การทำซ้ำด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลม

สมัมนาคณิตศาสตร์ เรืÉอง การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม (ITERATION CIRCUM-MEDIAL TRIANGLES) ผู้นาํเสนอ นายระพีพัฒน์รอดทุกข์รหัสประจาํตัว 601031209 นายศิวกร เซ่งยิÊม รหัสประจาํตัว 601031218 อาจารย์ทีÉปรึกษา อาจารย์อลงกรณ์ แซ่ตัÊง รายงานนีÊเป็นส่วนหนึÉงของวิชา 0202491 สมัมนาคณิตศาสตร์ ภาคเรียนทีÉ 1 ปี การศึกษา 2563 หลักสตูรการศึกษาบัณฑติสาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะศึกษาศาสตร์ร่วมกบัคณะวิทยาศาสตร์ มหาวิยาลัยทกัษิณ

ก คํานาํ รายงานฉบับนีÊเป็นส่วนหนึÉงของวิชา 0202491 สมัมนาคณิตศาสตร์หลังจากทÉผีู้จัดทาํได้ศึกษา ค้นคว้าบทความวารสาร เรืÉอง การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม (ITERATION CIRCUM-MEDIAL TRIANGLES) ซึÉงทางนิสิตได้อ่าน พร้อมทัÊงทาํความเข้าใจ และนาํเสนอการพิสูจน์ทÉีบทความละไว้แล้วจัดพิมพ์ เป็นเอกสารภายใต้คาํแนะนาํของอาจารย์ทÉปีรึกษาสมัมนา สาํหรับการพิมพ์ผู้จัดทาํ ได้จัดรูปแบบให้ใกล้เคียงกับวารสารทางคณิตศาสตร์ทÉีเป็นมาตรฐาน ทัÉวไปทีÉสดุโดยใช้สญัลกัษณ์ สาํหรับจบการพิสจูน์ ผู้จัดทาํหวังเป็นอย่างยÉิงว่า ผู้อ่านจะได้รับสาระ ความรู้และ ประโยชน์จากรายงานฉบับนÊีตาม สมควร หากรายงานฉบับนีÊมีข้อผิดพลาดประการใด ต้องขออภัยไว้ ณ ทีÉนีÊด้วย ผู้นาํเสนอ นายระพีพัฒน์รอดทุกข์ นายศิวกร เซ่งยิÊม

ข สารบญั เรืÉอง หนา้ คาํนาํ ............................................................................................................................ ก สารบญั ......................................................................................................................... ข สารบญัรูปภาพ ............................................................................................................... ค สารบญัรูปภาพ(ต่อ) ......................................................................................................... ง 1.ความรู้พืÊนฐาน ............................................................................................................. 1 2.การทาํซÊาํดว้ยเส้นมธัยฐานของสามเหลÉียมทีÉแนบในวงกลม (ITERATION CIRCUM-MEDIAL TRIANGLES) ..................................................... 5 2.1 บทนาํ ................................................................................................................. 5 2.2 Circum-medial triangles .................................................................................... 6 สถานการณ์การเรียนการสอนในหวัขอ้นÊี ...................................................................... 30 เพิÉมเติม คาํถามทางคณิตศาสตร์ทีÉยงัไม่ไดแ้กไ้ข .............................................................. 31 2.3 การทาํซÊาํดว้ยเส้นแบ่งครÉึงมุมของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม .......................................... 31 3.ประกาศคุณูปการ ........................................................................................................42 4.บรรณานุกรม .............................................................................................................42 ภาคผนวก ....................................................................................................................43

ค สารบญัรูปภาพ รูปภาพทีÉ ř แสดงการทาํซาด้วยวงกลมแนบในรูปสามเหลี ํÊ Éยม ....................................................... 5 รูปภาพทีÉ Ś แสดงการสร้างสามเหลีÉยมจากเส้นมัธยฐานทีÉตัดกับวงกลมล้อมซํา Ê 3 ครัÊง ....................... 6 รูปภาพทีÉ ś แสดงกระบวนการทาํซาครัÊํÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 ..................................... 7 รูปภาพทีÉ Ŝแสดงค่ามุมของสามเหลีÉยม A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n .......................................... 8 รูปภาพทีÉ ŝ แสดงค่ามุมของรปูสามเหลÉยมี ............................................................................... 8 รูปภาพทีÉ Ş แสดงการแบ่งเส้นมัธยฐาน.................................................................................. 10 รูปภาพทีÉ ş แสดงกระบวนการทาํซาครัÊํÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 ................................... 12 รูปภาพทีÉ Šแสดงค่ามุมของสามเหลีÉยม A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n ......................................... 13 รูปภาพทีÉ šแสดงค่ามุมของรูปสามเหลีÉยม .............................................................................. 14 รูปภาพทีÉ řŘ แสดงการแบ่งเส้นมัธยฐาน................................................................................ 16 รูปภาพทีÉ řř แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 ................................. 17 รูปภาพทีÉ řŚ แสดงคามุมของสามเหลีÉยม A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n ..................................... 18 รูปภาพทีÉ řś แสดงค่ามุมของรูปสามเหลีÉยม ........................................................................... 18 รูปภาพทีÉ řŜ แสดงการแบ่งเส้นมัธยฐาน................................................................................ 20 รูปภาพทีÉ řŝ แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 ................................. 21 รูปภาพทีÉ řŞ แสดงค่ามุมของสามเหลีÉยม A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n ..................................... 22 รูปภาพทีÉ řş แสดงค่ามุมของรูปสามเหลีÉยม ........................................................................... 22 รูปภาพทีÉ řŠ แสดงการแบ่งเส้นมัธยฐาน................................................................................ 24 รูปภาพทีÉ řš แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 ................................. 25 รูปภาพทีÉ ŚŘ แสดงค่ามุมของสามเหลีÉยม A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n ...................................... 26 รูปภาพทีÉ Śř แสดงค่ามุมของรูปสามเหลีÉยม ........................................................................... 26 รูปภาพทีÉ ŚŚ แสดงการแบ่งเส้นมัธยฐาน................................................................................ 28 รูปภาพทีÉ Śś แสดงการทาํซาโดยเส้นแบ่งครึ ํÊ Éงมุม 3 ครัÊง ........................................................... 31 รูปภาพทีÉ ŚŜ แสดงการทาํซาโดยเส้นแบ่งครึ ํÊ Éงมุม 1 ครัÊง ........................................................... 32 รูปภาพทีÉ Śŝ แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 ................................. 33 รูปภาพทีÉ ŚŞ แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 .................................. 35 รูปภาพทีÉ Śş แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 .................................. 37 รูปภาพทีÉ ŚŠ แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 .................................. 38

ง สารบญัรูปภาพ(ต่อ) รูปภาพทีÉ Śš แสดงกระบวนการทาํซาครั ํÊ Êงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 .................................. 39

สมัมนาคณิตศาสตร ์ บทคดัย่อ เมืÉอทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ÊํÉยมทีÉแบบในวงกลม เมืÉอทาํไปเรÉือย ๆ รูปสามเหลีÉยม จะมีลักษณะคล้ายรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า คาํสาํคัญ : การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐาน ํÊ ; สามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม 1. ความรูพ้Êนฐานื ในการศึกษาบทความ เรืÉอง การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม จาํเป็นต้องอาศัย บทนิยาม และทฤษฎีบท ดังนÊี ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั ชืÉอเรืÉอง ภาษาไทย : การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม ภาษาอังกฤษ : ITERATION CIRCUM-MEDIAL TRIANGLES ผูน้ ําเสนอ นายระพีพัฒน์ รอดทุกข์ รหัสประจาํตัว 601031209 นายศิวกร เซ่งยิÊม รหัสประจาํตัว 601031218 อาจารยท์ ีÉปรึกษา อาจารย์อลงกรณ์ แซ่ตัÊง

