Matematika Turunan Fungsi

i Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi ii Unit Pembelajaran 07 TURUNAN FUNGSI MATA PELAJARAN MATEMATIKAMADRASAH ALIYAH Penanggung Jawab Direktorat GTK Madrasah Direktorat Pendidikan Islam Kementerian Agama Republik Indonesia Penyusun Sigit Tri Guntoro Untung Trisna Suwaji Juanda Kasim Wiwit Susanti Darno Raharjo Reviewer Abdur Rahman As’ari Copyright © 2020 Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah Hak CIpta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Agama Republik Indonesia

iii Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Undang – Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 1 ayat 1 menyatakan bahwa Guru adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada Pendidikan Anak Usia Dini jalur Pendidikan Formal, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Agar dapat melaksanakan tugas utamanya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Untuk itu saya menyambut baik terbitnya modul ini sebagai panduan semua pihak dalam melaksanakan program PKB. Peningkatan Kompetensi Pembelajaran merupakan salah satu fokus upaya Kementerian Agama, Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan (GTK) dalam meningkatkan kualitas madrasah melalui pembelajaran berorientasi keterampilan berpikir tingkat tinggi, kontekstual, dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Program PKB dilakukan mengingat luasnya wilayah Indonesia dan kualitas pendidikan yang belum merata, sehingga peningkatan pendidikan dapat berjalan secara masif, merata, dan tepat sasaran. Modul ini dikembangkan mengikuti arah kebijakan Kementerian Agama yang menekankan pada pembelajaran berorientasi pada keterampilan berpikir tingkat tinggi atau higher order thinking skills (HOTS) dan terintegrasi dengan nilai-nilai keislaman. Keterampilan berpikir tingkat tinggi adalah proses berpikir kompleks dalam menguraikan materi, membuat kesimpulan, membangun representasi, menganalisis, dan membangun hubungan dengan melibatkan aktivitas mental yang paling dasar. Sementara, nilai-nilai keislaman diintegrasikan dalam pembelajaran sebagai hidden curriculum sehingga tercipta generasi unggul sekaligus beriman dan bertakwa serta berakhlak mulia.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi iv Sasaran Program PKB ini adalah seluruh guru di wilayah NKRI yang tergabung dalam komunitas guru sesuai bidang tugas yang diampu di wilayahnya masing-masing. Komunitas guru dimaksud meliputi kelompok kerja guru (KKG), Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), dan Musyawarah Guru Bimbingan Konseling (MGBK). Model pembelajaran yang digunakan dalam modul ini adalah melalui moda Tatap Muka In-On-In sehingga guru tidak harus meninggalkan tugas utamanya di madrasah sebagai pendidik. Semoga modul ini dapat digunakan dengan baik sebagaimana mestinya sehingga dapat menginspirasi guru dalam materi dan melaksanakan proses pembelajaran. Kami ucapkan terima kasih atas kerja keras dan kerja cerdas para penulis dan semua pihak terkait yang dapat mewujudkan Modul ini. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai dan memudahkan upaya yang kita lakukan. Aamiin. Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Jakarta, Oktober 2020 An. Direktur Jenderal, Direktur Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah, Muhammad Zain

v Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi DAFTAR ISI KATA PENGANTAR................................................................................................................. iii DAFTAR ISI................................................................................................................................. v DAFTAR TABEL....................................................................................................................... vii DAFTAR GAMBAR................................................................................................................. viii 01 PENDAHULUAN...................................................................................................................1 A. Latar Belakang ..................................................................................................................1 B. Tujuan..................................................................................................................................1 C. Manfaat ..............................................................................................................................2 D. Sasaran ..............................................................................................................................2 E. Petunjuk Penggunaan ....................................................................................................2 02 TARGET KOMPETENSI .....................................................................................................5 A. Target Kompetensi Guru...............................................................................................5 1. Target Kompetensi Guru ............................................................................................5 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru................................................................5 B. Target Kompetensi Peserta Didik ...............................................................................7 1. Kompetensi Dasar ........................................................................................................7 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik................................................9 03 MATERI PEMBELAJARAN.............................................................................................. 13 A. Ruang Lingkup Materi .................................................................................................. 13 B. Aplikasi dalam Kehidupan........................................................................................... 13 C. Integrasi Keislaman....................................................................................................... 14

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi vi D. Bahan Bacaan................................................................................................................16 1. Pengertian Turunan Fungsi......................................................................................16 2. Sifat-sifat dan Teorema Turunan ........................................................................... 21 3. Fungsi Naik, Fungsi Turun dan Titik Kritis.......................................................... 24 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN ........................................................................................ 31 A. Organisasi Pembelajaran ............................................................................................ 31 B. Perangkat dan Pembelajaran..................................................................................... 31 C. Aktivitas Pembelajaran ............................................................................................... 32 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) .................................................................. 32 2. Kegiatan On Job Learning (4 JP)...........................................................................37 3. Kegiatan In Learning Service-2 (4 JP).................................................................. 38 D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD)......................................................................... 39 E. Pengembangan Penilaian .......................................................................................... 42 05 PENILAIAN........................................................................................................................ 44 A. Tes Formatif................................................................................................................... 44 B. Penilaian..........................................................................................................................50 1. Penilaian untuk Guru.................................................................................................50 2. Penilaian untuk Peserta Didik ................................................................................ 51 06 PENUTUP..........................................................................................................................55 KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ...................................................................................56 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 57

vii Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi DAFTAR TABEL Tabel 1 Target Kompetensi Guru..........................................................................................5 Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru.............................................................5 Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik ............................................................7 Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik.............................................9 Tabel 5 Organisasi Pembelajaran...................................................................................... 31 Tabel 6 Instrumen Penilaian Diri Bagi Guru ...................................................................50 Tabel 7 Instrumen Penilaian Guru oleh Asesor/Fasilitator.......................................... 51 Tabel 8 Instrumen Penilaian Diri bagi Peserta Didik .................................................... 51 Tabel 9 Instrumen Penilaian Peserta Didik oleh Guru ................................................ 53

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi viii DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In ....................................................................................4 Gambar 2 Percobaan perubahan suhu telor .................................................................. 13

