จำ นวน เชิง ซ้อน
คำ นำ หนังสือเล่มนี้จัดทำ เพื่อให้ผู้ศึกษาที่สนใจเรื่อง จำ นวนเชิงซ้อน ได้รับความรู้และนำ ไปใช้เพื่อการ ศึกษา คณะผู้จัดทำ ได้หวังว่าหนังสือจำ นวนเชิงซ้อนเล่ม นี้จะเป็นประโยชน์แด่ผู้ศึกษา และสะดวกต่อการอ่าน ศึกษาเรื่องจำ นวนเชิงซ้อน จัดทำ โดย คณะผู้จัดทำ
ส า ร บั ญ บ ท นิ ย า ม ก า ร บ ว ก ล บ คู ณ ห า ร จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น อิ น เ ว อ ร์ ส ( ก า ร บ ว ก ก า ร คู ณ ) สั ง ยุ ค ค่ า สั ม บู ร ณ์ จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น ใ น รู ป เ ชิ ง ขั้ ว ก า ร คู ณ ก า ร ห า ร จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น ใ น รู ป เ ชิ ง ขั้ ว ก า ร ห า กำ ลั ง ที่ n ข อ ง จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น ใ น รู ป เ ชิ ง ขั้ ว ก า ร ห า ร า ก ที่ n ข อ ง จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น เ ฉ ล ย ล อ ง ทำ ดู - ล อ ง ทำ ดู บ ท นิ ย า ม - ล อ ง ทำ ดู ก า ร บ ว ก ล บ คู ณ ห า ร จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น - ล อ ง ทำ ดู อิ น เ ว อ ร์ ส ( ก า ร บ ว ก ก า ร คู ณ ) - ล อ ง ทำ ดู สั ง ยุ ค - ล อ ง ทำ ดู ค่ า ม บู ร ณ์ - ล อ ง ทำ ดู จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น ใ น รู ป เ ชิ ง ขั้ ว - ล อ ง ทำ ดู ก า ร คู ณ ก า ร ห า ร จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น ใ น รู ป เ ชิ ง ขั้ ว - ล อ ง ทำ ดู ก า ร ห า กำ ลั ง ที่ n ข อ ง จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น ใ น รู ป เ ชิ ง ขั้ ว - ล อ ง ทำ ดู ก า ร ห า ร า ก ที่ n ข อ ง จำ น ว น เ ชิ ง ซ้ อ น 112343457810111314151618
-บทนิยาม •จำ นวนเชิงซ้อน จำ นวนเชิงซ้อน คือจำ นวนที่เขียนอยู่ในรูปคู่ อันดับ(a,b) และ a+bi ได้ เมื่อ a และ b เป็นจำ นวน จริงใดๆ โดยเรียก a ว่าส่วนจริง เรียก b ว่าส่วน จินตภาพ เช่น √3=(√3,0) , 5i=(0,5) , 2+i=(2,1) •หน่วยจินตภาพ i คือ หนึ่งหน่วจินตภาพ(Imaginary Unit) มีค่าเท่ากับ √-1 โดย iกำ ลังn = i เมื่อ n÷4 เหลือเศษ 1 iกำ ลังn = -1 เมื่อ n÷4 เหลือเศษ 2 iกำ ลังn = -i เมื่อ n÷4 เหลือเศษ 3 iกำ ลังn = 1 เมื่อ n÷4 ลงตัว ***i² มีค่าเท่ากับ -1 -การบวกลบคูณหารจำ นวนเชิงซ้อน •การบวกจำ นวนเชิงซ้อน (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i ตัวอย่าง (3+5i) + (6+2i)=(3+6) + (5+2)i =9+7i •การลบจำ นวนเชิงซ้อน (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i ตัวอย่าง (7-2i) - (3+4i)=(7-3) + (-2-4)i = 4-6i •การคูณจำ นวนเชิงซ้อน (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i ตัวอย่าง (2+i)(4+3i) = [(2)(4)-(1)(3)]+[(2)(3)+(1)(4)] =(8-3)+(6+4)i =5+10i •การหารจำ นวนเชิงซ้อน (a+bi)÷(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c²+d²) ตัวอย่าง (3+2i)÷(4+3i) = (3+2i)(4-3i)/(4²+3²) =(12+8i-9i+6)/(16+9) =18-i/25 1
