STATISTIK SPP 3073 UNIT 3 UKURAN KECENDERUNGAN MEMUSAT OBJEKTIF Objektif am Mempelajari dan memahami penggunaan ringkasan statistik dalam memerihalkan suatu set data. Objektif khusus Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:- Memberikan definisi ukuran kecenderungan memusat. Mengira min (purata) menggunakan kaedah biasa dan koding. Menerangkan ciri-ciri, kebaikan dan keburukan min sebagai ukuran kecenderungan memusat. Mengira median dan mod menggunakan kaedah biasa, kaedah histogram dan juga rumusan empirikal. Membuat intepretasi berdasarkan min, median dan mod. Menganalisis hubungan empirik antara min, median dan mod.
STATISTIK SPP 3073 INPUT UKURAN KECENDERUNGAN MEMUSAT 3.0 Pengenalan Dalam Bab 2, anda telah membentuk jadual dan graf daripada data mentah. Walaubagaimana pun dalam kebanyakan kes, kita memerlukan ukuran yang lebih tepat. Oleh itu kita boleh menggunakan satu nombor yang disebut ringkasan statistik untuk perihalkan ciri-ciri sesuatu set data. Dua daripada ciri-ciri tersebut penting kepada pembuat keputusan iaitu i. Ukuran kecenderungan memusat ii. Ukuran penyebaran 3.1 Definisi ukuran kecenderungan memusat Ukuran kecenderungan memusat adalah suatu nilai pusat (titik tengah) yang dapat mewakili keseluruhan nilai data. Dengan mengetahui nilai-nilai pusat sesuatu data, suatu gambaran yang lebih baik tentang ciri-ciri populasi yang dimaksudkan dapat diketahui. Ukuran kecenderungan memusat juga disebut sebagai ukuran lokasi. Ukuran kecenderungan memusat yang sering digunakan ialah min, median dan mod. 3.2 Min Min adalah satu daripada kaedah yang digunakan untuk mengukur kecenderungan memusat. Di dalam penggunaan harian, ia dikenali sebagai purata atau hitung panjang. Penentuan nilai min boleh diperolehi dari; i. Data tidak tersusun ( data mentah) ii. Data tersusun
STATISTIK SPP 3073 Min ( x ) = n x N I i 1 n = bilangan data = jumlah semua nilai Data tidak tersusun Data-data yang diperolehi daripada penyelidikan atau pengamatan tidak disusun dengan baik. Min boleh diperolehi dengan cara menjumlahkan semua nilai data dan kemudian dibahagikan dengan bilangannya. Min = X = Jumlah semua nilai data Bilangan data Contoh 3.1 Katakan data tersebut X1, X2 dan X3 Maka min = X1 + X2 + X3 3 Secara ringkas, mengikut kaedah penjumlahan rangkaian di atas dapat dirumuskan seperti berikut Data tidak tersusun Formula : Cari nilai min untuk data-data berikut : 8, 7, 5, 9, 11 Penyelesaian : Min = n x N I i 1 = 5 8 7 5 9 11 = 8
STATISTIK SPP 3073 Data Tersusun Data tersusun ialah data mentah yang telah diringkaskan ke dalam suatu jadual kekerapan Kaedah biasa Formula : Dengan f i sebagai kekerapan kelas ke – i dan x i sebagai tanda kelas atau titik kelas ke - i Contoh 3.3 Markah Kekerapan ( Bilangan pelajar ) 1 – 10 2 11 – 20 14 21 – 30 18 31 – 40 4 41 – 50 3 Jadual 3.1 : Markah yang diperolehi oleh 41 orang pelajar dalam sebuah kelas Penyelesaian : Markah Kekerapan Titik Tengah f x 0 – 10 2 5.5 11 11 – 20 14 15.5 217 21 – 30 18 25.5 459 31 – 40 4 35.5 142 41 – 50 3 45.5 136.5 f = 41 = 965.5 Jadual 3.2 : Markah yang diperolehi oleh 41 orang pelajar dalam sebuah kelas. Min ( x ) = n i i n i i i f f x 1 1
STATISTIK SPP 3073 Min = n i i n i i i f f x 1 1 = 41 965.5 = 23..55
STATISTIK SPP 3073 Ringkasnya dapat digambarkan Min boleh diperolehi dari; i. Data tidak tersusun ii. Data tersusun FORMULA a. Data tidak tersusun i. Kaedah biasa Min = n x N I i 1 ii. Kaedah koding Min = A + f fd b. Data tersusun i Kaedah biasa Min = x = n i i n i i i f f x 1 1
STATISTIK SPP3073 3.3 Ciri-ciri, kebaikan dan keburukan min sebagai ukuran kecenderungan 3.3.1 Ciri-ciri min a. Jumlah selisih diantara pembolehubah dengan min ialah kosong 0 1 n i xi x Contoh 3.7 i x xi x 9.00 7 2 3.00 7 - 4 6.00 7 - 1 10.00 7 3 4 i 1 xi = 28.00 0 N I xi x 1 Min = 7 4 28 4 4 1 i xi b. Nilai min adalah terlalu sensitif terhadap sesuatu nilai yang melampau (ekstrim) c. Min digunakan untuk menentukan jumlah nilai yang sebenar, seperti jumlah jualan dan sebagainya. Ini didapati bila pada awalnya min jualan bagi sampel telah didapati ; katakan min = $50 juga bilangan sampel diketahui, katakan n = 300. Jumlah jualan adalah = 300(50) = $15 000 3.3.2 Kebaikan /kelebihan min. Min aritmatik sebagai nombor tunggal yang mewakili keseluruhan set data mempunyai kelebihan penting iaitu; a. Ia adalah satu ukuran yang mudah dikira dan ianya unik kerana setiap set data hanya mempunyai satu min sahaja. b. Ia boleh ditentukan walaupun hanya bilangan cerapan dan jumlah bilangan cerapan tersebut diketahui.
