STATISTIK SPP3073 UNIT 2 CARA MEMBINA TABURAN KEKERAPAN OBJEKTIF Objektif am Mempelajari, memahami dan menyediakan jadual taburan kekerapan serta menggambarkan dan menganalisisnya dalam bentuk graf : histogram, poligon dan ogif. Objektif khusus Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat : Menerangkan kepentingan data Menyediakan jadual taburan ulangan kekerapan Menggambarkan jadual kekerapan dalam bentuk graf seperti histogram, poligon dan ogif Menganalisis graf taburan kekerapan Membuat kesimpulan terhadap graf taburan tersebut.
STATISTIK SPP3073 INPUT 2.0 CARA MEMBINA TABURAN KEKERAPAN Setelah data mentah dikumpul, data perlu dibentangkan dalam bentuk-bentuk yang lebih bermakna. Kaedah persembahan data yang lazim digunakan adalah jadual taburan kekerapan, histogram, poligon, ogif dan sebagainya. 2.1 KEPENTINGAN DATA Data mentah adalah data-data yang belum disusun. Untuk menjadikannya berguna, data seharusnya disusun supaya pola diperhatikan dan kesimpulan yang logik dapat dibuat. Data-data ini perlu disusun dan dijadualkan supaya ianya mudah dianalisa. Sebagai contoh markah matapelajaran statistik bagi 50 orang pelajar Diploma Pengajian Perniagaan perlu disusun dan dianalisa supaya ianya lebih memberi makna. Penganalisaan amat penting bagi data-data tersebut supaya dapat mengetahui sesuatu perkembangan secara mudah dan sistematik. Data boleh membantu pembuat keputusan untuk membuat tekaan berasaskan pengetahuan tentang sebab-musabab dan seterusnya kesan-kesan yang mungkin bagi sesetengah ciri tertentu dalam situasi yang diberikan. Tambahan pula, pengetahuan tentang trend berdasarkan pengalaman lepas boleh membantu individu sedar akan kesudahan yang bakal timbul dan untuk membuat perancangan awal. Sebagai contoh, suatu kajian pasaran boleh menunjukkan bahawa sesuatu produk itu lebih digemari oleh golongan tertentu. Apabila data disusun dalam bentuk yang padat dan mudah digunakan, pembuat keputusan boleh memperolehi maklumat-maklumat yang boleh dipercayai daripada persekitaran dan menggunakannya untuk membuat keputusan yang bijak. Pada masa kini, penggunaan komputer membolehkan ahli-ahli Statistik mengumpul data yang amat banyak dan boleh memadatkannya ke dalam bentuk jadual, rajah dan nombor.
STATISTIK SPP3073 2.2 MEMBENTUK JADUAL TABURAN KEKERAPAN Tujuan menyusun data adalah untuk membolehkan kita melihat dengan segera sebahagian ciri-ciri data yang telah dikumpulkan. Kita mencari perkara-perkara seperti julat, pola yang kelihatan, data cenderung berkelompok sekitar nilai mana, nilai apa yang kerapkali muncul dan sebagainya. Lebih banyak maklumat sebegini yang dapat diperolehi daripada sampel, bertambah baiklah pemahaman kita tentang populasi dari mana data diperolehi, dan keputusan dapat dibuat dengan lebih baik. Data mentah yang diperolehi daripada sesuatu kajian boleh dibentuk taburan kekerapan dalam bentuk jadual. Berikut adalah hasil daripada satu kajian yang menunjukkan peringkat umur bagi sampel 50 orang penduduk di Taman Anggun. 