2 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า ถ้า BC CA แล้ว ABC CAB ทฤษฎีบท 1.3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึÉงแบ่งครึÉงและตัÊงฉากคอรด์แล้วเส้นตรงเส้นนÊันจะแบ่งครึÉงส่วนโค้ง ทีÉรองรับคอรด์นÊันด้วย ทฤษฎีบท 1.4 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมจะแบ่งซึÉงกนัและกนัออกเป็นอตัราส่วน 2 : 1 หรือ แบ่งอัตราส่วน 1 : 3 ดังรูป ดัÊงนัÊน 2 1 BG GE หรือ 1 3 GE BE หรือ 2 3 BG BE

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 3 ทฤษฎีบท 1.5 ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลีÉยมใด ๆ เท่ากับ 180 องศา บทนิยาม 1.6 ให้ S S , 1. เซต S จะเรียกว่าเป็นเซตทีÉขอบเขตบน (bounded above) ถ้ามีb ทีÉ x b ทุก x S เรียก b ว่า ขอบเขตบน (upper bound) ของ S บทนิยาม 1.7 ให้ 1 n n a เป็นลาํดับของจาํนวนจริง เรียก 1 n n a ว่า 1. ลาํดับเพÉิม (increasing sequence) ถ้า n n 1 a a ทุกn 2. ลาํดับเพÉิมแท้ (strictly increasing sequence) ถ้า n n 1 a a ทุกn 3.. ลาํดับลด (decreasing sequence) ถ้า n n 1 a a ทุกn 4. ลาํดับลดแท้(strictly decreasing sequence) ถ้า n n 1 a a ทุกn 5. ลาํดับทางเดียว (Monotone sequence) ถ้าเป็นลาํดับใดแบบหนÉงในสี ึÉแบบข้างต้น

4 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม พิสูจน์ความยาวของเสน้มธัยฐาน จาก The Theorem of Stewart 2 2 2 a n b m c d mn ( ) การพิสูจน์The Theorem of Stewart โดยใชก้ฎโคไซน์ พิจารณา 2 2 2 BCD d a m am C BD ; 2 cos( ) (1) พิจารณา 2 2 2 ABC b a c ac C BD ; 2 cos( ) (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) ; 2 cos( ) (3) (2) ; 2 cos( ) (4) (3) (4) ; ( ) ( ) ( ) c cd ca cm amc CBD m mb ma mc acm CBD cd mb a c m cm m c cd mb na cmn na mb cd cmn a n b m c d mn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 4 2 4 2 2 c c c c c a AD b DB c CD AD DB c c c c a b c m c c a b c m a b c m a b c m a b c m d

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 5 2. การทําซํÊาดว้ยเสน้มธัยฐานของสามเหลยมที ีÉ Éแนบในวงกลม (ITERATION CIRCUM-MEDIAL TRIANGLES) 2.1 บทนํา เมืÉอพิจารณาการลู่เข้าหลายคนจะกล่าวถึง ลาํดับของจาํนวนหรือแคลคูลัส แต่กย็ังมีการลู่เข้าอÉนื ทีÉน่าสนใจ ง่ายต่อการจิตนาการภาพ ในเรืÉองเรขาคณิตบางเรืÉองกเ็ป็นพÊืนฐานมาก ๆ สามารถวัดปัญหา นัÊนได้ทีÉโรงเรียน ให้รูปสามเหลีÉยมรูปแรก คือ A B C 0 0 0 ซึÉงสัมผัสกับวงกลมแนบในทีÉจุด 1 1 1 A B C , , จะได้รูปถัดไปคือ A B C 1 1 1 ทําซํÊาไปเรืÉอย ๆ จะสังเกตได้ว่า A B C n n n จะมีลักษณะใกล้เคียงรูปสามเหลีÉยมด้านเท่ามากขึÊน การลู่เข้าของรูปร่างทางเรขาคณิต (the convergence of the shape) จนมีลักษณะใกล้เคียง รูปสามเหลีÉยมด้านเท่าสามารถแสดงได้ง่าย โดยไม่ต้องใช้เรืÉอง matrices และ limits of power of matrices ซึÉงประเดน็ลักษณะนÊีกม็ีคนพิสจูน์มาแล้วมากมายหลายคน แต่เป็นวิธทีÉยากี ซึÉงในปัญหานีÊทีÉทาํซาด้วยวงกลมแนบในจะได้ผลคือ สามเหลี ํÊ Éยมรูปใหม่จะเลก็ลงในทุก ๆ ครัÊงทีÉ ทาํซาÊํจึงทาํ ให้ยากต่อการสังเกตุว่าสามเหลÉียมรูปใหม่นัÊนลักษณะใกล้เคียงรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า ทาํ ให้ ต้องใช้โปรแกรม Dynamic Geometry Software (DGS) เพืÉอขยายให้ชัดขึÊน ซึÉงปัญหานีÊจะไม่ เกิดขึÊนถ้าใช้วงกลมล้อมแทนการใช้วงกลมแนบใน รูปภาพทีÉ ř แสดงการทําซํÊาดว้ยวงกลมแนบในรูปสามเหลยมีÉ

6 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม 2.2 Circum-medial triangles เนืÉองจากการทาํซาทีÊํÉใช้กลมล้อมและทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงตัÊงฉากเป็นเรืÉองทีÉพืÊนฐานมาก เราจะ เปลีÉยนความสนใจไปยังเรืÉองทีÉหลายคนให้ความสนใจ คือ Cevian of a triangle , เส้นแบ่งครึÉงมุม , เส้นส่วนสงู , เส้นมัธยฐาน ซึÉงเราจะทาํเส้นมัธยฐานเป็นลาํดับแรก ตวัอย่างทีÉ 1 ให้รูปสามเหลีÉยมรูปแรกคือ A B C 0 0 0 ซึÉงล้อมรอบด้วยวงกลมล้อม k ต่อไปสร้างเส้น มัธยฐานของ A B C 0 0 0 และสร้างให้ตัดกบัวงกลมล้อม k จะได้จุดตัดนัÊนคือ 1 1 1 A B C , , จะได้ สามเหลีÉยมต่อไป คือ A BC 1 1 1 ดาํเนินการซาÊํต่อไป เราสามารถสงัเกตได้ว่า A B C n n n จะมีลกัษณะ คล้ายสามเหลีÉยมด้านเท่ามากขึÊน ลาํดับแรกเราจะตรวจรูปจากการใช้โปรแกรม DGS (dynamic geometry software) ในรูปภาพทีÉ 1 แสดงการสร้างสามเหลีÉยมจากเส้นมัธยฐานทีÉตัดกับวงกลมล้อมซํา Ê 3 ครัÊง รูปภาพทีÉ Ś แสดงการสรา้งสามเหลยีÉมจากเสน้มธัยฐานทีÉตดักบัวงกลมลอ้มซÊํา 3 ครัÊง รูปร่างของรูปสามเหลีÉยมดูมีลักษณะใกล้เคียงรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า ซึÉงเราจะใช้เรืÉองทีÉรู้จักกนัดี คือ ลาํดับทางเดียว (monotone sequences) และ ลาํดับมีขอบเขต (bounded sequence) นัÊนลู่เข้า