1 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 01 PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pendidikan merupakan proses yang sangat strategis dalam mencerdaskan kehidupan bangsa sehingga harus dilakukan secara profesional. Undang-Undang Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen Pasal 10 ayat (1) mengamanatkan bahwa guru yang profesional harus memiliki kompetensi pedagogik, kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, dan kompetensi profesional. Keempat kompetensi tersebut bersifat holistik dan merupakan suatu kesatuan yang menjadi ciri guru profesional. Agar dapat melaksanakan tugas profesinya dengan baik, seorang guru perlu meningkatkan kompetensi dan kinerjanya secara bertahap, berjenjang, dan berkelanjutan melalui Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan (PKB) guru. Strategi pelaksanaan PKB guru madrasah yang ditempuh oleh Direktorat Guru dan Tenaga Kependidikan Madrasah adalah melalui KKG/MGMP/MGBK, Kantor Wilayah Kementerian Agama Provinsi, dan Kementerian Agama Pusat. Untuk mendukung program tersebut, diperlukan modul sebagai salah satu aternatif sumber bahan ajar bagi guru untuk mempelajari konten materi, merancang pembelajaran dan cara mengajarkannya, mengembangkan Lembar Kerja Peserta Didik, mengembangkan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar B. Tujuan Tujuan modul ini adalah: 1. Meningkatkan kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional guru melalui kegiatan PKB 2. Meningkatkan hasil Asesmen Kompetensi Guru (AKG) 3. Menfasilitasi sumber belajar guru dan peserta didik dalam mengembangkan kurikulum, mempersiapkan dan melaksanaan pembelajaran yang mendidik

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 2 C. Manfaat Manfaat yang ingin dicapai: 1. Sebagai sumber belajar bagi guru dalam melaksanakan PKB untuk mencapai target kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional tertentu 2. Sebagai sumber bagi guru dalam mengembangkan kurikulum, persiapan dan pelaksanaan pembelajaran yang mendidik 3. Sebagai bahan malakukan asesmen mandiri guru dalam rangka peningkatan keprofesionalan 4. Sebagai sumber dalam merencanakan dan melaksanakan penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik 5. Sebagai sumber belajar bagi peserta didik untuk mencapai target kompetensi dasar D. Sasaran Adapun sasaran modul ini adalah: 1. Fasilitator nasional, provinsi, dan kabupaten/kota 2. Pengawas Madrasah 3. Kepala Madrasah 4. Ketua KKG/MGMP/MGBK 5. Guru 6. Peserta didik. E. Petunjuk Penggunaan Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari dan mempraktikkan modul ini, ikutilah petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan sampai Anda memahami benar tujuan mempelajari Unit Pembelajaran ini. 2. Pelajarilah dengan seksama bagian target kompetensi sehingga Anda benarbenar memahami target kompetensi yang harus dicapai baik oleh diri Anda sendiri maupun oleh peserta didik. 3. Kegiatan Pembelajaran untuk menyelesaikan setiap Unit Pembelajaran dilakukan melalui moda Tatap Muka In-On-In sebagai berikut:

3 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi a. Kegiatan In Service Learning 1. Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka untuk mengkaji materi bersama fasilitator dan teman sejawat. Aktivitas yang dilakukan diantaranya: 1) Melakukan analisis kurikulum dan analisi hasil belajar peserta didik dari skor Ujian Nasional (UN) atau sumber lain untuk mengetahui kebutuhan kompetensi peserta didik. 2) Mempelajari konten materi ajar dan mendiskusikan materi ajar yang sulit atau berpeluang terjadi miskonsepsi. 3) Mempelajari dan mendesain pembelajaran yang sesuai dengan daya dukung madrasah dan karakteristik peserta didik. 4) Mempelajari dan membuat LKPD. 5) Mempersiapkan intrumen penilaian proses dan hasil belajar. 6) Dalam kegiatan ini, dapat juga dilakukan rencana pengambilan data untuk dikembangkan menjadi Penelitian Tindakan Kelas. b. Kegiatan On The Job Learning. Pada tahap ini, Anda dapat mengkaji kembali uraian materi secara mandiri dan melakukan aktivitas belajar di madrasah berdasarkan rancangan pembelajaran, LKPD, dan instrumen penilaian yang telah dipersiapkan pada kegiatan In Service Learning 1. Buatlah catatan-catatan selama pelaksanaan pembelajaran sebagai bahan refleksi pada kegiatan In Service Learning 2 atau sebagai data hasil PTK. Semua hasil kegiatan peserta didik dilampirkan sebagai bukti fisik bahwa Anda telah menyelesaikan seluruh tugas on yang ada pada Unit Pembelajaran. c. Kegiatan In Service Learning 2. Tahap ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan dan mendiskusikan hasil kegiatan on. Arahkan diskusi pada refleksi untuk perbaikan dan pengembangan pembelajaran berikutnya. Jika memiliki data-data hasil PTK dapat pula dijadikan sebagai bahan diskusi dalam kegiatan ini.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 4 4. Ujilah capaian kompetensi Anda dengan mengerjakan soal tes formatif, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban yang tersedia di bagian akhir Unit Pembelajaran. 5. Lakukan penilaian mandiri sebagai refleksi ketercapaian target kompetensi. Gambar 1 Alur Tatap Muka In-On-In Dalam melaksanakan setiap kegiatan pada modul ini, Anda harus mempertimbangkan prinsip kesetaraan dan inklusi sosial tanpa membedakan suku, ras, golongan, jenis kelamin, status sosial ekonomi, dan yang berkebutuhan khusus. Kesetaraan dan inklusi sosial ini juga diberlakukan bagi pendidik, tenaga kependidikan dan peserta didik. Dalam proses diskusi kelompok yang diikuti lakilaki dan perempuan, perlu mempertimbangkan kapan diskusi harus dilakukan secara terpisah baik laki-laki maupun perempuan dan kapan harus dilakukan bersama. Anda juga harus memperhatikan partisipasi setiap peserta didik dengan seksama, sehingga tidak mengukuhkan relasi yang tidak setara.

5 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 02 TARGET KOMPETENSI A. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional. 1. Target Kompetensi Guru Target kompetensi guru didasarkan pada Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia Nomor 16 Tahun 2007 Tentang Standar Kualifikasi Akademik dan Kompetensi Guru. Dalam Unit Pembelajaran ini, target kompetensi yang dituangkan hanya yang terkait kompetensi pedagogis dan kompetensi profesional Tabel 1 Target Kompetensi Guru Ranah Kompetensi Target Kompetensi Guru Kompetensi Pedagogis 1. Menyusun rancana pembelajaran yang lengkap. 2. Melaksanakan pembelajaran turunan fungsi yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan Kompetensi Profesional 4. Menguasai materi, struktur, konsep, dan pola pikir keilmuan berkaitan turunan fungsi 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Tabel 2 Indikator Pencapaian Kompetensi Guru Target Kompetensi Indikator Pencapaian Kompetensi Guru 1. Menyusun rancana pembelajaran yang lengkap 1. Menjelaskan tujuan pembelajaran turunan fungsi 2. Merancang sintak pembelajaran untuk memberi pengalaman belajar yang sesuai untuk mencapai tujuan pembelajaran 3. Membuat indikator dan instrumen penilaian dan evaluasi proses dan hasil belajar peserta didik.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 6 2. Melaksanakan pembelajaran turunan fungsi yang mengembangkan berpikir kritis dan kreatif 4. Melakukan pembelajaran turunan fungsi dengan pengungkit kasus pengerjaan siswa/guru 5. Melakukan pembelajaran turunan fungsi dengan menyisipkan titik kritis yang sering terabaikan 6. Menggunakan media pembelajaran yang menuntut kekreatifan siswa/guru dalam penggunaan maupun pembuatannya 3. Mengevaluasi pelaksanaan pembelajaran dan penilaian hasil belajar peserta didik untuk berbagai tujuan 7. Menganalisis hasil belajar peserta didik untuk perbaikan pembelajaran dan/atau pengayaan 4. Menguasai materi, struktur, konsep dan pola pikir keilmuan tentan limit fungsi 8. Menjelaskan pengertian turunan fungsi 9. Mengidentifikasi titik-titik kritis terkait penyelesaian masalah turunan fungsi 10. Memanfaatkan strategi dalam menyelesaikan masalah turunan fungsi