58 22 49 5 33 18 23 22 10 30 32 19 8 62 35 38 52 51 28 52 51 40 1 46 3 10 4 28 37 29 12 48 32 12 47 45 14 7 16 72 27 74 55 70 9 20 11 19 15 47 Jadual 2.1 Data mentah mengenai umur bagi 50 penduduk di Taman Anggun Data tersebut adalah data mentah dan ianya amat sukar ditaksir kerana terdapat terlalu banyak nombor yang perlu difahami dengan sekaligus. Sebagai contoh berapa ramai penduduk yang berumur lebih daripda 20 tahun ? Berapa ramai yang masih menuntut di Sekolah Menengah ? Soalan-soalan seperti ini sukar dijawab apabila data-data berada dalam bentuk data mentah. 2.2.1 Langkah yang harus diambil untuk membina jadual taburan kekerapan. ( a ) Bilangan kelas Biasanya bilangan yang sesuai adalah diantara 5 hingga 15. Jika bilangan kelas Terlalu kecil akan mengakibatkan pemusatan yang melampaui atau menyusahkan pengiraan. Sekiranya bilangan kelas terlalu besar, kemungkinan akan didapati kelas yang kekerapannya ‘ 0 ‘ – Penentuan bilangan kelas boleh ditentukan dengan menggunakan rumus:
STATISTIK SPP3073 K = anggaran bilangan kelas n = bilangan data Contoh 2.1 Bilangan cerapan n = 50 Cerapan terkecil = 1 Cerapan terbesar = 74 Bilangan kelas K = 1 + 3.3 log10 n = 1 + 3.3 log10 50 = 1 + 3.3 ( 1.6989 ) = 1 + 5.61 = 6.61 = 7 ( nilai penghampiran ) ( b ) Selang kelas ( Jeda ) Selang kelas hendaklah ditentukan terlebih dahulu agar pembinaan kelas lebih mudah. Saiz atau selang kelas boleh ditentukan seperti berikut : Contoh 2.2 Selang kelas, l = Julat Bilangan Kelas ( Julat = nilai terbesar – nilai terkecil) l = 74 - 1 7 = 10.42 = 10 ( nilai penghampiran ) Untuk selang bawah kelas pertama gunakan nilai nombor yang terendah sekali dalam data mentah. ( c ) Penentuan had dan sempadan Setiap kelas mestilah ditentukan dengan jelas akan had atas dan had bawah. Begitu juga sempadan haruslah dikenalpasti, ini sebenarnya untuk mengelakkan tindanan kelas. Penentuan sempadan kelas dapat ditentukan seperti berikut : Had atas kelas 1 + Had bawah kelas 2 2 Contoh 2.3 : = 10 + 11 2 = 10.5 K = 1 + 3.3 log10n
STATISTIK SPP3073 Selang kelas Sempadan kelas Kekerapan Kekerapan relatif 1 - 10 0.5 - 10.5 9 0.18 11 – 20 10.5 - 20.5 10 0.20 21 – 30 20.5 - 30.5 8 0.16 31 – 40 30.5 - 40.5 7 0.14 41 – 50 40.5 - 50.5 6 0.12 51 – 60 50.5 - 60.5 6 0.12 61 – 70 60.5 – 70.5 2 0.04 71 - 80 70.5 - 80.5 2 0.04 50 Jadual 2.2 Jadual kekerapan terkumpul bagi 50 orang penduduk di Taman Anggun
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 2a 2.1 Berikan DUA kepentingan data. (2 markah) 2.2 Bilangan pelajar yang tidak hadir ke Kolej Sarjana boleh dikumpulkan menjadi suatu taburan mempunyai kelas 0 – 14, 15 – 29, 30 – 44, dan 45 – 59. Tentukan: a. Sempadan bawah kelas b. Sempadan atas kelas c. Titik tengah d. Selang kelas taburan (4 markah) 2.3 Bilangan jururawat bertugas setiap hari di sebuah hospital boleh dikelaskan seperti berikut; 20 –34, 35 – 49, 50 – 64, 65 – 79, 80 – 94. Tentukan: a. Sempadan bawah kelas b. Sempadan atas kelas c. Titik tengah d. Selang kelas taburan (4 markah) 2.4. Berikut adalah berat (gram) 50 ekor tikus yang digunakan dalan suatu kajian berkaitan pengambilan vitamin. 136 92 115 118 121 137 132 126 104 125 119 115 101 129 87 108 110 133 135 126 127 103 110 126 118 82 104 137 120 95 146 126 119 119 105 132 126 118 100 113 106 125 117 102 146 129 124 113 95 148 Bina jadual kekerapan yang terdiri dari selang kelas, sempadan kelas, kekerapan dan kekerapan relatif. (12 markah)