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 7 ให้ , , n n n โดยทีÉ n 0 แทนมุมของรูปสามเหลีÉยมหลังจากการทาํซา ํÊ n ครัÊง จะพิสจูนโดย ให้ ์ n n n 1 1 1 เมืÉอทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานแล้วจะได้มุมทั ÊํÊงสามของรูป สามเหลีÉยมรูปใหม่ คือ , , n n n ซึÉงจะไม่มีมุมใดมีขนาดน้อยกว่า n1 และให้ min{ , , } mn n n n โดยทีÉ n 0 เป็นลาํดับของขนาดมุมทÉน้อยที ีÉสดุของรูป สามเหลีÉยมรูปทีÉ n เป้ าหมายทีÉจะพิสูจน์คือ 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) n n n 1 1 1 a b c (ความยาวด้านของสามเหลีÉยมรูปแรก) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n และ รูปภาพทีÉ ś แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 แทนจุดกึÉงกลางของด้าน 1 1 1 , , n n n a b c ด้วย D E F , , และ เซนทรอยด์ของ A B C n n n 1 1 1 คือ จุด G จากทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรอืวงกลมเดียวกัน ถ้า ส่วนโค้งยาวเท่ากนัแล้วมุมในส่วนโค้งของวงกลมทÉรองรับด้วยส่วนโค้งนั ีÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 n n n

8 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม รูปภาพทีÉ Ŝแสดงค่ามุมของสามเหลียม É A B C n n n 1 1 1และ A B C n n n 1 2 1 2 1 2 จะแสดงว่า , , ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า เนืÉองจาก n n 1 1 แสดงว่า n n 1 1 a b จึงทาํให้เมÉือสร้างเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY บนส่วนของเส้นตรง A B n n 1 1 แล้วจุด Cn1 จึงอยู่ทางด้านขวาหรืออยู่บนจุดเดียวกับจุด Z (กรณี n n 1 1 a b ) ของเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY และเมืÉอสร้างเส้นมัธยฐานจากจุดยอด Cn1 เส้นมัธยฐานนัÊนจะตัดกบัเส้นรอบวงของวงกลมทÉจุด ี Cn ซึÉงอยู่ทางด้านซ้ายหรืออยู่บนจุดเดียวกับ จุด Y (กรณี n n 1 1 a b ) ของเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY ดังภาพ รูปภาพทีÉ ŝ แสดงค่ามุมของรูปสามเหลียมÉ

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 9 ทฤษฎีบท 1.3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึÉงแบ่งครึÉงและตัÊงฉากคอรด์แล้วเส้นตรงเส้นนÊันจะแบ่งครึÉงส่วนโค้ง ทีÉรองรับคอรด์นÊันด้วย แสดงว่า A Y YB n n 1 1 แต่เนืÉองจาก Cn อยู่ฝัÉงซ้ายหรืออยู่บนจุดเดียวกบัจุด Y (กรณี n n 1 1 a b ) ของเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY แสดงว่า A C C B n n n n 1 1 จึงทาํให้ 1 2 ด้วย (สว่นโค้งมียาวกว่า จึงทาํให้มุมทÉส่วนโค้งที ีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนมีขนาดใหญ่กว่า) ซึÉงทาํเช่นเดียวกบั 1 2 1 2 และ สุรปได้ว่า 1 2 1 2 1 2 , , 2 จากสตูร ความยาวของเส้นมัธยฐาน จะได้ 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n b c a A D , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a c b B E , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a b c C F พิจารณา ความยาวของเสน้มธัยฐาน จะแสดงว่า C F B E A D n n n 1 1 1 จาก 3 และ n n n 1 1 1 a b c จะได้ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( 3 ) 2 ) ( n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b c a b c a a c b b c a a c b b c a a c นาํคูณตลอดอสมการ บวก( ) ตลอดอสมการ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2( ) 2 2 2 1 n n n n n n n n n b b c a a c b A D B E นาํคูณตลอดอสมการ 3

10 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) ( 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b c b c b c b a c a b c a c b a b c a c b a b c a c แ นาํคูณตลอดอ ว ส ละ บ ก ( ) ตลอดอสม า ร ร มก ก า 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 2( ) 2( ) 2 2 2 n n n n n n n n n b a b c a c b C F B E นาํคูณตลอดอสมการ จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ C F B E A D n n n 1 1 1 ดังนัÊน C F B E A D n n n 1 1 1 ทฤษฎีบท 1.3 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมจะแบ่งซึÉงกนัและกนัออกเป็นอตัราส่วน 2 : 1 หรือ แบ่งอัตราส่วน 1 : 3 ดังรูป รูปภาพทีÉ Ş แสดงการแบ่งเสน้มธัยฐาน 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n C F B E A D C F B E A D C G B G A G จาก จะได้ นัÊนคือ ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า พิจารณา C GA n n 1 1 จาก C G A G n n 1 1 จะได้ 1 2 พิจารณา C GB n n 1 1 จาก C G B G n n 1 1 จะได้ 2 1 พิจารณา B GA n n 1 1 จาก B G A G n n 1 1 จะได้ 2 1

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 11 จะได้อสมการ คือ 1 2 2 1 2 1 , , 4 เนืÉองจาก และ 2 ; , , 4 ; , , 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n n จะได้ 1 1 1 , , n n n n n nนัÉนคือ แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ÊํÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n ไม่น้อยกว่ามุมทีÉน้อยทีÉสดุของ สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 จะพิสูจนว์่า mn เป็นลําดบัเพมทางเดียว ิÉ ให้ min{ , , } mn n n n โดยทีÉ n 0 จะได้ m m n n 1 ดังนัÊน ลาํดับ mn เป็นลาํดับเพÉิมทางเดียว จะพิสูจนว์่า 60 n โดยทีÉ n 0 ให้ n 0 และ n n n ทฤษฎีบท 1.5 ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลีÉยมใด ๆ เท่ากับ 180 องศา จะได้ 180 n n n แสดงว่า 180 n n n และจาก n n และ n n จะได้ 2 2 180 3 180 60 n n n n n n n ดังนัÊน มุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยมรูปที ีÉ n จะมีขนาดมากทีÉสดุไม่เกิน 60 จะพิสูจนว์่า 60 เป็นขอบเขตบนของลําดบั mn จาก min{ , , } m a n n n n n สาํหรับทุก n 0 จะได้ 60 mn สาํหรับทุก n 0 ให้ Z m n n 0 และมี x Z เนืÉองจาก 60 mn สาํหรับทุก n 0 จะได้ว่า 60 n x m สาํหรับทุก n 0 นัÊนคือ 60 เป็นขอบเขตบนของลาํดับ mn

12 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม จะพิสูจนว์่า mn เป็นลําดบัลู่เขา้ เนืÉองจาก mn เป็นลาํดับเพÉิม และมีขอบเขตบน 60 ดังนัÊน ลาํดับ mnลู่เข้า พิจารณาการลู่เขา้ จากการกาํหนดมุม n n n 1 1 1 ข้างต้นทาํให้ไม่สามารถสรุปได้ว่า การทาํซาด้วย ํÊ เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม ขนาดของมุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยมรูปที ีÉ n จะ ลู่เข้าส่เูท่าไร ในการพิสจูน์ครÊงนี ัÊจึงจาํเป็นต้องแบ่งกรณีทีÉอาจจะเกิดขึÊนจากการทาํซาในรูปสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉ n 1 แล้วเกิดเป็นสามเหลีÉยมรูปทีÉ n ได้ดังนีÊ 1 1 1 1) n n n 1 1 1 2) n n n 1 1 1 3) n n n 1 1 1 4) n n n โดยไม่ได้กาํหนดว่า 1 1 1 , , , , , n n n n n n เป็นขนาดมุมของจุดยอดใด กรณีทีÉ 1 จะพิสจูน์ว่า 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) n n n 1 1 1 a b c (ความยาวด้านของสามเหลีÉยมรูปแรก) และ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n รูปภาพทีÉ ş แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 13 แทนจุดกึÉงกลางของด้าน 1 1 1 , , n n n a b c ด้วย D E F , , และ เซนทรอยด์ของ A B C n n n 1 1 1 คือ จุด G ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน สว่นโค้งของวงกลมทÉรองรับด้วยส่วนโค้งนั ีÊนจะมีขนาดเท่ากัน จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 n n n รูปภาพทีÉ Šแสดงค่ามุมของสามเหลียม É A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n 1 2 1 2 1 2 จะแสดงว่า , , ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า เนืÉองจาก n n 1 1 แสดงว่า n n 1 1 a b จึงทาํให้เมÉอสร้างเส้นแบ่งครึ ืÉงตัÊงฉาก ZY บนส่วนของเส้นตรง A B n n 1 1 แล้ว จุด Cn1 จึงอยู่ทางด้านขวาของเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY และ เมืÉอสร้างเส้นมัธยฐานจากจุดยอด Cn1 เส้นมัธยฐานนัÊนจะตัดกบัเส้นรอบวงของวงกลมทÉจุด ี Cn ซึÉงอยู่ทางด้านซ้ายของเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY ดังภาพ