7 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi B. Target Kompetensi Peserta Didik Target kompetensi peserta didik dalam Unit Pembelajaran ini dikembangkan berdasarkan Kompetensi Dasar sesuai dengan permendikbud nomor 37 tahun 2018 Tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran Kurikulum 2013 Pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah sebagai berikut: 1. Kompetensi Dasar Tabel 3 Target Kompetensi Dasar Peserta Didik No Kompetensi Dasar Target KD Kelas 3.8 Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi 1. Menjelaskan pengertian turunan fungsi aljabar 2. Menjelaskan sifat turunan fungsi aljabar 3. Menentukan turunan fungsi aljabar XI 4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi aljabar 1. Menyelesaikan masalah berkaitan dengan turunan fungsi aljabar XI 3.9 Menganalisis keberkaitanan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva 1. Menganalisis kaitan turunan dengan nilai maksimum atau minimum 2. Menganalisis kaitan turunan dengan selang monoton fungsi 3. Menganalisis kaitan turunan dengan gradien garis singgung XI 4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, 1. Meggunakan turunan pertama fungsi untuk menyelesaikan menyelesaikan masalah titik maksimum/minimum 2. Meggunakan turunan pertama fungsi untuk menyelesaikan XI

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 8 serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual menyelesaikan masalah kemonotonan 3. Meggunakan turunan pertama fungsi untuk menyelesaikan menyelesaikan masalah garis singgung 4. Meggunakan turunan pertama fungsi untuk menyelesaikan menyelesaikan masalah garis normal 3.2 Menggunakan prinsip turunan ke fungsi trigonometri sederhana 1. Menggunakan prinsip turunan pada fungsi trigonometri sederhana XII 4.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri 1. Menyelesaikan masalah berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri XII 3.4 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri 1. Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum/ nilai minimum 2. Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan selang kemonotonan fungsi 3. Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan kemiringan garis singgung 2. Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri XII 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai 3. Menyelesaikan masalah terkait turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri XII

9 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, dan kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri 2. Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi dasar dikembangkan menjadi beberapa indikator pencapaian kompetensi sebagai acuan bagi guru untuk mengukur pencapaian kompetensi dasar. Dalam rangka memudahkan guru menentukan indikator yang sesuai dengan tuntunan kompetensi dasar, indikator dibagi menjadi tiga kategori, yaitu indikator pendukung, indikator kunci, dan indikator pengayaan sebagai berikut: Tabel 4 Indikator Pencapaian Kompetensi Peserta Didik Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi KELAS XI 3.8. Menjelaskan sifatsifat turunan fungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifatsifat turunan fungsi. IPK Pendukung: 3.8.1 menentukan hasil limit fungsi dalam bentuk rasional IPK Inti: 3.8.2 Menjelaskan pengertian turunan fungsi aljabar 3.8.3 Menjelaskan sifat turunan fungsi aljabar 3.8.4 Menentukan turunan fungsi aljabar IPK Pengayaan: 3.8.5 membuktkan sifat-sifat turunan 4.8 Menyelesaikan masalah yang IPK Pendukung: 4.8.1 Menyajikan sifat turunan

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 10 berkaitan dengan turunan fungsi aljabar IPK Inti: 4.8.2 Menyelesaikan masalah berkaitan turunan fungsi aljabar IPK Pengayaan: - 3.9 Menganalisis keberkaitanan turunan pertama fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung IPK Pendukung: 3.9.1 Menjelaskan nilai maksimum/minimum, selang kemonotonan, gradien garis singgung, garis normal kurva IPK Inti: 3.9.2 Menganalisis kaitan turunan dengan nilai maksimum atau minimum 3.9.3 Menganalisis kaitan turunan dengan selang monoton fungsi 3.9.4 Menganalisis kaitan turunan dengan gradien garis singgung IPK Pengayaan: 3.9.5 Menyusun karakteristik fungsi yang tidak dikatehu rumusnya 4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum, titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan dengan masalah kontekstual IPK Pendukung: IPK Inti: 4.9.1 Menyelesaikan berkaitan turunan IPK Pengayaan: 4.9.2 Menggambar fungsi yang diketahui karakteristiknya

11 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi KELAS XII 3.2 Menggunakan prinsip turunan ke fungsi trigonometri sederhana IPK Pendukung: 3.2.1 Menjelaskan fungsi trigonometri IPK Inti: 3.2.2 Menggunakan prinsip turunan pada fungsi trigonometri sederhana IPK Pengayaan: 3.2.3 Menganalisis prinsip turunan pada fungsi trigonometri 4.2 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri IPK Pendukung: - IPK Inti: 4.2.1 Menyelesaikan masalah berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri IPK Pengayaan: 4.2.3 Membuat contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan pada titik tertentu 3.4 Menjelaskan keberkaitan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri IPK Pendukung: 3.4.1 Pengertian turunan pertama suatu fungsi IPK Inti: 3.4.2Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan nilai maksimum/ nilai minimum 3.4.3 Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan selang kemonotonan fungsi 3.4.4 Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan kemiringan garis singgung 3.4.5Mengaitkan turunan pertama dan kedua fungsi dengan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 12 Dalam kegiatan In Service Learning 1, Anda perlu menganalisis kompetensi yang harus Anda tingkatkan untuk dapat merencanakan pembelajaran, melaksanakan pembelajaran, dan mengevaluasi pembelajaran dengan baik dalam rangka mencapai target kompetensi dasar peserta didik. Dari hasil analisis kompetensi tersebut, maka Anda dapat melaksanakan PKB sesuai dengan kompetensi yang ingin Anda tingkatkan pada diri Anda guna mencapai target kompetensi peserta didik. IPK Pengayaan: 3.4.6Menganalisis kaitan turunan pertama dan turunan kedua suatu fungsi 4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum, nilai minimum, selang kemonotonan fungsi, dan kemiringan garis singgung serta titik belok dan selang kecekungan kurva fungsi trigonometri IPK Pendukung: IPK Inti: 4.4.1 Menyelesaikan masalah terkait turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri IPK Pengayaan: 4.4.2 Menyelesaikan masalah menyangkut kaitan turunan pertama dan kedua

