวของอะลูมิเนียมถูกฉายดว้ ยแสงทีมคี วามยาวคลืน 200 nm โดยทีคา่ ฟังกช์ นั งานของอะลูมิเนียมเท่ากบั 4.08 eV จงหา
6.1 พลงั งานจลนส์ ูงสุดของโฟโตอิเลก็ ตรอนทีหลดุ ออกมา
6.2 ความยาวคลืนขีดเริมสาํ หรับโลหะอะลมู ิเนียมนี
7. แสงจากดวงอาทิตย์ ณ ตาํ แหน่งบนผิวโลก มีความเขม้ ประมาณ 1400 W/ m2 สมมติวา่ พลงั งานเฉลียของโฟตอน
เทา่ กบั 2.0 eV จงคาํ นวณหา จาํ นวนโฟตอนทีกระทบพืนทีโลกขนาด 1 cm2 ในเวลา 1 s

8. ถา้ เพชรมีอณุ หภมู ิเดบาย 1860 K จงหาความถีสูงสุดและความยาวคลืนตาํ สุดของโฟนอนในเพชร

9. โฟตอนทีมีความยาวคลืนนอ้ ยทีสุดจากสเปกตรมั ในอนุกรมไลมานมีพลงั งานเท่าใด

10. รงั สีแกมมาทีมีพลงั งาน 0.662 MeV ถูกทาํ ใหก้ ระเจิงแบบคอมป์ ตนั จงหา
10.1 พลงั งานของโตอนทีกระเจิงออกไปทีมุมกระเจิง 600
10.2 พลงั งานจลน์ของอิเลก็ ตรอนทีถกู กระเจิงออกไป

11. จงคาํ นวณหาความยาวคลืนเดอ เบรย ของอิเลก็ ตรอนทีมีพลงั งานจลน์ 3.00 eV

12. จงหาพลงั งานจลนใ์ นการเลียวเบนของอนุภาค นิวตรอนและอนุภาคแอลฟา ตามลาํ ดบั
เมือกาํ หนดใหค้ วามยาวคลืนเดอ เบรยเทา่ กบั 14 fm