STATISTIK SPP3073 3.3.3 Keburukan / kelemahan min a. Nilai min mudah dipengaruhi oleh nilai ekstrim. Contoh 3.8 Perhatikan bahawa jika masa 7 orang ahli pasukan trek dalam acara lumba lari satu batu adalah seperti berikut: Ahli 1 2 3 4 5 6 7 Masa dalam minit 4.2 4.3 4.7 4.8 5.0 5.1 9.0 Min = N x = 4.2 + 4.3 + 4.7 + 4.8 + 5.0 + 5.1 + 9.0 7 = 5.3 minit Walau bagaimanapun jika masa dikira bagi enam ahli pertama sahaja dengan menyingkir nilai 9.0 (nilai ekstrim) jawapannya Min = 4.2 +4.3 + 4.7 + 4.8 + 5.0 + 5.1 6 = 4.68 Satu nilai ekstrim 9.0 telah merubah nilai yang diperolehi bagi min. b. Kita tidak dapat mengira min bagi satu set data yang mempunyai kelas hujung terbuka pada samada hujung atas atau hujung bawah skala Contoh 3.9 Andaikan adanya kelas hujung terbuka “5.4 dan ke atas”. Tidak ada jalan bagi kita untuk mengetahui samada nilai tersebut ialah 5.4, hampir 5.4 atau lebih tinggi daripada 5.4. c. Nilai min yang didapati mungkin tidak mewakili langsung akan nilai yang sebenar. d. Kemungkinan didapati perbezaan nilai, jika kita menggunakan kaedah-kaedah bagi data-data tersusun dan tidak tersusun.
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 3 a Jawab soalan di bawah bagi menguji kefahaman anda. Semak jawapan pada maklum balas di halaman berikutnya 3.1 Apakah yang dimaksudkan dengan ukuran kecenderungan memusat? (2 markah) 3.2 Cari Min bagi taburan kekerapan berikut : a X 3 4 5 6 7 F 4 7 7 9 3 (2 markah) b X 2.1 2.6 3.1 3.6 4.1 4.6 F 2 3 8 20 12 5 (2 markah) c X 8 10 12 14 16 F 2 6 18 11 3 (2 markah) 3.3 Cari Min bagi taburan kekerapan berikut : a Kelas 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12 13 – 15 16 – 18 Kekerapan 1 6 15 12 5 1 (2 markah) b Kelas 10 – 13 14 – 17 18 – 21 22 – 25 26 – 29 30 – 33 34 – 37 Kekerapan 5 12 15 11 4 2 1 (2 markah) 3. 4 Terangkan dua kelebihan min dan satu kelemahan min . (3 markah)
STATISTIK SPP3073 INPUT 3.4 Median dan Mod 3.4.1 Median Median atau penengah ialah nilai ditengah-tengah nombor bagi susunan nombor yang bertertib. Median juga adalah satu nilai yang membahagikan satu siri yang berjujukan kepada dua bahagian yang sama, iaitu 50 % nilai terendah daripada median dan 50 % lagi adalah nilai yang lebih besar daripada median. Data tidak tersusun Formula : Untuk mendapatkan nilai median , ia bergantung kepada samada data tersebut telah tersusun atau belum. Bagi data yang belum tersusun ( tanpa kelas ) nilai median dapat dicari dengan mudah kerana kita perlu mencari nilai median sahaja. Median = 2 n 1
STATISTIK SPP3073 Contoh 3.10 Jika n ganjil 4, 20, 6, 12, 8, 26, 21 Langkah-langkahnya ialah: a. Data disusun mengikut tertib : 4, 6, 8, 12, 20, 21, 26. b. Tentukan kedudukan median Median = n + 1 2 = 7 + 1 2 = 4 ( kedudukan : iaitu cerapan keempat) Median = 12 Contoh 3.11 Jika n genap 4, 6, 8, 12, 20, 21. Median = 2 6 1 = 3.5 ( kedudukan ) iaitu di antara cerapan ke 3 dan cerapan ke 4. Median = 2 8 12 = 10 Median data tersusun Formula : Median = m m i f f f Lm 1 2 . C fi - Jumlah kekerapan Lm - Sempadan bawah kelas median fm - Kekerapan data kelas yang mengandungi median fm 1 - Kekerapan terkumpul kelas-kelas sebelum kelas yang mengandungi median C - Saiz kelas median