14 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม รูปภาพทีÉ š แสดงค่ามุมของรูปสามเหลียมÉ ทฤษฎีบท 1.3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึÉงแบ่งครึÉงและตัÊงฉากคอรด์แล้วเส้นตรงเส้นนÊันจะแบ่งครึÉงส่วนโค้งทีÉ รองรับคอรด์นÊันด้วย จะได้ A Y YB n n 1 1 แต่เนืÉองจาก Cn อยู่ฝัÉงซ้ายของเส้นตัÊงของของเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY ดังนัÊน A C C B n n n n 1 1 จึงทาํให้ 1 2 ด้วย (ส่วนโค้งมียาวกว่า จึงทาํให้มุมทÉส่วนโค้งที ีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนมีขนาดใหญ่กว่า) ซึÉงทาํเช่นเดียวกับ 1 2 1 2 และ สรุปได้ว่า 1 2 1 2 1 2 , , 2 จากสตูร ความยาวของเส้นมัธยฐาน จะได้ 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n b c a A D , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a c b B E , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a b c C F 3

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 15 จะแสดงว่า C F B E A D n n n 1 1 1 จาก 3 และ n n n 1 1 1 a b c จะได้ ( นาํคูณตล า อดอส บวก ) ตลอดอสม ร ก มกา ร 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2 ( 3 ( ) 2 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b c a b c a a c b b c a a c b b c a a c นาํคูณตลอดอสมการ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2( ) 2 2 1 2 n n n n n n n n n b b c a a c b A D B E 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) ( 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b c b c b c b a c a b c a c b a b c a c b a b c a c แ นาํคูณตลอดอ ว ส ละ บ ก ( ) ตลอดอสม า ร ร มก ก า 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 2( ) 2( ) 2 2 2 n n n n n n n n n b a b c a c b C F B E นาํคูณตลอดอสมการ จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ C F B E A D n n n 1 1 1 ดังนัÊน C F B E A D n n n 1 1 1

16 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม ทฤษฎีบท 1.4 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมจะแบ่งซึÉงกนัและกนัออกเป็นอตัราส่วน 2 : 1 หรือ แบ่งอัตราส่วน 1 : 3 พิจารณาภาพ รูปภาพทีÉ řŘ แสดงการแบ่งเสน้มธัยฐาน 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n C F B E A D C F B E A D C G B G A G จาก จะได้ นัÊนคือ ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า พิจารณา C GA n n 1 1 จาก C G A G n n 1 1 จะได้ 1 2 พิจารณา C GB n n 1 1 จาก C G B G n n 1 1 จะได้ 2 1 พิจารณา B GA n n 1 1 จาก B G A G n n 1 1 จะได้ 2 1 จะได้อสมการ คือ 1 2 2 1 2 1 , , 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 เนืÉองจาก และ 2 ; , , 4 ; , , จะได้ 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n n 1 1 1 , , n n n n n nนัÊนคือ แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ÊํÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n มากกว่ามุมทีÉน้อยทีสÉดุของรูป สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 17 กรณีทีÉ 2 จะพิสจูน์ว่า 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) n n n 1 1 1 a b c (ความยาวด้านของสามเหลีÉยมรูปแรก) และ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n รูปภาพทีÉ řř แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 แทนจุดกึÉงกลางของด้าน 1 1 1 , , n n n a b c ด้วย D E F , , และ เซนทรอยด์ของ A B C n n n 1 1 1 คือ จุด G ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเทา่กันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้ว มุมในส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 n n n

18 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม รูปภาพทีÉ řŚ แสดงคามุมของสามเหลียม É A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n 1 2 1 2 1 2 จะแสดงว่า , , ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า เนืÉองจาก n n 1 1 แสดงว่า n n 1 1 a b จึงทาํให้เมÉือสร้างเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY บนส่วนของเส้นตรง A B n n 1 1 แล้ว จุด Cn1 เป็นจุดเดียวกบัจุด Z และเมืÉอสร้างเส้นมัธยฐาน จากจุดยอด C n 1 เส้นมัธยฐานนัÊนจะตัดกับเส้นรอบวงของวงกลมทีÉจุด Cn ซึÉงเป็นจุดเดียวกบัจุด Y ดังภาพ รูปภาพทีÉ řś แสดงค่ามุมของรูปสามเหลียมÉ

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 19 ทฤษฎีบท 1.3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึÉงแบ่งครึÉงและตัÊงฉากคอรด์ แล้วเส้นตรงเส้นนัÊนจะแบ่งครึÉงส่วนโค้ง ทีÉรองรับคอรด์นÊันด้วย แสดงว่า B Y YA n n 1 1 แต่เนืÉองจาก Cn เป็นจุดเดียวกบัจุด Z ดังนัÊน B C C A n n n n 1 1 จึงทาํให้ 1 2 ซึÉงทาํเช่นเดียวกัน และ 1 2 1 2 สุรปได้ว่า 1 2 1 2 1 2 , , 2 จากสตูร ความยาวของเส้นมัธยฐาน จะได้ 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n b c a A D , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a c b B E 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a b c C F จะแสดงว่า C F B E A D n n n 1 1 1 จาก 3 และ n n n 1 1 1 a b c จะได้ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b c a b c a a c b b c a a c b b c a a c b บ นาํคูณตลอดอสมกา วก ( ) ตลอดอสม า ร ก ร 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2( 2 2 1 2 ) n n n n n n n n n b c a a c b A D B E นาํคูณตลอดอสมการ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) ( 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b c b c b c b a c a b c a c b a b c a c b a b c a c แ นาํคูณตลอดอ ว ส ละ บ ก ( ) ตลอดอสม า ร ร มก ก า 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 2( ) 2( ) 2 2 2 n n n n n n n n n b a b c a c b C F B E นาํคูณตลอดอสมการ จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ C F B E A D n n n 1 1 1 3

20 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม ดังนัÊน C F B E A D n n n 1 1 1 ทฤษฎีบท 1.4 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมจะแบ่งซึÉงกนัและกนัออกเป็นอตัราสว่น 2 : 1 หรือ แบ่งอตัราส่วน 1 : 3 พิจารณาภาพ รูปภาพทีÉ řŜ แสดงการแบ่งเสน้มธัยฐาน 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n C F B E A D C F B E A D C G B G A G จาก จะได้ นัÉนคือ ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า พิจารณา C GA n n 1 1 จาก C G A G n n 1 1 จะได้ 1 2 พิจารณา C GB n n 1 1 จาก C G B G n n 1 1 จะได้ 2 1 พิจารณา B GA n n 1 1 จาก B G A G n n 1 1 จะได้ 1 2 จะได้อสมการ คือ 2 1 1 2 1 2 , , 4 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 เนืÉองจาก และ 2 ; , , 4 ; , , 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 n n n n n n จะได้ 1 1 1 , , n n n n n nนัÊนคือ