2 ล อ ง ทำ ดู ข้ อ 1 . จ ง ห า ค่ า ข อ ง i ² ⁰ ¹ ⁵ 1 . ) - 1 2 . ) - i 3 . ) 1 ข้ อ 2 . ข้ อ ใ ด คื อ ค่ า ข อ ง i + i ² + i ³ + . . . + i ⁷ ⁵ 1 . ) - 1 2 . ) - i 3 . ) 0 ข้ อ 3 . ข้ อ ใ ด คื อ ค่ า ข อ ง ( 3 - 4 i ) + ( 5 + 2 i ) 1 . ) 8 - 6 i 2 . ) 8 - 2 i 3 . ) 8 + 6 i ข้ อ 4 . ( 3 - 4 i ) ( 2 + 5 i ) มี ค่ า เ ท่ า ใ ด 1 . ) 6 - 2 0 i 2 . ) - 1 4 + 7 i 3 . ) 2 6 + 7 i 4 . ) 1 4 - 7 i 8 + 2 i ) 1 + i . ) i
-สังยุค •นิยาม สังยุคของ a+bi คือ a-bi ตัวอย่าง สังยุคของ 5+2i = 5-2i -อินเวอร์ส •อินเวอร์สการบวก อินเวอร์สการบวกของa+bi = -a-bi ตัวอย่าง อินเวอร์สการบวกของ3-5i= -3+5i •อินเวอร์สการคูณ อินเวอร์สการคูณของa+bi คือ a-bi/a²+b² ตัวอย่าง จงหาอินเวอร์สการคูณของ3-i อินเวอร์สการคูณของ3-i = 3+i/3²+1² = 3+i/10 •สมบัติของสังยุค 3 ตัวอย่าง จงหาค่าของ (2-i)(-3+2i) (2-i)(-3+2i) = -6+4i+3i-2i² = -4+7i = -4-7i
4 ล อ ง ทำ ดู ข้ อ 5 . ข้ อ ใ ด คื อ อิ เ ว อ ร์ ส ก า ร คู ณ ข อ ง 2 - 3 i 1 . ) 2 - 3 i 5 2 . ) 2 + 3 i 5 3 . ) 2 + 3 i 1 3 4 . ) 2 + 3 i 1 3 ข้ อ 6 . ข้ อ ใ ด คื อ อิ น เ ว อ ร์ ส ก า ร คู ณ ข อ ง 2 - 5 i 1 . ) 2 - 5 i 2 9 2 . ) 2 + 5 i 2 9 3 . ) 5 - 2 i 4 . ) - 2 + 5 i ข้ อ 8 . จ ง ห า สั ง ยุ ค ข อ ง 2 - 3 i 1 . ) - 2 - 3 i 2 . ) - 2 + 3 i 3 . ) 2 + 3 i 4 . ) 2 - 3 i ข้ อ 7 . จ ง ห า สั ง ยุ ค ข อ ง ( 3 - i ) + ( - 2 - 3 i ) 1 . ) 1 - 4 i 2 . ) 1 + 4 i 3 . ) - 1 - 4 i 4 . ) - 1 + 4 i ______
-ค่าสัมบูรณ์ ให้ z = (a+bi) = (a,b) จะได้ |z| = √a²+b² ตัวอย่าง |4+3i| = √4²+3² =√16+9 =√25 = 5 •สมบัติ 5
6 (3+4i)(1+√3i)² = |3+4i| • |1+√3|² 8-6i |8-6i| = (√3²+4²)(√1²+√3²)² √8²+(-6)² = (√25)(√4) √100 = 5×2 10 = 1 ตัวอย่าง ค่าของ (3+4i)(1+√3i)² มีค่าเท่าใด 8-6i
ข้อ9. ค่าสัมบูรณ์ของ (1+ 3i)³ มีค่าเท่าใด 12-5i 1.) 2 13 2.) 2 2 √119 3.) 8 13 4.) 2 2 13 ข้อ10. ข้อใดคือค่าสัมบูรณ์ของ -4+3i 1.) 5 2.) 25 3.) 5 4.) ไม่มีข้อถูก 7 ลองทำ ดู √ √ √ √
8 - จำ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Polar form) ถ้า z = a + bi เป็นจำ นวนเชิงซ้อน เราสามารถ z ด้วยเวกเตอร์บนระนาบ เชิงซ้อนได้ดังนี้ กำ หนด θ เป็นมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ไปยัง oz ให้ r = |oz| จากรูป จะได้ r = |z| = a²+b² tanθ = sinθ = หรือ b = rsinθ cosθ = หรือ a = rcosθ ดังนั้น z = a + bi = rcosθ + isinθ = r(cosθ + isinθ) ข้อความในย่อหน้าของคุณ b a b r a r _ _ _ _ _ √
ตัวอย่าง จงเขียน z ที่กำ หมดในรูปเชิงขั้ว z = -1 - 3i 9 เรียก r(cosθ + isinθ) ว่าจำ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว ของ a+bi และเรียก θ ว่าอาร์กิวเมนต์ของ z (argument of z) และจะได้ r[cos(θ + 2kπ) + isin(θ + 2kπ)] เป็นรูปเชิงขั้วของจำ นวนเชิงซ้อน a+bi ด้วย บทนิยาม z เป็นจำ นวนเชิงซ้อนใดๆ z = a + bi จะได้ r(cosθ + isinθ)เป็นรูป เชิงขั้วของจำ นวนเชิงซ้อน a+bi โดยที่ tanθ = และ r = |z| = b a _ _ √