STATISTIK SPP3073 Contoh 3.12 Kelas Kekerapan Kekerapan melonggok 0 –4 3 3 5 – 9 4 7 10 – 14 5 12 15 – 19 3 15 20 – 24 3 18 25 – 29 1 19 Jadual 3.7: Taburan Kekerapan Kelas median = 2 19 2 f = 9.5 (kedudukan) Median = m m i f f f Lm 1 2 . C = .5 5 9.5 7 9.5 = 9.5 + 2.5 = 12
STATISTIK SPP3073 3.4.2 Mod Mod ialah bilangan kekerapan yang tertinggi. Mod data tidak tersusun Contoh 3.13 1, 2, 4, 2, 3, 2, 5, 1, 3, 3, 3 Mod = 3 Mod data tersusun Formula : Mod = 1 2 1 Lb .C Lb - Sempadan bawah kelas mod 1 - Kekerapan kelas mod dengan kekerapan sebelum kelas mod 2 - kekerapan kelas mod dengan kekerapan selepas kelas mod C - Jeda Contoh 3.14 Kelas umur Bilangan rumah (Kekerapan) 0 – 4 3 5 – 9 4 10 – 14 5 15 – 19 3 20 – 24 3 25 – 29 1 Jadual 3.8 Mod = 1 2 1 Lb .C 1 2 1 9.5 .5 = 9.5 + ( 0.3 x 5 ) = 11. 17 5
STATISTIK SPP3073 Contoh 3.15 Kelas Kekerapan 1.0 – 1.4 2 1.5 – 1.9 6 2.0 – 2.4 12 2.5 – 2.9 25 3.0 – 3.4 4 3.5 – 3.9 3 Jadual 3.9 1 2 1 Lb .C 13 21 13 2.45 0.5 = 2.64
STATISTIK SPP3073 3.4.3 Menganggar Nilai Median Dan Mod Dengan Menggunakan Kaedah Histogram Jika histogram hendak digunakan untuk mendapatkan median dan mod, kelas median dan kelas mod hendaklah ditentukan dahulu. Mod Dengan menggunakan histogram, mod amat mudah di cari, dimana nilai mod didapati dengan menentukan titik persilangan pepenjuru histogram bagi kelas mod dengan kelas-kelas sebelum dan selepas kelas histogram. Contoh 3.16 Kelas umur Sempadan kelas Bilangan rumah (Kekerapan) 0 – 4 0 – 4.5 3 5 – 9 4.5 – 9.5 4 10 – 14 9.5 – 14.5 5 (kelas mod) 15 – 19 14.5 –19.5 3 20 – 24 19.5 – 24.5 3 25 – 29 24.5 – 29.5 1 Jadual 3.10 Jadual bilangan rumah yang berkaitan dengan umur rumah Bilangan rumah dan jangkahayat rumah 3 4 5 3 3 1 0 1 2 3 4 5 6 1 jangkahayat rumah Bilangan rumah Rajah 3.1 Histogram bagi bilangan rumah dan jangkahayat rumah
STATISTIK SPP3073 Median Jika histogram hendak digunakan untuk mendapatkan median, kita perlu menentukan terlebih dahulu kelas median. Kemudian barulah dibuat pengiraan agar kedudukan median dapat di ketahui dengan sebenar. Contoh 3.17 Kelas umur Sempadan kelas Bilangan rumah (Kekerapan) 0 – 4 0 – 4.5 3 5 – 9 4.5 – 9.5 4 10 – 14 9.5 – 14.5 *kelas median 5 15 – 19 14.5 –19.5 3 20 – 24 19.5 – 24.5 3 25 – 29 24.5 – 29.5 1 Jadual 3.11 Jadual bilangan rumah yang berkaitan dengan umur rumah Bilangan rumah dan jangkahayat rumah 3 4 5 3 3 1 0 1 2 3 4 5 6 1 jangkahayat rumah Bilangan rumah Rajah 3.2 Histogram bagi bilangan rumah dan jangkahayat rumah
STATISTIK SPP3073 Jadi dimanakah kedudukan sebenarnya titik median pada rajah histogram di atas? Ia dapat dikira berpandukan Rajah 3.3 dan Rajah 3.4 Rajah 3.3 digunakan untuk mendapatkan median dari sempadan bawah kelas median tesebut. Rajah 3.4 pula digunakan untuk mendapatkan median dari sempadan atas kelas median. 7 unit rumah terletak 7 unit rumah terletak dibawah kelas ini di atas kelas ini f = 5 jeda = 5 2.5 2.5 9.5 12 14.5 sempadan bawah 9.5 unit rumah terletak sempadan atas bagi kelas median dibawah/atas umur ini bagi kelas median Rajah 3.3 Sebagaimana diketahui 7 unit terletak di bawah kelas median, ia memerlukan 2.5 unit lagi dari kelas median, berapa bahagiankah daripada lebar bar tersebut yang akan diambil untuk mendapatkan kelas median: 5 unit = 5 bahagian ( jeda kelas ) 2.5 unit = 5 x 2.5 bahagian 5 (kekerapan) = 2.5 bahagian Jadi median ialah 9.5 + 2.5 = 12