13 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 03 MATERI PEMBELAJARAN A. Ruang Lingkup Materi Ruang lingkup materi turunan fungsi di Madrasah Aliyah meliputi: 1. Pengertian turunan fungsi 2. Sifat turunan fungsi 3. Fungsi naik, fungsi turun dan titik kritis B. Aplikasi dalam Kehidupan Perubahan Suhu Sesuai dengan Hukum Newton, apabila benda pada suhu tertentu dipengaruhi oleh suhu ruangan maka suhu benda tersebut akan berubah dan perubahan suhu sesaat mengikuti rumus ~ − atau = ( − ) dengan suhu saat , suhu sekitar dan konstanta proporsi. Sebagai contoh, sebutir telor dikeluarkan dari panci perebus tercatat bersuhu 1100. Kemudian telor tersebut diangkat dan didiamkan dalam ruangan terbuka bersuhu 200. Setelah 3 menit di ruang terbuka suhu telor turun menjadi 700 (terjadi perubahan suhu pada telor). Apabila telor boleh dimakan pada suhu 250 maka waktu untuk menunggu dapat diketahui dengan penerapan konsep pada turunan. Penyelesaiannya sejatinya cukup sederhana namun menjadi relatif rumit bagi yang belum kenal persamaan diferensial. Karena penyelesaian persamaan diferensial bukan bagian dari topik unit ini, penulis mencoba hanya menyajikan solusi ringkas dan hasil akhir saja. Merujuk pada hukum Newton seperti tersebut sebelumnya maka diperoleh = ( − ) = ( − 20) Gambar 2 Percobaan perubahan suhu telor

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 14 − 20 = … … () Penyelesaian persamaan diferensial () dengan memasukkan kuantitas yang diketahui (syarat batas) menghasilkan = 20 + 90 −0,2 . Dengan demikian untuk = 25 didapatkan = 14,45 yang berarti telor boleh dimakan setelah dibiarkan di ruangan terbuka selama 14,45 menit. ______________________ Tantangan: Dalam contoh tersebut satuan yang digunakan derajat Celsius (°) untuk suhu dan menit untuk waktu. Bagaimana jika satuan suhu diubah dalam Kelvin () dan satuan waktu diubah dalam detik? Apakah hasilnya sama? ________________________ C. Integrasi Keislaman Dalam Al-Qur’an Surah Ar-Ruum ayat 30 Allah berfirman: Artinya: Maka hadapkanlah wajahmu dengan lurus kepada agama (Islam); (sesuai) fitrah Allah disebabkan Dia telah menciptakan manusia menurut (fitrah) itu. Tidak ada perubahan pada ciptaan Allah. (Itulah) agama yang lurus, tetapi kebanyakan manusia tidak mengetahui (QS: Ar-ruum:30) Dalam ayat tersebut jelas disebutkan “Tidak ada perubahan pada ciptaan Allah. (Itulah) agama yang lurus,”. Ada dua point yang tergambar dalam matematika melalui ayat ini, yaitu tidak ada perubahan dan lurus. Kaitannya dengan konsep pada turunan dapat diilustrasikan seperti mobil yang melewati jalan (kurva) berikut.

15 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Tampak bahwa mobil sebelah kiri berjalan tanpa perubahan arah sehingga jalannya lurus. Tetapi mobil sebelah kanan tampak adanya perubahan arah sehingga jalannya tidak lurus. Apabila dikaitkan dengan konsep dalam turunan maka 2() 2 = 0 berarti tidak ada perubahan. Sementara itu 2() 2 = 6 yang berarti ada perubahan. Jelas sekali bahwa ketidakadaan perubahan pada turunan kedua dari () mengakibatkan mobil berjalan lurus, sementara adanya perubahan pada turunan kedua dari () mengakibatkan mobil berjalan tidak lurus.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 16 D. Bahan Bacaan Dalam bagian ini akan disajikan uraian materi berkaitan dengan pengertian turunan fungsi, strategi dalam menyelesaikan permasalahan terkait turunan fungsi dan kaitannya dengan konsep lain. 1. Pengertian Turunan Fungsi Turunan fungsi sebenarnya merupakan topik yang cukup menarik dalam matematika. Selain aplikasinya banyak dan beragam (salah satu contohnya perubahan suhu di atas), konsep turunan bersama dengan limit akan menjembatani lahirnya Teorema Fundamental Kalkulus (TFK) dalam arti digunakan untuk membuktikan teorema tersebut. Sebagai pengungkit awal untuk memahami turunan fungsi, cermati grafik () dan garis pada posisi atau kondisi seperti di bawah ini. Garis melewati titik yang merupakan titik belok pada kurva (pembahasan titik belok ada di bagian berikutnya). Dari pengalaman penulis, masih ada pendapat berbeda mengenai gari . Ada yang mengatakan garis merupakan garis singgung kurva di titik , namun ada pula yang mengatakan bahwa bukan garis singgung kurva di titk dengan alasan garis tersebut memotong kurva di titik tidak lagi menyinggung kurva. Mana yang benar? Pertanyaan ini akan terjawab pada bagian selanjutnya. Untuk memulai pembahasan, perhatikan garis yang memotong kurva = () (secant line) di dua titik yaitu titik (, ()) dan di titik ( + ∆, ( + ∆)) seperti gambar di bawah ini.

17 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Jelas bahwa gradien garis tersebut adalah = ∆ ∆ = (+∆)−() ∆ . Bagaimana untuk ∆ → 0? Perhatikan ilustrasi berikut. Perubahan ∆ dengan sendirinya berakibat pada perubahan ∆. Tampak dalam ilustrasi bahwa untuk ∆ → 0 maka secan line akan berubah menjadi garis singgung. Penjelasan matematisnya adalah apabila ∆ → 0 akan mengakibatkan ∆ ∆ = (+∆)−() ∆ menuju nilai tertentu, atau dengan kata lain lim ∆→0 (+∆)−() ∆ ada (ingat kembali modul limit fungsi) maka secan line akan berubah menjadi garis singgung. Misalkan hasil limit tersebut maka garis yang melalui titik (, ()) dan mempunyai gradien tersebut dinamakan garis singgung kurva di titik (, ()).