ข้อ12. พิจารณาข้อใดต่อไปนี้ 1)1+i = 2(cos45° + isin45° ) 2) 3-i = 2(cos30° + isin30° ) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. 1)จริง 2) จริง 2. 1)จริง 2) เท็จ 3. 1)เท็จ 2) จริง 4. 1)เท็จ 2) เท็จ 10 ลองทำ ดู ข้อ11. -2-2i มีค่าตรงกับข้อใด 1. 2(cos45° + isin45° ) 2. 2 2(cos45° + isin45° ) 3. 2(cos225° + isin225° ) 4. 2 2(cos225° + isin225° ) √ √ √ √ ข้อ13. ถ้า z = -5i แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. z = 5(cos180° + isin180° ) 2. z = 5(cos90° + isin90° ) 3. z = 5(cos270° + isin270° ) 4. z = 5(cos135° + isin135° )
r (cosθ + isinθ ) r (cosθ + isinθ ) r (cosθ + isinθ ) _ [ r r (cosθ + isinθ ) cos θ + isin θ [ [ r r [cosθ cosθ - cosθ isinθ + isinθ cosθ + sinθ sinθ ] _ [ [(cosθ cosθ + sinθ isinθ )+ i(sinθ cosθ - cosθ sinθ )] [ [ - การคูณและการหาร จำ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว กำ หนดให้ z1= r1(cosθ1 + isinθ1) และ z2 = r2 (cosθ + isinθ )2 2 z 1 z 2 = r1(cosθ1 + isinθ1) r2 (cosθ2 + isinθ2 ) 1. z1 z 2 = r1 r2 [cosθ1cosθ2 + icosθ1 sinθ2 + isinθ1 cosθ2 - sinθ1 sinθ2 ] = r r [cosθ cosθ + i(cosθ sinθ + sinθ cosθ ) - sinθ sinθ ] 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 = r r [cos(θ + θ ) + isin(θ + θ )] 1 2 1 2 1 2 2. z z _ z z _ r (cosθ + isinθ ) (cosθ + isinθ ) [(cosθ + isinθ ) [ [ _ (cosθ + isinθ ) cos θ + isin θ [ cos θ + isin θ r r _ _ [cos(θ - θ ) + isin(θ - θ )] r r = = = = = = 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 สรุปเป็นทฤษฎีได้ดังนี้ ให้ z และ z เป็นจำ นวนเชิงซ้อน โดยที่ z1= r (cosθ + isinθ ) และ z = r (cosθ + isinθ ) 1 1 1 2 2 2 2 [cos(θ - θ ) + isin(θ - θ )] r r 1 2 2 1 1 2 1. z z = r r [cos(θ + θ ) + isin(θ + θ )] 2. z z _ = _ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 11
= [cos(30 - 240) + isin(30 - 240)] = (cos210° + isin210°) = = 2(cos30° + isin30°) 8(cos240° + isin240°) 2 1. 3(cos120° + isin120°) [4√3(cos330° + isin330°)] = 3(4√3)[cos(120 + 330)° + isin(120 + 330)°] = 12√3[cos90° + isin90°] = 12√3i ตัวอย่าง 2. 2 8 1 4 1 4 -√3 + i 1 2 1 8 + i _ _ _ _ _ [ -√3 8 [ [ [ 12
√ √ ข้อ16. ค่าของ 6(cos78° + isin78°) มีค่าตรงกับข้อใด 3(cos18° + isin18°) 1. 2 2. 1+ 3i 3. 3+i 4. ไม่มีข้อถูก 13 ลองทำ ดู ข้อ14. [2(cos15° + isin15°)][3(cos120° + isin120° )] มี ค่าตรงกับข้อใด 1. 6-6i 2. -6+6i 3. 3-3i 4. -3 2+3 2i ข้อ15. [ 2(cos50° + isin50° )][ 8(cos160° + isin160°)] มีค่าเท่าใด 1. 4 3-4i 2. -4 3-4i 3. -2 3-2i 4. -2-2 3i √ √ √ √