STATISTIK SPP3073 Proses yang sama dapat dilihat dari bahagian yang tertinggi iaitu: 7 unit rumah terletak 7 unit rumah terletak dibawah kelas ini di atas kelas ini f = 5 jeda = 5 2.5 2.5 9.5 12 14.5 sempadan bawah 9.5 unit rumah terletak sempadan atas bagi kelas median dibawah/atas umur ini bagi kelas median Rajah 3.4. Sebagaimana diketahui 7 unit terletak di atas kelas median, ia memerlukan 2.5 unit lagi dari kelas median untuk mendapatkan nilai median. Berapa bahagiankah yang dikurangkan ? Prosesnya sama seperti apa yang telah dilakukan dari awal tadi. 5 unit = 5 bahagian ( jeda kelas ) 2.5 unit = 2.5 x 5 bahagian 5 ( kekerapan ) = 2.5 bahagian Jadi median = 14.5 – 2.5 = 12
STATISTIK SPP3073 3.4.4 Mengira median dan mod menggunakan rumus empirikal Formula: Mod = Min – 3 ( Min – Median) Contoh 3.18 Diberi nilai min 90 dan median 100, dapatkan nilai bagi mod. Mod = min – 3 ( min – median ) = 90 – 3 ( 90 – 100) = 90 – 3 ( – 10 ) = 120 Contoh 3.19 Diberi nilai min 90 dan mod 120, dapatkan nilai median. Mod = min – 3 ( min – median ) 3 (min – median ) = min – mod 3 ( 90 – median ) = 90 – 120 270 - 3 median = 90-120 -3 median = 90 – 120 - 270 -3 median = -300 median = -300 -3 median = 100
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 3b 3.5 Cari Median bagi data-data berikut : a. 17, 21, 29, 8, 16, 10, 19 (2 markah) b. 6.21, 6.30, 6.44, 6.12, 6.52, 6.08, 6.24 (2 markah) c. Kelas 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 100 – 199 200 – 299 Kekerapan 6 8 12 15 9 5 (2 markah) d. Kelas 118-126 127-135 136-144 145-153 154-162 163-171 172-180 Kekerapan 3 5 9 10 5 6 2 (2 markah) 3.6 Cari Mod untuk data-data yang berikut : a. -0.6, -0.7, -0.8, -0.6, -0.6, -0.9, 0.8, 0.8, -0.6, -0.6 (2 markah) b. Kelas Kekerapan 1 – 1.4 2 1.5 – 1.9 6 2 – 2.4 12 2.5 – 2.9 25 3 – 3.4 8 3.5 – 3.9 3 (2 markah) c. Kelas Kekerapan 0 – 2 22 3 – 5 39 6 – 8 36 9 – 11 20 12 – 14 12 15 - 17 14 (2 markah)
STATISTIK SPP3073 INPUT 3.5 Intepretasi berdasarkan min, mod dan median Untuk mengintepretasikan min, med dan mod , kita akan merujuk kepada contoh yang berkaitan dengan jumlah perbelanjaan yang di lakukan oleh 40 orang pekerja sebuah syarikat dalam tempoh sebulan. Intepretasi berkaitan dengan min, median dan mod akan lebih jelas jika dirujuk kepada rajah 3.5 (a) dan Rajah 3.5 (b) . (Bil pekerja) mod. med min Jumlah perbelanjaan (RM) RM930 RM955 RM968 Rajah 3.5 (a ) : Taburan memencong positif Rajah 3.5 (a) min, median dan mod bagi jumlah perbelanjaan 40 orang pekerja sebuah syarikat dalam tempoh sebulan Min – Min perbelanjaan sebanyak RM 968 menunjukkan bahawa purata jumlah perbelanjaan oleh 40 orang pekerja di sebuah syarikat ialah RM 968. Bermakna kita mempunyai satu ukuran gelagat kesemua pekerja di syarikat tersebut dalam tempoh satu bulan. Median – Didapati bahawa 50% daripada pekerja berbelanja sebanyak RM 955 ke atas dan 50% lagi berbelanja RM 955 ke bawah. Mod - Kekerapan jumlah perbelanjaan yang paling tinggi ialah RM 930. Bermakna lebih ramai pekerja yang bebbelanja sebanyak RM 930 dalam tempoh sebulan.