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 18 Selanjutnya, misalkan sembarang pada domain fungsi dan = lim ∆→0 (+∆)−() ∆ dijamin ada pada domain tersebut, maka merupakan suatu fungsi yang dinamakan fungsi gradien garis singgung. Karena merupakan fungsi maka penulisannya disepakati sebagai ′(). Dengan demikian ′ () = lim ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ . Bentuk terakhir inilah yang dinamakan turunan dari fungsi pada domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka ′ (turunan fungsi ) dapat dikatakan sebagai fungsi gradien garis singgung (slope function) dari fungsi . Dalam hal notasi, ada sebagian literatur yang menuliskan ′ () sebagai [()]′ atau (())′. Bahkan sering pula disajikan sebagai , ′ , (()),[]. Selanjutnya bandingkan grafik () dan turunannya yaitu ′() di bawah ini. Perhatikan titik (4,2). Tampak bahwa ′ (4) = 2 yang berarti gradien garis singgung kurva di titik (4, 1 2 ) adalah 2. Contoh ini memperjelas bahwa turunan pertama merupakan fungsi gradien garis singgung. Visualisasi interaktif dapat diakses pada tautan : https://www.geogebra.org/m/xnqpy2ru Sementara itu Dannis G. Zill (Differential Equation 6th Ed, 2009) menamakan turunan pertama suatu fungsi sebagai rate function or slope function. ______________________ Catatan: Gradien adalah suatu nilai bukan garisnya. Ada sementara orang yang menyebutkan sebagai kemiringan garis. Penyebutan dalam bahasa Inggris adalah slope. Dalam buku Calculus 3rd Ed (Rogawski, 2015) disebutkan the slope m is ratio “rise over run”.

19 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi = ∆ ∆ = ℎ ℎ ℎ = ______________________ Untuk emperjelas, berikut beberapa contoh soal atau masalah terkait turunan fungsi. Contoh 1: Tentukan turunan dari () = 2 Jawab: ′ () = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 ( + ℎ) 2 − ℎ = lim ℎ→0 ( 2 + 2ℎ + ℎ 2 ) − 2 ℎ = lim ℎ→0 2ℎ + ℎ 2 ℎ = lim ℎ→0 (2 + ℎ) = 2 Contoh 2: Diberikan () = 2 + 3. Tentukan ′(). Jawab: ′ () = lim ℎ→0 ( + ℎ) − () ℎ = lim ℎ→0 (2( + ℎ) + 3) − (2 + 3) ℎ = lim ℎ→0 2 + 2ℎ + 3 − 2 − 3 ℎ = lim ℎ→0 2ℎ ℎ = 2 Contoh 3:

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 20 Diketahui () = 2 . Sementara itu garis menyinggung kurva di titik yang berabsis 1. Tentukan gradien garis . Jawab: Sesuai dengan contoh sebelumnya maka didapatkan ′ () = 2. Dengan demikian gradien garis singgung adalah ′ (1) = 2.1 = 2. Contoh 4: Garis = −2 + 12 sejajar dengan garis yang menyinggung kurva 2 di suatu titik. Tentukan titik tersebut. Jawab: Diketahui bahwa gradien garis = −2 + 12 adalah −2 dan ′ () = 2 (dari contoh sebelumnya). Karena garis yang menyinggung kurva 2 sejajar dengan garis = −2 + 12 maka dipenuhi ′ () = −2 untuk suatu . Jadi dipenuhi 2 = −2 yang menghasilkan = −1. Sementara itu (−1) = (−1) 2 = 1. Jadi titik yang dicari adalah (−1,1).

21 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Ilustrasi interaktif untuk memperkuat pemahaman turunan fungsi kaitannya dengan gradien garis singgung dapat diakses melalui tautan: https://www.geogebra.org/m/fux5nkjn Selidiki juga kemiringan garis apabila gradien negatif, gradien positif, atau gradien nol. 2. Sifat-sifat dan Teorema Turunan Ketika ingin menentukan turunan suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisinya, tetapi dapat memanfaatkan teorema atau sifat-sifat pada turunan. Berikut beberapa sifat dan teorema turunan serta beberapa hasil turunan yang sering digunakan.. 1) ( ) ′ = −1 2) (()) ′ = (()) ′ 3) (() ± ()) ′ = (())′ ± (()) ′ 4) ((). ()) ′ = (()) ′ () + ()(()) ′ 5) ( () () ) ′ = (()) ′ ()−()(()) ′ (()) 2 6) ((())) ′ = ′ (()). ′() {dalil rantai} atau = . dengan = (), = () dan = ℎ() 7) ( ) ′ = 8) (ln||)′ = 1

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 22 9) ( )′ = ln 10) (sin ) ′ = cos 11) (cos )′ = − sin Contoh 1 Tentukan turunan dari () = 2 − sin 2 Jawab: Dengan memanfaatkan sifat turunan diperoleh ( 2 − sin 2 ) ′ = ( 2 ) ′ − ( sin 2 ) ′ = 2 − 2 cos − 2 sin 4 2 Contoh 2 Tentukan gardien garis singgung kurva () = log di titik (10,1) Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukan melalui dua cara: (i) memanfaatkan sifat turunan fungsi, (ii) menggunakan definisi melalui limit. Cara (i): ′ () = (log ) ′ = ( ln ln 10) ′ = 1 ln 10 1 = 1 ln 10 Berarti ′ (10) = 1 10 ln 10 . Jadi gradien garis singgung di titik (10,1) adalah 1 10 ln 10 Cara (ii):

23 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi ′ (10) = lim ℎ→0 (10 + ℎ) − (10) ℎ = lim ℎ→0 log(10 + ℎ) − log 10 ℎ = lim ℎ→0 log ( 10 + ℎ 10 ) 1 ℎ = lim ℎ→0 ln (1 + ℎ 10) 1 ℎ ln 10 = lim ℎ→0 ln ((1 + ℎ 10) 10 ℎ ) 1 10 ln 10 = ln 1 10 ln 10 = 1 10 ln 10 Dengan demikian gradien garis singgung di titik (10,1) adalah 1 10 ln 10 Tampak disini bahwa memanfaatkan teorema turunan menghadirkan penyelesaian yang lebih sederhana daripada langsung menggunakan definisi. Contoh 3 Tentukan turunan dari () = ( 2 − 3) 5 Jawab: Misalkan = () dan = 2 − 3 maka = 5 . Dengan menggunakan sifat dan teorema turunan maka = 5 4 dan = 2 − 3, sehingga = . = 5 4 . (2 − 3) = 5(2 − 3)( 2 − 3) 4 Contoh 4 Tentukan ′() jika () = 6 + sin − cos 2.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 24 Jawab: ′ () = [ 6 + sin − cos 2] ′ = [ 6 ] ′ + [ sin ] ′ − [cos 2] ′ = 6 5 + [] ′ sin + [sin ] ′ − [2] ′ [cos 2] ′ = 6 5 + sin + cos + 2 sin 2 Contoh 5 Tentukan persamaan garis singgung kurva () = ( 2 − 3) 5 di titik (1, −32) Jawab: Sesuai dengan hasil pada contoh 3 maka gradien garis singgung () yang dimaksud adalah = ′ (1) = 5(2(1) − 3)(1 2 − 3(1)) 4 = −80 Jadi persamaan garis singgung kurva di titik (1, −32) adalah = −80 + 48 3. Fungsi Naik, Fungsi Turun dan Titik Kritis Sebagai pengungkit awal, perhatikan grafik fungsi di bawah ini. Dengan memperhatikan gambar dan diperkuat eksplorasi pada tautan https://www.geogebra.org/m/fux5nkjn, dapat dibuat sketsa garis singgung kurva sebagai berikut.

