STATISTIK SPP3073 1 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT TOPIK 4 UKURAN PENYEBARAN DAN KEPENCONGAN OBJEKTIF Objektif am Mempelajari dan memahami tentang bentuk taburan sesuatu data. Objektif khusus Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:- ❖ Memberikan definisi kepada ukuran penyebaran. ❖ Mengukur kadar serakan bagi data dengan menggunakan sisihan purata, sisihan piawai dan angkali ubahan. ❖ Menunjukkan kegunaan dan sifat- sifat ukuran penyebaran tersebut.
STATISTIK SPP3073 2 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT INPUT UKURAN PENYEBARAN DAN KEPENCONGAN 4.0 Pengenalan Dalam Unit 3, di dapati bahawa nilai-nilai seperti min, median dan mod adalah nilai yang merupakan pemusatan bagi satu-satu set data yang diperolehi. Oleh kerana ia hanya berfungsi untuk menunjukkan pusat bagi taburan data, ia tidak dapat memberi gambaran tentang bentuk taburan bagi sesuatu set data. Oleh yang demikian bagi memahami tentang bentuk sesuatu set data, kita perlu mengukur taburan-taburan data tadi. Jadi di dalam Unit 4 ini kita akan mengetahui cara-cara pengukuran dibuat dan seterusnya dapat membandingkan tentang sebaran bagi beberapa kumpulan data. 4.1 Definisi ukuran penyebaran / serakan Penyebaran ialah satu serakan data dalam suatu taburan, iaitu sejauhmana pencerapan bertabur. Perhatikan Rajah 4.1, serakan keluk A lebih luas berbanding keluk B. Rajah 4.1 Perbandingan serakan dua keluk Kaedah-kaedah yang biasa digunakan untuk mengukur ukuran penyebaran ialah ukuran jarak dan ukuran sisihan.
STATISTIK SPP3073 3 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Ukuran jarak bermaksud bahawa penyebaran boleh dihuraikan dari segi jarak di antara nilai-nilai data itu. Ukuran yang biasa digunakan adalah julat, julat antara kuartil dan sisihan kuartil. Ukuran sisihan pula ialah perbezaan antara dua nilai. Ukuran sisihan terdiri dari sisihan purata atau min, varian dan sisihan piawai dan angkali ubahan.. 4.2 Kadar Serakan Data Menggunakan Sisihan Purata, Sisihan Piawai dan angkali Ubahan 4.2.1 Julat Julat = Cerapan terbesar – cerapan terkecil Contoh 4.1 Data tidak tersusun Cari julat bagi data berikut : 4,6,7,8,2,11,15,10 Penyelesaian Julat = 15 – 12 = 13 Contoh 4.2 Cari julat bagi data tersusun berikut: Kelas Kekerapan 12-14 12 15-17 23 18-20 14 21-23 15 24-26 10 Jadual 5.1
STATISTIK SPP3073 4 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Penyelesaian Julat = nilai kelas terbesar – nilai kelas terendah = 26-12 = 14 4.2.2 Julat Antara Pesuku (Kuartil) Julat antara kuartil adalah perbezaan di antara kuartil ketiga (Q3) dan kuartil pertama(Q1). 4.2.3 Sisihan Kuartil/pesuku 4.2.4 Sisihan Purata / Min Sisihan purata adalah min aritmatik bagi menilai sisihan mutlak daripada min atau median. Untuk pengiraan selanjutnya sisihan purata boleh digunakan dalam 2 keadaan iaitu data tidak tersusun dan data tersusun Data tidak tersusun Formula Sisihan min = n x − x Julat antara kuartil = Q3 – Q1 3 – Q1 Sisihan Kuartil = ½ ( Q3 – Q1 )
STATISTIK SPP3073 5 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Contoh 4.3 Cari nilai sisihan min bagi data berikut : 2,9,6,5,8 Penyelesaian: x = 5 2 + 9 + 6 + 5 + 8 = 6 Sisihan min = n x − x = 5 2 − 6 + 9 − 6 + 6 − 6 + 5 − 6 + 8 − 6 = 5 4 + 3 + 0 +1+ 2 = 5 10 = 2