STATISTIK SPP3073 INPUT 2.3 PENGGAMBARAN DATA Penggambaran data secara umumnya boleh dibahagi kepada dua iaitu penggambaran data kuantitatif dan penggambaran data kualitatif. Penggambaran data kuantitatif terdiri dari histogram, poligon dan ogif. Penggambaran data kualitatif terdiri dari carta palang/ bar dan carta pai. Unit ini hanya akan membincangkan kaedah penggambaran data kuantitatif. 2.3.1 Histogram Histogram merupakan penyajian data dengan menggunakan carta palang bagi taburan kekerapan data kuantitatif. Langkah melukis histogram a. Tandakan sempadan kelas pada paksi melintang (x) b. Tandakan kekerapan pada paksi menegak (y) c. Lukiskan satu palang tegak bagi menunjukkan kekerapan setiap kelas ( Ketinggian palang adalah bergantung kepada jumlah kekerapan setiap kelas) Selang kelas Sempadan kelas Kekerapan Kekerapan relatif 1 - 10 0.5 - 10.5 9 0.18 11 – 20 10.5 - 20.5 10 0.20 21 – 30 20.5 - 30.5 8 0.16 31 – 40 30.5 - 40.5 7 0.14 41 – 50 40.5 - 50.5 6 0.12 51 – 60 50.5 - 60.5 6 0.12 61 – 70 60.5 – 70.5 2 0.04 71 - 80 70.5 - 80.5 2 0.04 50 1.00 Jadual 2.3 : Jadual taburan kekerapan bagi 50 orang penduduk di Taman Anggun
STATISTIK SPP3073 PENDUDUK TAMAN ANGGUN 0 2 4 6 8 1 0 1 2 0.5-10.5 10.5-20.5 20.5-30.5 30.5-40.5 40.5-50.5 50.5-60.5 60.5-70.5 70.5-80.5 80.5-90.5 UMUR BIL.PENDUDUK Rajah 2.1 Histogram menunjukkan taburan umur 50 penduduk di Taman Anggun 2.3.2 Poligon Poligon dilukis daripada sesuatu histogram dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap kelas dengan satu garis lurus. Dari jadual 2.2 poligon kekerapan boleh dilukis seperti di bawah : Penunjuk kelas ( tanda kelas ) = skb + ska 2 skb = sempadan kelas bawah ska = sempadan kelas atas PENDUDUK TAMAN ANGGUN 0 2 4 6 8 1 0 1 2 0.5-10.5 10.5-20.5 20.5-30.5 30.5-40.5 40.5-50.5 50.5-60.5 60.5-70.5 70.5-80.5 80.5-90.5 UMUR BIL.PENDUDUK Rajah 2.2 Poligon menunjukkan taburan umur 50 penduduk di Taman Anggun
STATISTIK SPP3073 2.3.3 Ogif Terdapat dua jenis ogif/ poligon kekerapan melonggok : ( a ) Ogif kurang daripada ( ogif ke atas ) ( b ) Ogif lebih daripada ( ogif ke bawah ) Takrif ( I ) : Kekerapan melonggok ‘kurang daripada’ bagi sesuatu kelas adalah jumlah kekerapan bagi kelas itu dan kekerapan bagi kelas-kelas sebelumnya. Takrif ( II ) : Kekerapan melonggok ‘lebih daripada’ bagi suatu kelas adalah jumlah kekerapan bagi kelas-kelas selepasnya. Dari jadual 2.2, maka akan terhasil jadual dan rajah ( ogif ) seperti di bawah : Sempadan Kelas Bawah Kurang daripada Kekerapan Melonggok 0.5 0 10.5 9 20.5 19 30.5 27 40.5 34 50.5 40 60.5 46 70.5 48 80.5 50 Jadual 2.3 : Jadual kekerapan melonggok ‘kurang daripada’( ogif ke atas )
