สมการพาราโบลา จารุพัฒน์ 8

สมการไฮเพอร์โบลา

HYPERBOLA

สมการไฮเพอร์ หลายคนอาจจะยังไม่รู้จักว่าไฮเพอร์โบลาคืออะไร เรามา
โบลาคืออะไร? ลองทำความรู้จักกันมันดูกันนะครับ สมการไฮเพอร์โบ
ลาในปัจจุบันได้ถูกตั้งชื่อโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่

ชื่อว่า Apollonius ต่อมานักคณิตศาสตร์ชื่อ
Pappus ได้ค้นพบจุดที่เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และ
เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix) โดยสมการไฮเพอร์โบลา

นี้มีรูปร่างมาจากวงโคจรของดาวบริวารรอบดวง
อาทิตย์

นิยามของสมการไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะ
ทางจากจุดใดๆไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อย
กว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้
เรียกว่า โฟกัส (Focus) ของไฮเพอร์โบลา

ให้ระยะทางจากจุด F1 และ F2 ไปยังเส้นกราฟมีค่าเท่ากับ r1=F1 และ
r2=F2 และระยะทางระหว่างจุด F และจุด F2 มีค่าเท่ากับ 2c หรือเรียกอีก

อย่างว่าค่า k ซึ่งค่า k นี้จะมีค่าเป็นบวกเสมอ

r2-r1 = k

ถ้าจุด P ซึ่งอยู่บนเส้นกราฟด้านซ้ายมืออยู่บนแกน x แล้ว




k = (c+a) – (c-a) = 2a




ดังนั้นเราสามารถคำนวณค่า k=2a ได้ หรือนั่นก็คือระยะ
ทางระหว่างจุดยอดของกราฟไฮเพอร์โบลาทั้งสอง ข้อ

สังเกตุคือเส้นกราฟพาราโบลาที่เกิดจาดจุดโฟกัส F1 จะมี
เส้นกราฟที่เกิดจาด F2 สะท้อนเหมือนกันอยู่ในฝั่งตรง

ข้ามเสมอ

สมการไฮเพอร์โบลา

รูปแบบของสมการไฮเพอร์โบลาจะแบ่งออกตามรูปกราฟ
สมการสองแบบ คือไฮเพอร์โบลาแบบตะแคง (ซ้ายขวา) และไฮ
เพอร์โบลาแบบตั้ง (บนล่าง) โดยทั้งสองรูปแบบมีสมการดังนี้

ไฮเพอร์โบลาตะแคง

สมการไฮเพอร์โบลาคือ

ถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด
(0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุด
กำเนิดดังนี้

สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวาง
จึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตาม
ขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มี
ความยาวเป็น 2a



แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b



ระยะโฟกัส มีความยาว

ไฮเพอร์โบลาตั้ง

สมการไฮเพอร์โบลาคือ

ถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด
(0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่
จุดกำเนิดดังนี้

สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตาม
ขวางจึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ
x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลาง
ของกราฟ) มีความยาวเป็น 2a
แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b
ระยะโฟกัส มีความยาว

ข้อสังเกตุ

โจทย์ไฮเพอร์โบลา

ex.จงหาศูนย์กลาง โฟกัส จุดยอด และเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา

วิธีทำ

อ้างอิง mathpaper.net



จัดทำโดย
นายจารุพัฒน์ แก้วบวร ม.4/3 เลขที่ 8