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 21 แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ÊํÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n มากกว่ามุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูป สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 กรณีทีÉ 3 จะพิสจูน์ว่า 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) n n n 1 1 1 a b c (ความยาวด้านของสามเหลีÉยมรูปแรก) และ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n รูปภาพทีÉ řŝ แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 แทนจุดกึÉงกลางของด้าน 1 1 1 , , n n n a b c ด้วย D E F , , และ เซนทรอยด์ของ A B C n n n 1 1 1 คือ จุด G ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรอืวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากนัแล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 n n n

22 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม รูปภาพทีÉ řŞ แสดงค่ามุมของสามเหลียม É A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n 1 2 1 2 1 2 จะแสดงว่า , , ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า เนืÉองจาก n n 1 1 แสดงว่า n n 1 1 b c จึงทาํให้เมÉือสร้างเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY บนส่วนของเส้นตรง C B n n 1 1 แล้ว จุด An1 เป็นจุดเดียวกบัจุด Z และเมืÉอสร้างเส้นมัธยฐาน จากจุดยอด An1 เส้นมัธยฐานนัÊนจะตัดกับเส้นรอบวงของวงกลมทีÉจุด AnซึÉงเป็นจุดเดียวกบัจุด Y ดังภาพ รูปภาพทีÉ řş แสดงค่ามุมของรูปสามเหลียมÉ

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 23 ทฤษฎีบท 1.3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึÉงแบ่งครึÉงและตัÊงฉากคอรด์ แล้วเส้นตรงเส้นนัÊนจะแบ่งครึÉงส่วนโค้งทีÉ รองรับคอรด์นÊันด้วย แสดงว่า C Y YB n n 1 1 แต่เนืÉองจาก An เป็นจุดเดียวกบัจุด Y ดังนัÊน C A A B n n n n 1 1 จึงทาํให้ 1 2 ซึÉงเป็นเช่นเดียวกัน และ 1 2 1 2 สรุปได้ว่า 1 2 1 2 1 2 , , 2 จากสตูร ความยาวของเส้นมัธยฐาน จะได้ 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n b c a A D , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a c b B E , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a b c C F จะแสดงว่า A D B E C F n n n 1 1 1 จาก 3 และ n n n 1 1 1 a b c จะได้ ( นาํคูณตล า อดอส บวก ) ตลอดอสม ร ก มกา ร 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2 ( 3 ( ) 2 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b c a b c a a c b b c a a c b b c a a c นาํคูณตลอดอสมการ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2( ) 2 2 1 2 n n n n n n n n n b b c a a c b A D B E 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) ( 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b c b c b c b a c a b c a c b a b c a c b a b c a c แ นาํคูณตลอดอ ว ส ละ บ ก ( ) ตลอดอสม า ร ร มก ก า 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 2( ) 2( ) 2 2 2 n n n n n n n n n b a b c a c b C F B E นาํคูณตลอดอสมการ จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ A D B E C F n n n 1 1 1 ดังนัÊน A D B E C F n n n 1 1 1 3

24 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม ทฤษฎีบท 1.4 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมจะแบ่งซึÉงกนัและกนัออกเป็นอตัราส่วน 2 : 1 หรือ แบ่งอัตราส่วน 1 : 3 พิจารณาภาพ รูปภาพทีÉ řŠ แสดงการแบ่งเสน้มธัยฐาน 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n A D B E C F A D B E C F A G B G C G จาก จะได้ นัÊนคือ ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า พิจารณา C GA n n 1 1 จาก C G A G n n 1 1 จะได้ 1 2 พิจารณา C GB n n 1 1 จาก C G B G n n 1 1 จะได้ 2 1 พิจารณา B GA n n 1 1 จาก B G A G n n 1 1 จะได้ 2 1 จะได้อสมการ คือ 1 2 2 1 2 1 , , 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 เนืÉองจาก และ 2 ; , , 4 ; , , จะได้ 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n n 1 1 1 , , n n n n n nนัÊนคือ แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ÊํÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n มากกว่ามุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูป สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 25 กรณีทีÉ 4 จะพิสจูน์ว่า 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) n n n 1 1 1 a b c (ความยาวด้านของสามเหลีÉยมรูปแรก) และ 1 1 2 1 1 2 1 1 2 n n n รูปภาพทีÉ řš แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 แทนจุดกึÉงกลางของด้าน 1 1 1 , , n n n a b c ด้วย D E F , , และ เซนทรอยด์ของ A B C n n n 1 1 1 คือ จุด G ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน สว่นโค้งของวงกลมทÉรองรับด้วยส่วนโค้งนั ีÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 2 1 2 1 2 1 n n n

26 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม รูปภาพทีÉ ŚŘ แสดงค่ามุมของสามเหลียม É A B C n n n 1 1 1 และ A B C n n n 1 2 1 2 1 2 จะแสดงว่า , , ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า เนืÉองจาก n n 1 1 แสดงว่า n n 1 1 a c จึงทาํให้เมÉือสร้างเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ZY บนส่วนของเส้นตรง A C n n 1 1 แล้ว จุด Bn1 เป็นจุดเดียวกบัจุด Z และเมืÉอสร้างเส้นมัธยฐาน จากจุดยอด Bn1 เส้นมัธยฐานนัÊนจะตัดกับเส้นรอบวงของวงกลมทีÉจุด BnซึÉงเป็นจุดเดียวกบัจุด Y ดังภาพ รูปภาพทีÉ Śř แสดงค่ามุมของรูปสามเหลียมÉ

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 27 ทฤษฎีบท 1.3 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึÉงแบ่งครึÉงและตัÊงฉากคอรด์แล้วเส้นตรงเส้นนÊันจะแบ่งครึÉงส่วนโค้ง ทีÉรองรับคอรด์นÊันด้วย แสดงว่า A Y YC n n 1 1 แต่เนืÉองจาก Bn เป็นจุดเดียวกบัจุด Y ดังนัÊน B A B C n n n n 1 1 จึงทาํให้ 1 2 ซึÉงเป็นเช่นเดียวกันกบั 1 2 1 2 และ สรุปได้ว่า 2 1 2 1 2 , , 2 จากสตูร ความยาวของเส้นมัธยฐาน จะได้ 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n b c a A D , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a c b B E , 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 n n n n a b c C F จะแสดงว่า C F B E A D n n n 1 1 1 จาก 3 และ n n n 1 1 1 a b c จะได้ 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) ( 3 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b c b c b c b a c a b c a c b a b c a c b a b c a c แ นาํคูณตลอดอ ว ส ละ บ ก ( ) ตลอดอสม า ร ร มก ก า 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 2( ) 2( ) 2 2 2 n n n n n n n n n b a b c a c b C F B E นาํคูณตลอดอสมการ จากสมบัติการถ่ายทอด จะได้ C F B E A D n n n 1 1 1 ดังนัÊน C F B E A D n n n 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2( ) 2 3 ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b c a b c a a c b b c a a c b b c a a c นาํคูณตลอดอสมการ บวก ( ) ตลอดอสมการ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ) 2 2( ) 2 2 1 n n n n n n n n n b b c a a c b A D B E นาํคูณตลอดอสมการ

28 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม ทฤษฎีบท 1.4 เส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมจะแบ่งซึÉงกนัและกนัออกเป็นอตัราส่วน 2 : 1 หรือ แบ่งอัตราส่วน 1 : 3 พิจารณาภาพ รูปภาพทีÉ ŚŚ แสดงการแบ่งเสน้มธัยฐาน 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n C F B E A D C F B E A D C G B G A G จาก จะได้ นัÊนคือ ทฤษฎีบท 1.2 ในรูปสามเหลีÉยมใด ๆ ด้านทีÉยาวกว่าย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีÉใหญ่กว่า พิจารณา C GA n n 1 1 จาก C G A G n n 1 1 จะได้ 1 2 พิจารณา C GB n n 1 1 จาก C G B G n n 1 1 จะได้ 2 1 พิจารณา B GA n n 1 1 จาก B G A G n n 1 1 จะได้ 2 1 จะได้อสมการ คือ 1 2 2 1 2 1 , , 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 เนืÉองจาก และ 2 ; , , 4 ; , , 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n n จะได้ 1 1 1 , , n n n n n nดังนัÊน n n n n n n 1 1 1 นัÉนคือ