STATISTIK SPP3073 6 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Sisihan Min = ( f x x ) f − 1 Data Tersusun Formula Contoh 4.4 Cari sisihan min bagi taburan kekerapan berikut: Kelas Kekerapan 1-5 4 6-10 4 11-15 20 16-20 10 21-25 2 Jadual 4.2 Penyelesaian Kelas Kekerapan Titik Tengah fx fx-x 1-5 4 3 12 41 6-10 4 8 32 21 11-15 20 13 260 5 16-20 10 18 180 47.5 21-25 2 20 46 13.5 f=40 530 134 Jadual 4.3 f fx x = = 40 530 = 13.25 Sisihan Min = ( f x x ) f − 1 = (134) 140 1 = 3.35 Kesimpulan : Semakin besar nilai sisihan piawai semakin besar serakan dan semakin kecil nilai sisihan piawai semakin kecil serakan. Sebaran yang lebih baik adalah sebaran yang lebih kecil
STATISTIK SPP3073 7 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT 4.2.5 Varians dan sisihan piawai Formula Varians Data tidak tersusun ( ) 1 1 2 − − − n xi x n n atau ( ) − − = 2 2 2 1 1 n x x n s Data Tersusun / Terkumpul ( ) − = − 2 2 1 1 s f x x f atau ( ) − − = f fx fx f s 2 2 2 1 1 Sisihan Piawai Data tidak tersusun S = ( ) 1 2 − − n x x atau S = ( ) − − n x x n 2 2 1 1 Data tersusun / terkumpul S = ( ) − − 2 1 1 f x x f atau S = ( ) − − f fx fx f 2 2 1 1
STATISTIK SPP3073 8 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Data tidak tersusun Contoh 4.5 5 2 1 7 Kaedah 1 (Bagi mengira varians dan sisihan piawai ) x = 5+2+1+7 4 = 15 4 = 3.75 (a) Varians s² = ( ) 1 1 2 − − − n xi x n n = (5-3.75) ² + (2-3.75) ² + (1-3.75) ² + (7-3.75) ² 4-1 = 1.56 + 3.06 + 7.56 +10.56 3 = 22.75 3 = 7.58 (b) Sisihan piawai S = 2 s s = ( ) 1 2 − − n x x = 7.58 = 2.75
STATISTIK SPP3073 9 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Kaedah 2 (Bagi mengira varians dan sisihan piawai) Contoh 4.6 x x² 5 25 2 4 1 1 7 49 =15 =79 Jadual 4.4 (a) varians (b) Sisihan piawai ( ) − − = 2 2 2 1 1 n x x n s S = ( ) − − n x x n 2 2 1 1 = ( ) − − 4 15 79 4 1 1 2 = 7.58 = ( ) − 4 225 79 3 1 = 2.75 = 79 56.25 3 1 − = 7.58 Data tersusun Kaedah 1 Contoh 4.7 Kelas Kekerapan Titik tengah fx (x − x) (x-x)² F(x-x) ² 5-9 3 7 21 -19.86 -394.42 1183.26 10-14 7 12 84 -14.86 -220.82 1545.74 15-19 11 17 187 -9.86 97.22 1069.42 20-24 18 22 396 -4.86 23.62 425.16 25-29 28 27 756 0.14 0.02 0.56 30-34 17 32 544 5.14 26.42 449.14 35-39 14 37 518 10.14 102.82 1439.48 40-44 3 42 126 15.14 229.22 687.66 45-49 4 47 188 20.14 405.62 1622.48 =105 =2820 =2820 Jadual 4.5
STATISTIK SPP3073 10 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Cari nilai a) min = f fx x = = 105 2820 = 26.86 b)Varians = ( ) − = − 2 2 1 1 s f x x f = (8422.9) 150 1 1 − = 80.99 c) Sisihan Piawai = s = ( ) − − 2 1 1 f x x f = 80.99 = 8.9 = 9.0 Kaedah 2 Varians = ( ) − − = f fx fx f s 2 2 2 1 1 Sisihan piawai = s= ( ) − − f fx fx f 2 2 1 1
STATISTIK SPP3073 11 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Contoh 4.8 Kelas Kekerapan Titik tengah x² fx fx² 5-9 3 7 49 21 147 10-14 7 12 144 84 1008 15-19 11 17 289 187 3179 20-24 18 22 484 396 8712 25-29 28 27 729 756 20412 30-34 17 32 1024 544 17408 35-39 14 37 1369 518 19166 40-44 3 42 1764 126 5259 45-49 4 47 2209 188 8836 =105 =2820 =84160 Jadual 4.6 Varians = ( ) − − = f fx fx f s 2 2 2 1 1 = ( ) − − 105 2820 84160 105 1 1 2 = 80.99 sisihan piawai = s = ( ) − − f fx fx f 2 2 1 1 = 80.99 = 8.9 = 9.0 4.2.6 Angkali /Pekali Ubahan/ Koefisien Variasi Merupakan satu ukuran yang lebih sesuai untuk membandingkan serakan beberapa kumpulan data dengan min yang berbeza. Kegunaan sisihan piawai kurang sesuai untuk bandingan ini. Formula Angkali ubahan cv = sisihan piawai x100 Min Data yang mempunyai angkali ubahan yang kecil adalah lebih konsisten.
