การหาพิกัดของจุด จากกระบวนการทำซ้ำด้วยเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลม

( ) 1 โครงงานคณิตศาสตร เรื่อง การหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมที่ได จากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม ( Finding vertex of A1 , 1 B , 1 C of circum-medial triangle A B C 1 1 1 which construct by iterating triangle ABC with its circumcircle by median for one time in complex plane ) ผูเสนอ นายระพีพฒัน รอดทุกข รหัสนิสิต 601031209 นางสาวหนึ่งฤทัย รักษาศรี รหัสนิสิต 601031226 อาจารยที่ปรึกษา อาจารยอลงกรณ แซตั้ง รายงานฉบับนี้เปนสวนหนึ่งของรายวิชา 0202492 โครงงานคณิตศาสตร ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา 2563 สาขาวิชาคณิตศาสตร คณะศึกษาศาสตร มหาวิทยาลัยทักษิณ

( ) i ชื่อโครงงาน การหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปน รูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของ รูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม ( Finding vertex of A1 , 1 B , 1 C of circum-medial triangle A B C 1 1 1 which construct by iterating triangle ABC with its circumcircle by median for one time in complex plane ) ชื่อผูทําโครงงาน นายระพีพัฒน รอดทุกข ปการศึกษา 2563 นางสาวหนงึ่ฤทัย รักษาศรี ชื่อปริญญา การศึกษาบัณฑิต สาขาวิชา คณิตศาสตร อาจารยที่ปรึกษาโครงงาน อาจารยอลงกรณแซตั้ง บทคัดยอ โครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปน รูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม โดยวัตถุประสงคของโครงงาน เพื่อหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปน รูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม ซึ่งผลของการดําเนินโครงงานปรากฏวา พิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปน รูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม คือ 2 2 1 OG r a g g a , 2 2 1 OG r b g g b และ 2 2 1 OG r c g g c โดยที่ r แทนดวย รัศมีของ วงกลม O

( ) ii กิตติกรรมประกาศ การทําโครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม ในครั้งนี้เกิดขึ้นและสําเร็จลุลวงไปไดดวยดีขาพเจาขอขอบคุณอาจารยอลงกรณแซตั้ง ซึ่งสละเวลาใหคําแนะนาํ ในสิ่งที่เปนประโยชนตลอดจนแกไขขอบกพรองตางๆ ดวยความละเอียดและใหคําปรกึษาแนะนําดวยดีเสมอมา และขอขอบคุณผูชวยศาสตราจารย ดร.กรวิกา กองกุล ซึ่งสละเวลาใหคําแนะนํารายละเอียดการเขียน รูปเลมโครงงาน ทําใหรูปเลมโครงงานฉบับนี้สมบูรณยิ่งขึ้น

( ) iii สารบัญ เรื่อง หนา บทคัดยอ (i) กิตติกรรมประกาศ (ii) สารบัญ (iii) บทที่ 1 บทนาํ ………………………………………………………………………………………..1 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวของ……………………………………………………………………...….…3 บทที่ 3 การหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรปูสามเหลี่ยมที่ไดจาก กระบวนการทาํซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม………...……..……4 บทที่ 4 สรุป อภิปรายผลและขอเสนอแนะ……………..………………………………………….…...7 บรรณานุกรม

1 บทที่ 1 บทนํา 1.1 หลักการและเหตุผล ใน 2 ไดกลาวถึง การทาํซาํ้ดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมทแี่นบในวงกลม เมื่อทําซํ้าไปเรื่อย ๆ รูปสามเหลี่ยมที่ไดจะมลีักษณะคลายรูปสามเหลี่ยมดานเทา ดงัภาพที่ 1 ภาพที่ 1 แสดงการสรางรูปสามเหลี่ยมจากการทําซํ้า 3 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่แนบ ในวงกลม และใน 3 ไดพิสจูนทฤษฎีบทเพื่อหารูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลม โดยการใหรูปสามเหลี่ยมที่ไดจาก กระบวนการทาํซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมทแี่นบในวงกลม ซึ่งงานวิจัยทั้งสองไมไดกลาวถึงการ หาพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซาํ้ 1 ครั้งดวยเสนมธัยฐานของรปูสามเหลี่ยมที่ แนบในวงกลม ในระนาบเชิงซอน จึงทาํ ใหผูศึกษาเกิดความสนใจในการหาพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่

2 ไดจากกระบวนการทาํซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลม ในระนาบเชิงซอน โดยใชบท นิยาม และทฤษฎีบทของกําลังของจุด (Power of Point) ในการหาพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจาก กระบวนการทาํซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมทแี่นบในวงกลม ในระนาบเชิงซอน นั่นคอืการหา พิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชงิซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมทไี่ดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้ง ดวยเสนมัธยฐานของรปูสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม 1.2 วัตถุประสงคของโครงงาน เพื่อหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมที่ไดจาก กระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม 1.3 ขอบเขตของโครงงาน 1.3.1 พิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของ รูปสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลม 1.3.2 ระนาบที่ศกึษาในโครงงานนี้เปนระนาบเชิงซอนเทานั้น 1.4 ผลที่คาดวาจะไดรับ สามารถหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมที่ไดจาก กระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลมได

3 บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวของ ในการจัดทําโครงงานเรื่อง การหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชงิซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูป สามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม ผูจัดทําโครงงานไดศึกษาเอกสารที่เกี่ยวของดังนี้ ใน 4 ไดใหทฤษฎีบทดังตอไปนี้ ทฤษฎีบท 1 สมมติใหG เปนจุดใดๆบนเสนตรงที่เชื่อมจุด A1 และ A แลว G A G A 1 สําหรับบาง ทฤษฎีบท 2 ใหA B, และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC และใหG เปนจุดที่เสน มัธยฐานทั้งสามเสนตัดกัน ถาจดุ G เปนจุดเซนทรอยดของรูปสามเหลี่ยม ABC แลว 1 3 G A B C ใน 5 ไดใหบทนยิาม ทฤษฎบีท และสิ่งที่เห็นจริงแลว ดังตอไปนี้ บทนิยาม 3 (บทนิยามของกําลงั) ให P เปนจุดใดๆ บนระนาบ และ เปนวงกลมที่มี จุดศูนยกลาง O และรัศมี R แลว 2 2 Pow P PO R เปนกําลังของจุด P ทฤษฎีบท 4 (ทฤษฎีบทกําลงัของจุด หรือ Power of a Point Theorem) ให P เปนจุดใดๆ บนระนาบ และ เปนวงกลม เสนตรงที่ผานจุด P ตัดกับวงกลม ที่จุด A และ B และเสนตรงอีกเสนหนึ่งที่ผานจุด P ตัดกับวงกลม ที่จุด C และ D จะได PA PB PC PD Pow P (สิ่งที่เห็นจรงิแลว) ถาจดุ P อยูนอกวงกลม จะได Pow P 0 ถา P อยูบนเสนรอบวงของวงกลม จะได Pow P 0 ถาจุด P อยูในวงกลม จะได Pow P 0

4 บทที่ 3 การหาพิกัดของจุด 1 A , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย 1 1 1 A B C เปนรปูสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการ ทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลม ใหจุด 1 1 1 A B C A B C , , , , , และ G ในระนาบเชิงซอน มีพิกัดเปน 1 1 1 a b c a b c , , , , , และ g ในจาํนวน เชิงซอน ตามลาํดบั เนื่องจาก G เปนจุดเซนทรอยดของรูปสามเหล่ยีม ABC ท่อียูบนสวนของเสนตรง AA1 จากทฤษฎีบท 1 จะได g a g a 1 สาํหรับบาง และ G เปนจุดภายในวงกลม แลวกาํลงัของจุด G ของวงกลม O คือ 2 2 o 1 Pow G g a g a OG r จาก o 1 Pow G g a g a 1 2 1 g a g a g a g a g a g a g a g a g a จะได 1 Pow Go g a g a 1 o Pow G a g g a A A1 B B1 C C1 O G

5 ในทํานองเดียวกัน 1 1 , o o Pow G Pow G b g c g g b g c เนื่องจาก 2 2 o Pow G OG r ดงันนั้ 2 2 1 , OG r a g g a 2 2 1 , OG r b g g b 2 2 1 OG r c g g c เมื่อ r แทนดวยรศัมีของวงกลม O ตัวอยางการใชสูตร ให ABC แนบอยูในวงกลมที่มจีุดศูนยกลาง O(1.5,2.5) รัศมี 1.58 หนวย และ A B C 2,4 , 1,1 , 3,2 บนระนาบเชิงซอน 1 3 จาก g a b c 7 2 3 1 2 4 1 3 2 3 จะได้ i i i i 2 2 เนืÉองจาก จะได้ r r 1.58 2.50 หน่วย หน่วย 2 2 2 2 7 3 5 5 2 3 2 2 18 OG g o OG i i จาก จะได้

