เซตและเลขยกกำลัง ชลธิชา21

คณิตศาสตร์

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่6

เซตและเลขยกกำลัง

จัดทำโดย
นางสาวชลธิชา ทาสอน

ชั้ม.6/5 เลขที่21

เสนอ

อาจารย์รสชกร บุบผาคำ

เซต (Set)

ความหมายของเซต

ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด เเละเมื่อ
กล่าวถึง
เซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า
'สมาชิก'

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรีแทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิกของ "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิกของ "

ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { } " หรือ

เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "

∅เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวน
สมาชิกได้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }
เซตของจุดบนระนาบ

การเขียนเซต

1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)

หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด 3
จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)
หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย l ( l อ่านว่า โดยที )

เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }

ประเภทของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set หรือ Null Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย

เขียนแทนด้วย { } หรือ (phi)
เช่น เซตของจำานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กัน 2
A = { x| x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ข”}

เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวน
เต็มบวก หรือ ศูนย์
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0 ,{1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100
A = {0,2,4,…,10} , n(A) = 11
B = {x| x เป็นพยัญชนะในค าว่า “เซตว่าง” }, n( A ) = 4
C = {1,2,…,8}
เซตอนันต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถ
บอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...}, เซตของจุดบนระนาบ
A = {x| x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 5 }
B = {x| x 3,7,11,15,…}

C = {1,2,3,…}

เซตที่เท่ากัน (Equal Sets หรือ Identical sets) คือ

เซตสองเซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อเซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน สัญลักษณ์
เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วยA
ไม่เท่ากับ B
ตัวอย่างที่ 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}
ดังนั้น เซต A เท่ากันกับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6},
C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทำ A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}
จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
แต่ A ≠ C , B ≠ C เพราะว่า 7 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A และ 7
ไม่เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์พื้นฐานเกี่ยวกับเซต

∈ แทน เป็นสมาชิกของเซต
∉ แทน ไม่เป็นสมาชิกของเซต

= แทน การเท่ากัน

⊂≠ แทนการไม่เท่ากัน
แทน เป็นสับเซตของเซต
Ø หรือ { } แทน การเป็นเซตว่าง

∪เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก
เรียกว่า ยูเนียน คือ การรวมสมาชิกของเซตหลายเซตมารวม

∩กัน
เรียกว่า อินเตอร์เซกชัน
R แทน เซตของจำนวนจริง
Iº แทน จำนวนเต็มศูนย์
I¯แทน เซตของจำนวนเต็มลบ
N แทน เซตของจำนวนนับ

ความสัมพันธ์ของเซต

1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้ง
สองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่า
กัน และสมาชิกของ

เซตจับคู่กันได้พอดีแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B

* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B
2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

สับเซต (Subset)

สับเซต (Subset)

ถ้า สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะเป็น

สับเซตของเซต B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสับเซต
⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )
⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n ( 2 ยกกำลัง n

สับเซต

สับเซตแท้

⊂นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ A ≠ B

∅ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A
วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,

c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมีทั้งสิ้น 2^n-

1

(2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาใน

รูปแผนภาพได้ดังนี้

⊂A B

เพาเวอร์เซต (Power Set)

ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับ
เซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของ
A}

สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ
∅ ∈ ∅ ⊂1.
P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็นเซต

เช่นกัน

∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมี

สมาชิก

2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะ
กล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใด
ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซต
ที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1
กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}
ตัวอย่างที่ 2

∈กำหนดให้ U = { x N | 1 < x < 20 }
∈A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็จำนวนนับคี่ }
∈B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนับคู่ }

นั่นคือ ทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์

(Venn - Euler diagram)

แ ผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความเกี่ยวข้องของ
เซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น
เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพสัมพัทธ์ U
ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A, B, C, D, ... ซึ่งเป็น
เซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใดๆ โดย
ให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปปิดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่าง
กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = {

3, 5, 6, 7 }
เราจะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดง

ภาพภพสัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

การดำเนินการบนเซต

การดำเนินการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ มากระทำกันเพื่อให้
เกิดเป็นเซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนียน (Union)

∪ยูเนียนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือ เซต B

เขียนแทนด้วย A B

∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยฃสมาชิกของเซต

Aเเละเซต B

∩เขียนแทนด้วย A B
∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)

คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิก
ของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A