25 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Terlihat bahwa • untuk < 0 gradien garis singgung negatif • untuk = 0 gradien garis singgung nol • untk > 0 gradien garis singgung positif Titik yang menyebabkan gradien garis singgung nol dinamakan titik kritis. Dengan demikian titik (, ()) disebut titik kritis jika ′ () = 0. Selanjutnya, melalui identifikasi tanda gradien pada sketsa terakhir menghasilkan Perhatikan bahwa perubahan tanda pada gradien garis singgung dari ke menunjukkan adanya titik kritis. Dalam contoh ini titik kritisnya dinamakan titik balik. Dengan demikian jika gradien garis singgung berubah dari − − maka akan ada titik balik, demikian pula untuk perubahan dari − − . Sementara itu untuk perubahan gradien garis singgung dari − − atau − − maka akan ada titik kritis yang dinamakan titik belok. Lihat bagian aktivitas. Jika pada suatu interval tertentu berlaku untuk setiap 1 < 2 dipenuhi (1 ) < (2) maka pada interval tersebut fungsi dikatakan naik, dan jika dipenuhi (1 ) ≤ (2) dikatakan tidak turun. Sementara itu jika untuk setiap 1 < 2 dipenuhi

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 26 (1 ) > (2) maka pada interval tersebut fungsi dikatakan turun dan jika dipenuhi (1 ) ≥ (2) dikatakan tidak naik. Fungsi dikatakan monoton pada suatu interval jika fungsi tersebut naik saja atau turun saja. Dari penyebuta ini muncul istilah monoton naik dan monoton turun. Kriteria Monoton: Fungsi akan monoton naik pada suatu interval bila gradien garis singgungnya selalu positif dan akan monoton turun bila gradien garis singgungnya selalu negatif. Sebagai eksplorasi mandiri, temukan bukti kriteria dengan searching berbagai sumber. ___________________ Catatan: Maksud fungsi yang dibicarakan dalam penjelasan ini adalah fungsi kontinu dan differentiable (turunan selalu ada). ____________________ Kembali pada hasil identifikasi di atas yaitu maka perkiraan grafik fungsi turunannya dimungkinkan seperti di bawah Kenyataanya grafik turunanya adalah

27 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi yaitu ′ () = 2 dan titik (0,0) merupakan titik balik minimum karena kurva tersebut sajatinya grafik () = 2 − 1. Dengan demikian untuk menentukan titik balik pada kurva = () maka kita perlu menentukan titik kritis yaitu menentukan nilai sehingga ′ () = 0. Titik (, ()) inilah titik kritisnya. Bagaimana nilai () dibandingkan dengan nilai disekitarnya? Inilah yang memunculkan istilah nilai maksimum relatif dan nilai minimum relatif. Bagaimana halnya dengan titik belok? Lihat bagian aktivitas. Contoh 1: Tentukan nilai minimum relatif dari () = ( 2 − 2) 5 . Jawab: Langkah pertama adalah menentukan turunan () = ( 2 − 2) 5 ′ () = 5(2 − 2)( 2 − 2) 4 = 10( − 1) 2 ( − 2) 2 () Kemudian dicari titik kritisnya dengan memanfatakan ′ () = 0. Dari sini diperoleh 0 = 10( − 1) 2 ( − 2) 2 yang menghasilkan penyelesaian = 0, = 1, = 2. Selanjutnya, melalui (i) diidentifikasi tanda (nilai) gradien garis singgung di sekitar absis titik kritis didapatkan: Melalui identifikasi tanda maka (1, (1)) adalah satu-satunya titik balik dan dalam hal ini mengakibatkan (1) minimum relatif dengan nilai (1) = −1. Sementara itu

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 28 titik (0, (0)) dan titik (2, (2)), sesuai dengan penjelasan sebelumnya merupakan titik belok (bukan merupakan titik balik). Dengan demikian nilai minimum relatif fungsi tersebut adalah −1 Contoh 2: Tentukan titik kritis grafik () = 4 − 2 dan tentukan jenisnya. Jawab: Langkah pertama, menenentukan turunan () yaitu ′ () = 4 − 2. Selanjutnya dicari titik kritisnya dengan cara 0 = ′ () = 4 − 2 yang menghasilkan solusi = 2. Dengan demikian titik kritis berada pada (2, (2)). Setalah itu identifikasi tanda di sekitar titik kritis diperolah: Sesuai dengan penjelasan awal maka (2, (2)) merupakan titik balik maksimum yang menghasilkan nilai maksimum relatif (2) = 4. Sampai disini kita mungkin akan menyimpulkan betapa rumitnya jika dalam penyelesaian titik balik maupun titik belok selalu dengan menggambar sketsa dan identifikasi tanda. Oleh karena itu perlu cara lain yang relatif lebih sederhana. Sebagai ilustrasi sederhana perhatikan perjalanan mobil mengikuti suatu kurva yang diasumsikan sebagai jalan dan kita memandang dari atas.