STATISTIK SPP3073 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 P E N D U D U K UMUR Rajah 2.3 : Kekerapan melonggok ‘kurang daripada’ ( ogif ke atas) Sempadan kelas bawah Lebih daripada Kekerapan melonggok 0.5 50 10.5 41 20.5 31 30.5 23 40.5 16 50.5 10 60.5 4 70.5. 2 80.5 0 Jadual 2.3 : Jadual kekerapan melonggok ‘kurang daripada’ ( ogif ke atas ) 0 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P E N D U D U K UMUR Rajah 2.4 :Kekerapan melonggok ‘lebih daripada’( ogif ke bawah )
STATISTIK SPP3073 Contoh 2.4 Jadual di bawah menunjukkan bilangan buah durian yang dikutip dari 50 pokok durian di sebuah ladang di Kampung Gajah. 24 22 25 28 14 13 33 37 23 22 31 40 23 24 13 24 34 35 27 28 20 14 30 32 17 37 19 11 25 26 32 38 29 25 26 35 34 28 16 17 19 37 13 12 20 36 29 29 19 21 Anda dikehendaki : ( a ) Bina jadual kekerapan kekerapan yang terdiri dari selang kelas, sempadan kelas, kekerapan dan kekerapan relatif ( b ) Bina histogram dan poligon . ( c ) Bina ogif ke atas dan ogif ke bawah. Penyelesaian: (a ) - Bilangan cerapan, n = 50 - Cerapan terbesar = 40 - Cerapan terkecil = 11 Bilangan kelas , k = 1 + 3.3 log 10 50 = 1 + 3.3 ( 1.6990 ) = 6.6066 = 7 Selang kelas = Julat Bilangan Kelas = 40 - 11 7 = 4
STATISTIK SPP3073 (b) Jadual Kekerapan Selang kelas Sempadan kelas Kekerapan ( f ) Kekerapan Relatif 11- 14 10.5 – 14.5 7 0.14 15 –18 14.5 – 18.5 3 0.06 19 –22 18.5 – 22.5 8 0.16 23 –26 22.5 – 26.5 10 0.2 27 – 30 26.5 – 30.5 8 0.16 31 – 34 30.5 – 34.5 6 0.12 35 –38 34.5 – 38.5 7 0.14 39 –42 38.5 – 42.5 1 0.02 f = 50 1.00 (c) Ogif Sempadan Kelas Bawah Kurang daripada Kekerapan Melonggok 10.5 0 14.5 7 18.5 10 22.5 18 26.5 26 30.5 36 34.5 42 38.5 49 42.5 50 Jadual ogif ke atas 0 10 20 30 40 50 60 10.5 14.5 18.5 22.5 26.5 30.5 34.5 38.5 41.5 Umur Bil.Penduduk Ogif menunjukkan bilangan buah durian di Ladang Kampung Gajah
STATISTIK SPP3073 Sempadan Kelas Bawah Lebih daripada Kekerapan Melonggok 10.5 50 14.5 43 18.5 40 22.5 32 26.5 22 30.5 14 34.5 8 38.5 1 42.5 0 Jadual ogif ke bawah 0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 durian pokok Ogif menunjukkan bilangan buah durian di Ladang Kmpung Gajah
STATISTIK SPP3073 AKTIVITI 2b 2.6 Pada suatu musim perayaan, 50 pelanggan di Pasaraya Sukabeli telah ditemubual dan didapati bahawa masa (dalam minit) yang diambil oleh mereka untuk membeli belah adalah seperti berikut; 156 133 130 148 151 145 152 148 150 148 147 148 127 135 132 151 157 134 151 135 152 152 148 147 145 154 145 122 140 156 154 132 151 156 150 152 125 148 150 154 140 145 153 154 147 155 134 145 148 158 a. Bina taburan kekerapan menggunakan selang kelas 120-124, 125-129, 130-134 … b. Lukis histogram dan poligon bagi taburan kekerapan diatas (15markah) 2.7 Seorang ahli psikologi sukan mengkaji kesan berjoging keatas gred pelajar di Kolej Bistari. Bersama-sama dengan pembolehubah lain, beliau merekodkan purata bilangan jarak larian sehari Keputusan kajian tersebut adalah seperti berikut: Km sehari Kekerapan 1.00-1.39 32 1.40-1.79 43 1.80-2.19 81 2.20-2.59 122 2.60-2.99 131 3.00-3.39 130 3.40-3.79 111 3.80-4.19 95 4.20-4.59 82 4.60-4.99 47 5.00 ke atas 53 927 a. Bina Ogif ke atas b. Dari Ogif yang dibina, berapakah bilangan pelajar yang berjoging sekurang-kurangnya 3km sehari? (15 markah)