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 29 แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ÊํÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 ซึÉงเป็นรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า แล้วจะได้ขนาดของมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n ทุกมุมมีขนาดเท่ากบัทุกมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 นัÊนคือ รูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n เป็นรูป สามเหลีÉยมด้านเท่า จากการแบ่งกรณีของค่ามุมทีÉอาจจะเกดิขÊึนทัÊง 4 กรณี ข้างต้น จึงสรุปได้ว่า มีเพียงกรณีเดียว เท่านัÊนทีÉขนาดมุมของรูปสามเหลีÉยมจะไม่เปลีÉยนไป คือ กรณีทีÉ 4 ซึÉงเป็นกรณีทีÉรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 เป็นรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า นอกจากนีÊ กรณีทีÉ 1-3 มุมของรปูสามเหลÉยมรูปที ีÉ n จะมากกว่ามุม ทีÉมีขนาดน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยมรูปที ีÉ n 1 เสมอ ซึÉงผลจากการทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลมนัÊนไม่แน่นอน หลงัจาก การทาํซาแล้ว ํÊขนาดของมุมอาจจะเป็นกรณีใดกไ็ด้ใน 4 กรณีทีÉกล่าวมาข้างต้น ซึÉงถ้าเป็นแบบกรณีทีÉ 1- 3 ขนาดของมุมจะเพิÉมขึÊนเรืÉอย ๆ จนมุมทีÉมีขนาดน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยมมีค่า ี ใกล้เคียง 60 ซึÉงจะ ทาํให้ขนาดมุมทีÉเหลือใกล้เคียง 60 ด้วยเช่นกนั(สามเหลÉียมด้านเท่า) จึงทาํให้ขนาดของมุมเป็นแบบ กรณีทีÉ 4 ดังนัÊนจึงสรุปได้ว่า หากทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ÊํÉยมทีÉแนบในวงกลม เมืÉอทาํซาไป Êํ เรืÉอย ๆ จะทาํให้รูปสามเหลÉียมรูปทีÉ n เป็นรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า

30 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม สถานการณก์ารเรียนการสอนในหวัขอ้นÊี จากทีÉได้กล่าวไปข้างต้น หัวข้อนีÊจะเหมาะสมกับนักเรียนทีÉมีความรู้ทฤษฎีว่า ลาํดับเพÉิมทางเดียว และลาํดับมีขอบเขต จะลู่เข้า ซÉึงทฤษฎีนีÊส่วนใหญ่จะถูกใช้ในแคลคูลัส ส่วนในเรขาคณิตมีสถานการณ์ไม่ มากนักทีÉใช้ทฤษฎีนีÊแต่กส็ามารถทาํได้และไม่ว่านักเรียนจะแก้ปัญหาเป็นกลุ่มหรือคนเดียว ครูจะต้อง ให้คาํแนะนาํหลายอย่างเพราะปัญหานÊีค่อนข้างยาก เราต้องแนะนาํ ให้นักเรียนพิสูจน์ว่า ลาํดับ mn เป็น ลาํดับเพÉิมทางเดียว หรือกล่าวอกีนัยหนÉงคือ ึ 1 1 1 1 , , n n n n n n n สาํหรับ ทุก n ซึÉงแนวทางการพิสูจน์ทางเรขาคณิตนีÊควรได้รับคาํแนะนาํด้วยคาํถามนาํเช่น 1) นักเรียนสามารถสงัเกตเหน็ , , n n n เป็นในรูป หรือไม่ จงให้เหตุผล ซึÉงคาํถามนÊจีะนาํ ไปสู่ 2) สมมติว่า n n n 1 1 1 นักเรียนคิดว่าระหว่าง มุมใดมีขนาดมากว่า ( 1,2 1,2 ในธรรมนองเดียวกับ และ ) จงให้เหตุผล ซึÉงคาํถามนÊจีะนาํ ไปสู่ 2 3) นักเรียนคิดว่ามุมทีÉอยู่ติดกบัด้าน n 1 a ซึÉงกค็ือ 2 และ 1 มุมใดมีขนาดมากว่า ( ในทาํนองเดียวกันกบัด้าน n 1 b และ n 1 c ) เพืÉอทีÉจะพิสจูน์ประเดน็นÊี ให้ใช้สตูรความยาว เส้นมัธยฐาน และใช้ทฤษฎีบททีÉว่า จุดเซน็ทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอตัราส่วน 2 : 1 ซึÉงคาํถามนÊจีะนาํ ไปสู่3 และ 4 และชัÊนตอนนีÊจะเป็นขัÊนตอนทีÉยากทีÉสดุ การมีคาํถามเช่นนÊนัีÊนเพียงพอสาํหรับนักเรียนและให้โอกาสแก่นักเรียนเพÉือทีÉจะสาํเรจ็การ พิสจูน์ซึÉงสาํหรับทÊง ั 3 คาํถาม นกัเรียนสามารถใช้เครÉองมือวัดของโปรแก ืรม DGS และ ใช้เพืÉอ คาดคะเน ซึÉงเป็นขัÊนตอนสดุท้ายของการพิสจูน์ หมายเหตุ การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานนั ํÊ Êน โดยทัÉวไปไม่สามารถทาํย้อนกลับได้โดยไม่ซากัน ให้รูป Êํ สามเหลีÉยมในขัÊนตอนแรก คือ สามเหลีÉยม A B C n n n ( ไม่เป็นรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า ) จะมีเพียง 2 รูป สามเหลีÉยมรูปแรก A B C n n n 1 1 1 (ในวงกลมล้อมเดียวกนักับสามเหลีÉยมA B C n n n ) ทีÉนาํ ไปสู่รูป สามเหลีÉยม A B C n n n เมืÉอสร้างเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม ซึÉงจุดเซนทรอยด์ของ รูปสามเหลีÉยม A B C n n n 1 1 1 คือ จุดโฟกสัของ “Steiner inellipse” ของสามเหลีÉยม A B C n n n การ พิจารณาทีÉเกีÉยวข้องจาํเป็นต้องมีวิธกีารอÉนื ( ตัวอย่างเช่น isogonally conjugated points ) ซึÉงอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนีÊ 1,2 1,2 1,2 , , 1 และ 1 2