STATISTIK SPP3073 12 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Contoh 4.9 Adam boleh menaip 40 perkataan dalam 1 minit dengan sisihan piawai 5. Manakala Imran boleh menaip 160 dalam minit dengan sisihan piawai 10. Jurutaip yang manakah yang menunjukkan prestasi yang lebih konsisten? CV = x100 x s Adam = 100 40 5 x Imran = 100 160 10 x = 12.5% = 6.25% Kesimpulan: Ini menunjukkan Imran mempunyai variasi hasilan yang lebih tinggi daripada Adam. Variasi relatif yang lebih kecil kerana min bagi Imran adalah 4 kali lebih besar bagi min bagi Adam. Contoh 4.10 En. Nasrul dan En.Hanif telah membuat pelaburan masing-masing dan keuntungan yang diperolehi bagi 4 bulan lepas adalah seperti berikut: Bulan Untung 1 2 3 4 Nasrul 260 240 250 250 Hanif 400 100 500 0 Jadual 5.7 Cari pekali ubahan bagi Encik Nasrul dan En.Hanif En.Nasrul En.Hanif Min = 260+240+250+250 Min = 400+100+500+0 4 4 = RM 250.00 = RM 250.00 x x² x x² 260 67600 400 160000 240 57600 100 10000 250 62500 500 250000 250 62500 0 0 1000 250200 1000 420000
STATISTIK SPP3073 13 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT Encik Nasrul S = ( ) − − n x x n 2 2 1 1 = ( ) − − 4 1000 250200 4 1 1 2 = − 4 1000000 250200 3 1 = 66.67 = 8.17 cv = 100 250 8.17 X Encik Hanif S = ( ) − − n x x n 2 2 1 1 = ( ) − − 4 1000 420000 4 1 1 2 = (420000 250000 ) 3 1 − = 56666 = 238.04 cv = 100 250 238.04 X = 95.22%
STATISTIK SPP3073 14 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT 4.3 Kegunaan dan sifat-sifat ukuran penyebaran a. Ia dapat membantu bagi mendapatkan maklumat lanjut yang membolehkan kita membuat pengadilan tentang mod, min dan median yang diperolehi. Jika data data tersebut tersebar dengan luas nilai ukuran memusat tadi dianggap kurang mewakili data-data. Hanya data yang kecil sebarannya yang benar-benar mengiktiraf kejituan nilai-nilai memusat tadi. b. Bagi data-data yang benar-benar luas sebarannya, pengamatan perlu dilakukan dengan berhati-hati sebelum menyelesaikan masalah yang selanjutnya. c. Ukuran penyebaran bertujuan untuk membandingkan sebaran bagi beberapa sampel dan seterusnya memilih sampel yang mempunyai sebaran yang kecil dan meninggalkan sampel yang mempunyai sebaran yang besar. d. Nilai yang melampau bagi satu-satu data sangat mempengaruhi nilai sisihan piawai. e. Sisihan piawai adalah berguna untuk menunjukkan sejauh manakah setiap nilai berkedudukan jauh daripada min, bagi satu-satu taburan.
STATISTIK SPP3073 15 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT AKTIVITI 4a Jawab soalan-soalan di bawah bagi menguji kefahaman anda. Semak jawapan pada maklum balas pada halaman berikutnya. 4.1 Berikan difinisi ukuran penyebaran ( 2 markah) 4.2 Berdasarkan data 4 6 8 9 11 cari nilai : a. Min (2 markah) b. Varian (4 markah) c.Sisihan Piawai (2 markah) 4.3 Cari nilai 1, 3, 5, 6 dan 8 a. Min (2 markah) b. Varians (4 markah) c. Sisihan Piawai (2 markah) 4.4 Berikut merupakan perbelanjaan 50 keluarga terhadap sayuran dalam sebulan di bandaraya Kuching. Belanja (RM) Keluarga 9.50 – 21.50 3 21.50 – 33.50 7 33.50 – 45.50 12 45.50 – 57.50 13 57.50 – 69.50 11 69.50 – 81.50 4 Anda dikehendaki mencari: a. Sisihan Min (6 markah) b. Varian (6 markah) c. Sisihan piawai (3 markah)
STATISTIK SPP3073 16 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT 4.5 Cari sisihan piawai bagi taburan kekerapan berikut: Kelas 0-4 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29 Kekerapan 3 8 15 12 10 2 (10 markah) 4.6 Encik Hisham dan Encik Rawi telah membuat pelaburan masing-masing dan keuntungan yang diperolehi bagi 4 bulan lepas adalah seperti berikut Bulan Untung 1 2 3 4 Hisham 260 240 250 250 Rawi 400 100 500 0 Dengan menggunakan formula s = ( ) 1 2 − − n x x bagi sisihan piawai dapatkan pekali ubahan bagi Encik Hisham dan Encik Rawi. (8 markah)
STATISTIK SPP3073 17 UKURAN PENYEBARAN | KOLEJ KOMUNITI KUALA LANGAT PENILAIAN KENDIRI Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan pada maklum balas yang disediakan. 1 Data di bawah merujuk kepada umur dan bilangan pesakit-pesakit darah tinggi di sebuah hospital. Umur Bilangan 55-58 11 59-62 15 63-66 22 67-70 10 71-74 15 75-78 7 Kirakan a. Sisihan purata b. Sisihan piawai (25 markah) 2. Berikut merupakan data-data berkaitan umur dan bilangan penumpang sebuah teksi dalam masa satu minggu di bandar Ipoh. Umur (tahun) Bilangan 5-9 3 10-14 7 15-19 11 20-24 18 25-29 28 30-34 17 35-39 14 40-44 8 45-49 4 Anda dikehendaki mengira a. sisihan min b. sisihan piawai c. pekali ubahan (25 markah)