STATISTIK SPP3073 PENILAIAN KENDIRI 1. Data di bawah menunjukkan umur ( tahun ) warga tua yang tinggal di Rumah Seri Kenangan. 84 72 87 85 62 77 74 66 67 65 81 72 82 78 66 80 70 78 72 71 52 64 75 62 74 58 64 59 71 60 77 73 59 73 77 93 70 95 61 74 74 64 79 77 73 72 66 71 Bina suatu jadual kekerapan yang terdiri daripada selang kelas, sempadan kelas, kekerapan dan kekerapan relatif. Gunakan 51sebagai had bawah selang kelas pertama. (15markah) 2. Jadual berikut menunjukkan pendapatan harian bagi penduduk di sebuah tempat. Pendapatan( RM ) Bilangan penduduk 15 – 25 116 25 – 30 240 30 – 35 174 35 – 40 151 40 – 45 70 45 – 50 65 50 – 55 47 55 – 60 45 Dari data di atas bina suatu histogram. (10markah)
STATISTIK SPP3073 3. Data berikut menunjukkan ukuran berat ( kg ) bayi diantara 3 kg hingga 4 kg yang lahir pada suatu hari di sebuah hospital di Kuala Lumpur. 3.82 3.67 3.61 3.42 3.56 3.69 3.55 3.77 3.39 3.82 3.80 3.64 3.79 3.49 3.63 3.47 3.51 3.39 3.58 3.59 3.74 3.54 3.66 3.86 3.82 3.76 3.55 3.62 3.75 3.82 (a) Dengan menggunakan 3.38 sebagai had bawah selang kelas pertama, bina suatu jadual kekerapan terkumpul. (b) Bina poligon kekerapan (c) Bina poligon kekerapan relatif. (15markah) 4. Data berikut menunjukkan ukuran berat ( kg ) bagi murid kelas Tingkatan 5A di sebuah sekolah. 45 69 88 60 96 66 71 51 40 45 76 55 62 85 93 81 57 90 75 78 89 71 67 84 54 49 59 38 86 84 66 70 64 90 67 86 75 39 66 67 87 82 72 92 48 91 52 63 55 59 (a) Bina jadual kekerapan. (b) Lukis ogif ke atas dan ogif ke bawah. (15markah) 5. Dalam peperiksaan akhir semester, En. Hashim telah memperolehi markah peperiksaan Matematik Pengurusan bagi 50 orang pelajar Diploma Akauntansi . 86 54 70 69 75 71 77 85 44 78 46 70 53 68 84 73 7`6 75 60 90 68 48 54 69 60 63 65 50 39 61 40 93 80 73 70 83 75 67 87 50 79 83 63 57 52 63 55 64 91 59 (a) Dengan menggunakan 38 sebagai had bawah selang kelas pertama dan lebar kelas bersamaan 8, bina suatu jadual kekerapan terkumpul. (b) Lukis histogram kekerapan (c) Lukis histogram kekerapan relatif dan (d) Lukis ogif ke atas dan ogif ke bawah. (15markah)
STATISTIK SPP3073 6. Satu kajian dijalankan ke atas 50 orang penumpang disebuah kawasan yang menggunakan perkhidmatan bas dalam tempoh sebulan. Berikut adalah data kekerapan penggunaan perkhidmatan bas yang diperolehi dari kajian tersebut. 22 18 28 30 25 8 21 18 6 16 25 34 41 29 46 41 30 36 40 32 20 11 26 23 31 38 44 47 29 35 34 34 23 32 12 23 12 16 23 33 30 12 24 15 27 18 30 23 34 23 a. Bina satu jadual taburan kekerapan dengan menggunakan titik tengah 5, 10, 15 ……… bagi data di atas. b. Lukis histrogram dan poligon bagi data di atas dengan menggunakan kertas graf. c. Beri kesimpulan hasil dari jawapan di atas. (15markah)