เขียนแทนด้วย A'
ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }

ดังนั้น A' = { 4, 5}
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่

เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนียนในแผนภาพได้ดังนี้

แบบฝึกหัด1

การเขียนเซตและจำนวนสมาชิกของเซต

1. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1) เซตของสระในภาษาอังกฤษ
2) เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 10
3) เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีสองหลัก
4) เซตของจำนวนเต็มที่มากกว่า 100
5) เซตของจำนวนเต็มลบที่มากกว่า -100
6) {x|x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า3 และน้อยกว่า 10}
7) { x|x เป็นจำ านวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 }
8) เซตของจำนวนเต็มลบที่มีค่ามากกว่า 5
9) เซตของจำนวนเต็มที่ยกก าลังสองแล้วได้ 196
10) เซตของชื่อจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วยพยัญชนะ “ช"

2. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแบกเงื่อนไขของสมาชิก

1) { 1, 3, 5, 7, 9}
2) {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
3) {1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .}
4) {10, 20, 30, . . .}

3. จงบอกจ านวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้

1) A = {1234}
2) B = {0, 1, 2, 3, 4}
3) C = {a, b, c, de, f, gh, ijk}
4) D = {x|x เป็นจ านวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 10 และ 20}
5) E = {x|x เป็นจ านวนเต็มบวกและน้อยกว่า 0

แบบฝึกหัด2

∈1. เซตต่อไปนี้เซตใดเป็นเซตว่าง

1) {x N |3 < x < 4}
2) {x|x เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 แต่น้อยกว่า 10

2. เซตต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตจำกัด เซตใดเป็นเซตอนันต์
1) {x|x เป็นจำนวนคู่}
2) { 1, 2, 3,. . . , 100}

3. จงพิจารณาว่าเซตในข้อใดบ้างเท่ากันและเซตในข้อบ้าง
ไม่เท่ากัน

∈1) A = {0, 1, 3, 7}

B = {x z | x<10 }
2) A = {x|x เป็นจำนวนคู่ที่น้อยกว่า 10}
B = {2, 4, 6, 8}

แบบฝึกหัด3

1. ให้ A = {2, 4, 6, 8} จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

∈1) 6 A
∈2) {8} A
⊂3) {2, 4}
∈2. ให้ A = {x|x เป็นจำานวนคู่บวก และ x-5<3} ,

B = {x N | x<8} และ C = {2, 4} จงพิจารณาว่าเซตคู่
ใดบ้างที่มีความสัมพันธ์เป็นสับเซต

∈3. กำหนดให้ X = {1, 3, 5, 7, 9, 11 } และ Y = {x|x =2n+1

เมื่อ n {0, 1, 2, 3, 4, 5} จงพิจารณาว่าข้อความต่อไปนี้เป็น
จริงหรือเท็จ

⊂1) X Y
⊂2) Y X

3) X=Y

เลขยกกำลัง
ความหมายของเลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง
การยกกำลัง มีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน
คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว จะเขียนได้เป็น

สมบัติของเลขยกกำลัง

1. สมบัติการคูณเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อ a เป็น
จำนวนใด ๆ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก

เช่น 23x 27x 29 = 2 (3 + 7 + 9) = 219

2. สมบัติการหารเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
กรณีที่ 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวกที่
m>n

เช่น 412÷ 43=412-3 = 49
กรณีที่ 2 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, nเป็นจำนวนเต็มบวกที่ m = n

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1



เช่น 67÷ 67 = 67-7 = 60 = 1 หรือถ้า (-7)o = 1

กรณีที่ 3 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนเต็มบวก
ที่ m < n

เช่น = 1/ 54-9

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว
หรือ

เช่น
หรือ

3.สมบัติอื่นๆของเลขยกกำลัง

1. เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นเลขยกกำลัง
เมื่อ a ≥0 และ m, n เป็นจำนวนเต็ม

เช่น

2. เลขยกกำลังที่มีฐานอยู่ในรูปการคูณ หรือการหารของจำนวนหลาย ๆจำนวน
และ

เมื่อ a ≠ 0 , b ≠ 0 และ n เป็นจำนวนเต็ม
เช่น

3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน
เมื่อ a > 0 และ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1

เมื่อ a ≠ 0 และ m เป็นจำนวนเต็มบวก ; n ≥ 2

4.จำนวนยกกำลัง ศูนย์ ได้เท่ากับ 1

ตัวอย่างข้อสอบ O-Net

ตัวอย่างข้อสอบ O-Net

แบบฝึกหัด1

แบบฝึกหัด1

แบบฝึกหัด2