- การหากำ ลังที่ n ของ จำ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว จากการคูณจำ นวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วจะทำ ให้สะดวก จึงนำ มาใช้กับการยกกำ ลัง ของจำ นวนเชิงซ้อนด้วยจำ นวนเต็มบวก กำ หนด z = r (cosθ + isinθ ) z² = r•r(cosθ + isinθ )(cosθ + isinθ ) = r²(cos2θ + isin2θ ) z³ = r³(cos2θ + isin2θ )(cosθ + isinθ ) = r³(cos3θ + isin3θ ) z⁴ = r⁴(cos4θ + isin4θ ) ทฤษฎีบท ถ้าz = r (cosθ + isinθ ) และ n เป็นจำ นวนเต็มบวก จะได้ z = r (cos(nθ) + isin(nθ)) ตัวอย่าง กำ หนดให้ z = 2[cos π + isin π ] จงหา z⁶ 3 3 วิธีทำ จาก z = 2[cos π + isin π ] จงหา z⁶ 3 3 จะได้ z⁶ = 2⁶[cos(6 • π ) + isin(6 • π )] 3 3 = 64[cos2π + isin2π ] = 64[1+0i] = 64 n n _ _ _ _ _ _ 14
1 5 ล อ ง ทำ ดู ข้ อ 1 7 . ข้ อ ใ ด คื อ ค่ า ข อ ง ( 1 + 3 i ) ⁵ 1 . 1 6 - 1 6 3 i 2 . - 1 6 + 1 6 3 i 3 . - 1 6 3 - 1 6 i 4 . 1 6 3 - 1 6 i ข้ อ 1 8 . ค่ า ข อ ง ( 3 + 6 i ) ⁶ มี ค่ า เ ท่ าไ ร 1 . - 3 2 2 . - 3 2 i 3 . - 6 4 4 . - 6 4 i √ √√ √ √ ข้ อ 1 9 . จ ง ห า ค่ า ข อ ง ( 3 + i ) ⁸ 1 . ) 1 2 8 + 1 2 8 3 i 2 . ) 1 2 8 - 1 2 8 3 i 3 . ) - 1 2 8 + 1 2 8 3 i 4 . ) - 1 2 8 - 1 2 8 3 i √√√√ √
บทนิยาม ให้ xและy เป็นจำ นวนเชิงซ้อน nเป็นจำ นวนเต็มบวก x เป็นรากที่ n ของ z ก็ต่อเมื่อ x" = z ในการหารากที่ n ทั้งหมดของ จำ นวนเชิงซ้อน z ทำ ได้โดยใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท ถ้า z = r(cosθ + isinθ) แล้วรากที่ n ของ z มีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกันคือ เมื่อ k € { 0 , 1 , 2 ,...., n-1 } ตัวอย่าง จงหารากที่สามของ -64i Z = 64[cosπ + isinπ ] จะได้ ดังนั้น รากที่สามของ -64 คือ -4 , - การหารากที่ n ของ จำ นวนเชิงซ้อน 16
ข้อ21. ข้อใดไม่ใช่รากที่3 ของ8 1. 2 2. 1+ 3i 2 3. -1- 3i 2 4. -1+ 3i 2 17 ลองทำ ดู ข้อ20. ข้อใดเป็นรากที่4 ของ 16 1. 2 2. -2i 3. 2i 4. ถูกทุกข้อ √ √ √
ข้ อ ที่ 1 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 2 . ต อ บ 1 ข้ อ ที่ 3 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 4 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 5 . ต อ บ 3 ข้ อ ที่ 6 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 7 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 8 . ต อ บ 3 ข้ อ ที่ 9 . ต อ บ 3 ข้ อ ที่ 1 0 . ต อ บ 1 ข้ อ ที่ 1 1 . ต อ บ 4 ข้ อ ที่ 1 2 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 1 3 . ต อ บ 3 ข้ อ ที่ 1 4 . ต อ บ 3 ข้ อ ที่ 1 5 . ต อ บ 3 ข้ อ ที่ 1 6 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 1 7 . ต อ บ 1 ข้ อ ที่ 1 8 . ต อ บ 2 ข้ อ ที่ 1 9 . ต อ บ 4 ข้ อ ที่ 2 0 . ต อ บ 4 ข้ อ ที่ 2 1 . ต อ บ 4 เ ฉ ล ย ท ด ล อ ง ทำ 1 8
Perfect init'sown way