STATISTIK SPP3073 Kesimpulan Dari Rajah 3.5 (a) didapati nilai ~ . Ini bermakna data-data mempunyai taburan yang tertumpu di bahagian nilai yang lebih rendah dan kurang di bahagian nilai yang lebih tinggi. Bermakna bilangan pekerja yang berbelanja lebih daripada RM 955 adalah lebih kecil berbanding yang berbelanja kurang daripada RM 955. Oleh itu untuk situasi ini taburan yang berbentuk pencong positif adalah baik kerana pekerja tidak ramai yang boros berbelanja. (bil pekerja) Min = med = mod Jumlah perbelanjaan (RM) RM930 RM955 RM968 Rajah 3.5 (b): Taburan pencong negatif Rajah 3.5 (b) min, median dan mod bagi jumlah perbelanjaan 40 orang pekerja sebuah syarikat dalam tempoh sebulan Min – Min perbelanjaan sebanyak RM 930 menunjukkan bahawa purata jumlah perbelanjaan oleh 40 orang pekerja di sebuah syarikat ialah RM 930. Bermakna kita mempunyai satu ukuran gelagat kesemua pekerja di syarikat tersebut dalam tempoh satu bulan. Median – Didapati bahawa 50% daripada pekerja berbelanja sebanyak RM 955 ke atas dan 50% lagi berbelanja RM 955 ke bawah. Mod - Kekerapan jumlah perbelanjaan yang paling tinggi ialah RM 968. Bermakna lebih ramai pekerja yang bebelanja sebanyak RM 968 dalam tempoh sebulan. Kesimpulan Dari Rajah 3.5 (b)didapati nilai ~ . Ini bermakna data-data mempunyai taburan yang tertumpu di bahagian nilai yang lebih tinggi dan kurang di bahagian nilai yang lebih rendah. Bermakna bilangan pekerja yang berbelanja lebih daripada RM 955 adalah lebih besar berbanding yang berbelanja kurang daripada RM 955. Oleh itu untuk situasi ini taburan yang berbentuk pencong negatif adalah kurang baik kerana pekerja lebih ramai yang boros berbelanja.
STATISTIK SPP3073 Daripada rajah 3.6 (a) didapati bahawa nilai mod < median < min ini menunjukkan bahawa data-data mempunyai sifat-sifat tertumpu di bahagian nilai yang lebih rendah dan kurang di bahagian yang tinggi. f ( x ) Min med mod x Rajah 3.6 (b) Daripada rajah 3.6 (b) didapati bahawa nilai min < median < mod. Ini menunjukkan bahawa data-data mempunyai sifat-sifat tertumpu di bahagian nilai yang lebih tinggi dan kurang di bahagian yang lebih rendah Untuk bentuk taburan sebegini kita boleh gunakan median atau mod sebagai ukuran penyebaran memusat kerana pengiraan secara min kurang tepat. f ( x ) mod = med = min x Rajah 3.6 ( c ) Daripada rajah 3.6 (c) ketiga-tiga nilai min = median = mod, ini menunjukkan bahawa taburan data seimbang, dimana ia tertumpu di bahagian tengah dan kurang di kedua-dua bahagian tinggi dan rendah. Taburan sebegini boleh dinamakan taburan mengikut taburan Normal. Jika taburan sedemikian rupa kita boleh menggunakan salah satu pengukuran memusat.
STATISTIK SPP3073 3.6 Hubungan empirik antara min, median dan mod Bagi suatu kumpulan data, min adalah nilai puratanya, median ialah nilai penengah manakala mod adalah nilai yang paling kerap berlaku. Jika nilai min, median dan mod mempunyai nilai yang sama maka taburan data tersebut berbentuk simetri. Sebaliknya jika nilai mod adalah lebih kecil daripada nilai median dan nilai min, taburan tersebut lebih berbentuk pencong ke kanan. Jika nilai mod adalah lebih besar berbanding dengan nilai median dan min maka taburan tersebut lebih berbentuk pencong ke kiri. Kedudukan min, median dan mod boleh diringkaskan seperti berikut : ( a ) Taburan simetri : min = median = mod ( b ) Taburan pencong ke kiri ( kepencongan negatif ) min ‹ median ‹ mod ( c ) Taburan pencong ke kanan ( kepencongan positif ) min > median > mod Mengikut persamaan, ketiga-tiga dapat ditunjukkan dengan persamaan seperti berikut : mod = Min - 3 ( Min - Median ) Jadi nilai bagi satu pengukuran akan diketahui sekiranya 2 lagi nilai diberi. Dari ketigatiga ukuran penyebaran tadi kita dapat menentukan bentuk taburan bagi sekumpulan data. Sila rujuk rajah 3.6 (a), (b), (c) di bawah F(x) Mod Med Min x Rajah 3.6 (a)