29 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi (i) Ditinjau dari arah perjalanan mobil, maka mobil tersebut selalu berjalan dengan arah turun sampai sebelum titik dan tepat arah mendatar (horizontal) pada titik , selanjutnya turun lagi melewati titik sampai sebelum titik dan tepat mendatar lagi pada titik , selanjutnya berjalan terus dengan arah naik. Perhatikan posisi mobil terhadap jalan (kurva). Bila dikaitkan dengan gradien garis singgung maka posisi arah badan mobil (kemiringan posisi mobil) sama dengan gradien garis singgung di titik itu. Dengan demikian jika mobil berjalan dengan arah turun menandakan gradien garis di titik tersebut negatif, sedangkan mobil arah mendatar menandakan gradien garis singgung nol, sementara untuk mobil berjalan dengan arah naik menandakan gradien garis singgung positif. (ii) Ditinjau dari arah pengemudi dalam menyetir mobil, maka pengemudi akan melakukan “banting setir” dalam arti mengubah arah dari belok kiri ke belok kanan atau sebaliknya terjadi di titik dan . Titik A dan B inilah yang dinamakan titik belok. Sementara itu, untuk titik yang mangakibatkan mobil berbalik arah dari turun menjadi naik atau sebaliknya dinamakan titik balik. Selanjutnya perhatikan akibat dari (i) dan (ii) dikaitkan dengan (), ′ () dan ′′() berikut.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 30 Gambar sebelah kiri adalah sandingan antara () dan ′ () sedangkan gambar sebelah kanan adalah sandingan antara ′ () dan ′′() dimana ′′() adalah turunan pertama dari ′() atau turunan kedua dari (). Dari sini tampak bahwa jika mobil dalam kondisi berbelok ke arah kiri maka turunan kedua di titik tersebut bernilai positif, dan sebaliknya jika mobil dalam kondisi berbelok ke arah kanan maka turunan kedua di titik tersebut bernilai negatif. Titik dimana pengemudi “banting setir” dari arah belok kiri ke arah belok kanan atau sebaliknya dinamakan titik belok. Dalam contoh ini titik belok berada di titik dan titik . Perhatikan bahwa tepat pada titik belok tersebut kondisi mobil lurus dalam arti tidak arah belok kiri maupun arah belok kanan. Dengan demikian turunan kedua di titik tersebut bernilai nol. Dari sini muncul pertanyaan adakah kaitan antara turunan kedua dengan kecekungan? Apakah jika turunan kedua di suatu titik bernilai nol maka titik tersebut merupakan titik kritis? Lihat aktivitas.

31 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 04 KEGIATAN PEMBELAJARAN A. Organisasi Pembelajaran Untuk memudahkan guru dalam mempelajari modul ini, kita akan membaginya menjadi 3 topik bahasan dengan alokasi waktu sebagai berikut: Tabel 5 Organisasi Pembelajaran Topik Materi Jumlah JP In – 1 On In - 2 1 Pengertian turunan fungsi 2 1 1 2 Strategi menyelesaikan masalah turunan 2 1 1 3 Fungsi naik, fungsi turun dan Titik kritis 2 2 2 Total Jam Pembelajaran PKB 6 4 4 B. Perangkat dan Pembelajaran Sebelum mempelajari atau mempraktikkan modul ini, ada beberapa perangkat pembelajaran, alat dan bahan yang harus disiapkan oleh guru dan peserta didik agar proses pembelajaran berjalan dengan baik. 1. Perangkat Pembelajaran, Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh guru a. Perangkat Pembelajaran: 1) Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) 2) Bahan ajar 3) Instrumen Penilaian b. Media pembelajaran 1) LCD Projector 2) Komputer yang dilengkapi aplikasi Geogebra 2. Alat dan Bahan yang harus disiapkan oleh peserta didik a. Kertas berpetak atau kertas milimeter blok b. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD)

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 32 C. Aktivitas Pembelajaran 1. Kegiatan In Learning Service-1 ( 4 JP) Aktivitas ini dilakukan secara tatap muka bersama dengan teman sejawat yang dipandu fasilitator (pengajar diklat) untuk mengkaji materi dan melakukan kegiatan yang telah dirancang dalam unit pembelajaran. Aktivitas 1: Diberikan garis : = + dan garis ℎ: = + dengan < . Apakah dapat disimpulkan bahwa garis lebih miring (lebih curam) dari garis ? Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat. Aktivitas 2: Diketahui grafik () dan garis yang melalui bergradien . Diketahui juga bahwa ′ () = . Siswa 1 mengatakan merupakan garis singgung kurva di titk , sementara Siswa 2 mengatakan bukan garis singgung kurva di titik karena memotong kurva di titik tersebut. Mana jawaban yang benar? Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat. Aktivitas 3: Seorang siswa berpendapat bahwa ada tak hingga banyak garis singgung kurva = || di titik (0,0). Apakah pendapat siswa tersebut benar? Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat.

33 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Aktivitas 4: Suatu saat terjadi perdebatan antara Algo dan Ritma berkaitan titik belok. Algo mengatakan bahwa hanya yang merupakan titik belok, sementara Ritma mengatakan baik maupun merupakan titik belok. Siapa yang benar diantara dua siswa tersebut. Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat Aktivitas 5: Perhatikan grafik fungsi berikut Hanya dengan bantuan perjalanan mobil tanpa mengetahui rumus fungsinya: a. Tentukan interval ′() positif, ′() negatif, ′′() positif, ′′() negatif, titik kritis dan titik belok

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 34 b. Apakah ada hubungan antara kecekungan kurva dengan turunan kedua suatu fungsi? Jelaskan dan diskusikan dengan teman sejawat Aktivitas 6: Tentukan atau definisikan suatu fungsi yang mempunyai titik belok di (0,0) tetapi tidak mempunyai turunan pertama di titik tersebut. Diskusikan dengan teman sejawat Aktivitas 7: Tentukan turunan pertama = 2 − sin 2 . Selanjutnya tentukan gradien garis singgung di titik berabsis 1 2 . Diskusikan dengan teman sejawat. Aktivitas 8: Susunlah aktivitas pembelajaran untuk digunakan dalam kegiatan On The Job Learning (OJL) di sekolah Anda. Upayakan aktivitas yang mengakomodir kecakapan abad-21 yaitu critical thingking, creativity, colaboration, communication (4C). Pilihlah materi yang sesuai dengan kalender pendidikan di sekolah Anda

