เซตและเลขยกกำลัง หรรษา 38

คณิตศาสตร์

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่6

เซตและเลขยกกำลัง

นางสาวหรรษา สุวรรณประเสริฐ

ชั้ม.6/5 เลขที่38

เสนอ

อาจารย์รสชกร บุบผาคำ

เซต (Set)

ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด
เเละเมื่อกล่าวถึง
เซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่
ในเซตว่า 'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { } "

หรือ
เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "

∅เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอก
จำนวนสมาชิกได้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }
เซตของจุดบนระนาบ

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้ อย 3 ตัว

เเล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder
form)

หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย l ( l อ่าน
ว่า โดยที ) เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไข
ของ x }

ประเภทของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย

เขียนแทนด้วย { } หรือ (phi)
เช่น เซตของจำานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2
A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวน

เต็มบวก หรือ ศูนย์
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0 ,{1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100
A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11
B = {x| x เป็นพยัญชนะในค าว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4
C = {1,2,…,8}

เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถ

บอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}, เซตของจุดบนระนาบ
A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
B = {x| x 3,7,11,15,…}
C = {1,2,3,…}

เซตที่เท่ากัน (Equal Sets หรือ Identical sets) คือ

เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน สัญลักษณ์
เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทน
ด้วยA
ไม่เท่ากับ B
ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}
ดังนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6},
C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทำ A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}

≠ ≠จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว

แต่ A C , B C เพราะว่า 7 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A และ 7
ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์พื้นฐานเกี่ยวกับเซต

∈ แทน เป็ นสมาชิกของเซต
∉ แทน ไม่เป็ นสมาชิกของเซต

= แทน การเท่ากัน

≠ แทนการไม่เท่ากัน
⊂ แทน เป็ นสับเซตของเซต

Ø หรือ { } แทน การเป็ นเซตว่าง

∪เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก
เรียกว่า ยูเนียน คือ การรวมสมาชิกของเซตหลายเซต

∩มารวมกัน
เรียกว่า อินเตอร์เซกชัน
R แทน เซตของจำนวนจริง
Iº แทน จำนวนเต็มศูนย์
I¯แทน เซตของจำนวนเต็มลบ
N แทน เซตของจำนวนนับ

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อ
เมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B

≠เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวน
สมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของ

เซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่ งต่อหนึ่ ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B

* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B
2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

สับเซต (Subset)

สับเซต (Subset)

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็น

สับเซตของเซต B B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n (

2 ยกกำลัง n ) สับเซต

สับเซตแท้

⊂ ≠นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ A B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ

A

∅วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a,

b}, {a, c}, {b, c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะ

มีทั้งสิ้น 2^n-1

(2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออก

มาใน

รูปแผนภาพได้ดังนี้

⊂A B

เพาเวอร์เซต (Power Set)

ถ้า A เป็ ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิก
ประกอบไปด้วยสับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับ
เซตทั้งหมดของ A}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
∅ ∈ ∅ ⊂1.
P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็ นสับเซตของทุกเซต เเล้ว

P(A) ก็เป็ นเซตเช่นกัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็ นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A

เเล้ว P(A) จะมีสมาชิก

2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซต

ของ A) ⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อ
ตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็ นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะ
ไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็ นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไป
จะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่เป็ นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1
กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}
ตัวอย่างที่ 2

∈กำหนดให้ U = { x N | 1 < x < 20 }
∈A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็

∈จำนวนนับคี่ }
B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็ น
จำนวนนับคู่ }

นั่ นคือ ทั้ง A และ B เป็ นสับเซต
ของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

(Venn - Euler diagram)

แ ผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความ
เกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็ นชื่อของนัก
คณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออย
เลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพ
สัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิ ดใดๆ ส่วนเซต A,
B, C, D, ... ซึ่งเป็ นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลม
หรือวงรีหรือรูปปิ ดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูป
ปิ ดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่าง
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2,

3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ -

ออยเลอร์ แสดงภาพภพสัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดัง
แผนภาพต่อไนี้

การดำเนินการบนเซต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มา
กระทำกันเพื่อให้เกิดเป็ นเซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ

1. ยูเนียน (Union)
ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ

เซต A หรือ เซต B

∪เขียนแทนด้วย A B
∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนี ยนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย

∩สมาชิกของเซต Aเเละเซต B
เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่

เป็นสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบ

ด้วยสมาชิกที่เป็ นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็ นสมาชิก
ของเซต B

เขียนแทนด้วย A - B
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนี ยนในแผนภาพได้ดังนี้

ตัวอย่างข้อสอบ O-Net

แบบฝึกหัด

การเขียนเซตและจำนวนสมาชิกของเซต

1. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1) เซตของสระในภาษาอังกฤษ
2) เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10
3) เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีสองหลัก
4) เซตของจำนวนเต็มที่มากกว่า 100
5) เซตของจำนวนเต็มลบที่มากกว่า -100
6) {x|x เป็ นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า3 และน้อยกว่า 10}
7) { x|x เป็ นจำ านวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 }
8) เซตของจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากกว่า 5
9) เซตของจำนวนเต็มที่ยกก าลังสองแล้วได้ 196
10) เซตของชื่อจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ “ช"

2. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแบกเงื่อนไขของสมาชิก
1) { 1, 3, 5, 7, 9}
2) {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
3) {1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .}
4) {10, 20, 30, . . .}

3. จงบอกจ านวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
1) A = {1234}
2) B = {0, 1, 2, 3, 4}
3) C = {a, b, c, de, f, gh, ijk}
4) D = {x|x เป็ นจ านวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 10 และ 20}
5) E = {x|x เป็ นจ านวนเต็มบวกและน้อยกว่า 0

เลขยกกำลัง
ความหมายของเลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง
การยกกำลัง มีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน
คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว จะเขียนได้เป็น

สมบัติของเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ น
จำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็ นจำนวนใด ๆ และ m, n เป็ น
จำนวนเต็มบวก

เช่น 23x 27x 29 = 2 (3 + 7 + 9) = 219

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็ นจำนวนเต็ม
บวก

กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็น
จำนวนเต็มบวกที่ m > n

เช่น 412÷ 43=412-3 = 49

กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็ นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์
และ m, nเป็ นจำนวนเต็มบวกที่ m = n

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1



เช่น 67÷ 67 = 67-7 = 60 = 1 หรือถ้า (-7)o = 1
กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n
เป็นจำนวนเต็มบวกที่ m < n

เช่น = 1/ 54-9

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n
เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

เช่น หรือ

หรือ

3.สมบัติอื่ นๆของเลขยกกำลัง
1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง

≥เมื่อ a 0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆ
จำนวน

และ

≠ ≠เมื่อ a 0 , b 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

≠ ≥เมื่อ a 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n 2

4.จำนวนยกกำลัง ศูนย์ ได้เท่ากับ 1

ตัวอย่างข้อสอบ O-Net

แบบฝึกหัด