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 3c 3.7 a. Diantara min, median dan mod ukuran kecenderungan memusat yang manakah yang paling sesuai digunakan sekiranya taburan tersebut terpencong positif atau terpencong negatif? ( 1 markah ) b. Lakarkan taburan yang memencong i. positif ii. negatif iii. simetri (6 markah) 3.8 Bagaimanakah keadaan sekiranya sesuatu taburan itu pencong ke kanan dan pencong ke kiri? (4 markah)
STATISTIK SPP3073 PENILAIAN KENDIRI Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan. 1 Definisikan ukuran kecenderungan memusat. ( 2 markah ) 2 a. Pendapatan seminggu bagi 30 pekerja ACME Sdn. Bhd. dalam bulan Mac, 1998 (ringgit) 74 76 76 79 80 80 81 84 84 84 84 85 87 88 92 70 71 73 73 73 62 66 67 68 70 62 92 95 97 98 Anda dikehendaki : Carikan Min bagi data di atas (4 markah) b. Di bawah ini diberikan satu taburan kekerapan Kelas Kekerapan 5 – 9 2 10 – 14 8 15 – 19 20 20 – 24 12 25 – 29 6 30 – 34 2 Jumlah 50 Kirakan nilai Min dari taburan tersebut. (6 markah) 3 Terangkan 2 kelebihan min dan 2 kelemahan min. (4 markah) 4 a. Pendapatan seminggu bagi 30 pekerja ACME Sdn. Bhd. dalam bulan Mac, 1998 (ringgit) 74 76 76 79 80 80 81 84 84 84 84 85 87 88 92 70 71 73 73 73 62 66 67 68 70 62 92 95 97 98 Anda dikehendaki : i. Cari Median ii. Cari Mod (6 markah)
STATISTIK SPP3073 b. Di bawah ini diberikan satu taburan kekerapan Kelas Kekerapan 5 – 9 2 10 – 14 8 15 – 19 20 20 – 24 12 25 – 29 6 30 – 34 2 Jumlah 50 Kirakan nilai min dan median dari taburan tersebut. ( 8 markah) c. Jumlah pendapatan ( $ ) bagi 362 orang pensyarah di sebuah maktab dalam sebulan adalah seperti berikut : X 450 570 690 810 930 1050 1170 1290 1410 1530 F 21 26 32 49 63 60 42 42 15 12 Hitungkan : i. Min ii. Mod iii. Median dengan menggunakan rumus empirik (9 markah) 5 f ( x ) H I J x Dalam rajah di atas di beri nilai min adalah 80 dan median adalah 100. Apakah nilai J. ( 4 markah) 6 a. Apakah yang dimaksudkan dengan: i. Taburan simetri ii. Taburan pencong ke kiri / kepencongan negatif iii. Taburan pencong ke kanan / kepencongan positif. (6 markah)
STATISTIK SPP3073 INPUT 4.0 UKURAN KECENDERUNGAN MEMUSAT Kaedah-kaedah lain untuk menganalisa data diantaranya ialah pesuku, pemuluhan dan pemeratusan. Ketiga-tiga kaedah pengukuran ini membahagikan data kepada bahagianbahagian tertentu untuk penganalisaan lanjut. Kaedah ini memerlukan kumpulan data tersebut disusun mengikut jujukan terlebih dahulu. 4.1 Pesuku Satu kumpulan data yang telah disusun secara tertib boleh dibahagikan kepada empat bahagian yang sama iaitu terdiri dari nilai pesuku pertama ( Q1 ), nilai pesuku kedua (Q2) dan nilai pesuku ketiga (Q3), rujuk gambarajah 4.1. Gambarajah 4.1: kedudukan pesuku-pesuku Q1 : Pesuku pertama ialah satu nilai dengan 25% daripada data kurang daripadanya dan 75% data yang lain melebihinya. - Q1 adalah nilai yang ke 4 n 1 dalam suatu susun tertib. Q2 : Pesuku kedua atau median ialah suatu nilai dengan 50% daripada data kurang daripadanya dan 50% data yang lain melebihinya. - Q2 adalah nilai yang ke 2 4 n 1 dalam suatu susun tertib Q3 : Pesuku ketiga ialah suatu nilai dengan 75% daripada data kurang daripadanya dan 25% daripada data melebihinya. - Q3 adalah nilai yang ke 3 4 n 1 dalam suatu susun tertib QQ Q Q1 Q2 Q3