35 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Contoh aktivitas: Tujuan : Menjelaskan konsep turunan fungsi Waktu : 1 jp Alat/Media : Penggaris siku, kertas milimeter blok, aplikasi Geogebra No Guru Siswa 1 Guru memberi pengungkit mengenai garis singgung kurva. Misalkan ditanyakan apakah garis pada gambar berikut merupakan garis singgung kurva, karena faktanya memotong kurva juga (jawaban siswa dicatat guru namun belum disimpulkan) Siswa menjawab pertanyaan guru dan saling berdiskusi 2 Dalam kelompok atau individu guru meminta siswa menggambar fungsi kuadrat yang relatif tumpul, misalnya () = 1 4 2 . (upayakan setiap kelompok atau indvidu berbeda) Siswa dalam dalam kelompok atau mandiri menggambar fungsi kuadrat yang relatif tumpul, misalnya () = 1 4 2 pada kertas milimeter blok. 2 Guru meminta siswa menetapkan salah satu titik (namakan ) pada kurva sebagai titik yang akan didekati dalam upaya Siswa menetapkan salah satu titik (namakan ) pada kurva sebagai titik yang akan didekati.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 36 memberikan pemahaman tentang gradien garis singgung. 3 Selanjutnya mintalah siswa untuk memanfaatkan penggaris siku untuk akivitas sebagai berikut. • Letakkan penggaris siku seperti gambar di atas. Perhatikan titik potong sisi siku-siku dengan kurva (titik dan ), catat perbandingan • Selanjutnya gerakkan penggaris secara horisontal ke kiri ( menuju ) sedikt demi sedikit. Catat hasil pada setiap langkah (Untuk memudahkan dalam membaca hasil, sangat dianjurkan untuk ditulis dalam bentuk tabel) Siswa melaksanakan kegiatan sesuai petunjuk guru. Dengan sendirinya siswa akan memperoleh banyak hasil (informasi) terkait nilai . Siswa menganalisis hasil saat mendekati 4 Dengan pengerjaan di atas diharapkan sudah ada arah kesimpulan yang akan diperoleh. Sebagai pengungkit, berikan pertanyaan “Berapa nilai yang didekati oleh saat mendekati Siswa mendiskusikan menyimpulkan hasil yang diperoleh.

37 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 5 Selanjutnya arahkan ke siswa untuk menyimpulkan bahwa nilai yang didekati tersebut adalah gradien garis singgung di titik , dan garis yang melalui tersebut adalah garis singgung kurvanya Catatan: Bagi guru yang menguasai Aplikasi Geogebra, gunakan aplikasi tersebut untuk memperjelas pemahaman atau membuka tautan : https://www.geogebra.org/m/fux5 nkjn Siswa menuju pada kesimpulan nilai yang didekati tersebut adalah gradien garis singgung di titik , dan garis yang melalui tersebut adalah garis singgung kurvanya (jika memungkinkan, gunakan aplikasi Geogebra atau membuka tautan: https://www.geogebra.org/m/fux5n kjn 2. Kegiatan On Job Learning (4 JP) Pada kegiatan ini, setiap guru mempraktikkan pembelajaran terhadap peserta didik di madrasah masing-masing sesuai dengan perangkat pembelajaran yang telah dibuat atau disempurnakan pada saat kegiatan In-1. Agar pelaksanaan pembelajaran terekam dengan baik, lakukan pencatatan pelaksanaan pembelajaran dalam kolom seperti berikut ini: No. Kegiatan Guru Kegiatan Siswa (yang diharapkan) Fakta yang terjadi Refleksi dan Tindak lanjut 1 2 3 dst

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 38 3. Kegiatan In Learning Service-2 (4 JP) Kegiatan ini dilakukan secara tatap muka bersama fasilitator dan teman sejawat untuk melaporkan, mendiskusikan, dan merefleksi hasil kegiatan On the Job Learning. Diskusikan hambatan pelaksanaan pembelajaran Anda dan lakukan pembahasan tindak lanjut bersama teman sejawat untuk mendapatkan pemecahan masalah guna perbaikan pembelajaran yang akan datang. Anda dapat menggunakan format berikut. No. Refleksi Aktivitas Siswa Refleksi Aktivitas Guru Pembahasan Tindak lanjut 1 2 3 dst

39 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi D. Lembar Kerja Peserta Didik (LKPD) Bagian ini menampilkan contoh LKPD yang dapat digunakan untuk memandu peserta didik dalam mencapai tujuan pembelajaran. Anda dapat mengembangkan LKPD yang lain sesuai dengan rancangan pembelajaran yang akan Anda lakukan, atau Anda dapat menyempurnakan LKPD dalam Unit Pembelajaran ini sehingga sesuai dengan rancangan pembelajaran Anda.

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 40 CONTOH LKPD Tujuan : Memahami turunan fungsi Waktu : 2 jp Buatlah grafik fungsi kuadrat yang relatif tumpul pada kertas milimeter blok () =………….. titik yang di tetapkan pada kurva ( . . . . , . . . . ). Gambar dari fungsi ....... .... .... .... adalah : Lakukan kegiatan sesuai petunjuk guru. Hasinya isikan pada tabel berikut. ... ... ... ... ... … ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Dengan mencermati tabel maka dapat disimpulkan bahwa: mendekati nilai ....... saat mendekati . Dengan demikian gradien garis singgung di titik adalah ....

41 Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi Isilah titik-titik di bawah ini: () = ⋯. (sesuai fungsi yang ditulis awal) Perhatikan bahwa sebenarnya ( ) − ( ), sedangkan = − = ∆ dengan yang dimaksud adalah absis dari titik begitu juga untuk absis dari titik . Dari sini dioperoleh = + ∆. Sesuai dengan fungsi yang dipilih maka = ⋯ + ∆. Dengan mengingat limit fungsi maka ′( ) = lim ∆→0 ( + ∆ ) − ( ) ∆. ′(… ) = lim ∆→0 (… + ∆ ) − (… ) ∆. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = … … … … … … … … = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Dengan demikian gradien garis singgung kurva dengan absis .... adalah .... Selanjutnya gantilah menjadi . maka ′() = lim ∆→0 ( + ∆ ) − ( ) ∆. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = … … … … … … … … = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Jadi turunan pertama dari () =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. adalah ′ () =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Kesimpulan: ……………………………..….

Unit Pembelajaran 7 : Turunan Fungsi 42 E. Pengembangan Penilaian Bagian ini menyajikan contoh kisi-kisi pengembangan penilaian HOTS sesuai dengan kompetensi, lingkup materi, dan indikator soal. Selanjutnya buatlah kisi-kisi yang lain dan kembangkan menjadi instrumen penilaian dari kisi tersebut dalam aktivitas In Learning Service-1. 1. KISI-KISI UJIAN SOAL HOTS Jenis Sekolah : Madrasah Aliyah (MA) Mata Pelajaran : Matematika Alokasi Waktu : 10 menit Jumlah Soal : 2 Soal Tahun Pelajaran : 2020/2021 NO Kompetensi yang diuji Lingkup Materi Materi Indikator Soal No Level Kognitif Bentuk Soal 1 Menggambar grafik fungsi turunan Turunan fungsi Fungsi gradien garis singgung Diberikan grafik fungsi yang tidak diketahui rumusnya, siswa diminta menentukan grafik fungsi turunan pertamanya 1 L3 (Penalar an) Uraian 2 Menyelesaika n masalah kontekstual terkait dengan turunan Turunan fungsi Penerapan turunan fungsi Diberikan penampang talang air dengan panjang penampang dan bentuk tertentu, siswa diminta menentukan bentuk penampang sehingga luas maksimum 2 L3 (Penalar an) Uraian