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 31 เราพบเพียง 2 เอกสารอ้างองิเพÉือทีÉจะพิสจูน์ปัญหาข้างต้น คือ 8 และ 10 ซึÉงใน 10 มีการ ใช้วิธทีางพีชคณิตเพียงอย่างเดียว (ฐานจาก Gröbner และอืÉน ๆ ทีÉคล้ายกัน) และบทความจะเกีÉยวข้อง กบัการวางนัยทÉวไปของมิติที ัÉ 3 (dimension 3) เป็นหลกั เพิมÉเติม คําถามทางคณิตศาสตรท์ ีÉยงัไม่ไดแ้กไ้ข 1) มีรูปสามเหลีÉยมในวงกลมล้อมของ cevians แบบอืÉน ๆ อกีหรือไม่(นอกจากเส้นแบ่งครÉงมุมึ และเส้นมัธยฐาน) ทีÉเมืÉอทาํซาแล้วรูปสามเหลี ÊํÉยมรูปใหม่มีลักษณะใกล้เคียงรูปสามเหลีÉยมด้าน เท่า 2) มีรูปแบบทีÉน่าสนใจอืÉนอกีหรือไม่(ไม่จาํเป็นต้องล่เูข้าสู่ในรูปร่างสามเหลÉยมด้านเท่า) ที ีÉใช้รูป สามเหลีÉยมในวงกลมล้อมของ cevians เรายกตัวอย่างให้ 1 ตัวอย่าง (ไม่ต้องพิสูจน์) คือ ถ้า คุณใช้ “symmedians” ดังนัÊน A B C A B C 2 2 2 0 0 0 เช่น ลาํดับของสามเหลÉยม คือ ี 2-cycle (ดูใน 11, .77 p ) 2.3 การทําซํÊาดว้ยเสน้แบ่งครึÉงมุมของสามเหลียมทีÉ Éแนบในวงกลม ตวัอย่างทีÉ 2 ให้A B C 0 0 0 เป็นสามเหลีÉยมใด ๆ ทีÉล้อมรอบด้วยวงกลม K ต่อไปเราจะสร้างการแบ่ง ครึÉงมุมของสามเหลีÉยม A B C 0 0 0 และต่อเส้นแบ่งครึÉงมุมให้ตัดกับวงกลมล้อมK ซึÉงจุดตัดทีÉเกิดขึÊน คือ จุด 1 1 1 A B C , , แล้วลากเส้นเชืÉอมจุด 1 1 1 A B C , , จะเกิดเป็นสามเหลีÉยม A B C 1 1 1 เมืÉอทาํตามขÊนตอนนี ัÊที ละขัÊนตอน เราสามารถสังเกตได้ว่า สามเหลีÉยม A B C n n n จะใกล้เคียงสามเหลีÉยมด้านเท่ามากขึÊน (สงัเกตุเหน็อะไรทÉรีูปร่างของรปูสามเหลÉยม ี A B C n n n ) จะเป็นเช่นนีÊทุกกรณีหรือไม่ ? คุณสามารถให้ เหตุผลสาํหรบปรากฏการณ์นี ัÊได้หรือไม่ ? รูปสามเหลีÉยมดูเหมือนจะลู่เข้าสามเหลÉยมด้านเท่า สามารถดูได้จาก ี DGS experiments รูปภาพทีÉ Śś แสดงการทําซํÊาโดยเสน้แบ่งครึÉงมุม 3 ครัÊง

32 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม ไอเดียของการพิสูจน์ คือการใช้ มุมในส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกนัจะมีขนาดเท่ากัน จะได้ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 , , 2 2 2 a รูปภาพทีÉ ŚŜ แสดงการทําซํÊาโดยเสน้แบ่งครึÉงมุม 1 ครัÊง จะเหน็ว่าความสัมพันธที์ Éได้ จาก n n 1 คือ 1 1 1 1 1 1 , , 2 2 2 n n n n n n n n n a ดังนัÊนเรากท็ราบได้ทันทวี่าขนาดของมุมใหม่นัÊนคอื ค่าเฉลีÉยของขนาดมุมคู่เก่า ซึÉงสามารถใช้ เพืÉอพิสูจน์การลู่เข้าได้ง่าย ให้ , , n n n โดยทีÉ n 0 แทนมุมของรูปสามเหลีÉยมหลังจากการทาํซา ํÊ n ครัÊง จะพิสจูนโดย ให้ ์ n n n 1 1 1 เมืÉอทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมแล้วจะได้มุมทัÊงสามของรูป สามเหลีÉยมรูปใหม่ คือ , , n n n ซึÉงจะไม่มีมุมใดมีขนาดน้อยกว่า n1 และให้ min{ , , } mn n n n โดยทีÉ n 0 เป็นลาํดับของขนาดมุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูป สามเหลีÉยมรูปทีÉ n

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 33 เป้ าหมายทีÉจะพิสจูน์คือ 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉn สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปก่อนหน้า) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n และ รูปภาพทีÉ Śŝ แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n จาก นาํคูณตลอดอสมการ ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากัน 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n จะได้ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n ทาํให้ 1 1 1 , , n n n n n nดังนัÊน

34 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n ไม่น้อยกว่ามุมทีÉน้อยทีÉสดุของ สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 จะพิสูจนว์่า mn เป็นลําดบัเพมทางเดียว ิÉ ให้ min{ , , } mn n n n โดยทีÉ n 0 เนืÉองจาก 1 , , n n n n จะได้ m m n n 1 ดังนัÊน ลาํดับ mn เป็นลาํดับเพÉิมทางเดียว จะพิสูจนว์่า 60 n โดยทีÉ n 0 ให้ n 0 และ n n n ทฤษฎีบท 1.5 ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลีÉยมใด ๆ เท่ากบั 180 องศา จะได้ 180 n n n แสดงว่า 180 n n n และจาก n n และ n n จะได้ 2 2 180 3 180 60 n n n n n n n ดังนัÊน มุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยมรูปที ีÉ n จะมีขนาดมากทีÉสดุไม่เกิน 60 จะพิสูจนว์่า 60 เป็นขอบเขตบนของลําดบั mn จาก min{ , , } m a n n n n n สาํหรับทุก n 0 จะได้ 60 mn สาํหรับทุก n 0 ให้ Z m n n 0 และ มี x Z เนืÉองจาก 60 mn สาํหรับทุก n 0 จะได้ว่า 60 n x m สาํหรับทุก n 0 นัÊนคือ 60 เป็นขอบเขตบนของลาํดับ mn จะพิสูจนว์่า mn เป็นลําดบัลู่เขา้ เนืÉองจาก mn เป็นลาํดับเพÉิม และมีขอบเขตบน60 ดังนัÊน ลาํดับ mnลู่เข้า

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 35 พิจารณาการลู่เขา้ จากการกาํหนดมุม n n n 1 1 1 ข้างต้นทาํให้ไม่สามารถสรุปได้ว่า การทาํซาด้วย ํÊ เส้นแบ่งครึÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม ขนาดของมุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยมรูปที ีÉ n จะลู่เข้าส่เูท่าไร ในการพิสจูน์ครÊงนี ัÊจึงจาํเป็นต้องแบ่งกรณีทÉอีาจจะเกดิขÊึนจากการทาํซาในรูปสามเหลี ํÊ Éยม ทีÉ n 1 แล้วเกิดเป็นสามเหลีÉยมรูปทีÉ n ได้ดังนีÊ 1 1 1 1) n n n 1 1 1 2) n n n 1 1 1 3) n n n 1 1 1 4) n n n โดยไม่ได้กาํหนดว่า 1 1 1 , , , , , n n n n n n เป็นขนาดมุมของจุดยอดใด กรณีทีÉ 1 เป้ าหมายทีÉจะพิสูจน์ คือ 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉn สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปก่อนหน้า) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n และ รูปภาพทีÉ ŚŞ แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1

36 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม จาก นาํคูณตลอดอสมการ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรอืวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากนัแล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n ทาํให้ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 , , n n n n n nดังนัÊน แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n มากกว่ามุมทีÉน้อยทีสÉดุของ สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 กรณีทีÉ 2 เป้ าหมายทีÉจะพิสจูน์คือ 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) และ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 37 รูปภาพทีÉ Śş แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 จาก นาํคูณตลอดอสมการ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเท่ากันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n ทาํให้ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n แต่ 1 1 1 1 1 , , n n n n n n n nดังนัÊน