STATISTIK SPP3073 4.1.1 Pesuku -Data tidak tersusun Contoh 4.1 Berikut adalah jumlah keuntungan yang telah dibuat oleh sebuah syarikat yang menjual alat komputer pada tahun 2001. ( RM ribu ) 3.5, 4.5, 5.5, 0.5, 1.2, 3.2, 0.8, 0.7, 1.8, 2.2, 3.4, 0.1, 4.8, 5 Kirakan nilai pesuku pertama, pesuku kedua dan pesuku ketiga. Penyelesaian Berikut adalah jumlah keuntungan yang telah di susun tertib secara menaik. RM ribu 0.1 0.5 0.7 0.8 1 1.8 2 2.2 3.2 3.4 3.5 4.5 4.8 5 5.5 . Q1 Q2 Q3 Q1 ialah nilai ke 4 15 1 iaitu nilai ke 4 iaitu 0.8 RM ribu Q2 ialah nilai ke 2 4 15 1 iaitu nilai ke 8 iaitu 2.2 RM ribu Q3 ialah nilai ke3 4 15 1 iaitu nilai ke 12 iaitu 4.5 RM ribu
STATISTIK SPP3073 4.1.2 Pesuku – data tersusun Formula : Q1 = Lb1 + C f f Q BQ N 1 4 1 Q3 = L b 3 + C f f Q BQ N 3 3 4 3 L b 1 = Sempadan bawah bagi pesuku pertama L b 3 = Sempadan bawah bagi pesuku ketiga C = Jeda bagi kelas pesuku F Q 1 = Kekerapan kuartil pertama fBQ1 = Jumlah kekerapan sebelum pesuku pertama fQ3 = Kekerapan pada pesukul ketiga fBQ3 = Jumlah kekerapan sebelum pesuku ketiga Contoh 4.2 Berikut ialah permintaan keatas barangan mengikut jumlah hari . Tentukan nilai pesuku pertama, pesuku kedua dan pesuku ketiga. Hari Bilangan permintaaan Kekerapan Melonggok 0 – 4 2 2 5 – 9 4 6 10 – 14 5 11 15 – 19 3 14 20 – 24 3 17 25 – 29 1 18 Jadual 4.1
STATISTIK SPP3073 Penyelesaian : Kedudukan Q1 = N = 18 4 4 Kedudukan= ke 4.5 Q1 = Lb1 + C f f Q BQ N 1 4 1 = 4.5 + 2 5 4 4.5 = 4.5 + 3.13 = 7.63 Kedudukan Q3 = 3 N 4 = 3 18 4 Kedudukan = ke 3.5 Q3 = L b 3 + C f f Q BQ N 3 3 4 3 = 14.5 + 11 5 3 13.5 = 14.5 + 4.17 = 18.67
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 4a Uji kefahaman anda sebelum meneruskan input selanjutnya. Apabila selesai lihat maklum balas halaman berikutnya. 4.1 4 , 6 , 8 , 5 , 7, 9 , 12 , 15 , 19 , 20 dan 25 Berdasarkan data di atas kira nilai: i. Pesuku pertama (Q 1 ) ii. Pesuku kedua ( Q 2) iii. Pesuku ketiga (Q 3) (6 markah ) 4.2. Umur kekerapan Kekerapan melonggok 10 - 14 8 8 15 - 19 10 18 20 - 24 15 33 25 - 29 12 45 30 - 34 6 51 Data di atas menunjukkan umur orang dalam satu kumpulan. Cari nilai : i. Pesuku pertama (Q1) ii. Pesuku ketiga (Q3) ( 10 markah )
STATISTIK SPP3073 INPUT 4.2 Pemuluhan ( Desil ) : Satu kumpulan data yang telah disusun secara tertib dibahagikan kepada sepuluh bahagian yang sama rata. 4.2.1 Data tidak tersusun. D1 = N + 1 10 D2 = 2 10 N 1 D3 = 3 10 N 1 D4 = 4 10 N 1 D5 = 5 10 N 1 D6 = 6 10 N 1 D7 = 7 10 N 1 D8 = 8 10 N 1 D9 = 9 10 N 1 Contoh 4.3 2 , 6, 7, 7 , 3 , 3 , 8 , 10 dan 13 Berdasarkan data di atas kira nilai: i. Pemuluhan 2 ii. Pemuluhan 5 iii Pemuluhan 7
STATISTIK SPP3073 Penyelesaian: Susun data mengikut tertib 2, 3, 3, 6, 7, 7, 8, 10, 13 i. D2 = 2 10 N 1 2 10 9 1 kedudukan ke = 2 = 3 ii. D5 = 5 10 N 1 2 10 9 1 kedudukan ke = 5 = 7 iii D 7 = 7 10 9 1 kedudukan ke = 7 = 8 4.2.2 Data tersusun : C f k f D L D BD N B 1 10 1 ( ) 1 1 LB1 = sempadan kelas bawah kelas persepuluh pertama fBD1 = jumlah kekerapan sebelum kelas persepuluh pertama fD1 = kekerapan persepuluh pertama C = jeda bagi kelas pemuluhan
STATISTIK SPP3073 Contoh 4.4 Sempadan Kelas Kekerapan 77.5 – 82.5 5 82.5 – 87.5 12 87.5 – 92.5 13 92.5 – 97.5 22 97.5 – 102.5 30 102.5 – 107.5 35 107.5 – 112.5 32 112.5 – 117.5 20 117.5 – 122.5 15 122.5 – 127.5 10 127.5 – 132.5 6 Jadual 4.2 Daripada data di atas cari nilai : i Pemuluh 8 ii Pemuluh 5 Penyelesaian i. Pemuluh 8 Kedudukan pemuluh 8 = 8 10 200 ke 160 Permuluh 8 = 112.5 + 5 20 160 149 = 112.5 + 2.75 = 115.25 ii) Pemuluh 5 Kedudukan pemuluh 5 = 5 10 200 ke = 100 Pemuluh 5 = 102.5 + 5 35 100 82 = 102.5 + 2.57 = 105.07