6 2 2 1 1 5 2.50 7 18 2 2 3 7 2 2 4 3 OG r a g a i i g a i i จาก จะได้ ดังนั้น พิกัดของ A1 คือ 2.0,1.0 2 2 1 1 5 2.50 7 18 2 2.8 3.4 3 7 2 1 3 OG r b g b i i g b i i จาก จะได้ ดังนั้น พิกัดของ B1 คือ 2.8,3.4 2 2 1 1 5 2.50 7 18 2 3 3 7 2 3 2 3 OG r c g c i i g c i i จาก จะได้ ดังนั้น พิกัดของ C1 คือ 0.0,3.0 ซึ่งสอดคลองกับพิกัดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากโปรแกรม GSP

7 บทที่ 4 สรุป อภิปรายผล และขอเสนอแนะ การหาพิกัดของจดุ A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชงิซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมท่ไีดจากกระบวนการ ทาํซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ท่แนบในวงกลม สามารถสรุป อภิรายผล และ ีขอเสนอแนะ ไดดงันี้ 4.1 สรุป พิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชงิซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมทไี่ดจากกระบวนการ ทาํซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ท่แนบในวงกลม ี คือ 2 2 1 OG r a g g a 2 2 2 2 1 1 , , OG r OG r b g c g g b g c เมื่อ r แทนดวยรัศมีของวงกลม O 4.2 อภิปรายผล การทําโครงงานนี้มีวตัถุประสงคเพื่อหาพิกัดของจุด A1 , 1 B , 1 C ในระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปน รูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทําซํ้า 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC ท่แนบในวงกลม ี A A1 B B1 C C1 O G

8 ซึ่งจากบทนิยามและทฤษฎบีทของกําลังของจุด (Power of a Point) สามารถหาพิกัดของจดุ A1 , 1 B , 1 C ใน ระนาบเชิงซอน โดย A B C 1 1 1 เปนรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากกระบวนการทาํซ้าํ 1 ครั้งดวยเสนมัธยฐานของรูป สามเหลี่ยม ABC ที่แนบในวงกลมไดคือ 2 2 1 OG r a g g a 2 2 1 , , OG r b g g b 2 2 1 OG r c g g c เมื่อ r แทนดวยรัศมีของวงกลม O 4.3 ขอเสนอแนะ ในโครงงานเรื่องนี้มีขอจํากัดในการนําสูตรไปใชหาพิกัดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากการทําซํ้า คือ สามารถหาพิกัดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากการทําซํ้าเพียงครั้งละรูปเทานั้น หากตองการหาพิกัดจากการทําซํ้า k ครั้ง จะตองทําแทนคาพิกัดในสูตรไปเรื่อย ๆ จาํนวน k ครั้ง ดังนั้นขอเสนอแนะในโครงงานเลมนี้ คือ ควรหาสูตร หรือรูปแบบสมการ ท่ีสามารถหาพกัดของรูปสามเหลี่ยมที่ไดจากการทําซํ้า ิ k ครั้งไดโดยการแทนพิกัดเพียงครั้ง เดียว A A1 B B1 C C1 O G

9 บรรณานุกรม [1] ราชบัณฑติยสถาน. (2553). พจนานุกรมศพัทคณิตศาสตรฉบับราชบัณฑติยสถาน (พิมพครั้งที่ 10). กรุงเทพฯ : นามมีบุคสพับลิเคชั่นส. [2] Frankz Embacher and Hans Humenberger. (2019, November). “Iteration circummedial triangles,” The Mathematical Gazette. (103), 480-487. [3] Hans Humenberger. ( 2020, March) . “Finding triangles with given circum-medial triangle,” The Mathematical Gazette. (104), 164-168 [4] Liang-shin Hahn. (1994). Complex numbers and geometry. Washington,D.C. : Mathematical Association of America. [5] Ray Li. (2017,June 29). Power of Point. Retrieved March 1, 2021, from http://theory.stanford.edu/~rayyli/static/contest/lectures/Ray Li pop.pdf