38 การทาํซาด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลี ํÊ ÉยมทีÉแนบในวงกลม แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ว่า ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n มีเพียง 1 มุมทีมีขนาดเท่ากับมุมทีÉ É น้อยทีÉสดุของสามเหลÉยมรูปที ีÉ n 1 และอกี 2 มุมทีÉเหลือจะมีขนาดมากกว่ามุมทีÉน้อยทีÉสดุของ สามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 แต่จะมีขนาดมุมน้อยกว่ามุมทีÉมากกว่าของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 กรณีทีÉ 3 เป้ าหมายทีÉจะพิสจูน์คือ 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n และ รูปภาพทีÉ ŚŠ แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1 จาก นาํคูณตลอดอสมการ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเทา่กันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 39 จะได้ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n ทาํให้ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 , , n n n n n nดังนัÊน แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n มากกว่ามุมทีÉน้อยทีสÉดุของสามเหลÉยมี รูปทีÉ n 1 กรณีทีÉ 4 เป้ าหมายทีÉจะพิสจูน์คือ 1 1 1 1 , , n n n n n n n โดยทีÉ n สมมติ n n n 1 1 1 (ขนาดมุมของสามเหลีÉยมรูปแรก) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n และ รูปภาพทีÉ Śš แสดงกระบวนการทําซํÊาครัÊงแรก A B C A B C n n n n n n 1 1 1

40 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม จาก นาํคูณตลอดอสมการ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n ทฤษฎีบท 1.1 ในวงกลมทีÉเทา่กันทุกประการหรือวงกลมเดยีวกนัถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมทีÉรองรับด้วยส่วนโค้งนัÊนจะมีขนาดเท่ากนั จะได้ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n n ทาํให้ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1 1 1 , , n n n n n nดังนัÊน แสดงว่า ถ้าทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมรูปทีÉ n 1 ทีÉแนบในวงกลม โดยมีขนาดมุม n n n 1 1 1 จะได้ขนาดของมุมของสามเหลีÉยมรูปทีÉ n ทุกมุมเท่ากบัทกุมุมของสามเหลีÉยม รูปทีÉ n 1 กล่าวคือ ถ้าทาํซากับสามเหลีÊํÉยมด้านเท่า รูปสามเหลีÉยมรูปใหม่ทีÉได้กจ็ะเป็นรูปสามเหลÉยมี ด้านเท่า ซึÉงผลจากการทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ํÊ ÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลมนัÊนไม่แน่นอน หลงัจากการทาํซาแล้ว ํÊขนาดของมุมอาจจะเป็นกรณีใดกไ็ด้ใน 4 กรณีทีÉกล่าวมาข้างต้น ซึÉงถ้าเป็นแบบ กรณีทีÉ 1 และ 3 ขนาดของมุมจะเพิÉมขึÊนเรืÉอย ๆ จนขนาดมุมทีÉน้อยทีÉสดุของรูปสามเหลÉยีมมีค่าเท่ากบั 60 และ ถ้าขนาดของมุมเป็นแบบกรณีทีÉ 2 จะมีขนาดมุมหนึÉงเทา่กับขนาดมุมทีÉน้อยทีÉสดุของรปู สามเหลีÉยมรูปก่อนหน้า แต่น้อยกว่าขนาดของมุมทีÉมากทีÉสดุของรูปก่อนหน้า ( มุมใหญ่ทีÉสุดของรูป สามเหลีÉยมจะมีขนาดลดลงหลังจากการทาํซา)Êํ ซึÉงจะทาํให้ขนาดมุมลดลงเรืÉอย ๆ จนเหลอืมีค่า 60 ด้วยเช่นกัน (สามเหลีÉยมด้านเท่า) จึงทาํให้ขนาดของมุมเป็นแบบ กรณีทีÉ 4 (สามเหลีÉยมด้านเท่า) ดังนัÊนจึงสรุปได้ว่า หากทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม เมืÉอทาํซาÊํ ไปเรืÉอย ๆ จะทาํให้รูปสามเหลÉียมรูปทีÉ n เป็นรูปสามเหลีÉยมด้านเท่า

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 41 หมายเหตุ 1) การทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงมุมคล้ายกับการทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ÊํÉงตัÊงฉาก (เพราะเส้น แบ่งครึÉงมุมของรูปสามเหลีÉยมตัดกับเส้นวงกลมล้อมในจุดเดียวกับเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก ทีÉด้านตรงข้าม) ดังนัÊน เรามีการลู่เข้าของรูปร่างของรูปสามเหลÉียม 3 กรณี คือ เส้น มัธยฐาน เส้นแบ่งครึÉงมุม และเส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉาก การใช้เส้นแบ่งครึÉงตัÊงฉากหรือเส้น แบ่งครึÉงมุม ในการทาํซาของรูปสามเหลี ํÊ Éยมเป็นเวอร์ชัÉนพิเศษของผลลพัธท์ Éวไป ั 12 2) เราไม่สามารถคาดหวังการล่เูข้าของรูปร่างโดยใช้เส้นสว่นสงูในการบวนการทาํซาได้ ํÊ เพราะการทาํซานี ํÊ Êคล้ายกบัการทาํซาด้วยเส้นแบ่งครึ ํÊ Éงมุมแต่เป็นการย้อนกลับ เนืÉองจาก เรามีการลู่เข้าสู่สามเหลีÉยมด้านเท่าของรูปร่างโดยใช้เส้นแบ่งครึÉงมุม ซึÉงแจ่มชัดว่าเรา จะไม่มีการลู่เข้าในกรณีทÉวัไปโดยใช้เส้นส่วนสงู (ยกเว้นบางรูปสามเหลÉยมเริ ีÉมต้นแบบ พิเศษ)

42 การทาํซาํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม 3. ประกาศคุณูปการ ข้าพเจ้าขอขอบคุณ อาจารย์อลงกรณ์ แซ่ตัÊง อาจารย์ทีÉปรึกษาสัมมนาคณิตศาสตร์ ซึÉงได้สละ เวลาให้คําปรึกษา แนะนํา และให้ความอนุเคราะห์ความรู้ต่าง ๆ รวมทัÊงให้ความช่วยเหลือและ ตรวจทานแก้ไขข้อบกพร่อง ด้วยความเอาใจใส่เป็นอย่างดียิÉง ซึÉงเป็ นประโยชน์อย่างสูงต่อการศึกษา ค้นคว้าข้อมูลในการจัดทาํสมัมนา คณิตศาสตร์ครัÊงนีÊ ขอขอบคุณกรรมการสอบปากเปล่า อาจารย์อลงกรณ์ แซ่ตัÊง ทีÉให้คาํ แนะนํา ซึÉงเป็นประโยชน์ อย่างยิÉงในการศึกษาค้นคว้า ทาํให้การจัดทาํสมัมนาคณิตศาสตร์เสรจ็สมบูรณ์ยÉิงขึÊน 4. บรรณานุกรม [1] โครงการตําราวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์มูลนิธิ สอวน. (2548). เรขาคณิต (พิมพ์ครัÊงทีÉ 2). กรุงเทพมหานคร :มูลนิธิสอวน. [2] ราชบัณฑิตยสถาน. (2553). พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พิมพ์ครัÊงทีÉ 10).กรุงเทพฯ : นามมีบุค๊สพ์ ับลิเคชÉันส์. [3] สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. (2554). หนังสือเรียน รายวิชาเพิÉมเติม คณิตศาสตร์ เล่ม ๒ ชัÊนมัธยมศึกษาปี ทีÉ ๓ .กรุงเทพมหานคร : สกสค. ลาดพร้าว. [4] สมวงษ์ แปลงประสพโชค. (2551). รากฐานเรขาคณิต .กรุงเทพมหานคร : พิทกัษ์การพิมพ์ [5] สมใจ จิตพิทักษ์พิทักษ์. (2545). คณิตศาสตร์วิเคราะห์ : ทฤษฎีและตัวอย่าง (พิมพ์ครัÊงทีÉ 2). สงขลา : ภาควิชาคณิตศาสตร์คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยทกัษิณ. [6] Frankz Embacher and Hans Humenberger. (2019, November). “Iterating circummedial triangles,” The Mathematical Gazette. (103), 480 – 487.

ระพีพัฒน์รอดทุกข์และศิวกรเซ่งยิมÊ 43

44 ก า ร ท า ํ ซ า ํÊด้วยเส้นมัธยฐานของสามเหลีÉยมทีÉแนบในวงกลม