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 4b Uji kefahaman anda sebelum meneruskan input selanjutnya. Apabila selesai lihat maklum balas berikutnya 4.3 1 , 3 , 6 , 8 , 5 , 7, 9 , 12 , 9 , 10 , 15 , 19 , 26 dan 25 Berdasarkan data di atas kira nilai: i. Pemuluhan kedua ii. Pemuluhan ketiga iii. Pemuluhan kelapan ( 6 markah ) 4.4 Umur Kekerapan Kekerapan melonggok 10 - 14 8 8 15 - 19 10 18 20 - 29 15 33 25 - 29 12 45 30 - 34 6 51 Data di atas menunjukkan umur orang dalam satu kumpulan. Cari nilai : i. Pemuluhan 1 ( D1) ii. Pemuluhan 9 ( D9) ( 10 markah )
STATISTIK SPP3073 INPUT 4.3 Pemeratus (Persentil) Satu kumpulan data yang telah disusun secara tertib dibahagikan kepada 100 bahagian yang sama rata. Tiap-tiap nilai dikenali sebagai pemeratusan ditanda dengan P 1, P2, P3 ……. P99 4.3.1. Pemeratus - Data tidak tersusun. P1 = N + 1 100 P20 = 20 100 N 1 P30 = 30 100 N 1 4.3.2 Pemeratus - data tersusun : C f k f Pk Lbk b k Bk N 1 100 1 ( ) 1 Lbk = sempadan kelas bawah fBk1 = jumlah kekerapan sebelum P1 fbk1 = kekerapan P1 C = jeda bagi kelas pemeratus
STATISTIK SPP3073 Contoh 4.5 Sempadan Kelas Kekerapan 77.5 – 82.5 5 82.5 – 87.5 12 87.5 – 92.5 13 92.5 – 97.5 22 97.5 – 102.5 30 102.5 – 107.5 35 107.5 – 112.5 32 112.5 – 117.5 20 117.5 – 122.5 15 122.5 – 127.5 10 127.5 – 132.5 6 Jadual 4.3 Daripada data di atas nilai : i ) Permeratus 81 ii ) Permeratus 45 Penyelesaian i. Permeratus 81 Kedudukan perseratus 81 100 200 kedudukan = ke 162 C f k f Pk Lbk b k Bk N 1 100 1 ( ) 1 C f f P Lb B 8 1 100 8 1 (200) 8 1 81 81 Perseratus 81 = 112.5 + 5 20 162 149 = 112.5 + 3.25 = 115.75 ii. Perseratus 45 Kedudukan perseratus 45 = 45 100 200 = kedudukan ke 90 Perseratus 45 = 102.5 + 5 35 90 82 = 102.5 + 1.14 = 103.64
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 4c 4.5 Berikut menunjukkan penjualan barangan, Kekerapan Harga 30 - 39 8 40 - 49 20 50 - 59 32 60 - 69 28 70 - 79 23 80 - 89 9 Berdasarkan data di atas tentukan nilai: i. P55 ii. P 85 4.6 Pengurus Syarikat Sri Maju telah membayar gaji ( $ ) kepada 90 orang kakitangannya pada akhir bulan 1988. Gaji ( $ ) Bilangan kakitangan 200 – 499 18 500 – 799 12 800 – 1099 16 1100 – 1399 20 1400 – 1699 9 1700- 1999 8 2000 – 2299 7 Berdasarkan data di atas tentukan nilai : i - Pemeratusan 34 ii - Pemeratusan 65 iii - Pemeratusan 75
STATISTIK SPP3073 PENILAIAN KENDIRI 1. 2 , 6, 7, 3 , 3 , 8 , 10 dan 13 Berdasarkan data di atas kira nilai: i. Pesuku pertama (Q 1 ) ii. Pesuku kedua ( Q 2) iii. Pesuku ketiga (Q 3) 2. 3 , 7 , 5 , 3 , 8, 9, 10 dan 14 Berdasarkan data di atas dapatkan nilai: i. Pesuku Pertama ii. Pesuku ketiga iii. Pemuluhan 4 iv. Pemuluhan 8 v. Pemeratusan 56 vi. Pemeratusan 88 3. 68, 93, 93, 84, 72, 78, 65, 82, 76, 61 dan 99 Berdasarkan data di atas kira nilai: i. Pesuku Pertama ii. Pesuku kedua iii. Pemuluhan 3 iv. Pemuluhan 7 v. Pemeratusan 45 vi. Pemeratusan 78
STATISTIK SPP3073 4. Berikut ialah kumpulan data penjualan Harga RM kekerapan Kekerapan melonggok 30 - 40 8 8 40 - 90 20 28 50 - 59 32 60 60 - 69 28 88 70 - 79 23 111 80 - 89 9 120 Jumlah Dapatkan nilai : i. Pesuku pertama dan pesuku ketiga ii. Pemuluhan 3 dan pemuluhan 8 iii. Pemeratusan 35 dan pemeratusan 66. 5. Berikut menunjukkan menunjukkan umur yang berada dalam satu kumpulan Umur Bil pelanggan 10 - 14 8 15 - 19 9 20 - 24 12 25 - 29 14 30 - 34 15 35 - 39 23 40 - 44 6 45 - 50 4 Berdasarkan data di atas dapatkan nilai: i. Pesuku ii. Pemuluhan 4 dan pemuluhan 7 iii. Pemeratusan 49 dan pemeratusan 90